CC BY
86
Многокритериальная задача о назначениях на предфрактальном графе
Кочкаров Р.А.
Финансовый университет при Правительстве РФ гази1 [email protected]
Аннотация. В работе рассматривается многокритериальная постановка задачи о назначениях на предфрактальном графе. Предложен алгоритм выделения совершенного паросочетания с гарантированными оценками.
Ключевые слова: многокритериальная задача, целевая программа, предфрактальный граф, алгоритм поиска, совершенное паросочетание, гарантированные оценки.
1 Предфрактальные графы
Любая целенаправленная деятельность требует планирования и прогнозирования. Каждая из составляющих не возможна без понимания сути процесса в той области, где осуществляется деятельность. Достичь понимания, можно с помощью адекватно построенной математической модели. На основе имеющейся математической модели возможна постановка задачи, решение которой позволяет точно оценить сложившуюся ситуацию, а значит, сделать правильный прогноз и провести планирование дальнейших действий. Задачи оптимального и автоматического управления, автоматизации проектирования, экономического планирования, принятия решений, компромисса в условиях неполной информации, математического программирования и т.п. находятся в сфере деятельности специалистов по исследованию операций.
Достижения современной науки за последние десятилетия в области вычислительной техники позволили по-новому взглянуть на задачи дискретной математики и математическое моделирование. Нередко в математическом моделировании возникает необходимость проведения численного анализа или вычислительного эксперимента. Размерность задачи может потребовать больших ресурсов вычислительной техники, имея при этом ограничения по сроку получения результатов.
В основе многих дискретных математических моделей лежат графы, и более сложные объекты, фрактальные (предфрактальные) графы. Фрактальные графы являются симбиозом графа, в его классическом понимании, и фрактала. Фрактальные графы отражают сложные структуры «растущие» с течением времени. Они описывают общую картину связей в многоэлементных системах, а поэтому часто имеют большую размерность.
В настоящей работе предложена математическая постановка задачи конкурсного отбора проектов, где в качестве инструмента моделирования выбраны предфрактальные графы, а также разработан алгоритм решения этой задачи [РегереШва е1 а1., 1999].
2 Многокритериальная постановка задачи о назначениях
Формально, если в задаче о назначениях (ЗН) каждому из п заказчиков и т исполнителей поставить в соответствие вершины графа, а ребрами обозначить возможности исполнения работ предложенных заказчиками, то полученный двудольный граф С = (У',У",Е) является схемой, отражающей всевозможные связи между заказчиками и исполнителями. На графе й множества вершин V' (|у'| =«) и V" (|У*| = т)
соответствуют заказчикам и исполнителям. Множество ребер Е соответствует связям между исполнителями и заказчиками. Смысл связей заключается в возможности реализацией исполнителями работ предложенных заказчиками. Каждому ребру из Е приписываются веса, которые призваны качественно демонстрировать экономическую целесообразность выполняемых работ предложенных конкретным заказчиком конкретному исполнителю.
В фиксированный момент времени в работе должен быть задействован каждый исполнитель, причем он может принимать участие в выполнение только одного заказа. Каждый заказчик так же может следить за реализацией единственного заказа. План выполнения работ предложенных заказчиками исполнителям в терминах теории графов будет соответствовать паросочетанию, выделенном на двудольном графе С. Напомним, что паросочетание - это несвязный суграф, каждая компонента которого представляет собой ребро.
Необходимость построения экономически обоснованного плана вынуждает обратится в сферу дискретной многокритериальной оптимизации. Таким образом, ЗН в теоретико-графовой (классической) постанове сводится к поиску на двудольном графе паросочетаний, удовлетворяющих требованиям некоторых критериев. ЗН в классической постановке как в однокритериальном, так и в многокритериальном случае тщательно исследована.
С появлением понятия фрактального (предфрактального) графа многие задачи математического программирования исследуемые аппаратом теории графов, ЗН в том числе, потребовали серьезной доработки, а нередко и совершенно новых методов для решения этих задач с постановкой на предфрактальных графах.
В нашем случае, для ЗН, основная причина необходимости ее постановки на предфрактальных графах заключается в усложнении схемы всевозможных связей между заказчиками и исполнителями.
Продемонстрировать это можно на примере крупного научно-исследовательского проекта.
Любой крупный научно-исследовательский проект делится на части, и предлагается для реализации научно-исследовательским институтам (НИИ) и научно-производственным объединениям (НПО). Часто, эти учреждения не в состоянии справится с поставленными задачами в одиночку, и поэтому выбирают среди всевозможных учреждений аналогичного профиля наиболее полезные с точки зрения сотрудничества. Выбор учреждений для сотрудничества - есть решения классической задачи о назначениях, т.е. выделения паросочетании на двудольном графе, отражающем всевозможные связи между учреждения этого, будем говорить, высшего уровня [Ступин и др., 2011; Боев и др., 2011].
Каждое из учреждений высшего уровня делит свою часть проекта и распределяет по ведомственным или проектным институтам, т.е. учреждениям более низкого по масштабам выполняемой работе уровня. Всем этим учреждениям приходится искать удовлетворяющие поставленным требованиям учреждения для сотрудничества уже из своего уровня, т.е. снова решать ЗН. ЗН потребует решения и на других уровнях: проблема выбора встанет на уровне отделов и сотрудников институтов [Боев и др., 2012].
Предложенное описание фактической реализации крупного научно-исследовательского проекта путем разделения его на более мелкие проекты (заказы) поднимает два важных вопроса.
Первый - каков граф С, представляющий схему всевозможных взаимодействий между учреждения, заказчиками и исполнителями? Очевидно структура этой схемы сложнее, чем "обычный" двудольный граф. Каждое учреждение, начиная с высшего уровня, решая поставленную перед ним задачу (т.е. выполняя заказ) устанавливает связи между исполнителями и заказчиками более низкого уровня. А поскольку между указанными учреждениями-исполнителями и учреждениями-заказчиками более низкого уровня схема взаимодействий есть двудольный граф, это верно для любых уровней учреждений, то граф Б, отражающий общую схему возможных взаимодействий, обладает свойством самоподобия. Поэтому общая схема возможных взаимодействий между учреждения различных уровней, принимающих участие научно-исследовательского проекта - есть предфрактальный граф, порожденный двудольной затравкой.
Второй - какой суграф, удовлетворяющий условиям ЗН, является решением ЗН на предфрактальном графе. Ошибочно предполагать, что решением, как и в классической постановке, являются только лишь паросочетания. На предфрактальном графе ребра, отвечающие за связи между учреждениями высоких уровней, могут пресекаться с ребрами, отвечающими за связи между учреждениями более низких уровней.
Наличие таких пересечений среди ребер различных рангов в покрытии (суграфе) предфрактального графа не противоречит основным требованиям ЗН в силу того, что отдельно взятое учреждение, относительно учреждений своего уровня может выступать как заказчик, в то время как относительно учреждений другого уровня может выступать в качестве исполнителя. Таким образом, искомым решением ЗН на предфракталъном графе является остовный лес. Напомним, что остовный лес - это несвязный суграф, каждая компонента которого дерево. Важно, что паросочетания также удовлетворяют определению остовного леса.
Перейдем к многокритериальной постановке ЗН на предфракталъном графе. Рассмотрим взвешенный предфрактальный граф GL = (VL,EL) порожденный двудольной затравкой Н = (W',W",Q), у которой \\у] = \\¥"\ = п/2, \Q\ = q.
Покрытием графа GL будем называть подграф x = (VL,Ex) = {Dk}, Ex<^El, каждая компонента Dk, k = 1, К, которого является деревом. Очевидно, что покрытие x = (VL,Ex) является остовным лесом графа GL.
Всевозможные покрытия {*} предфрактального графа GL образуют множество допустимых решений X = X(GL) = {*} (МДР).
Качество покрытия х на графе GL задается векторно-целевой функцией (ВЦФ):
F(x) = (Fl(x),F2(x),F3(x),F4(x)) (2.1)
2>(e)->min, (2.2)
ее Ех
где ^vv(e) - общий (суммарный) вес покрытия х;
ееЕх
F2 (д) - \х\ —> min, (2.3)
где |х| - число компонент в покрытии х;
F3 (х) = deg Dk min, (2.4)
для всех k = 1, К, где max deg v = deg Dk - степень компоненты Dk в
veD,
покрытии х;
(jc) = I^Djfe | —^ min , (2.5)
для всех к = 1,К, где \Dk\ - число вершин компоненты Dk в покрытии
Все критерии (2.2)-(2.5) векторно-целевой функции (2.1) имеют конкретную содержательную интерпретацию.
Веса, приписанные ребрам предфрактального графа GL, призваны отражать "неэффективность" сотрудничества между учреждениями, которым соответствуют вершины - концы ребер. Наладить плодотворное сотрудничество между крупными предприятиями, ввиду их сильной
конкуренции, труднее чем между более мелкими, поэтому вес ребер с ростом их рангов уменьшается. При такой интерпретации весов приписанных ребрам предфрактального графа целесообразно искать покрытие с наименьшим весом. Именно, это и сформулировано в первом критерии (2.2) ВЦФ (1.1).
Число компонент |х| в покрытии х соответствует числу частей, на
которые разделен основной проект. Чем менее раздроблен основной проект при его реализации, тем эффективнее процесс объединения и обобщения результатов на завершающем этапе выполнения этого проекта. Поэтому второй критерий (2.3) направлен на уменьшение числа компонент в покрытии.
Некоторые учреждения при распределении работ (частей основного проекта) могут одновременно сотрудничать с несколькими предприятиями. В покрытии х степени вершин компонент Бк будут указывать на число учреждений сотрудничающих с учреждением, соответствующему данной вершине. Учреждения в таком широком сотрудничестве выступает и качестве заказчиков, и в качестве исполнителей заказов. Как известно, чрезмерная загрузка предприятия, преобладающая над его производственными возможностями, сильно ухудшает качество предлагаемых услуги и производимых изделий. Критерий (2.4) стремиться уменьшить максимальную среди степеней вершин каждой компоненты Бк покрытия х, что обосновывается целесообразностью уменьшения количества сотрудничающих учреждений.
Вершины, соответствующие учреждениям и предприятиям имеющим тесные взаимоотношение, образуют компоненты Бк покрытия х. Увеличение количества взаимосвязанных учреждений и предприятий работающих над одним заказом (частью основного проекта) понижает эффективность выполняемой работы. Число вершин (или ребер, на дереве число вершин отличается от числа ребер ровно на единицу) входящих в компоненты Ик покрытия х уменьшаются до возможного минимума критерием (2.5), что позволяет предполагать достижения эффективного сотрудничества между учреждениями, соответствующие вершины которых на предфрактальном графе Сь объединены в компоненты Бк покрытия х.
3 Алгоритм выделения совершенного паросочетания минимального веса
Рассмотрим взвешенный пред фрактальный граф Сь = (уь,Еь) порожденный двудольной затравкой я = 0, = = п/2, |(2| = <7 •
Предположим, что выполняется условие существования совершенного паросочетания на предфрактальном графе. Таким образом,
в начале работы алгоритма а будем предполагать, что на двудольной затравке я = существует совершенное паросочетание.
Алгоритм а основан на алгоритме выделения совершенного паросочетания минимального веса (СПМВ), предложенный Эдмондсом. На вход алгоритма Эдмондса подается произвольный взвешенный граф, а на выходе получается СПМВ. Далее алгоритм Эдмондса будет использоваться как процедура Эдмондса [Кочкаров и др., 2004].
Опишем принцип работы алгоритма а. Каждая подграф-затравка ^,
$ = \,пь~1 рассматривается как отдельно взятый граф, алгоритм последовательно независимо друг от друга находит СПМВ м3 на каждый
затравке ¿-ого ранга Поиск СПМВ на отдельно взятой подграф-затравке осуществляется с помощью алгоритма Эдмондса, который используется в алгоритме а в качестве процедуры. Осуществив поиск СПМВ на подграф-затравках, получим СПМВ всего предфрактального графа Сь. После чего алгоритм а заканчивает свою работу.
3.1 Алгоритм а
Вход: взвешенный предфрактальный граф Сь =(уь,Еь). Выход: совершенное паросочетание минимального веса мь. Шаг 1. На затравке ^ осуществляется поиск СПМВ мх посредством процедуры Эдмондса.
Шаг 2. На затравке осуществляется поиск СПМВ м2
посредством процедуры Эдмондса.
Шаг к-3,...,пь~1. На затравке осуществляется поиск СПМВ Мк посредством процедуры Эдмондса.
Шаг п1~1+\. На выходе шага пь~1 получаем $ = совершенных
паросочетаний минимального веса Мх, для каждой затравки • Объединяя эти совершенные паросочетания м5 получим совершенное паросочетание минимального веса Мь предфрактального графа Сь. Процедура Эдмондса. Вход: взвешенный граф С = (V, Е). Выход: СПМВ М = <у,Ем).
3.2 Вычислительные характеристики алгоритма а
Теорема 1. Алгоритм а выделяет совершенное паросочетание М = (V, Ем) минимального веса на предфракталъном (п, Ь) -графе
Новые информационные технологии в автоматизированных системах 2014 Оь = (Уь,Еь), порожденном двудольной затравкой Н =
= = nl2,\Q\ = q, если в <-.
Ь
Доказательство. На шагах к = 1,...,пь~1 осуществляется поиск СПМВ на подграф-затравках посредством процедуры Эдмондса.
На шаге Ь построения предфрактального графа Сь все вершины замещаются затравкой Н = ()), тогда каждая вершина Ь -ого ранга
принадлежит какой-либо подграф-затравке . Найдя совершенное паросочетание на затравке покроются все вершины принадлежащие этой затравке. Таким образом, отбрасываются все ребра ранга / = 1,1,-1 и задействуются только подграф-затравки Ь -ого ранга .
На затравках г^ вьщелялись совершенные паросочетания Мх,
5 = 1, пь~1, то есть вершины предфрактального графа покрыли паросочетанием. Полученное покрытие является совершенным паросочетанием мь предфрактального графа Сь. А поскольку
предфрактальный граф взвешен с помощью коэффициента в < — , вес ребра
Ь
ь-то ранга меньше веса любого из ребер предыдущих рангов. Поиск совершенных паросочетаний минимального веса производился на ребрах самых минимальных весов, следовательно совершенное паросочетание Мь выделенное на предфрактальном графе Сь будет минимального веса.
Теорема 2. Вычислительная сложность параллельного алгоритма а построения СПМВ на предфрактальном (п, Ь) -графе ^ = (УЬ,ЕЬ),
порожденного двудольной затравкой я = , где \уь\ = N = пь, равна
0(Ш2).
Доказательство. Алгоритм а представляет собой, по существу многократное выполнение шага 1, т.е. поиск паросочетания для каждой
подграф-затравки, а их пь~1. Шаг 1 потребует выполнения 0(п3) операций на каждой подграф-затравке - столько операций выполняет алгоритм Эдмондса. Тогда 0{пь~1пъ) = 0(пьп2) = 0(Ш2), вычислительная сложность
алгоритма а равна 0(Ш2).
Сравнив вычислительную сложность параллельного алгоритма а с вычислительной сложностью алгоритма Эдмондса получим:
0(Ш2) < 0(Ы3).
Примечание 1. Вычислительная сложность параллельного алгоритма а меньше вычислительной сложности алгоритма Эдмондса, в И2 раз на предфрактальном (п,Ь) -графе Сь = (уь,Еь).
Теорема 3. Алгоритм а выделяет покрытие х = (уь,Ех) на предфракталъном (и, Ь) -графе = (УЬ,ЕЬ), порожденным двудольной затравкой Я = , оптимальное по третьему Fз(x) и четвертому
апЬ ЪпЬ
^4(х) критерию, и оцениваемое по первому вь~1 —< Рх (х) < вь~1 —и
пь
второму, ^2(х)< —.
Доказательство. Поскольку на выходе алгоритма щ получаем СПМВ, то степень каждой компоненты Бк, к = 1,2,-, К равняется единице, третий критерий ^з (х) = 1. Четвертый критерий ^4(х) минимизирует число вершин компоненты Бк. Каждая компонента Бк, к = 1,2,..., К представляет из себя ребро, тогда четвертый критерий /^(х^ = 2.
Критерий ^(х) минимизирует общий вес покрытия х = (уь,Ех). В соответствие с правилами взвешивания предфрактального графа каждому его ребру е Еь приписано действительное число и>{е^Г))е{в1~1а,в1~1Ь),
где 1 = 1,Ь - ранг ребра, а> 0, и в< — . В покрытие х входят только ребра
Ь
Ь- го ранга веса которых находятся в промежутке
м>{е^Е})^{вь~1а,вь~1Ь). Общее число ребер в данном покрытии равняется
1Н N п1 т
\Е\ = — = — . Тогда оценка по первому критерию следующая
2 1 1 2
Критерий Р2(х) минимизирует число компонент в покрытии х.
В совершенном паросочетании число компонент равняется числу ребер
ь ь
\е\ = — . Тогда второй критерий оценивается, как Р2(х{) < —.
4 Модель конкурсного отбора проектов
Одной из основных проблем реализации целевых программ является проблема отбора проектов. Проекты непрерывным потоком предоставляются на рассмотрение, и на конкурсной основе подключаются к программе. Дерево целевой программы является своего рода картой исполнения программы. Вся программа, а равно цели и задачи программы покрыты мероприятиями. Таким образом, для исполнения программы и достижения всех поставленных целей необходимо обеспечить все множество мероприятий проектами [Бурков и др., 1997; Кочкаров, 2004].
Построим математическую модель задачи отбора проектов. Разобьем все множество мероприятий м на группы, каждая из которых определяется параметрами, то есть в каждую отдельную группу будут
входить мероприятия с однородными параметрами. При этом параметры мероприятий будут представлены числовыми значениями, означающими ограничения сверху ресурсов по каждому параметру группы.
Предположим, что лицо, принимающее решение (ЛПР) с определенной периодичностью рассматривает поступающие проекты и соответственно принимает решения. Это может быть заседание организационного совета каждый квартал, или полугодие. То есть в моменты ts = 1,2,...Т происходит заседание, обсуждаются вопросы о проектах. На каждый момент времени Т8 будет приходиться множество проектов Р, и соответственно, в каждый момент времени необходимо решать задачу о назначении проектов. Сначала необходимо решить задачу на один конкретный момент времени г*.
Предположим, что на момент времени г* имеется множество
мероприятий М и множество проектов Р. Разобьем все множество представленных мероприятий М на группы. Каждая группа будет определяться параметрами, т.е. в каждую отдельную группу будут входить мероприятия с однородными параметрами. Тогда получим разбиение множества м на подмножества м®, 1 = \,2,..,ь. При этом параметры мероприятий будут представлены числовыми значениями, означающими ограничения ресурсов. Теперь разобьем множество проектов Р на подмножества Р®, так чтобы каждое подмножество проектов можно было поставить в соответствие одному из подмножеств мероприятий.
Тогда на момент времени г* проекты поставлены в соответствие к группам мероприятий. Возьмем один объект, то есть одну группу мероприятий и соответствующую ей группу проектов - М* и Р*.
Соединим каждый проект из Р* с теми мероприятиями из М*, к которым он потенциально подходит. Например, проект постройки дорог может быть присоединен к мероприятиям по строительству автомагистралей, мостов, ремонт городских дорог и т.д.
Назначим каждому ребру графа соответствующий вес (стоимость проекта) с,-. Отметим, что стоимость проекта с(- не означает денежную, либо какую-нибудь другую стоимость, а является совокупной стоимостью, состоящей из стоимостей различного вида. При этом веса ребер исходящих из одного и того же проекта будут одинаковыми.
Выбирая для каждой вершины р{ наилучшее ребро, получим
максимальное паросочетание двудольного ориентированного графа С*. Таким образом, задача оптимального назначения проектов сводится к выделению максимального паросочетания двудольного ориентированного графа. В случае, когда п = к и для каждого мероприятия существует хотя
Многокритериальная задача о назначениях на предфракталъном графе бы один альтернативный проект, то есть в каждую вершину mj входит не менее одного ребра, решением будет совершенное паросочетание.
Для каждой пары - группа мероприятий и группа проектов задается двудольный граф of, / = 1,2,.., L на определенный момент времени t*. Далее на каждый момент ts =1,2,..,Г задается последовательность
двудольных графов G? . На каждый момент Ts используется алгоритм а поиска максимальных паросочетаний минимального веса для всех двудольных графов g(.
Список литературы
[Боев и др., 2011] Боев С.Ф. Кочкаров A.A. Ступин Д.Д. Развитие R&D-деятельности высокотехнологичных В2С-холдингов: проблемы и задачи // Качество. Инновации. Образование. - 2011. - № 11(78). - С. 54-59.
[Боев и др., 2012] Боев С.Ф., Ступин Д.Д., Кочкаров A.A. Проблемы формирования, реализации, и кадрового обеспечения системных проектов в В20-сегментах высокотехнологичных отраслей // Качество. Инновации. Образование. - 2012. -№ 8(87). - С. 64-69.
[Бурков и др., 1997] Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. - М.: Синтег, 1997.
[Кочкаров и др., 2004] Кочкаров А. А., Кочкаров Р. А. Параллельный алгоритм поиска кратчайшего пути на предфрактальном графе // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 2004. - Т. 44. - №6. - С.1157-1162.
[Кочкаров, 2004] Кочкаров P.A. Стратегическое планирование и прогнозирование // Вестник Финансовой академии. - 2006. - № 4. - С. 89-96.
[Ступин и др., 2011] Ступин Д.Д., Кочкаров A.A. Организационные основы довузовской подготовки учащихся для высокотехнологичных компаний реального сектора экономики // Качество. Инновации. Образование. - 2011. - № 5(72). - С. 15-19.
[Perepelitsa et al., 1999] Kochkarov A.M., Perepelitsa V.A., Sergienko I.V. Recognition of fractal graphs. Cybernetics and Systems Analysis, T. 35, № 4, 1999, pp. 572-585.
