CC BY
11
УДК 539.32
DOI: 10.15593/2224-9982/2023.73.03
П.В. Писарев, С.С. Власов, К.В. Роман
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
МНОГОУРОВНЕВЫЙ ПОДХОД К ЧИСЛЕННОМУ ПРОГНОЗИРОВАНИЮ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК СОТОВОГО ЗАПОЛНИТЕЛЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Работа посвящена численному прогнозированию эффективных упругих характеристик композитного сотового заполнителя, состоящего из слоя текстильного композиционного материала 5HS, образованного сатиновым переплетением углеродных нитей, пропитанных и связанных полимерной матрицей. Проведен анализ актуальных подходов к прогнозированию эффективных упругих характеристик композиционного материала. Построена геометрия ячеек периодичности и фрагментов структуры образцов текстильного композиционного материала и сотового заполнителя. Для ячеек периодичности и фрагментов структуры исследуемых объектов с использованием инструментов метода конечных элементов сформулированы и решены краевые задачи механики микронеоднородных сред с шестью вариантами граничных условий в перемещениях, соответствующих одноосному растяжению вдоль трех координатных осей и чистому сдвигу в трех координатных плоскостях декартовой системы координат. Проведен сравнительный анализ решений краевых задач, полученных на ячейках периодичности с использованием граничных условий периодического типа и фрагментах структуры пропитанной углеродной нити и композитного сотового заполнителя с использованием граничных условий, обеспечивающих соответствие макродеформаций осредненным по центральной ячейке микродеформациям, в программных модулях ANSYS Material Designer и Static Structure. Решение краевых задач на геометрии текстильного композиционного материала произведено в программном модуле ANSYS Static Structure. В качестве подхода к прогнозированию эффективных упругих характеристик сотового заполнителя на фрагменте его структуры был применен метод локального приближения. Разработаны трехуровневые структурно-феноменологические модели композитных сотовых заполнителей, учитывающие особенности структуры, криволинейность упругой анизотропии нитей и изменение упругих характеристик матрицы в зависимости от температуры.
Ключевые слова: численное прогнозирование, композиционный материал, краевая задача механики микронеоднородных сред, эффективные упругие характеристики, однонаправленный волокнистый композиционный материал, текстильный композиционный материал, 5HS, сотовый заполнитель, метод локального приближения, периодический метод, температурные зависимости упругих характеристик.
P.V. Pisarev, S.S. Vlasov, K.V. Roman
Perm State National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
MULTILEVEL APPROACH TO NUMERICAL PREDICTION OF EFFECTIVE ELASTIC CHARACTERISTICS OF HONEYCOMB CORE AT DIFFERENT
TEMPERATURES
The work is devoted to numerical prediction of the effective elastic characteristics of a composite honeycomb core, consisting of a layer of textile composite material 5HS, formed by a satin weave of carbon filaments impregnated and bonded with a polymer matrix. The analysis of current approaches to predicting the effective elastic characteristics of composite material is carried out. The geometry of periodicity cells and fragments of the structure of samples of textile composite material and honeycomb core has been constructed. For periodicity cells and fragments of the structure of the objects under study, using the tools of the finite element method, boundary value problems of the mechanics of microinhomogeneous media were formulated and solved with 6 variants of boundary conditions in displacements corresponding to uniaxial tension along 3 coordinate axes and pure shear in 3 coordinate axes planes of the Cartesian coordinate system. In the software modules ANSYS Material Designer and Static Structure, a comparative analysis of solutions to boundary value problems obtained on cells using boundary conditions of a periodic type and fragments of the structure of an impregnated carbon filament and a composite honeycomb filler was carried out. The solution of boundary value problems on the geometry of a textile composite was carried out in the ANSYS Static Structure software module. As an approach to predicting the effective elastic characteristics of a honeycomb core on a fragment of its structure, the local approximation method was applied. Three-level structural-phenomenological models of composite honeycomb fillers are developed, taking into account the structural features, the curvilinearity of the elastic anisotropy of the filaments, and the change in the elastic characteristics of the matrix depending on temperature.
Keywords: numerical prediction, composite material, boundary value problem of mechanics of microheterogeneous continuous media, effective elastic characteristics, unidirectional fibrous composite material, textile composite material, 5HS, honeycomb core, local approximation method, temperature dependences of elastic characteristics.
Композиционные материалы (КМ) нашли широкое применение в современной аэрокосмической технике как в виде функциональных, так и конструкционных составляющих изделий. Использование таких материалов вместо металлических сплавов приводит к значительному снижению материалоемкости, уменьшению количества применяемых оснасток, резкому снижению трудоемкости изготовления. Благодаря КМ также удается снизить массу изделия, сохранив или повысив ее прочностные, жесткостные и иные значимые параметры [1]. Часто применение КМ позволяет добиться таких интегральных характеристик, которые невозможно получить при использовании классических материалов.
Несмотря на принятое в материаловедении определение композиционных материалов, в общем смысле любую видимую человеческому глазу структуру можно считать композиционной. Этот факт обусловлен гарантированным наличием неоднородностей в строении и составе любых материалов, что находит отражение в явно выраженной анизотропии свойств при рассмотрении их локальных микрообъемов. При выделении все более крупных объемов анизотропия свойств традиционных материалов плавно переходит в квазиизотропию, в некотором приближении характеризующую одинаковость свойств во всех направлениях, тогда как композитам в классическом понимании свойственно анизотропное поведение на макроуровне. Рассмотрение материалов с точки зрения механики исключительно на макроуровне предполагает применение традиционных подходов и не позволяет учесть особенности механического поведения структурных компонентов, таких как зерна металлов, что напрямую влияет на надежность будущих изделий. Возникает необходимость проведения разделительной черты между композиционными и иными материалами, которая отразила бы необходимость применения подходов механики КМ для конкретной задачи. Для этого удобно воспользоваться математическим определением, предложенным Б.Е. Победрей, согласно которому композитом считается материал, для оценки физико-механических характеристик которого целесообразно применение математических моделей с разрывными функциями, характеризующих неоднородность его внутренней структуры [2]. Таким образом, выбор модели материала зависит от конкретной задачи.
При проектировании конструкций из КМ возникает необходимость проведения комплексного математического моделирования, учитывающего природу и характер нагружения, анизотропию свойств, геометрию структурных компонентов, физическую и/или геометрическую линейность или нелинейность. Так, например, звукопоглощающие конструкции (ЗПК), устанавливаемые на внутренней и боковой поверхностях входных и выходных каналов и представляющие собой многослойные оболочки, состоящие из комбинации угле- и/или стеклопла-стиковых слоев, находятся под воздействием переменного воздушного давления, давления со стороны смежных узлов, а также изменяющейся в широком диапазоне температуры внешней среды. Изменение температуры влияет на упругие характеристики материалов и, как следствие, на жесткость изделия, что может отрицательным образом сказаться на устойчивости таких компонентов ЗПК, как сотовый заполнитель (СЗ) (рис. 1).
Соговьгп заполнитель
Нес;
Рис. 1. Звукопоглощающая панель
СЗ играет важную роль в конструкции звукопоглощающих оболочек, обеспечивая равномерность распределения давления по прилегающим слоям и воспринимая сжимающие и сдвиговые нагрузки, связанные с направлением нормали к его серединной поверхности. В рамках изделий явное математическое моделирование такого материала не представляется возможным даже с использованием средств современных численных методов и вычислительных систем. По этой причине возникает необходимость подробного описания механического поведения СЗ как самостоятельной конструкции с целью замены его многоуровневой структуры, включающей в себя текстильные слои с пропитанными и связанными матрицей переплетающимися нитями, на эквивалентный гомогенный слой с эффективными характеристиками.
Обзор существующих подходов к прогнозированию эффективных упругих
характеристик композитов
В вопросе численного прогнозирования эффективных упругих характеристик КМ до сих пор нет единого мнения [1-13]. Существующие подходы к решению обозначенной проблемы можно разделить на три группы. Первая группа основана на моделировании условий механических испытаний на образцах, при котором обработка результатов производится в соответствии с принятыми стандартами (ASTM, ГОСТ и др.). Вторая группа основана на вариациях метода асимптотического осреднения Бахвалова - Победри (Asymptotic Homogenization Method), суть которого заключается в решении краевых задач механики микронеоднородных сред на ячейках периодичности (ЯП), выделяемых в рамках структуры материалов. В качестве замыкающих систему дифференциальных уравнений условий предполагается использование неклассических граничных условий (ГУ) периодического типа. Третья группа основана на решении краевых задач на фрагментах структуры, содержащих конечное число включений, при котором механическое поведение представительного объема будет соответствовать поведению реального материала. С математической точки зрения наиболее точным методом является метод асимптотического осреднения.
В качестве подхода к прогнозированию эффективных упругих характеристик КМ также используется разработанный Ю.В. Соколкиным и А.А. Ташкиновым метод локального приближения (Local Approximation Method) [10], основанный на физическом принципе локальности. Предполагается, что состояние рассматриваемого объекта, например волокна в материале, определяется состоянием ближайших к нему тел и не зависит от состояния достаточно удаленных объектов. Этот факт находит подтверждение при рассмотрении корреляционных функций полей структурных физико-механических свойств, которые затухают на расстоянии 2-3 характерных размеров представительной ячейки материала [10]. Суть метода заключается в замене периодической краевой задачи на ЯП задачей на представительной области, содержащей конечное число ЯП. ГУ задаются таким образом, чтобы известные компоненты тензора макроскопических напряжений или деформаций оказывались эквивалентными соответствующим ос-редненным по центральной ячейке компонентам тензора микроскопических величин. Это условие выполняется тождественно. Операция осреднения полей напряжений или деформаций применяется к центральной ячейке.
В монографии авторов Соколкина, Ташкинова [10] приводится описание метода локального приближения (МЛП) применительно к двухкомпонентным КМ матричного типа. Пригодность подхода при рассмотрении более сложных структур, таких как пространственно-армированные композиты (ПАКМ), была подтверждена в исследованиях Ю.В. Соколкина, А.А. Ташкинова, А.Н. Аношкина, В.Э. Вильдемана, А.А. Панькова, А.А. Чекалкина, Е.Ю. Макаровой, П.В. Писарева, Д.А. Ермакова, К.В. Роман и др. [4, 7, 11].
Вопрос численного прогнозирования эффективных упругих характеристик композитных СЗ поднимался в работах исследователя из Университета Северной Аризоны E. Penado [1], группы китайских ученых из Бэйханского университета [3]; частично затрагивался в работе
российских специалистов из Курчатовского института (ВИАМ), Пермского национального исследовательского политехнического университета [8] и многих других работах [9, 12]. Так, в исследованиях [1, 3] были разработаны краевые задачи с ГУ периодического типа для различного типа ячеек СЗ - комплексной [3] и элементарной в виде 1/8 части от комплексной [1]. При решении краевой задачи на целой ЯП учеными были проанализированы различные методы осреднения искомых функций: метод осреднения по объему ЯП (volume-average method), метод осреднения по границе ЯП (boundary method), а также предлагаемый ими метод, основанный на равенстве энергии упругой деформации (energy method) представительного объема материала и гомогенизированной среды. Авторы [3] доказали эквивалентность предлагаемого энергетического метода и метода осреднения по объемам конечных элементов для прогнозирования диагональных компонентов тензора эффективных упругих модулей. При этом использование метода осреднения по объемам приводит к погрешности при прогнозировании недиагональных компонентов матрицы эффективных модулей упругости.
Введем описание осредненных компонентов тензора напряжений для различных методов:
, , I o.s.d S
(1)
Ы = ^dS, (2)
Ы = ^, (3)
где (1) - соотношение для энергетического метода, (2) - для метода осреднения по объемам, (3) -для метода осреднения по границе; - оператор осреднения; Fkl - соответствующие возникающие в узлах конечных элементов (КЭ) силы реакции на границе, S - площадь грани, к которой приложено перемещение.
Для эксперимента на двухосное растяжение тождественно:
U = UU j
(в й > = (в j = <в>.
При этом соотношения для энергии упругой деформации принимают вид:
^ «+<Сj )+| end s
U = -
2
^ «« + ( С j) + WI °'-d S
и =
2
где и - энергия упругой деформации для энергетического подхода, и' - энергия упругой деформации для метода осреднения по объемам, 7 Ф ].
В конечном итоге в записи следующих соотношений для метода конечных элементов (МКЭ) несоответствие методов приведет к разнице в индексах, по которым происходит суммирование:
d1 = (С) I e„d sj 8jd s d2 = (Cj)V J в „8 jd s .
Авторы [3] показали, что причиной несоответствия методов является неоднородность поля деформации, распределенного по представительному объему, состоящему из воздушной прослойки и сотовой ячейки. Таким образом, величина погрешности при использовании метода осреднения по объему зависит от объемной доли воздушной прослойки и степени неоднородности поля деформаций в ячейке. Сравнительный анализ подходов показал, что при вычислении недиагональных компонентов матрицы модулей упругости, через которые выражаются упругие модули 1-го и 3-го родов, расхождение результатов достигает 8 %, однако в случае с эффективным модулем E3 разницы в расчетах не наблюдается. Это обусловлено однородностью возникающих полей деформаций и напряжений при решении соответствующей краевой задачи. Погрешность возрастает с увеличением толщины стенок сот с сопутствующим снижением объемной доли воздуха.
Решение краевых задач на элементарной ЯП из алюминиевого материала показало хорошее соответствие результатов моделирования и существующих расчетно-экспериментальных данных [1]. Автор отметил, что использование в качестве материала стенки КМ вместо алюминия приводит к увеличению значений сдвиговых жесткостей при сохранении плотности.
Многоуровневое моделирование
Все существующие методы объединяет положение об известности эффективных упругих характеристик стенок СЗ. Однако на практике прогнозирование этих характеристик носит рас-четно-экспериментальный характер, при этом решение строится по принципу «снизу-вверх» («bottom-up»), когда известными полагаются характеристики элементов, составляющих монослой стенок СЗ, - матрицы и нити (углеродной, стеклянной и др.). Такой подход позволяет смоделировать механическое поведение сложной конструкции при различных условиях эксплуатации, когда проведение экспериментов затруднено. Например, при прогнозировании эффективных физико-механически характеристик текстильного КМ в направлении и плоскостях, с которыми связан значительный вклад матрицы в механическую работу материала, - вдоль толщины КМ и связанных с ней плоскостей. В рамках данной работы такой подход будет называться многоуровневым.
На данный момент многоуровневый структурно-феноменологический подход к прогнозированию эффективных упругих характеристик материала является одним из наиболее перспективных подходов в современной механике композиционных материалов. Наиболее известными исследователями в данной области являются Ю.В. Соколкин, Б.Е. Победря, А.А. Паньков, Ю.И. Дмитриенко, А.П. Соколов, Jan Novak и др. [2, 10, 13, 15, 16]. Практический пример реализации многоуровневого подхода к гомогенизации среды КМ представлен в диссертационном исследовании ученого Южно-Уральского государственного университета А.В. Безмельницына [17]. Автор произвел оценку комплекса упругих и теплофизических характеристик, разрешив проблему гомогенизации втулки из композита с открытой пористостью. Как отметил ученый, ни экспериментального, ни аналитического пути решения данной задачи не существует.
Таким образом, существующие подходы к прогнозированию эффективных упругих характеристик КМ можно классифицировать по количеству вложенных уровней, способу постановки краевой задачи, типу представительного объема и методу осреднения. В рамках настоящей работы авторами предлагается алгоритм решения краевой задачи механики композиционных материалов на фрагменте структуры СЗ, базирующейся на методе локального приближения. Разработаны многоуровневые структурно-феноменологические модели композитного СЗ, выполненные из углепрепрега, описывающие эффективные упругие характеристики с учетом влияния температуры на упругое поведение матрицы.
Постановка многоуровневых краевых задач механики твердого деформируемого тела
и алгоритм прогнозирования эффективных упругих характеристик для ячеек периодичности и фрагментов структуры сотового заполнителя
В качестве объекта исследования рассматривался сотовый заполнитель, стенки которого сформированы из монослоя углепрепрега сатинового переплетения с ориентацией основы вдоль высоты СЗ. Задача о прогнозировании эффективных упругих характеристик СЗ была поделена на три подуровня (рис. 2), соответствующих краевым задачам:
1) микромеханики на ЯП пропитанной углеродной нити;
2) мезомеханики на ЯП и фрагменте текстильного углепрепрега;
3) макромеханики на ЯП и фрагменте композитного СЗ.
Рис. 2. Иерархия структуры композитного сотового заполнителя
Построение геометрии ЯП для 1-го уровня велось исходя из предположения о содержании объемной доли нити & 1 = 0,69 [15]. Радиус волокна определялся из:
2 • а• Ь
Г =
г
где а, Ь - характерные размеры сечения.
Построение геометрии ЯП для 2-го уровня велось в программном комплексе TexGen. Параметры ячейки были основаны на параметрах реальной геометрии образца углепрепрега толщиной 0,3 мм (рис. 3, б). При этом между волокнами была задана малая прослойка матрицы во избежание контакта волокон. Существование такой прослойки в текстильных КМ было подтверждено группой исследователей в [7]. Для использования МЛП было построено окружение из аналогичных ячеек в плоскости материала.
а б
Рис. 3. Геометрические параметры: а - сотовой ячейки; б - углепрепрега 5HS
п
Построение геометрии ЯП для 3-го уровня велось в модуле ANSYS DesignModeler. Параметры ячейки были выбраны на основе геометрии реального образца СЗ (см. рис. 3, а). Для использования МЛП в соответствии с периодичностью каркасной структуры окружение строилось в пространстве вокруг ячейки.
Для каждой геометрии выполнялась система условий, определяющая корректность физической постановки задачи:
.. ^ ^-2 = ^
V,^ V
Р ,2
где индексы 1, 2 - номер компонентов среды УР, р - номер структурного уровня.
Упругие характеристики углеродной нити в рамках исследуемого диапазона температур: Т, °С е [- 50; 100] (табл. 1) принимались постоянными. Функциональная зависимость упругих характеристик полимерной матрицы от температуры задавалась в соответствии с [18, 19] (рис. 4).
Таблица 1
Входные упругие параметры
Материал Ех, ГПа Еу, ГПа Ег, ГПа ^ xz ^ ху Оу2, ГПа Охг, ГПа Оху, ГПа
Углеродная нить 290 23 23 0,4 0,2 0,2 8,214 9 9
Воздух 0,001 0,05 4,76-10-4
Е, ГПа
5,5
4,4
3,3
2,5
@ V л =¡4
=====—-Ч И)
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
-40
-20
20
40
60
80
100
т,° С
Рис. 4. Зависимость упругих характеристик матрицы от температуры
Краевая задача механики микронеоднородных сред для структурного уровня V, включает в себя систему из 15 дифференциальных уравнений, замыкаемую ГУ в перемещениях:
Уа = 0 8 = 2 (V® и + и ®У)
а = (4С X + 4Су
р
где V - оператор Набла; о = о (r), £ = £ (r) - тензоры напряжений и деформаций; U = U (r) -вектор перемещений; X = X (r) и Х = Х( r) - индикаторная и обратная ей функции; r - радиус-
4/-1
вектор; CV - тензор упругих модулей соответствующего материала.
Для периодической задачи, решаемой в модуле ANSYS Material Designer, система (4) замыкается периодическими ГУ согласно основной концепции периодичности ГУ [6]:
U (r) = (е)г + U (r), (5)
где (s) - известные макродеформации; 2-е слагаемое - поправка для учета периодичности.
Осреднение по 2-му слагаемому в выражении (5) тождественно приводит к нулю, что вызвано требованием единственности решения краевой задачи на ЯП. Примеры ГУ периодического типа представлены в работах [1, 3, 6].
При построении численной модели материала с условиями периодичности во избежание накопления ошибки в решении обеспечивалась идентичность конечно-элементной сетки на противоположных гранях ЯП.
На границах между материалами выполнялось условие совместности, соответствующее идеальным связям и моделируемое опцией bonded:
U < (r )l г+ = U (r )l Г-. (6)
Формулировка краевой задачи для фрагмента структуры материала включает в себя систему (4), замыкаемую условиями в перемещениях согласно концепции МЛП:
U0 (r И j rj,
где ^s ^ аналогично (s) в (5) представляет собой известные макродеформации. На границах между материалами выполнялось условие (6).
Для КЭ, повернутых относительно глобальной системы координат (СК), выполнялось условие преобразования тензора упругих модулей:
С ijkl = аia.a jf,akya/SCaPyS ,
где a - тензор направляющих косинусов.
Методика обработки результатов
Для обработки полей напряжений и деформаций использовался метод осреднения по объему представительной области (2). Выражение для осредненных деформаций записывается аналогично:
<£ *> = V- Js vdVp. (7)
Эффективные технические упругие постоянные выражались через соответствующие компоненты осредненных тензоров напряжений и деформаций:
Си =±Ч. (8)
(s W
Ы
В рассматриваемой модели фрагмента СЗ пропитанные полимерным связующим углеродные нити (1-й уровень) считались однонаправленно армированным трансверсально-изотропным КМ, упругие свойства которых были рассчитаны с использованием соотношений Чамиса:
{Ех) = У'Е' + УтЕт,
(О = V' К + Vя зт,
Ет
E)
1 -л/У7
( т-чп \
1 -—
1 Ef
y
Gn
1 -4Уf
п
1 - — 1 Gf
xy
Gn
1-W7
п
1 - — 1 Gf
yz у
где yf, Уп - объемные доли нити и матрицы соответственно.
Указанные соотношения были применены для оценки корректности поставленных краевых задач для моделей 1-го уровня. Упругие свойства сухой углеродной нити и полимерной матрицы представлены в табл. 1 и на рис. 4.
Поставленная краевая задача для фрагмента СЗ решалась численно методом конечных элементов в программном комплексе ANSYS Workbench. Дискретизация фрагментов многоуровневой структуры выполнялась с использованием твердотельных конечных элементов SOLID186 и SOLID187. Общее число конечных элементов - для моделей: 1-го уровня -66,17 тыс. элементов и 284 тыс. узлов; 2-го уровня - 261,1 тыс элементов, 497 тыс. узлов для ЯП и 1,6 млн элементов, 3,9 млн узлов для фрагмента структуры; 3-го уровня - 58 тыс. элементов, 140 тыс. узлов для ЯП и 1,56 млн элементов, 3,89 млн узлов для фрагмента - было выбрано на основании проведенной оценки сходимости численного решения по прогнозируемым значениям модулей упругости (отличия не больше 1 %).
Обсуждение результатов расчетов. Влияние температуры на эффективные упругие характеристики композитного сотового заполнителя
В результате численного решения краевых задач на одноосное растяжение вдоль координатных осей и чистый сдвиг в координатных плоскостях декартовой системы координат на построенных многоуровневых моделях ЯП и фрагментов структуры композитного СЗ были получены поля структурных напряжений и деформаций в ЯП для периодической задачи и в центральной ячейке фрагментов для задачи, решаемой МЛП. Осреднение данных полей по объемам ЯП и центральной ячейке фрагментов структуры позволило получить соответствующие значения макронапряжений и макродеформаций для однородной среды с эффективными упругими характеристиками. Подставляя полученные значения в соотношение (8) и разрешая полученную систему относительно неизвестных C*H, можно определить эффективные упругие
жесткости, податливости и технические упругие постоянные композитного СЗ.
По результатам сравнительного анализа численных и аналитического решений была выявлена хорошая согласованность результатов (рис. 5).
■ 40 - 20 0 20 40 60 80 100 Т, °С
Рис. 5. Зависимость упругих характеристик пропитанной нити от температуры
*
При этом значения модуля нормальной упругости вдоль углеродной нити Ех практически совпали - отличия составили меньше 0,3 %. Максимальное отличие обнаружено для модуля упругости 2-го рода Оху*. и составило 6,22 %.
Анализ полученных зависимостей эффективных упругих характеристик от температуры показал, что для данной объемной доли углеродной нити наибольшее изменение претерпевают технические постоянные Еу , Оху ,Оу2 и соответствующие им Е2 и Ох2, что связано с преобладающей ролью матрицы в механической работе материала в соответствующих направлениях и плоскостях. Значение модуля Ех оставалось практически постоянным на всем диапазоне исследуемых температур.
Решения КЗ, полученные на ЯП для структуры 2-го уровня, сравнивались с решениями КЗ, полученными на фрагментах структуры с использованием МЛП. Было выявлено, что при изменении температурного режима работы текстильного изделия относительно нормального (22 °С), наибольшему и существенному изменению подвергаются эффективные упругие характеристики, связанные с направлением толщины текстиля (О2). Так, при Т = 100 °С Е2 понижается на 10 %, а модули сдвига Ох2 и Оу2 - на 20 %. При этом при снижении температуры до -50 °С относительно нормальной наблюдается повышение упругих характеристик текстильного КМ: Е2 на 14 %, Оу2* и Ох2 - на 21 % (рис. 6).
Рис. 6. Диаграмма изменения эффективных упругих характеристик текстиля
Решение КЗ с применением МЛП привело к следующим изменениям: эффективные модули упругости 1-го рода в плоскости образца снизились на 1 %, Оху* увеличился на 2,5 %, - на 15 %. Для модулей Ох2, Оу2 наблюдалось незначительное изменение в пределах 1 %.
Для реализации процедуры осреднения полей структурных напряжений и деформаций по центральной ячейке по соотношениям (2), (7) был разработан и использован алгоритм на языке APDL. Сравнительный анализ результатов численного моделирования для геометрии 3-го уровня (композитного СЗ), полученных на ЯП, с результатами, полученными на фрагменте структуры, показал практически полное совпадение эффективных упругих характеристик Ez*, Схг\ Суг* (табл. 2).
Таблица 2
Сравнение эффективных упругих характеристик для T = - 50 °С
Метод Е* ^X 1 МПа Е * МПа Е/, МПа З; (10-4) С (10-4) V * ху Суг , МПа Одг , МПа Сду , МПа
МЛП 5,07 5,50 3275,2 1,64 3,30 1,000 79,00 116,28 4,05
Периодическая задача 5,49 6,00 3276,6 1,76 3,50 0,953 81,00 116,38 3,70
5, % 8,28 9,09 0,0400 7,32 6,06 4,700 2,53 0,0900 8,64
При расчете относительной разницы результатов 5, % (см. табл. 2) за максимальное значение принимались упругие модули, рассчитанные методом локального приближения, за минимальное - рассчитанные на КЗ с ГУ периодического типа.
Рис. 7. Диаграмма изменения эффективных упругих характеристик композитного сотового заполнителя
Несмотря на существенную разницу в геометрии структур 2-го и 3-го уровня, изменение модулей сдвига в плоскостях, связанных с высотой СЗ С^*, Gyz*), повторяют изменения соответствующих модулей текстильного КМ. При этом изменение модуля Ег соответствует изменениям модулей Ех* и Еу* текстильного КМ. Это связано с рассматриваемой схемой армирования стенок СЗ.
На разницу в результатах в плоскости СЗ, полученных разными методами, напрямую повлияла степень неоднородности распределения полей напряжений и деформаций. Для того чтобы прогнозируемые эффективные упругие характеристики оказались наиболее близки к точным значениям, необходимо увеличить характерный размер окружения центральной ЯП. Однако на данном этапе исследования нельзя строго сказать, какой из методов дает наиболее точные результаты, так как погрешность для модулей, связанных с плоскостью СЗ, допускается многими исследователями [1, 3].
С инженерной точки зрения наиболее важными эффективными упругими характеристиками являются модули, связанные с высотой СЗ: Е/, Схг*, Суг*. Это объясняется тем, что в кон-
струкции звукопоглощающих изделий основную нагрузку в плоскости изделия воспринимают несущие слои. СЗ отвечает за равномерность распределения давления по несущим слоям и воспринимает сжимающую и соответствующие сдвиговые нагрузки. Также способностью СЗ сохранять форму и жесткость определяется местная и глобальная устойчивости всей звукопоглощающей конструкции.
Выводы
Таким образом, в рамках данного исследования были разработаны трехуровневые структурно-феноменологические модели композитного СЗ, описывающие его напряженно-деформированное состояние (НДС) при одноосном растяжении вдоль трех координатных осей и чистом сдвиге в трех координатных плоскостях декартовой СК.
Разработан алгоритм решения КЗ механики микронеоднородных сред на фрагменте структуры СЗ, базирующийся на методе локального приближения.
С применением метода конечных элементов в программном комплексе ANSYS Workbench осуществлено численное прогнозирование девяти эффективных технических упругих постоянных пропитанной углеродной нити, текстильного углепрепрега 5HS и композитного СЗ.
Проведен сравнительный анализ величин эффективных технических упругих постоянных, полученных: при решении краевых задач с ГУ периодического типа (для пропитанной нити и СЗ), с использованием МЛП (для текстильного КМ и СЗ), а также для случая пропитанной нити с использованием соотношений Чамиса. Было выявлено, что упругие характеристики, связанные с направлением нормали к серединной поверхности СЗ (E*, Gx*, Gyz*), независимо от способа постановки краевой задачи (на ЯП или фрагменте структуры) совпадают, тогда как при прогнозировании других модулей наблюдается разница в промежутке [4,70; 9,09], %. Среди последних
„ * *
максимальное несоответствие выявлено при прогнозировании модуля Ey , минимальное - vy .
Анализ полученных температурных зависимостей эффективных технических упругих постоянных показал, что при отклонениях температуры от нормальной для всех уровней структуры СЗ наибольшему изменению подвергаются модули, связанные с направлением и плоскостями, вдоль которых существенный вклад в механическую работу материала вносит податливая полимерная матрица. Для СЗ при данной схеме армирования такими модулями являются Gx*, Gy*, значение которых отклоняются от 20 до 22 % как при - 50 °C, так и при 100 °C. Было выявлено, что аналогичному отклонению (с разницей в пределах 1 %) подвергаются модули Gx*, Gy* текстильного КМ.
Представляется перспективным моделирование стохастической структуры СЗ с учетом коэффициента вариации структурных параметров, характеризующих отклонение геометрии ячеек СЗ от идеальной. В дальнейших исследованиях планируется формулировка стохастической краевой задачи для фрагментов структуры СЗ и ее решение с использованием МЛП.
Интерес также представляет разработка и реализация алгоритма подбора ГУ в КЗ для фрагментов структуры СЗ, позволяющего получить поля микроструктурных напряжений и деформаций в центральной ячейке фрагмента, соответствующих заранее заданным макроскопическим. Это позволит моделировать механизмы структурного разрушения (накопления повреждений) в ячейке, описывать нелинейное деформирование и оценивать макроскопическую прочность при различных условиях нагружения СЗ.
Библиографический список
1. Effective elastic properties of honeycomb core with fiber-reinforced composite cells / F.E. Penado et al. // Open journal of composite materials. - 2013. - Vol. 3, № 04. - Р. 89-96.
2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 336 с.
3. A method of determining effective elastic properties of honeycomb cores based on equal strain energy / C. Qiu et al. // Chinese Journal of Aeronautics. - 2017. - Vol. 30, № 2. - Р. 766-779.
4. Forecasting effective elastic properties of spatially reinforced composite materials applying the local approximation method / A.N. Anoshkin et al. // AIP Conference Proceedings. - AIP Publishing LLC, 2020. -Vol. 2216, № 1. - Р. 020008.
5. A novel analytical curved beam model for predicting elastic properties of 3D eight-harness satin weave composites / F. Liu et al. // Science and Engineering of Composite Materials. - 2018. - Vol. 25, № 4. -Р. 689-706.
6. Jacques S., De Baere I., Van Paepegem W. New approach for the construction of meso-scale finite element models of textile composites with periodic boundary conditions // TexComp-11. - 2013. - Р. 19-20.
7. Microstructural modeling and prediction of effective elastic properties in 3D reinforced composite material / A.N. Anoshkin, P.V. Pisarev, D.A. Ermakov, K.V. Roman // Materials Physics and Mechanics. -2022. - Vol. 50. - No 1. - P. 89-106.
8. The stress-strain state analysis and structural evaluation of PCM construction consisting of heterogeneous element / I.N. Shardakov et al. // International Journal of Mechanical Engineering and Technology (IJMET). - 2018. - Vol. 9, № 10. - Р. 1157-1171.
9. Оценка физико-механических характеристик углесотопласта различной схемы армирования при помощи МКЭ-поддержки / В.Е. Гайдачук [и др.] // Эффективность сотовых конструкций в изделиях авиационно-космической техники: сб. материалов IV Междунар. науч.-практ. конф. - Днепропетровск, 2011. - С. 54-59.
10. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 115 с.
11. Макарова Е.Ю., Соколкин Ю.В., Чекалкин А.А. Структурно-феноменологические модели прогнозирования упругих свойств высокопористых композитов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2010. - № 5 (21). - С. 276-279.
12. Писарев П.В., Ермаков Д.А., Максимова К.А. Численное прогнозирование механических характеристик и определение коэффициентов линейного теплового расширения сотовой звукопоглощающей конструкции // Международный междисциплинарный симпозиум «Иерархические материалы: разработка и приложения для новых технологий и надежных конструкций». - 2019. - С. 317-318.
13. Паньков А.А. Методы самосогласования механики композитов. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 253 с.
14. Реверсивная многомасштабная гомогенизация физико-механических характеристик гетерогенных периодических сред с использованием графоориентированного программного подхода / А.П. Соколов [и др.] // Композиты и наноструктуры. - 2017. - Т. 9, № 3-4. - С. 142-155.
15. A micromechanics-enchanced finite element formulation for modeling heterogeneous materials [Electronic resource] / J. Novak [et al.]. - URL: https://www.researchgate.net/publication/220487542_A_micromechanics-enhanced_finite_element_formulation_for_modelling_heterogeneous_materials (дата обращения: 29.08.2022).
16. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Многомасштабное моделирование упругих композиционных материалов // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 5. - С. 3-20.
17. Безмельницын А.В. Оценки жесткости и прочности втулок опорных узлов дородных машин на основе многомасштабных численных моделей пористого тканевого стеклопластика: дис. . канд. техн. наук: 01.02.04. - Пермь, 2021. - 118 с.
18. Фрейдин А.С., Турусов Р.А. Свойства и расчет адгезионных соединений. - М.: Химия, 1990. - 256 с.
19. Нелюб В.А., Бородулин А.С. Свойства эпоксидных материалов, применяемых для изготовления стеклопластиков методом намотки // Клеи. Герметики. Технологии. - 2017. - № 9. - С. 7-12.
References
1. Penado F.E. Effective Elastic Properties of Honeycomb Core with Fiber-Reinforced Composite Cells. Open Journal of Composite Materials, 2013, no. 3, pp. 89-96.
2. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Composite mechanics]. Moscow, Publishing House of Moscow university, 1984, 336 p.
3. Q. Cheng [et al.]. Method of determining effective elastic properties of honeycomb core based on equal strain energy. Chinese Journal of Aeronautics, 2015, no. 28, pp.1-15.
4. A.N. Anoshkin, P.V. Pisarev, D.A. Ermakov, et. al. Forecasting effective elastic properties of spatially reinforced composite materials applying the local approximation method. AIP Conference Proceedings:
28th Russian Conference on Mathematical Modelling in Natural Sciences, RuMoNaS 2019, Perm, 02-05 October, 2019, Perm: American Institute of Physics Inc., 2020, 8 p.
5. L. Faqi [et al.]. A novel analytical curved beam model for predicting elastic properties of 3D eight-harness satin weave composites. SciEng Compos Mater, 2018, no. 25 (4), pp. 689-706.
6. S. Jacques, I. De Baere, W. Van Paepegem. New approach for the construction of meso-scale finite element models of textile composites with periodic boundary conditions. 16th European conference on composite materials, Seville, Spain, 22-26 June, 2014, 8 p.
7. A.N. Anoshkin, P.V. Pisarev, D.A. Ermakov, et. al. Microstructural modeling and prediction of effective elastic properties in 3D reinforced composite material. Materials Physics and Mechanics, 2022, Vol. 50, no. 1, pp. 89-106.
8. I.N. Shardakov [et al.]. The stress-strain state analysis and structural evaluation of PCM construction consisting of heterogeneous elements. International Lournal of Mechanical Engineering and Technology (IJMET), 2018, vol. 9, no.10, pp. 1157-1171.
9. V.E. Gaydachuk [et. al.] Otsenka fiziko-mekhanicheskikh kharakteristik uglesotoplasta razlichnoy skhemy armirovaniya pri pomoshchi MKE-podderzhki [Evaluation of the physical and mechanical characteristics of carbon fiber with different reinforcement schemes using FEM support]. A collection of materials of the IV International Scientific and Practical Conference «Effektivnost sotovykh konstruktsiy v izdeliyakh aviat-sionno-kosmicheskoy tekhniki». Dnepropetrovsk, 2011, pp. 54-59.
10. Yu. V. Sokolkin, A.A. Tashkinov. Mekhanika deformirovaniya i razrusheniya strukturno neodnorodnykh tel [Mechanics of deformation and destruction of structurally inhomogeneous bodies]. - Moscow, Nauka, 1984, 115 p.
11. E.Yu. Makarova, Yu.V. Sokolkin, A.A. Chekalkin. Strukturno-fenomenologicheskiye modeli prog-nozirova-niya uprugikh svoystv vysokoporistykh kompozitov [Structural-phenomenological models for predicting the elastic properties of highly porous composites]. Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences, 2010, no.5 (21), pp. 276-279.
12. P.V. Pisarev, D.A. Yermakov, K.A. Maksimova. Chislennoye prognozirovaniye mekhanicheskikh kharakteristik i opredeleniye koeffitsiyentov lineynogo teplovogo rasshireniya sotovoy zvukopoglo-shchayushchey konstruktsii [Numerical prediction of mechanical characteristics and determination of the coefficients of linear thermal expansion of a honeycomb sound-absorbing structure]. Abstracts of the International Workshop, the International Conference and the VIII All-Russian Scientific and Practical Conference with international participation, dedicated to the 50th anniversary of the founding of the Institute of Petroleum Chemistry «Iyerarkhicheskiye materialy: razrabotka i prilozheniya dlya novykh tekhnologiy i nadezhnykh konstruktsiy», Tomsk, October 01-05, 2019, Tomsk: National Research Tomsk State University, 2019, pp. 317-318.
13. Pankov, A.A. Metody samosoglasovaniya mekhaniki kompozitov: monografiya [Methods of self-consistency in the mechanics of composites: monograph]. Perm: Perm National Research Polytechnic University, 2008, 253 p.
14. A.P. Sokolov [et. al.]. Reversivnaya mnogomasshtabnaya gomogenizatsiya fiziko-mekhanicheskikh kha-rakteristik geterogennykh periodicheskikh sred s ispolzovaniyem grafooriyentirovan-nogo programmnogo podkhoda [Reverse multiscale homogenization of physical and mechanical characteristics of heterogeneous periodic media using a graph-oriented software approach]. COMPOSITES and NANOSTRUCTURES, 2017, vol. 9, no. 3-4, pp. 142-155.
15. J. Novak [et al.]. A micromechanics-enchanced finite element formulation for modeling heterogeneous materials [Electronic resource]. URL: https://www.researchgate.net/publication/220487542_A_micromechanics-enhanced_finite_element_formulation_for_modelling_heterogeneous_materials (date of access: 29.08.2022).
16. Yu.I. Dmitriyenko, A.P. Sokolov. Mnogomasshtabnoye modelirovaniye uprugikh kompozi-tsionnykh materialov [Multiscale modeling of elastic composite materials]. Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 24, no. 5, pp. 3-20.
17. Bezmelnitsyn A.V. Otsenki zhestkosti i prochnosti vtulok opornykh uzlov dorodnykh mashin na os-nove mnogomasshtabnykh chislennykh modeley poristogo tka-nevogo stekloplastika [Estimates of the stiffness and strength of the bushings of the support units of heavy machines based on multiscale numerical models of porous fabric fiberglass]. Ph. D. thesis. Perm, 2021, 118 p.
18. A.S. Freidin, R.A. Turusov. Svoystva i raschet adgezionnykh soyedineniy [Properties and calculation of adhesive joints]. Moscow, Khimiya, 1990, 256 p.
19. V.A. Nelyub, A.S. Borodulin. Svoystva epoksidnykh materialov, primenyayemykh dlya izgotov-leniya stekloplastikov metodom namotki [Properties of epoxy materials used for the manufacture of fiberglass by winding]. Polymer Science, Series D, 2017, no. 9, pp.7-12.
Об авторах
Писарев Павел Викторович (Пермь, Россия) - кандидат технических наук, доцент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (Пермь, 614990, Комсомольский пр., 29, e-mail: pisarev85@live.ru).
Власов Сергей Сергеевич (Пермь, Россия) - магистрант кафедра «Механика композиционных материалов и конструкций», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (Пермь, 614990, Комсомольский пр., 29, e-mail: sss203bds07s12345@mail.ru).
Роман Ксения Владимировна (Пермь, Россия) - младший научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории пространственно-армированных композиционных материалов кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (Пермь, 614990, Комсомольский пр., 29, e-mail: kvroman@pstu.ru).
About the authors
Pavel V. Pisarev (Perm, Russian Federation) - CSc in Technical Sciences, Associate Professor, Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., 614990, Perm, e-mail: pisarev85@live.ru).
Sergey S. Vlasov (Perm, Russian Federation) - Master Student, Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., 614990, Perm, e-mail: sss203bds07s12345@mail.ru).
Kseniya V. Roman (Perm, Russian Federation) - Junior Researcher of the Research Laboratory of Spatially Reinforced Composite Materials of the Department Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., 614990, Perm, e-mail: kvroman@pstu.ru).
Финансирование. Исследование выполнено в Пермском национальном исследовательском политехническом университете при поддержке государственного задания (проект No. FSNM-2023-0006).
Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Вклад авторов. Все авторы сделали равный вклад в подготовку публикации.
Поступила: 18.01.2023
Одобрена: 20.01.2023
Принята к публикации: 09.06.2023
Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом: Писарев, П.В. Многоуровневый подход к численному прогнозированию эффективных упругих характеристик сотового заполнителя при различных температурах / П.В. Писарев, С.С. Власов, К.В. Роман // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. - 2023. - № 73. - С. 26-40. DOI: 10.15593/22249982/2023.73.03
Please cite this article in English as: Pisarev P.V., Vlasov S.S., Roman K.V. Multilevel approach to numerical prediction of effective elastic characteristics of honeycomb core at different temperatures. PNRPU Aerospace Engineering Bulletin, 2023, no. 73, pp. 26-40. DOI: 10.15593/2224-9982/2023.73.03
