Многокритериальный выбор на основе метода t-упорядочения Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

УДК 681.3.06(075.8)

И.Г. Черноруцкий

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫМ ВЫБОР НА ОСНОВЕ МЕТОДА f-УПОРЯДОЧЕНИЯ

Рассматриваются многокритериальные задачи оптимизации объектов в традиционной постановке. Как известно, формальные решения таких задач связаны с построением множеств недоминируемых по вектору частных критериев вариантов - множеств Парето. Точки, оптимальные по Парето, называются также эффективными решениями. На практике возникает проблема сужения множества эффективных точек на основе дополнительной информации, поступающей от лица, принимающего решение (ЛПР). Эта информация может поступать в различном виде в зависимости от конкретной предметной области и возможностей ЛПР. В данной статье предполагается, что ЛПР в состоянии делать утверждения о равноценности некоторых частных критериев или о превосходстве по «важности» одного частного критерия по сравнению с другим. Далее приводятся формальные интерпретации изначально интуитивных утверждений ЛПР об относительной важности критериев. На их основе строится процедура сокращения множества Парето, обобщающая известный подход В.В. Подиновского [1].

Решается многокритериальная задача

f(x) ^ max, f : X ^ R, i =1, m , (1)

где Х - произвольное абстрактное множество. Предположим, что все критериальные функции (функционалы) f отражают «полезность» объекта с позиций различных критериев и являются соизмеримыми в том смысле, что значения каждой критериальной функции изменяются в одних и тех же пределах [a, b]:

Vx е X : 0 < a < f (x) < b,i = \m. (2)

Таким образом, подразумевается, что оценочные шкалы критериев являются числовыми и одинаковыми.

Предположение о соизмеримости критериев является существенным и требует для каждой решаемой задачи отдельного обоснования и исследования.

Требование, связанное с необходимостью приведения всех числовых шкал к единому промежутку, выглядит весьма естественным и формально выполняется с помощью, например, следующих простых преобразований:

—, N , 1 . f (x) - min f

f (x) = a + (b - --A.. (3)

max f - min f

Здесь maxf, minf - максимальные и минимальные значения f соответственно. Новые оценочные функции f будут изменяться уже в пределах заданного промежутка [a, b]. При этом наименее предпочтительный по любому из частных критериев вариант получит оценку «а», а наиболее предпочтительный - оценку «b». Часто выбирают a = 0, b = 1. Могут использоваться и другие (может быть, нелинейные) формулы нормирования, аналогичные (3).

Многие полагают, что проблемы соизмеримости числовых критериев вовсе не существует. Достаточно воспользоваться любыми соотношениями типа (3). Однако это, к сожалению, не так. Рассмотрим конкретный пример, показывающий, что отношение доминирования, устанавливаемое в пространстве нормированных оценок, неинвариантно (из-за изменения нижних и верхних границ) относительно изменения рассматриваемой совокупности объектов Х.

Пусть для трех объектов X = (xp x2, x3} имеем следующие оценки по трем частным критериям f= (f1, fv f)

fx,) = (10, 10, 3); fx2) = (8, 8, 10); flxj = (0, 0, 0). Тогда для преобразованных оценок при

[а, Ь] = [0, 1] получим

/(хх) = (1,1,0,3); /(х2) = (0,8,0,8,1),

/ (Х3) = (0,0,0).

Если предположить, что все три частных критерия равноправны и нас интересует средняя оценка для каждого объекта, то тогда

М Хх) + /2( X) + /з( Ъ) =

= 2,3 < /1(х2) + /2(х2) + /3(х2) = 2,6

и, следовательно, объект х2 оказывается предпочтительнее объекта х1 (по «средней полезности»).

Но если исключить объект х3 , как наихудший по всем трем критериям, то получим обратное утверждение. Действительно, в этом случае

/(х,) = (1,1,0), /(х2) = (0,0,1),

и

/1( X!) + /2 (Х1) + /3( X!) = = 2 > /1( Хг) + /2(Хг) + /3(Хг) = 1.

Получен обескураживающий результат. Если исходная совокупность объектов Х содержит три объекта х1, х2, х3 , то оказывается, что объект х2 лучше, чем объект х1. Если исключить из рассмотрения (худший по всем критериям) объект х3, то получим, что объект х1 оказывается лучше, чем объект х2. Безобидная на первый взгляд процедура нормирования оказывается на деле весьма сложной, т. к. приводит к явно антиинтуитивным результатам. Можно пытаться исправить ситуацию и, например, фиксировать верхние и нижние границы критериальных функций раз и навсегда (для данной задачи) независимо от конкретного набора объектов и их оценок. При этом мы получим однозначность, но ситуация в целом вряд ли улучшится, т. к. установленные границы, по существу, и будут определять соответствующее отношение доминирования, и в этом смысле произвол сохраняется.

Далее, однако, будем предполагать, что критериальные функции (или просто - критерии) соизмеримы и удовлетворяют условиям (2). В качестве примера изначально соизмеримых критериев можно привести систему школьных оценок по нескольким предметам / .

Определение 1. Нормированные критерии / и / называются равноценными (что записывается в виде / ~ /), если всякие две векторные оценки 1, Ж, где

1 = ..., , ..., 2 , ..., 2П), 1 = Д.^ хеX

Ж = (2, , ..., 2. +8, ..., 2. -8, ..., 2 )

V 1 ' ' , ' ' 7 ' ' т '

одинаковы по предпочтительности при любом 8 (большим или меньшим нуля), удовлетворяющим неравенствам а < 2. + 8 < Ь, а < 2.- 8 < Ь.

Видно, что суммы частных оценок в позициях ,, 7 у векторных оценок 1, Ж совпадают.

Таким образом, если, например, два школьника оцениваются по четырем предметам и имеют оценки (которые необходимо максимизировать)

1 = (5, 4, 4, 3), Ж = (5, 5, 3, 3), (5)

то при условии равноценности критериев /2, /3 приведенные векторные оценки будут одинаковыми по предпочтительности, т. к. 4 + 4 = 5 + 3, а остальные оценки совпадают.

Следовательно, если критерии /, / равноценны, то можно «забрать» 8 единиц у частной оценки 2. и «передать» их частной оценке 2.. При этом получим векторную оценку, одинаковую по предпочтительности с исходной.

Если в приведенном примере считать, что оценка 1 предпочтительнее, чем Ж, то естественно предположить, что критерий /3 важнее критерия/ . Дадим соответствующее определение.

Определение 2. Критерий / более важен, чем критерий/ (что записывается в виде/ — /.), если векторная оценка 1 = (21, ..., 2., ..., 2., ..., 2т) менее предпочтительна, чем оценка Ж = (гр ..., 2 + 8, ..., 2. - 8, ..., 2 ), где 8 е{8 > 0 12 + 8 < Ь, а < < 2. - 8}. 7 " '

Таким образом, перенос 8 единиц (8 > 0) с частной оценки 2. на частную оценку 2. приводит к улучшению ситуации если / — /.

Определения 1, 2 показывают, как может интерпретироваться дополнительная ординальная (порядковая) информация пользователя (ЛПР) об относительной важности частных критериев, на основе которой и происходит сокращение множества Парето решаемой многокритериальной задачи. Важно понимать, что одна и та же ординальная информация, задаваемая в виде утверждений / — / = / — /, в других процедурах выбора может получать совершенно иную интерпретацию, что, в свою очередь, может приводить и к другим системам предпочтений, и к другим результатам выбора.

Приведенные в определениях 1, 2 интерпретации ординальной информации ЛПР позволяют строить отношения доминирования более силь-

4

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

ные, чем отношение Парето (что и приводит к сужению последнего, а это наша основная задача). Рассмотрим пример.

Пусть Z = (1, 0,5, 0,1, 0,2); W = (0,4, 0,9, 0,1, 0,2) и пусть утверждается, что критерий/! важнее,

чем / : / — fr

Эти векторные оценки, очевидно, несравнимы по Парето. Рассмотрим оценку W= (0,8, 0,5, 0,1, 0,2), полученную из W с помощью «переноса» числа 0,4 со второй позиции в первую. Имеем, согласно определению 2, W — W, т. к. более важному критерию / в оценке W соответствует

большая оценка (0,8 вместо 0,4). Так как имеем

p

Z — W' (доминирование по Парето), то естественно считать Z — W' — W и в результате Z — W.

Таким образом, оценки Z, W оказываются уже сравнимыми, и оценка W может быть отброшена. Здесь везде предполагается, что рассматриваемые отношения доминирования являются транзитивными.

Методы упорядочения альтернатив, основанные на рассмотренной процедуре «переноса» (transfer) с учетом ординальной информации пользователя, будем называть методами t-упорядочения.

Рассмотрим укрупненную принципиальную схему алгоритма, реализующего метод t-упорядочения.

В качестве исходной информации для алгоритма t-упорядочения принимается множество S высказываний пользователя (ЛПР) об относительной важности частных критериев вида

s = {f ~ /; ...; fq >/}.

Будем предполагать, что множество S скорректировано следующим образом. Во-первых, необходимо проверить и при необходимости обеспечить непротиворечивость высказываний из S, может быть, с помощью проведения дополнительного диалога с пользователем для уточнения его системы предпочтений. Во-вторых, необходимо расширить множество S за счет добавления новых высказываний, являющихся транзитивными следствиями уже имеющихся (выполнить операцию транзитивного замыкания). Именно, если мы, например, уже ввели два высказывания/ — /; / — /, то естественно ввести новое высказывание

J j J k

f — fk и т. п.

Пусть теперь Z = (z1, ..., zm); W = (wp ..., wm) -две векторные оценки, которые необходимо сравнить с учетом дополнительной скорректированной информации S.

Если эти оценки сравнимы по Парето, то задача решена. В противном случае вектор 2 фиксируется, а по вектору Ж формируются следующие два множества (может быть, бесконечные, даже если исходные множества оценок конечны).

1. ЖЕ - множество Ж-эквивалентных векторов (включающее сам вектор Ж), полученное из Ж с помощью всех возможных переносов 8 между парами равноценных критериев. Следовательно, множество ЖЕ строится с учетом всех данных типа /. = / из S.

2. Ж1 - множество Ж-улучшенных векторов, каждый из которых получен с помощью возможных переносов 8 с учетом всех данных / ~ /,

/ ^/.

^ д ^ р

Предполагается, что переносы согласно информации > /р производятся только с целью улучшения вновь полученного вектора и, по крайней мере, одна такая улучшающая передача выполнена для любого вектора из Ж1.

Замечание. В действительности, при программной реализации алгоритма в явном построении указанных множеств нет необходимости.

г

Далее новое отношение предпочтения ^ строится следующим образом:

Z — W

3W' eWE: Z — W'

v

(6)

v

3W" e WI: Z — W"

Здесь через I ^ I обозначено нестрогое предпочтение вида ^ '

р

2>Ж е [1: ш\. > м>г

Определение (6) имеет простой смысл. Если вектор 2 строго лучше, чем некоторый вектор Ж , эквивалентный Ж, или нестрого лучше, чем некоторый вектор Ж', который, в свою очередь, строго лучше, чем Ж, то полагаем, что 2 строго лучше Ж.

Частным случаем изложенного метода г-упорядочения является метод, предложенный В.В. Подиновским (далее - метод П-упорядочения) [1], основанный на том, что мы имеем возможность формировать множества, аналогичные ЖЕ и Ж1 с помощью перестановок численных значений оценок между равноценными и неравноценными критериями. Например, пусть дана векторная оценка 2 = (5, 10, 6) и из-

вестно, что/ — /2. Тогда по Подиновскому оценка 1 = (10, 5, 6), полученная из 1 перестановкой чисел 5, 10, будет признана лучшей, чем 1, т. к. на место более «важного» критерия /1 пришло большее значение (10 вместо 5). Если бы критерии/ и /2 были равноценными, то оценки 1, 1 считались бы эквивалентными.

Очевидно, в методе П-упорядочения множества ЖЕ, оказываются конечными и могут быть практически построены без особых вычислительных проблем.

Недостатком метода П-упорядочения является его недостаточная «мощность». Например, пусть ставится задача сравнения двух векторных оценок Ж = (7, 9, 6), 1 = (5, 10, 6) при наличии ординальной информации / — / Эти оценки, очевидно, несравнимы по Парето. Несравнимы

они и по методу П-упорядочения (никакие перестановки численных значений оценок между /р /2 не приводят к их сравнимости по Парето). В то же время легко видеть, что согласно методу ¿-упорядочения для 1 = (6, 9, 6), полученной из 1 с помощью переноса 8 = 1 со второй позиции в первую, мы имеем 1' — 1, Ж — 1 — 1 и, следова-

г

тельно, Ж — 1.

С позиций «физического смысла» метод г-упорядочения представляется столь же естественным, что и метод П-упорядочения.

Создан метод, позволяющий на основе ординальной информации пользователя строить процедуры сокращения множества Парето многокритериальной задачи. Для непустого множества задач метод оказывается более эффективным, чем известный метод П-упорядочения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подиновский, В.В. Многокритериальные за- [Текст] / В.В. Подиновский // А и Т. -1976. -№ 11. дачи с упорядоченными по важности критериями -С. 118-127.

УДК 519.2

Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА БЕЗАРБИТРАЖНОИ ЦЕНЫ ФИНАНСОВОГО ОБЯЗАТЕЛЬСТВА НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

ПРОЦЕССОВ ЛЕВИ

Решается задача вычисления условного математического ожидания:

V (г, 5) = Е (/ (Бт )/ 5 = 5), (1)

где / - ограниченная функция, интегрирование проводится по мартингальной мере, 5г - экспоненциальный процесс Леви. Заметим, что задача (1) решается при условии, что мера мартингальная. Если исходная мера не является мартингальной, то возникает задача о переходе к эквивалентной мартингальной мере. Для конструирования эквивалентной мартингальной меры рассматриваются преобразования Гирсанова и Эшера [3]. Для приближенного решения данной задачи используется прием, который далее будет называться «Дискретизация по состоянию процесса Леви».

В статье рассматривается вопрос о переходе

к эквивалентной мартингальной мере, если исходная мера не является мартингальной. Задачу вычисления условного математического ожидания можно рассматривать как задачу определения безарбитражной цены хеджирования дис-котированного финансового обязательства /(5т) в момент времени г при условии, что в этот момент времени 5 = 5. При этом процесс 5 - дисконтированная цена рискового актива на финансовом рынке. Для вычисления условного математического ожидания применяются различные вычислительные методы: факторизации Винера-Хопфа, Галеркина, Монте-Карло, преобразования Фурье, мультиномиальных деревьев, конечных элементов, аналитический метод линий; конечно-разностные схемы [2, 4, 6].

Предлагаемый вычислительный алгоритм от-