CC BY
36
2598
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2598-2600
УДК 533
МНОГОМЕРНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА © 2011 г. А.П. Чупахин11
'Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск ^Новосибирский госуниверситет
Поступила в редакцию 24.08.2011
Многомерные автомодельные движения газа отвечают инвариантным и частично инвариантным решениям уравнений газовой динамики. Дано аналитическое описание широких классов таких решений, подробно изложено решение задачи о расширении в вакуум газового шара, имеющего ненулевую закрутку.
Ключевые слова: многомерные автомодельные движения газа, частично инвариантное решение, газовый шар с закруткой.
1. Многомерные автомодельные решения
Полное описание автомодельных решений уравнений газовой динамики возможно на основе теоретико-группового подхода (Л.В. Овсянников ) к построению широких и содержательных классов инвариантных и частично инвариантных решений. Для последних лишь часть искомых функций определяется через инварианты допускаемой группы. Классические автомодельные (Л.И. Седов) решения «вкладываются» в многомерные автомодельные решения как инвариантные многообразия. Автомодельные решения общего вида исследованы в [1, 2]. Интересный класс представляют автомодельные решения, частично инвариантные относительно вращения (особый вихрь) [3]. В таких решениях вектор скорости представим в виде u = Url\r\ + uT , где r = (x, y,z), U и uT - радиальная и касательная к сферам r = = const компоненты скорости, u = (Hcos W,Hsin ю), H = \ uT\. Величина ю задает угол между uT и меридианом сферы r = const и не является инвариантом группы вращения. В автомодельном решении U, H, р и p — функции автомодельной переменной X = ln rt “(“+1), а — параметр. Функция ю задается неявным уравнением, которое в случае решения, обладающего дополнительной осевой симметрией, принимает вид cos ю = hctg ю + + (sin 0)—S, где S = S(t, r) есть решение уравнения r(St + USr) = hHS (0 — широта). Исследование таких решений требует привлечения современной теории динамических систем.
2. Ключевая динамическая система
В соответствии с общей теорией частично инвариантных решений уравнения газовой динамики для многомерных автомодельных решений сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
2(а - w)W = -2И2 - ИИ(V - w) -
- v(2 + V) + w(4 + 3w),
2(а - v)V = -2Н2 - ИИ (w - V) -
- w(2 + w) + v(4 + 3v), (1) (V + w - 2а)Н = -2И(1 + V + w),
(V + w - 2а)И = 2(1 + И2)И.
В (1) V = и + с — 1, w = и—с — 1, где с — скорость звука, И — вспомогательная функция, характеризующая решение.
Классические автомодельные решения соответствуют инвариантному многообразию И = И = 0 системы (1). В пространстве Р4(у, w, И, И) система (1) имеет особые многообразия на звуковых характеристиках V = а и w = а, являющихся двумерными поверхностями. Для w = а такое многообразие задается уравнением
а(4 + 3а)-2v-V2 -2И2 + ИИ(V-а) = 0 (2)
и целиком состоит из особых точек системы (1). Особые точки различных типов заполняют на многообразии целые области, геометрия которых зависит от параметра а (рис. 1, где представлены однозначные проекции поверхности (2) на плос-
а = -3.5
а = 2.5
-6 -4 -2 0 2 4 V
0 о.
-6 -4 -2 0 2 4 V
Рис. 1
кость (V, Н) для разных значений а). Заметим, что особые точки системы (1) являются вырожденными в некоторых направлениях, что существенно усложняет их анализ.
Наличие такого особого многообразия является принципиальным для решения конкретных газодинамических задач, в которых требуется построение решения в целом.
3. Расширения газа с закруткой в вакуум
Рассмотрим задачу о расширении в вакуум газового шара с ненулевой закруткой. Она является обобщением классической задачи газовой динамики об автомодельном расширении газового шара. В одномерном случае решению этой задачи отвечает интегральная кривая, проходящая через характеристику в особой точке и заканчивающаяся на линии вакуума V = ж В многомерном случае интегральная кривая пересекает характеристику = а в точках поверхности (2). Картина линий тока в экваториальной плоскости приведена на рис. 2, густота заливки отвечает модулю скорости газа.
Доказано существование различных режимов течения, в том числе с образованием вакуумной зоны в центре шара (см. правую картинку рис. 2).
Многомерные автомодельные решения описывают вихревое движение газа, спиральные структуры. Подобные структуры встречаются в астрофизике (спиральные ветви галактик, струи газа из звезд).
Работа выполнена совместно с А. А. Черевко, поддержана грантами НШ-4368.2010.1, РФФИ (№ 08-01-00047а), Министерства образования РФ 2.1.1/3543, Интеграционным проектом СО РАН №65.
Список литературы
1. Голод А.И., Чупахин А.П. Инвариантные решения динамики политропного газа, построенные по трехмерным алгебрам симметрии // Сибирские электронные математические известия. 2008. Т. 5. С. 229-250.
2. Воробцова Н.П., Чупахин А.П. Автомодельные многомерные решения в динамике политропного газа // Успехи в механике сплошных сред. Владивосток: Дальнаука, 2009. С. 135-140.
3. Овсянников Л.В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т. 36, №3. С. 45-52.
а = -3.5 г = 0.01
а = -3.5 г = 5.01
6
4
2
0
-2
-4
-6
^~^^\\\\ 1! I I1!!
щтШ
I I .
-6 -4 -2 0 2 4 6
6
4
2
0
-2
-4
-6
/ ‘ / -I 1 ‘ н '
-6 -4 -2
4 6
1
1
0
0
2
Рис. 2
MULTIDIMENSIONAL SELF-SIMILAR MOTIONS OF A GAS A.P. Chupakhin
Multidimensional self-similar motions of a gas correspond to invariant and partially invariant solutions of gas dynamics equations. We present an analytical description of extensive classes of such solutions and give the analysis of the problem of the extension to vacuum of a gas ball with non-zero curling.
Keywords: multidimensional self-similar gas motions, partially invariant solution, gas ball with curling.
