CC BY
8Многопроцессорная вычислительная структура для выполнения быстрых спектральных преобразований в двумерных
базисах
Х.Н. Зайнидинов, М.П. Атаджанова, Х.Р. Жиянбеков ТУИТ. Ташкент, Узбекистан
Аннотация: В статье дается обоснование и приводится предлагаемая схема
микропроцессорной структуры для выполнения быстрых спектральных преобразований в двумерных базисах. Показан принцип построения иерархических многопроцессорных вычислительных
структур для выполнения быстрых преобразований в двумерных базисах, реализующих процедуру дробления дискретного пространства с использованием самоподобных деревьев.
Ключевые слова: спектральные преобразования, самоподобные деревья, базис, микропроцессор, вычислительная структура
Для построения моделей сигналов, получаемых от реальных объектов, широко применяются традиционные гармонические функции. Это объясняется тем, что многие сигналы, получаемые от реальных объектов, могут быть легко представлены совокупностью синусоидальных и косинусоидальных колебаний, для чего используется аппарат анализа Фурье. Результатом этого является переход от временных функций к частотным представлениям. Однако представление временной функции синусоидальными и косинусоидальными функцииями являяется только одним из многих представлений [1, 2, 10, 15]. Любая полная система ортогональных функций может быть применена для разложения в ряды, которые соответствуют рядам Фурье.
Элементарные функции, которые являются решениями простых дифференциальных уравнений, находят очень широкое применение в практических инженерных задачах. Обычно в инженерной литературе под термином элементарные понимают в общем случае простые функции одной или двух переменных, имеющие ограниченное количество
экстремумов, без точек разрыва, с ограниченной крутизной в заданных пределах изменения аргумента. Они служат для построения математических моделей сигналов, полученных от реальных объектов.
Широкие распространения в технических приложениях получили ортогональные системы континуальных разрывных базисных функций, заданных на действительной оси, для которых также существуют алгоритмы быстрых преобразований. Их можно разбить на два класса:
1) глобальные базисные функции - такие, значение которых не равны нулю ни на одном подинтервале. К этому классу относятся функции Уолша [15], числовые [2], пилообразные;
2) локализуемые базисные функции, ненулевые значения которых
задаются на вложенных отрезках. Примерами являются функции Хаара и Хармута [2, 6, 7].
Методика построения двумерных интегральных билинейных базисных функций Хаара и Хармута может быть основана на идее интегрирования кусочно-плоскостных ортогональных базисных функций [6]. Например, могут быть построены двумерные функции Шаудера
8ИС у (х, у) = М1 (х) * 8ИСу (у)
в результате операции двукратного интегрирования:
х У
(х, у) = Л Иа^ (т)Иагу (т')СтСт'. (1)
0 0
В результате получаются так называемые функции - «пагоды», форма одной из которых показана на Рис. 1. Коэффициенты дискретных спектральных преобразований в билинейных базисах вычисляются через так называемые "диагональные" двумерные конечные разности:
А/У = /(Х+1, У; + 1 ) - I(X , У; ). (2)
Эти разности являются гипотенузами вертикальных треугольников, одним из катетов которых выступают высоты функций-пагод (Рис. 1.), а другой катет - диагональ элементарной площадки размером ИХИ на плоскости (х, у) (Рис. 2). Его длина обозначена
как А У.
у
Для двумерных билинейных базисов коэффициенты прямого дискретного преобразования определяются по формулам:
ск1 = XX А/цкагк (х )каг1 (х1) • (3)
Образуем систему базисных функций, зависящих от одного из аргументов:
а к (У) = X 4/1}Иат1 (У)• (4)
1
Тогда можем записать:
Ск1 = X ак(у)кагк(х)•
(5)
Обратное двумерное дискретное преобразование вследствие вещественного характера базисных функций выполняется аналогично:
44 = 4~р ЕЕск1Ьагк (х)Иап (у) ( 6 )
к I
З] (У) = X СыЬаГк (х)каг1 (у)
I
4/1 = 4 - р X (У) ^ (х)
к
Двумерные дискретные преобразования в базисах интегральных функций Хармута получаются аналогично. Изменяяются только обозначения.
Восстановление функции в любой точке (х, у) может быть произведено по формуле
/ (х, у) = / (х,, У1) + Н-х1Н~у18хду4/11 ,(7) где дх, ду - приращения аргументов, не превосходящие соответственно Их и Иу.
Рис. 1. Двумерные М-функции
Система кусочно-плоскостных ортогональных хаароподобных функций может быть построена на основе теории самоподобных деревьев в динамическом дискретном пространстве. Началом процесса является дробление единичного квадрата (Рис. 3) на двоично-рациональные области, тоже являющиеся квадратами и на этих квадратах строятся группы базисных функций, принимающих значения +1, -1 или 0.
1/2
У
/
/ ¡+1
/ ]+1 /
/ и
/ X
1/2
Рис. 2. Проекция диагональных разностей
Произвольная точка (х, у) области О, 0 £ х, у < 1) принадлежит двоичному
квадрату Qprs, если координаты этой точки принадлежат соответствующим двоичным
отрезкам х е И , у е Ирг.
В каждом квадрате Qprs выделяются четыре равные части, которые в свою очередь являются двоичными квадратами. Точка (х, у) принадлежит динамически уменьшающемуся квадрату при условиях:
(хУ) е 0рг, если хе и У е И+х
(x, у) е Я2 рг, если х е и У е И—*
<
(x, у) е О3 рг, если х е и У е К*
(x, у) е 04рг, если х е и у е к~рк Таким образом, производится рекурсивное упорядочение с соответствующей
иерархической нумерацией. На квадрате 0рг* образуются три ортогональные функции hdprsl значений +1 или -1 с индексом I = 1, 2 и 3:
ИЧрА х у) = ИяР*(х) = ■
2(x, у) = Ичж (у) =
рг V
| +1 при х е И+, — 1 при х е Ир* | +1 при у е И+ -1 при х е ИТ
ИЧр*гъ( х У) =
| +1 при (х, у) е 01р*г или (х, у) е 03р1 I — 1 при (х, у) е 02или (х, у) е 04р
В группе одного порядка р содержится 3 -10р 1 функций.
Структура процессора быстрого двумерного преобразования в базисе Ид, приведенная на Рис. 4, а, реализует рекурсивную процедуру вычисления пространственных спектральных
коэффициентов. Она состоит из элементарных процессоров, каждый из которых представляет собой объединение регистра задержки и сумматора - вычитателя. По 4й отсчетам двумерного сигнала получаются 4й спектральных коэффициентов, причем порядок ввода отсчетов формируется в зависимости от величин квадратов наименьшего размера, что поясняется таблицей, приведенной на Рис. 4, б.
+ -
+ -
Ч
+ -
+ -
Ч
+ +
- +
+ -
Ч
- -
+ +
Ч
- +
+ -
Рис. 3. Система двумерных кусочно-плоскостных функций.
Структурная схема предлагаемой системы показана на Рис. 5.
Поясним принцип обработки на примере
п = 2. Всего
42 = 16
отсчетов должны
поступать на вход в следующем порядке: /11, /12, / 21, / 22
/13, /14, /23, /24 . / 31, /14, / 41, / 42 /33, /34, /43, /44 Если переименовать элементы этого массива отсчетов таким образом, чтобы он превратился в одномерный (т.е. /11 = /1, £12 = /2, ¡21 = /3, /22 = /4 и т. д.), то формулы дискретного спектрального преобразования примут вид:
п / 2
Со = I / ,
I=1
2п
С 1 = I / - I /
, = 1 , = п /2 + 1
п/4 п/2
С 2 = I / - I/
,=1 ,=п/4+1
3 п/4 п
I /, - I/,
С
, = п /2
,=3п /4+1
1 У ■ У
л. с X к г. к к
к К г. к и к, к
к к к К
К к к и л
0
о
а) б)
Рис. 4. Вычислительная структура для выполнения двумерного быстрого преобразования (а) и таблица ввода отсчётов сигнала (б)
Отсчеты сигнала параллельными словами поступают в каждом такте на вход устройства и в регистре Рг 1-го яруса задерживаются на один такт. Во втором такте в СмВ выполняются операции /1+/ 2 и /1 - / 2, а через два такта - операции / 3 + / 4 и / 3 - / 4.
В регистрах 2-го яруса данные задерживаются еще на два такта, после чего определяются некоторые коэффициенты, например:
С4 = (/1 + /2) - (/3 + /4);
С5 = (/1 - /2) + (/3 - /4);
С6 = (/1 - /2) - (/3 - /4); а также получается сумма (/1 + / 2 + / 3 + / 4), необходимая
вычисления коэффициентов С0, С1, С2 и С 3.
Обработка в последующих ярусах производится аналогичными суммами и разностями. Таким образом, показан принцип построения иерархических многопроцессорных вычислительных структур для выполнения быстрых преобразований в двумерных базисах, реализующих процедуру дробления дискретного пространства с использованием самоподобных деревьев.
(9)
вида для
о
о
х
х
0
х
х
о
о
х
х
Рис. 5. Структутная схема системы
ЛИТЕРАТУРА
[1] Х.Н. Зайниддинов. Методы и средства цифровой обработки сигналов в кусочно-полиномиальных базисах. Академия Государственного управления при Президенте РУз. -Т.: «Fan va texnologiya», 2014, 192 с.
[2] Х.Н. Зайниддинов. Сплайны в задачах цифровой обработки сигналов. Ташкентский университет информационных технологий. - Т.: «Fan va texnologiya», 2015, 208 стр.
[3] C.K. Chui. Wavelets: a tutorial in theory and applications // Academic Press, 1992.
[4] I.Daubechies. Ten Lectures on Wavelets // SIAM, 1992.
[5] G.Foster., Wavelets for Period Analysis of Unequally Sampled
[6] Time Series // Astronomical Journal, 1996, 112(4), 1709-29.
[7] IEEE Trans. on Information Theory, Vol. 38, № 2, March 1992
[8] C. S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo. Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer 1st Edition. https://www.amazon.com/Introduction-Wavelets-Wavelet- Transforms-Primer/dp/0134896009
[9] M.Smith, T.Barnwell. Exact Reconstruction Techniques for
[10] Tree-Structured Subband Coders // IEEE Trans. on ASSP, v. ASSP-34, № 3, June 1986.
[11] M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim, J.-M. Poggi. Wavelet Toolbox.
[12] For use with MATLAB. User's Guide // The MathWorks, Inc. -
[13] http://www.mathworks.com. 2002.
[14] Р Поликар. Введение в вейвлет-преобразование. Пер. с англ. Грибунин В.Г. АВТЭКС, С-Пб. www.autex.spb.ru
[15] Н.М. Астафьева. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения // Успехи физических наук, 1996, т.166, № 11. С. 1145- 1170.
Multiprocessor Computing Structure for Fast Two-Dimensional Spectral Transformation of Bases
H.N. ZAYNIDINOV, M.P. ATADZHANOVA, H.R. ZIYANBEKOV
Ключевые слова: спектральные
преобразования, самоподобные деревья, базис, микропроцессор, вычислительная структура
Abstract: The paper presents the rationale and provides proposed scheme of microprocessor structures for fast two-dimensional spectral transformation of bases. It shows the principle of hierarchical multiprocessor computer structures for fast changes in the two-dimensional bases, realizing the crushing procedure diskret space using self-similar tree.
Key words: spectral transforms self-similar trees, basis, microprocessor computing structure
REFERENCES
[1] H.N. Zajniddinov. Metody i sredstva cifrovoj obrabotki signalov v kusochno-polinomial'nyh bazisah. Akademija Gosudarstvennogo upravlenija pri Prezidente RUz. -T.: «Fan va texnologiya», 2014, 192 s.
[2] H.N. Zajniddinov. Splajny v zadachah cifrovoj obrabotki signalov. Tashkentskij universitet
informacionnyh tehnologij. - T.: «Fan va texnologiya», 2015, 208 str.
[3] C.K. Chui. Wavelets: a tutorial in theory and applications // Academic Press, 1992.
[4] I.Daubechies. Ten Lectures on Wavelets // SIAM, 1992.
[5] G.Foster., Wavelets for Period Analysis of Unequally Sampled
[6] Time Series // Astronomical Journal, 1996, 112(4), 1709-29.
[7] IEEE Trans. on Information Theory, Vol. 38, № 2, March 1992
[8] C. S. Burrus, R. A. Gopinath, H. Guo. Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer 1st Edition. https://www.amazon. com/Introduction-Wavelets-Wavelet-Transforms-Primer/dp/0134896009
[9] M.Smith, T.Barnwell. Exact Reconstruction Techniques for
[10] Tree-Structured Subband Coders // IEEE Trans. on ASSP, v. ASSP-34, № 3, June 1986.
[11] M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim, J.-M. Poggi. Wavelet Toolbox.
[12] For use with MATLAB. User's Guide // The MathWorks, Inc. -
[13] http://www.mathworks.com . 2002.
[14] R.Polikar. Introduction inot Wavelet Transform. Vvedenie v vejvlet-preobrazovanie. www.autex.spb.ru
[15] N.M. Astafeva. Vejvlet-analiz: Osnovy teorii i primery primenenija // Uspehi fizicheskih nauk, 1996, t.166, № 11. S. 1145- 1170.
Хакимжон Насридинович
Зайнидинов. - Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Информационные
технологии», ТУИТ. Ташкент, Узбекистан.
Мукаддас Пулатовна Атаджанова
- Ассистент кафедры
«Информационные технологии», ТУИТ. Ташкент, Узбекистан.
Хуршидбек Равшанбекович
Жиянбеков - Ассистент кафедры «Информационные технологии», ТУИТ. Ташкент, Узбекистан. E-mail: hurshidj @gmail. com
