CC BY
22
Cloud of Science. 2016. T. 3. № 1 http:/ / cloudofscience.ru ISSN 2409-031X
Многокритериальная оптимизация периодичности профилактики информационно-технической стохастической системы
А. И. Коваленко, Г. Н. Рогачев
Самарский государственный технический университет 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
e-mail: grogachev@mail.ru
Аннотация. Для информационно-технической системы с периодической диагностикой и восстановлением решена задача многокритериальной оптимизации надежностных и экономических показателей функционирования. Время между доступами пользователей в систему имеет распределение общего вида. Вероятность отсутствия ошибки в системе зависит от периодичности проведения диагностики. Время восстановления пропорционально периодичности диагностики. Задача решается с помощью аппарата регенерирующих процессов.
Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, обслуживание технических систем, стохастические системы.
1. Введение
Сегодня сложно представить функционирование предприятия без применения информационно-технических систем различной сложности. При этом особую значимость приобретает диагностика надежности функционирования самой системы [1]. Многие авторы для получения адекватных надежностных и экономических показателей функционирования информационно-технических систем применяют модели систем обслуживания. При этом чаще всего следует принимать во внимание возможность выхода обслуживающих приборов из строя, как это сделано, например, в [2].
Часто оптимизация надежностных и экономических показателей функционирования системы решается еще на этапе проектирования. Одним из эффективных решений такого плана является планирование проведения диагностики и профилактических работ в системе [3]. В силу того, что непрерывная диагностика информационно-технических систем является дорогостоящей, применяют стратегию периодической диагностики.
Рассматривается система, к которой получают доступ пользователи. В системе могут происходить ошибки. Вероятность ошибки с течением времени возрастает. Чем больше период между моментами проведения диагностики, тем больше риск того, что система будет работать с ошибкой. С другой стороны, слишком частая
стохастической системы
диагностика является дорогостоящей. Чтобы принять во внимание все эти факторы, проводится двухкритериальная оптимизация по экономическим критериям с ограничением сверху вероятности нормальной работы системы.
Система рассматривается как стохастическая. Строится модель одноканальной системы обслуживания с мгновенным обслуживанием и периодической диагностикой ее состояния. Для определения стационарных характеристик системы применяется аппарат регенерирующих процессов. Часто для того, чтобы упростить модель, считают, что случайные величины имеют экспоненциальное распределение (например, [3]). Здесь такие ограничения не приняты.
2. Постановка задачи
Рассмотрим информационно-техническую систему, в которой диагностика и восстановление осуществляются периодически. При этом работоспособность системы во время восстановления прерывается.
Система функционирует следующим образом. Время между доступами пользователей в систему — случайная величина (СВ) Р с функцией распределения (ФР)
0(1:) = Р{Р< :} и плотностью g (1). В момент очередного доступа в систему начинается отсчет времени до проведения диагностики системы (проводится мгновенно) и восстановления системы (если необходимо). Диагностика проводится с периодом т. С вероятностью р(т), зависящей от периодичности диагностики, ошибка в системе не обнаруживается, и система продолжает функционировать в нормальном режиме. С вероятностью q(т) = 1 — р(т) в системе обнаруживается ошибка и начинается ее восстановление. Во время проведения диагностики доступ в систему ограничен. Длительность восстановления прямо пропорциональна времени т, которое система проработала до проведения диагностики. Коэффициент пропорциональности положим равным к. Предполагается, что СВ Р имеет абсолютно непрерывную ФР и конечное математическое ожидание М [Р].
3. Построение математической модели
Для описания функционирования системы можно использовать полумарковский процесс с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [4]. Так было сделано в работах [5, 6], однако с учетом того, что процесс, описывающий систему, является регенерирующим, стационарные характеристики системы можно определить с помощью временной диаграммы функционирования.
Временная диаграмма функционирования системы представлена на рис. 1.
С1оий о/Баеисе. 2016. Т. 3. № 1
Рисунок 1. Временная диаграмма функционирования системы
Поскольку определяются стационарные характеристики системы, достаточно рассмотреть один период регенерации.
За момент начала периода регенерации примем начало отсчета периода т до диагностики. В рассматриваемой системе возможны два периода регенерации:
- с вероятностью р(т) имеет место первый тип периода регенерации, когда ошибка в системе не обнаруживается;
- с вероятностью д(т) — второй тип периода регенерации, когда в системе обнаруживается ошибка и проводится восстановление.
С помощью функции восстановления Н (т), порожденной СВ Р, несложно
понять, что длительность периода регенерации первого типа равна М[р](1 + Н (т)), а второго типа — М[р](1 + Н (т + кт)). Учитывая, что кт — длительность проведения восстановления из постановки задачи и расставляя весовые коэффициенты р(т) и д(т), можно определить финальные вероятности пребывания прибора в подмножествах состояний 0 (проведение восстановления системы) и 1 (нормальный режим функционирования системы):
(т) =_кд(т)т_.
0 М[Р]р(т)(1 + Н&(т) )+ д(т)М[Р](1 + Н&(т + кт) )'
, ч = 1__к д(т) т_
Р т М[р]р(т)(1 + Н&(т))+ д(т)М[р](1 + Н&(т + кт)).
Пусть ^ (т) — прибыль, получаемая за доступ пользователя в систему, убывающая по мере того, как уменьшается вероятность отсутствия ошибок в системе: ^ (т) = ^ р(т); ^ — прибыль, получаемая за доступ пользователя в систему без ошибок; с0 — затраты в единицу времени восстановления системы; С2 — затраты на проведение одной диагностики; 1 + Н (т) — количество доступов пользователей за период времени т.
стохастической системы
Экономические показатели функционирования системы, средняя удельная прибыль £(т) в единицу календарного времени и средние удельные затраты С(т) в единицу времени исправного функционирования системы определяются по формулам
_ ЭД (1 + Я& (т))- с0 кд(т) т- С2
Т " М[р]р(т)(1 + Я&(т) )+ д(т)М[р](1 + Я&(т + кт) )'
С() =_Со кд(т) т + С2_
т = М [р]р(т) (1 + Я% (т)) + д(т)М [р](1 + Я% (т + кт)) - к д(т) т' Используя полученные результаты, выпишем стационарные характеристики частной системы, для которой g(?) = Ав~х', р(т) = ц/(ц + т), т> 0. Формулы (1) и (2) принимают вид:
к Ат2 Ат2 +(1 + Ац)т + ц
Ро(т) = „/■■ , ч 2 /, л ч-' Р1(т) =■---
А(1 + к )х2 + (1 + Ац)х + ц' 1 А(1 + к )т2 +(1 + Ац)х + ц,'
- (S ~ С ) 1 ~ С0 к ^ + Ц (S1 (х) - С2 ) СркТ2 + C2 Т + С>
А(1 + к )т2 +(1 + Ац)х + ц Ах2 + (1 + Ац)х + ц
4. Определение оптимальной периодичности проведения восстановления системы
В качестве критериев оптимальности функционирования рассматриваемой системы обслуживания приняты:
1) позитивный критерий — средний удельный доход в единицу календарного времени S (х);
2) негативный критерий — средние удельные затраты в единицу времени исправного функционирования системы С(х);
3) позитивный критерий — финальная вероятность пребывания системы в работоспособном состоянии без ошибок p (х);
S(х) ^ max,
хе(0,да)
С(т) ^ min,
ie(0,co)
[/>(!)> А
Одним из способов сведения многокритериальной задачи к однокритериальной является использование в качестве целевой функции линейной свертки частных критериев [7]. В нашем случае экономические показатели эффективности имеют единую природу, поэтому целевой будет функция V(х):
Cloud of Science. 2016. Т. 3. № 1
V (т) = asSn (т)-(1 - a,) Ся (т). Здесь a и a — весовые коэффициенты, определяющие «показатели относительной важности» критериев S(т), С(т) соответственно. Функция p(т) по смыслу является монотонно убывающей на всей вещественной оси. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению точки т^ абсолютного максимума функции
Г(т) при те(0,тр),р(тр) = Р.
Рассмотрим пример оптимизации периодичности проведения ТО для системы. Пусть среднее время между моментами доступа пользователей равно 2,5 час; к = 0.2; ц = 1; Р = 0.8; Sx= 1000 ден. ед., с0 = 400 ден. ед./час, С2 = 350 ден. ед.
Численное решение задачи в пакете Maple приводит к следующим результатам. Линейная свертка частных критериев при весовом коэффициенте a = 1/2 достигает наибольшего значения в точке т^ = 3.21 час; при этом S (т^) = 219.92 ден. ед./час, С(т^) = 67.52 ден. ед./час, p(т? t) = 0.985 , p(т? ) = 0.862. Графики зависимостей частных критериев от периодичности проведения ТО прибора представлены на рис. 2.
Рисунок 2. Графики зависимостей средней удельной прибыли £(т), средних удельных затрат С(т), финальной вероятности работоспособной системы Р(т) и линейной свертки
экономических критериев
стохастической системы
Для рассмотренного случая характеристики можно исследовать на экстремум аналитически. При более сложных входных данных (например, неэкспоненциальное распределение времени между доступами в систему) пользуются численными методами определения оптимальных значений периодичности проведения диагностики системы.
Литература
[1] Максимов Я. A. О вычислении надежностных характеристик информационных систем // VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — Новосибирск : ИВТ СР РАН, 2007. (http://www.nsc.ru/ws/YM2007/12875/mzx.htm).
[2] Yechiali U. Queues with system disasters and impatient customers when system is down // Queueing Systems. 2007. Vol. 56. P. 195-202.
[3] Perel N., Yechiali U. Queues with slow servers and impatient customers // European Journal of Operational Research. 2010. Vol. 201, No. 1. P. 247-258.
[4] Королюк В. С., Турбин А. Ф. Марковские процессы восстановления в задачах надежности систем. — Киев : Наукова думка, 1982.
[5] Peschansky A. I., Kovalenko A. I. Semi-Markov Model of a Single-server Queue with Losses and Maintenance of an Unreliable Server // Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, No. 4. P. 632-643.
[6] Obzherin Y. E., Boyko E. G. Semi-Markov Models: Control of Restorable Systems with Latent Failures; 1st edition. — Elsevier, 2015.
[7] Emmerich M., Deutz A. Multicriteria Optimization and Decision Making. LIACS Master Course (2006) [Электронный ресурс] Режим доступа URL: http://liacs.leidenuniv.nl/ ~emmerichmtm/MODAReader20141126.pdf.
Авторы:
Геннадий Николаевич Рогачев — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Самарский государственный технический университет
Коваленко Анна Игоревна — аспирантка, кафедры автоматики и управления в технических системах, Самарский государственный технический университет
Cloud of Science. 2016. Т. 3. № 1
Multicriterial Optimization of Preventive Maintenance of Informational/technical Stochastic System
Anna Kovalenko, Gennady Rogachev
Samara state technical university 244, Molodogvardeiskaya str., Samara, Russia, 443100
e-mail: grogachev@mail.ru
Abstract. The problem of optimization of reliability and economical indexes is solved for informational/technical system with periodical diagnostics and restoration. The probability that there is no error depends on the diagnostics period. Restoration time is proportional to its period.
Keywords: multicriteria optimization, maintenance of the technical systems, stochastic systems.
Referense
[1] Maksimov Ya. A. (2007) O vychislenii nadezhnostnyh harakteristik informacionnyh sistem, In Proc. YM 2007. Novosibirsk (http://www.nsc.ru/ws/YM2007/12875/mzx.htm). [In Rus]
[2] Yechiali U. (2007) Queueing Systems, 56:195-202.
[3] Perel N., Yechiali U. (2010) European Journal of Operational Research, 201(1 ):247-258.
[4] Koroljuk V. S., Turbin A. F. (1982) Markovskie processy vosstanovlenija v zadachah nadezhnosti sistem. Kiev, Naukova dumka.
[5] Peschansky A. I., Kovalenko A. I. (2015) Cybernetics and Systems Analysis, 51(4):632-643.
[6] Obzherin Y. E., Boyko E. G. (2015) Semi-Markov Models: Control of Restorable Systems with Latent Failures. Elsevier.
[7] Emmerich M., Deutz A. Multicriteria Optimization and Decision Making. LIACS Master Course (2006) http://liacs.leidenuniv.nl/~emmerichmtm/M0DAReader20141126.pdf.
