CC BY
55
Многокритериальное управление вагонами на железнодорожном транспорте
Дегтярев В. Г., Ходаковский В. А. Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I
Санкт-Петербург, Россия vdegt@list.ru, hva1104@mail.ru
Аннотация. В работе рассматриваются методы многокритериального управления вагонами на железнодорожном транспорте: главного элемента, уступок, линейной связки. Эти методы основаны на способах решения транспортной задачи линейного программирования - на методе потенциалов и т. д., а также на методе решения транспортной задачи по критерию времени с нелинейной целевой функцией. Такие подходы к управлению вагонами на железнодорожном транспорте применены впервые. Также в работе предложен новый метод решения задач оптимизации, не уступающий другим по быстродействию и числу итераций.
Ключевые слова: целевая функция, критерий оптимальности, управление вагонами, транспортная задача.
Введение
Методы оптимального управления впервые приложены к решению задач по перемещению железнодорожных вагонов достаточно давно, еще в советское время [1]. Однако тогда это касалось, в первую очередь, подачи порожних вагонов в места их погрузки. Учитывая большую протяженность железных дорог СССР и весьма интенсивные железнодорожные перевозки по всей территории огромной страны, решение этой задачи давало большой экономический выигрыш.
Интерес к этой проблеме возник вновь с капитализацией железных дорог, разделом вагонного парка бывшего СССР между Россией, странами СНГ и Балтии [2] и вызванными этим новыми проблемами. Эти проблемы были связаны как с самим фактом раздела железнодорожного парка между странами и, как следствие, с появлением на железных дорогах России вагонов стран СНГ и Балтии, так и с эксплуатацией вагонов частных компаний. В какой-то мере эти проблемы были решены в работах [3-8]. Следует отметить, что во всех этих работах использовался один критерий оптимальности управления вагонами - стоимости.
В наших работах [6-8] в качестве примеров рассматривались перевозки массовых товаров (леса, нефти, руды и т. д.) из мест их добычи или обработки в места потребления. Так, в пособиях [8, 9] приводятся примеры о перевозке леса из северо-западного региона России в Москву, Одессу и т. д. Стоимость перевозки в основном зависит от расстояния между пунктами отправления и назначения и от некоторых других характеристик, рассчитывается на основе правил, задаваемых ОАО «РЖД». В дальнейшем рассматривались разные варианты постановки и решения транспортной задачи линейного программирования (ЛП) [10-15]. Известны также работы иностранных авторов [16-18].
Математическая постановка задачи
Пусть в пунктах A , A , ..., Am находятся вагоны, порожние или с грузами, предназначенные к отправке в пункты B , B2, ..., Bn. При этом в пункте A. находится, соответственно, а. вагонов. Эти вагоны должны быть поданы в пункты B1, B2, ..., Bn, причем заявки этих пунктов составляют, соответственно, Ъ1, b2, ..., bn вагонов. В общем случае исходными данными являются: а1, а2, ..., am; Ъ1, Ъ2, ..., Ъп и другие необходимые для решения задачи данные, например, стоимость перемещения вагонов C.j, время перемещения вагонов t .. и т. д. Транспортная задача по критерию стоимости формулируется следующим образом:
m n
fi(X) = XXC,¡Xu j ^ min;
i=0 j=0
XX, j = ai; i = 1,2. • •, m;
(1)
=0
X Xi, j = bj; j = 1,2.,
j=0
Xai = X bj ■
i=0
j=0
Переменная ху - количество вагонов, перемещаемых из пункта А в пункт B; матрица X- матрица с элементами х„. Целевая функция (критерий) f1(X) - суммарная стоимость перемещения всех вагонов из всех пунктов отправления А. во все пункты назначения Bj.
Аналогичная транспортная задача по критерию времени имеет вид
f (X) = T = max ti j ^ min;
X Xi, j ='
i, j
i = 1,2,.
i =0
(2)
X Xi, j = bj; j = 1,2, j=0
, n;
Хаг = X Ь1.
1=0 1=0
Целевая функция (критерий) /2 (X) - минимальное время, за которое вагоны перемещаются из всех возможных пунктов отправления А. во все возможные пункты назначения В. Задача (1) является частным случаем задачи ЛП, для нее
разработаны специальные методы решения, более эффективные, чем методы решения любых задач ЛП. Кроме того, в силу специфики задачи (1) размещение исходной информации в памяти компьютера для нее может быть более экономно, чем для задачи ЛП. Короче говоря, решение задачи (1) методами решения транспортных задач более эффективно, чем их решение методами решения задач ЛП.
Задача (2) не является задачей линейного программирования из-за нелинейности целевой функции f2(X). Однако для решения подобных задач разработаны свои специфические методы. Переходим к задачам многокритериальной оптимизации. Исходная задача многокритериального математического программирования может быть записана в виде
minfl (X) = yj, minfX) = y2}, ..., min {f(X) = y} XeD,
где D - область допустимых решений. Существенное отличие этой задачи от традиционной однокритериальной состоит в понятии оптимальности. В однокритериальной задаче под оптимальным понимается решение, обеспечивающее минимальное значение этого одного критерия.
При многих критериях уменьшение одних критериев приводит к увеличению других (редкие исключения не представляют практического интереса), поэтому понятие оптимальности требует принципиальных уточнений. Очевидно, что без дополнительной информации о предпочтениях лица, принимающего решение (ЛПР), бессмысленно говорить об оптимальном решении, тем более, искать его.
Существуют различные формулировки оптимальности в соответствии с конкретными условиями в тех или иных ситуациях. Рассмотрим две ситуации: 1) ЛПР выражает свои предпочтения до начала процесса многокритериальной оптимизации; 2) интерактивное взаимодействие ЛПР с процессом (лицом или лицами) реализации многокритериальной оптимизации.
В первом случае ЛПР может выразить свои предпочтения в различной форме в зависимости от особенностей самого ЛПР, новизны задачи, типа и числа критериев и других факторов, поэтому методы данной группы используют разные представления предпочтений и способы их формализации. Однако все они в конечном итоге сводят многокритериальную задачу к одной или к ряду задач с одним (иногда обобщенным) критерием.
Во втором случае интерактивный процесс решения многокритериальной задачи реализуется путем диалога ЛПР с компьютером. При этом чередуются этапы вычислений, выполняемых компьютером, и корректировки и принятия решений ЛПР. Такая процедура позволяет ЛПР более полно и глубоко оценить взаимосвязь критериев и возможности оптимизируемой системы. Более того, в интерактивном процессе может развиваться формирование предпочтений, компромиссов и даже системы ценностей. Все это облегчает ЛПР нахождение решения, наилучшего с его точки зрения, и повышает уверенность в правильности выбора, поэтому такая технология оказывается более реалистичной, гибкой и приемлемой для руководителей.
Для каждого из этих случаев рассмотрим по одному методу постановки задачи многокритериальной оптимизации. Для первого случая рассмотрим метод главного критерия. Суть метода состоит в том, что ЛПР выделяет главный кри-
терий (далее - fl(X)), а на остальные критерии накладывает требования, чтобы они были не больше задаваемых им пороговых значений t . Тогда многокритериальная задача сводится к однокритериальной задаче:
fX ^ min, f(X) < t; i = 2, 3, ..., m; XeD.
Для второго случая рассмотрим метод уступок. Предварительно ЛПР ранжирует критерии по важности. В результате критериям присваиваются номера в порядке убывания важности. После этого начинается основная часть диалога. Решается задача минимизации первого критерия при XeD. Если задача имеет множество оптимальных решений, то на нем ищется решение, наилучшее по второму критерию. Если и оно не единственно, то включается третий критерий, и так до достижения единственного решения.
Иначе говоря, находится лексикографически-оптимальное решение. ЛПР предъявляется полученное решение X1 со значениями всех критериев. ЛПР анализирует это решение, и если оно его не устраивает, диалог продолжается. ЛПР просят указать, на какую величину он согласен снизить значение первого критерия с тем, чтобы улучшить значение второго. В результате формируется новая задача:
f2(X) ^ min;
fi(X <f + А,; XeD, (3)
где А, - уступка по первому критерию. Снова ищется лексикографическое решение, начиная с задачи (3), и так далее.
Алгоритм решения задачи (на примере)
В табл. 1 в столбце «Запасы» и в строке «Заявки» указаны, соответственно, число вагонов, имеющихся в пунктах отправления A. - a,, и число вагонов, заявленных в пункты назначения B. - b . (числа выделены полужирным шрифтом). Цифры в левом верхнем углу каждой клетки указывают стоимость перевозки вагонов C.. из пункта A. в пункт B , а цифры в правом нижнем углу - время перевозки t... Вначале для этого примера решим задачу оптимального управления вагонами по критерию стоимости (1) и задачу оптимального управления по критерию времени (2). Начнем с задачи (1): оставим в табл. 1 только информацию, относящуюся к этой задаче (табл. 2).
Таблица 1
Исходные данные примера
B. A Bi B2 B3 B4 B5 Запасы
Ai 40 13 35 8 24 5 27 9 30 10 25
а2 22 8 25 10 25 9 24 11 36 12 34
A3 16 12 30 10 25 8 30 7 18 6 42
A4 44 9 18 7 20 10 32 12 34 8 23
Заявки 21 37 40 11 15
lntellectual Technologies on Transport. 2016. ^ 3
Таблица 2
Исходные данные по критерию стоимости
в. А; В! В2 В3 В4 В5 Запасы
Л 40 35 24 25 27 30 25
А2 22 25 25 24 36 34
21^ 24 11
А3 16 30 25 30 18 42
т ^12 15 15
А4 44 18 23 20 32 34 23
Заявки 21 37 40 11 15
Для решения транспортной задачи сперва необходимо построить начальный базисный план. Его можно построить методом наименьшей стоимости по строчкам табл. 2 (цифрам, выделенным полужирным шрифтом, в центре клеток). Стоимость всех перевозок в соответствии с этим базисным планом
/(X) = 24 ■ 25 + 22 ■ 21 + 25 ■ 2 + 24 ■ 11 + + 30 ■ 12 + 25 ■ 15 + 18 ■ 15 + 18 ■ 23 = 2795.
Для проверки оптимальности этого базисного плана или его улучшения применим наиболее популярный среди специалистов метод потенциалов. Обозначим через Vч потенциалы пунктов назначения В., а через и. - потенциал пунктов отправления. Уравнения для потенциала, составленные на основе базисных клеток табл. 2, имеют вид
V;) - и1 = 24; v1 - и2 = 22; v2 - и2 = 25; v4 - и2 = 24; V, - и3 = 30; v3 - и3 = 25; V. - и3 = 18; V, - и4 = 18.
(4)
Эта система уравнений имеет одну избыточную переменную, т. е. одну из переменных можно выбрать произвольно (не нарушая единственности значений остальных переменных). Выберем и1 = 0, тогда остальные переменные вычисляются по системе (4):
^ = 24; и3 = - 1; v2 = 29; ^ = 17;
и2 = 4; v1 = 26; ^ = 28; и4 = 11.
Это позволяет на основе свободных клеток вычислить псевдостоимость: С* = V. — и . Они составят: С1* = 26; С* = 29; См'= 28; С^ = 17; С23 = 20;' С25 = 13; С^ = 27; С* = 2<9; С* = = 15; С4*3 = 13; С4*4 = 17; С,; = 8.
Условие оптимальности базисного плана имеет вид С * <
ч ~
< С ч (для всех свободных клеток).
В нашем случае это условие выполняется для всех клеток, кроме клеток (1,4) и (3,1). Следовательно, план не является оптимальным, его можно улучшить путем циклической перестановки на основе одной из этих двух клеток. Организуем цикл перемещения на базе свободной клетки (3,1): переместим 12 единиц из клетки (3,2) в клетку (3,1), а для соблюдения баланса - 12 единиц из клетки (2,1) в клетку (2,2).
Этот процесс отражен в табл. 2 стрелками. Получим новый базисный план: х11 = 0, х = 0, х13 = 25, х = 0, х = 0,
х21 = 9 х22 = 14, х23 = 0, х24 = 11, х25 = 0 х31 = 12, х32 = 0, х33 = 15,
х34 = 0, х35 = 15, х41 = 0, х42 = 23, х43 = 0, х44 = 0, х45 = 0. Для этого базисного плана стоимость равна
/1(Х) = 24 ■ 25 + 22 ■ 9 + 25 ■ 14 + 24 ■ 11 + 16 ■ 12 + 25 ■ 15 + + 18 ■ 15 + 18 ■ 23 = 2663.
Как видно, план действительно лучше предыдущего. Проделав еще несколько шагов, получим оптимальный план (в нашем случае - план, соответствующий минимальной стоимости перевозок Хшш ):
А стоим7
Для этого плана все условия оптимальности выполняются, а стоимость перевозок/ (Х™м) = 2609.
Переходим к решению задачи по критерию времени. Сохраним в табл. 1 только информацию, относящуюся к этой задаче (табл. 3).
Таблица 3
Исходные данные по критерию времени
Г 0 0 25 0 0 1
0 14 9 11 0
21 0 6 0 15
, 0 23 0 0 0,
В В1 В2 В3 В4 В5 Запасы
А! • 13 8 25 5 9 • 10 25
А2 21 8 • 10 13 9 • 11 • 12 34
А3 • 12 14 10 2 8 11 7 15 6 42
А4 9 23 7 • 10 • 12 8 23
Заявки 21 37 40 11 15
Будем решать задачу методом запрещенных клеток. Начальный базисный план задан цифрами, стоящими в верхнем центре клеток и отмеченными полужирным шрифтом. На этом плане наибольшее время /2(Х) = 10 и соответствует клетке (3,2).
Попробуем улучшить этот базисный план. Для этого «запретим» перевозки, соответствующие клеткам со временем перевозок > 10. «Запрещенные» клетки помечены символом •. Для улучшения базисного плана необходимо переместить 14 единиц из клетки (3,2) в другие клетки с меньшим временем перевозки. Этот план улучшить уже невозможно, так как 14 единиц в клетке (3,2), соответствующей максимальному времени 10, невозможно переместить ни в одну клетку с меньшим временем. Итак, оптимальный план по критерию времени (Х™м) имеет вид
X,
Г 0 0 25 0 0 1
21 0 13 0 0
0 14 2 11 15
, 0 23 0 0 0,
врем
Минимальное время перевозки /.(Х™^) = 10.
Как видим, эти два оптимальных плана (по критерию стоимости и по критерию времени) не совпадают. Оценим каждый план с позиций противоположного критерия: /^Х™^) = = 2871, что на 10 % хуже, чем для ХшЬ ; / (ХшЬ ) = 127что
' . стоим7*' 2 4 совокуп7 '
на 20 % хуже, чем для Х™м. Ни тот, ни другой вариант может не устроить ЛПР в качестве выбранного им решения, и он захочет рассмотреть какие-то компромиссные варианты. Для этого и служат методы многокритериальной оптимизации.
Сначала применим к этой задаче метод главного элемента. Пусть главным будет критерий стоимости f(X) (для железнодорожного транспорта, впрочем, как и для всей российской экономики, это типично), а в качестве порогового значения по второму критерию ЛПР установил величину, равную 11 единицам времени.
Тогда в соответствии с методом главного критерия задача многокритериальной оптимизации формулируется как задача однокритериальной оптимизации:
fi (X) ^ min,f (X) < 11; XeD.
Решая эту задачу и обозначая ее решение через X™n ,
„={*! = 0, *1= 0, Хп= 25, Хм= 0, x15= 0, Х21^ 21
получим Xmin
J совокуп
Х22= 2, Х23= 0 Х24= 11, Х25 = 0, Х31 = 0, X32= 12, X33= 15, X34= 0,
Х35= 15' Х41= 0' Х42= 23' Х43= 0> Х44= 0' Х45= 0}. Д™ ЭТОГО ПЛана значения критериев будут равны: /^Х^ ) = 2795, что лишь на 7 % хуже абсолютно оптимального по стоимости; / (х™11 ) = 11, что лишь на 10 % хуже абсолютно оптималь-
•> 2 4 совокуп7 ? *
ного по времени. Таким образом, в совокупности решение Х™1 является лучшим по сравнению и с Х™1 , и с Х1™1 ,
совокуп ^ ^ врем совокуп"
так как, не будучи абсолютно оптимальным по каждому из них, оно ближе всего расположено и к тому, и к другому.
Аналогичным образом решается задача многокритериальной оптимизации по методу уступок. Разница состоит лишь в том, что в методе главного критерия ЛПР делает уступки по всем критериям, кроме главного (увеличение / (Х) в данном примере произошло не потому, что так хотел ЛПР, а потому, что он уступил по второму критерию), а в методе уступок уступки чередуются по всем критериям.
Еще один метод решения
Мы предлагаем еще один метод решения оптимизационных задач подобного типа. Проще всего излагать Этот метод на том же конкретном примере оптимального управления вагонами по критерию стоимости, который рассмотрен выше. Исходя из табл. 2, начало алгоритма в пошаговом режиме может выглядеть следующим образом.
1 шаг. Наименьшая стоимость (16) находится в ячейке (3,1), это ячейка первого шага, в нее помещаем наименьшую величину из 21 (первый элемент вектора В) и 42 (первый элемент вектора А), т. е. значение равно 21.
2 шаг. Второе по величине значение стоимости (18) находится в ячейке (4,2), куда помещаем наименьшую из величин 37 (второй элемент вектора В) и 23 (четвертый элемент вектора А), т. е. итоговое значение равно 23.
3 шаг. Третье по величине значение стоимости (также 18) находится в ячейке (3,5), куда помещаем наименьшую из величин 15 (пятый элемент вектора В) и 42 (третий элемент вектора А), т. е. итоговое значение 15.
4 шаг. Четвертое по величине значение стоимости (20) расположено в ячейке (4,3), помещаем здесь наименьшее значение из величин (40-0, так как в третьем столбце все элементы плана все еще равны нулю) и (23-23, поскольку в четвертой строке уже имеется план 23 во втором столбце), итоговое значение 0.
Далее, поступая аналогично, совершаем еще 4 шага до получения опорного плана.
Требуется минимизировать линейную целевую функцию /(Х = XX Сх, которая является суммой всех поэлементных произведений матрицы стоимости С и матрицы плана
перевозок Х. Для минимизации целевой функции превратим в ней двойное суммирование в суммирование по одному индексу, преобразовав матрицы в векторы путем построчного прочтения матриц:
т = ^rcj, С=sortV); V
. .+ - = X...
k=j+mi ij
(5)
Для минимизации целевой функции (5) необходимо минимизировать затраты на каждом шаге, а значит, выбрать максимальное количество дешевых перевозок, но с учетом ограничений. В пределе, если позволяют ограничения, нужно выбрать только ту перевозку, которая имеет минимальную стоимость. Для доказательства этого утверждения целевую функцию (5) можно записать так:
F (X) = a1x1 + a2x2 +... + a
x, ^ min.
Тогда если а1 < а2< ... ак, то для минимизации необходимо обеспечить:
Х== тах(ХкеП) < Хк1 = тах(Хк-1еЦ) < ... < х1 = тах(Х еП).
Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо отсортировать вектор стоимости Ск в порядке возрастания элементов с запоминанием столбца и строки, где стоял элемент матрицы стоимости до сортировки.
Целевая функция (5) достигнет минимума, если, выбирая стоимость Ск начиная с минимальной, определять на каждом к-м шаге такой элемент плана Хк, чтобы его значение было
V'
максимально возможным, но не превышало ограничений, заданных векторами А и В:
Xk= min(A - IX-1, B - IX-1). .. . . .. . . ..
(6)
Верхний индекс в Xk в формуле (6) означает номер шага.
Результаты расчетов в среде Матисаб
Ниже приведен алгоритм оптимизации перевозок по критерию стоимости.
Ввод матрицы стоимости С и векторов ограничений А, В опрос числа строк - т и столбцов - п счетчик шагов в ноль: к = 0
Цикл по строкам i = 0 до i = m - 1
Цикл по столбцам j = 0 до j = n - 1
Заполнение выходной матрицы нулями: Уу. = 0 Формирование вспомогательной матрицы Ш:
= С ; Ж, = г; Ж. = V; к = к + 1
к,0 1,17 к,1 7 к,2 -17
Т.
Цикл по строкам матрицы Q
Запоминаем положение минимального элемента в матрице стоимости = у = бк2 Формируем выходную матрицу плана
V. j = min
n-1 \ ( m-1 Ai -X V. |-|BJ -x Vi1,j
ж
Сортировка матрицы Ш по первому столбцу и запоминание результата в матрице Q
Ниже приведена программа для МаЛСАБ, реализующая приведенный алгоритм.
Ор^С, А, В)
т ^ rows(C) п ^ сок(С) к ^ 0
£ог 1 е 0.. т - 1
£ог . е 0.. п - 1
V . ^ 0 1>}
№к, 0 ^ С,.
№к, 1 ^ 1
№к, 2 ^ . к ^ к + 1 Q ^ csort(W, 0) £ог к е 0.. т-п - 1
1 ^ а
к, 1
. ^ а,
к, 2
V . ^ т1г 1,}
п-1
Л (
А
2 V л
.1 = 0
т-1
2 V.
И = 0
V
С: =
Результаты расчетов на МаЛсаё Матрица стоимости
Г40 35 24 27 301
22 25 25 24 36
16 30 25 30 18
44 18 20 32 34
V
Матрица времени
Т :=
Начальный план
Г1 1 1 1 11
(13 8 5 9 101
8 10 9 11 12
12 10 8 7 6
V 9 7 10 12 8 ,
X :=
8 1111 11111 11111
т := rows(C) п := сок(С) т = 4 п = 5 Целевая функция по стоимости
т-1 п-1 Р1(Х) := ^ ^ (С. ,Х. .)
1 = 0 л" = о
Б1(Х) = 555
Целевая функция по времени
т-1 п-1 Р2(Х) := X X (Т^.ОУ 1 = 0 j =0
Б2(Х) = 184
optzena =
( 0 0 25 0 0
0 14 9 11 0
21 0 6 0 15
V 0 23 0 0 0
Г0 0 25 0 0
21 13 0 0 0
0 1 15 11 15
V 0 23 0 0 0
ор^ет =
В этих обозначениях матрица optzena соответствует матрице Х^, а матрица ор^гет - матрице Х™^. Как видно, результаты для критерия стоимости по этому методу полностью совпадают с результатами по методу потенциалов. Что же касается критерия времени, то результаты здесь разные, но значения целевых функций также совпадают. Дело в том, что транспортная задача может иметь несколько одинаково оптимальных решений.
Заключение
Многокритериальное управление вагонами на железнодорожном транспорте, насколько нам известно, ранее в научной литературе не рассматривалось. Между тем, такие проблемы могут возникнуть, по крайней мере, по отношению к двум основным в этой отрасли критериям - стоимости и времени. В этой статье такая задача решена. Естественно, для многокритериального управления необходимо знать решение по каждому из критериев отдельно. По критерию стоимости оптимальное управление находится методом потенциалов, по критерию времени - методом запрещенных клеток; компромиссное общее решение - по методу главного элемента.
Примеры показывают, что это компромиссное решение дает результат, позволяющий иметь значения отдельных критериев, достаточно близкие к оптимальным. Иначе говоря, общее оптимальное решение является почти оптимальным по каждому из критериев.
Этот результат можно применять к реальным ситуациям. Критерий стоимости, конечно, является основным при планировании перевозок. Однако в ряде случаев необходимо выполнять перевозки в кратчайшее время, например, скоропортящихся грузов или при доставке грузов в районы боевых действий, когда этот фактор может решать успешность боевых операций, и т. д.
Литература
1. Нестеров Е. П. Транспортные задачи линейного программирования / Е. П. Нестеров. - М.: Транспорт, 1971. - 216 с.
2. Правила эксплуатации, пономерного учета и расчетов за пользование грузовыми вагонами собственности других государств (утв. 24.05.1996 г.). - М.: Марикор, 1996.
3. Гертвальд А. С. Автоматизация планирования резерва вагонов в местах погрузки / А. С. Гертвальд, Л. А. Канарская, Н. Б. Соколов // Вестн. ВНИИЖТа. - 1999. - № 2. - С. 3-8.
4. Тишкин Е. М. Автоматизация управления вагонным парком / Е. М. Тишкин. - М.: Интекст, 2000. - 224 с.
В
5. Ивницкий В. А. Динамическая оптимизация обеспечения намечаемой погрузки погрузочными ресурсами / В. А. Ивницкий, В. А. Буянов, Н. Б. Соколов // Вестн. ВНИИЖТа. -2000. - № 5. - С. 28-31.
6. Ковалев В. И. Оптимальное по стоимости управление вагонопотоками с учетом наличия в рабочем парке вагонов как принадлежащих России, так и странам СНГ и Балтии / В. И. Ковалев, В. Г. Дегтярев, С. Ю. Елисеев, А. Т. Ось-минин // Вестн. ВНИИЖТа. - 2002. - Вып. 3. - С. 7-11.
7. Ковалев В. И. О моделировании процессов управления вагонопотоками с учетом вагонов других государств / В. И. Ковалев, В. Г. Дегтярев, С. Ю. Елисеев // Изв. ПГУПС. - 2004. -Вып. 2. - С. 16-19.
8. Ковалев В. И. Управление парками вагонов стран СНГ и Балтии на железных дорогах России: учеб. пособие / В. И. Ковалев, С. Ю. Елисеев, В. Г. Дегтярев и др. - М.: Маршрут, 2006. - 243 с.
9. Дегтярев В. Г. Математическое моделирование : учеб. пособие / В. Г. Дегтярев. - СПб.: ПГУПС, 2011. - 105 с.
10. Дегтярев В. Г. Стохастическая транспортная задача по критерию времени / В. Г. Дегтярев, О. Жгун, В. Н. Фоменко // Труды конф. «Математика в вузе». - СПб.: ПГУПС, 2002. - С. 160-162.
11. Дегтярев В. Г. Стохастическая транспортная задача по критерию времени с зависимыми параметрами / В. Г. Дегтярев, О. Жгун, В. Н. Фоменко // Труды конф. «Математика в вузе». - СПб.: ПГУПС, 2003. - С. 144-145.
12. Дегтярев В. Г. Об одном способе решения стохастической транспортной задачи по критерию времени В. Г. Дег-
тярев, О. Жгун, В. Н. Фоменко // Труды конф. «Математика в вузе». - СПб.: ПГУПС, 2003. - С. 146-147.
13. Дегтярев В. Г. Применение методов транспортной задачи для оптимального регулирования вагонов различных форм собственности / В. Г. Дегтярев // Сб. трудов «Проблемы математической и естественнонаучной подготовки в инженерном образовании». - СПб.: ФГБОУ ВПО ПГУПС,
2013. - С. 66-71.
14. Дегтярев В. Г. Оптимальное управление порожними вагонами различных форм собственности / В. Г. Дегтярев // Труды конф. «Математика в вузе». - СПб., 2012. -С. 135-141.
15. Дегтярев В. Г. Управление вагонами различных компаний и различных типов методами транспортной задачи / В. Г. Дегтярев, В. А. Ходаковский // Сб. трудов «Проблемы математической и естественнонаучной подготовки в инженерном образовании». - СПб.: ФГБОУ ВПО ПГУПС,
2014. - С. 91-96.
16. Sforza A. An Optimization Approach for Decision Support in Railway Traffic Control / Sforza A. // Proc. Multiple Criteria Dessision Support; eds. P. Korhonen, A. Le-wandowski, J. Wallenius. - Helsinki: Springer-Verlag, 1989.
17. Tanaka H. Fuzzy Linear Programming Problems with Fuzzy Numbers / H. Tanaka, K. Asai // Fuzzy Sets and System. -1984. - № 13. - P. 1-10.
18. Archana Khurana J. Multi-index fixed charge bi-criterion transshipment problem / J. Archana Khurana // OPSEARCH. -2013. - Vol. 50, Is. 2. - P. 229-249.
MultiCriteria Control Cars on a Railways Transportation
Degtyarev V. G., Khodakovsky V.A. Petersburg State Transport University Saint-Petersburg, Russia vdegt@list.ru, hva1104@mail.ru
Abstract. Methods of the management carriages on the railways with much aims make use of this paper: method of the chief element; method concessions; method of the lines connection. This methods found on the ways of the solution of the problem lines programming (method potentials and other), and too on the method solution of the transports problem with aim minimum time (nonlinear criterion of the optimization). This solutions for the carriages on the railways make for the first time. New method solution of the problems optimization propose too. This method goals of the classic methods.
Keywords: function of the aim; criterion of the optimization; management of the carriages; transports problem.
References
1. Nesterov E. P. Transportnye zadachi lineynogo program-mirovaniya [Transports problems lines programming], Moscow, Transport, 1971, 216 p.
2. Pravila ekcpluatatsii, ponomernogo ucheta i raschetov za polzovanie gruzovymi vagonami sobstvennosti drugikh go-sudarstv [Rulls of the exploitation, registration and calculations carriages other States (affirmed 1996, may, 24)], Moscow, Marikor, 1996.
3. Gertwald A. S., Kanarskay L. A., Sokolov N. B. Automatic planning of the reserve carriages in the place loaing. [Avtoma-tizatsiya planirovaniya rezerva vagonov v mestakh pogruzki], Conducting VNIIZT, 1999, no. 2, pp. 3-8.
4. Tishkin E. M. Avtomatizatsiya upravleniya vagonnym parkom [Automatic management of the carriages park], Moscow, Intekst, 2000, 224 p.
5. Ivnizkiy V.A., Buyanov V.A., Sokolov N. B. Dynamic optimization guarantee loading of the recourses [Dinamicheskaya optimizatsiya obespecheniya namechaemoy pogruzki pogruzoch-nymi resursami], Conducting VNIIZT, 2000, no. 5, pp. 28-31.
6. Kovalev V. I., Degtyarev V. G., Eliseev S. U., Osmi-nin A. T. Optimizations (on the cost) management of the carriages with calculation of the carriages other States. [Optimalnoe po stoimosti upravlenie vagonopotokami s uchotom nalichiya v rab-ochem parkevagonov, kak prinadlezhsshikh Rossii. tak i stranam SNG i Baltii], Conducting VNIIZT, 2002, no. 3, pp. 7-11.
7. Kovalev V. I., Degtyarev V. G., Eliseev S. U. Modelling management of the carriages with calculation of the carriages other States [O modelirovanii protsessov upravleniya vagonopotokami s uchotom vagonov drugikh gosudarctx], News PSTU, 2004, Is. 2, pp. 11-19.
8. Kovalev V. I., Eliseev S. U., Degtyarev V. G. et al. Upravlenie parkami vagonov stran SNG i Baltii na zheleznykh dor-ogakh Rossii (ychebnjeposobie) [Management of the parks car-
riages with calculation of the carriages other States], Moscow, Marshrut, 2006, 243 p.
9. Degtyarev V. G. Matematicheskoe modelirovanie (ucheb-noe posobie) [Mathematics modelling], St. Petersburg, PSTU, 2011, 105 p.
10. Degtyarev V. G., Zhgun O., Fomenko V. N. Stochastic transports problem on the criterion of the time [Stokhastiches-kaya transportnaya zadacha po kriteriyu vremeni] Works of the conf. "Mathematic in the university", St. Petersburg, PSTU, 2002, pp. 160-162.
11. Degtyarev V. G., Zhgun O., Fomenko V. N. Stochastic transports problem on the criterion of the time with depend param-etris [Stokhasticheskaya transportnaya zadacha po kriteriyu vremeni s zavisimymi parametrami] Works of the conf. "Mathematic in the university", St. Petersburg, PSTU, 2003, pp. 144-145.
12. Degtyarev V. G., Zhgun O., Fomenko V. N. Method solution stochastic transports problem on the criterion of the time [Ob odnom sposobe resheniya stokhasticheskoy transportnoy zadachi po kriteriyu vremeni] Works of the conf. "Mathematic in the university", St. Petersburg, PSTU, 2003, pp. 146-147.
13. Degtyarev V. G. Optimize management of the carriages difference forms property [Primenenie metodov stokhasticheskoy transportnoy zadachi dlya optimalnogo regulirovaniya vagonov razlichnych form sobstvennosti] Works of the conf. "Mathematic in the university", St. Petersburg, FGBOU VPO PSTU, 2012, pp. 135-141.
14. Degtyarev V. G. Application methods of the transports problem on management of the carriages difference forms property [Optimalnoe upravlenie porozhnimi vagonami razlichnykh form sobstvennosti] Works of the conf. "Problems natural and scientific teaching in the engineers education", St. Petersburg, FGBOU VPO PSTU, 2013, pp. 66-71.
15. Degtyarev V. G., Khodakovsky V.A. Management of the carriages different firms and different types methods of the transports problem [Upravlenie vagonami razlichnykh kompaniy i razlichnykh tipov metodami transportnoy zadachi] Works of the conf. "Problems natural and scientific teaching in the engineers education", St. Petersburg, FGBOU VPO PSTU, 2014, pp. 91-96.
16. Sforza A. An Optimization Approach for Decision Support in Railway Traffic Control, Proceedings Multiple Criteria Dessision Support, eds. P. Korhonen, A. Lewandowski, J. Wal-lenius, Helsinki, Springer-Verlag, 1989.
17. Tanaka H., Asai K. Fuzzy Linear Programming Problems with Fuzzy Numbers, Fuzzy Sets and System, 1984, no. 13, pp. 1-10.
18. Archana Khurana J. Multi-index fixed charge bi-crite-rion transshipment problem, OPSEARCH, 2013, Vol, 50, Is. 2, pp. 229-249.
