CC BY
70
- множину шдекив розмщення КП
GKY ={g;g = Og' Vyg = l} ;
- пiдмножини абоненпв, що приеднуються до кожного КП Gg = {q;q = ^g = 0^;q * g; Vxgq = l} ;
- шляхи з'еднання точок g i q
Tgq = {k;k = Ik^g e GKY;q = 0;qeGg;q*g; Vxgkq = l} .
5. Висновки
У такий спосiб у стати розроблена модель виз-начення мкць можливого розмiщення комутуючих пристро1в та варiантiв топологii приеднання абонентiв
до КП при синтезi комп'ютерно! мережi органiзацii, що у вiдмiнностi ввд iснуючих, дозволяе комплексно з единих системних позицш ухвалювати рiшення за багатьма критерiями.
Лiтература
1. Петров Э.Г. Территориально распределенные системы обслуживания/ Петров Э.Г., Писклакова В.П., Бескоро-вайный В.В. - К.: «Техшка»,1992 - 208 с.
2. Нефедов Л.И. Обобщенная модель синтеза территориаль-
но-пространственно распределенной компьютерной сети организации/Нефедов Л.И., Шевченко М.В., Петренко Ю.А., Биньковская А.Б.// Восточно-Европейский журнал передових технологий, 2010 - 2/8 (44) - с. 28-31.
В cmammi обгрунтовуеться актуаль-тсть використання вейвлет-перетворень для аналiзу даних електрокардюграми, наводиться математичний апарат для роз-рахунку необхдних мiр близькостi, а також результати використання вейвлет-пере-творень в реальнш медичнш практищ
Ключовi слова: вейвлет-перетворення, мiри близькостi, ЕКГ-сигнали
В статье обосновывается актуальность использования вейвлет-преобразований для анализа данных электрокардиограммы, приводится математический аппарат для расчета необходимых мер близости, а также результаты использования вейв-лет-преобразований в реальной медицинской практике
Ключевые слова: вейвлет-преобразова-
ния, меры близости, ЭКГ-сигналы
□-□
In the article the relevance of using wavelet transforms to analyze electrocardiogram data, given the mathematical apparatus for calculating the required proximity measures and the use of wavelet transforms in real medical practice
Keywords: wavelet transforms, proximity measures, ECG-signals
УДК 621.391.19
М1РА БЛИЗЬКОСТ!
ВЕЙВЛЕТ-ПЕРЕТВОРЕНЬ ПРИ АНАЛ1З1 ЕКГ СИГНАЛ1В
О.Б. Кононенко
Астрант
Кафедра обчислювальноТ математики Кшвський нацюнальний ушверситет iM. Тараса Шевченка просп. Глушкова, 2, корпус 6, м. КиТв, УкраТна Контактний тел.: 050-446-98-53 E-mail: alexei.b.k@gmail.com
Актуальшсть дослщження
В даний час, у зв'язку 3i зростанням числа хворих на iшемiчну хворобу серця, з'явилася нагальна не-обхвдшсть пошуку нових методiв ранньоi доклiнiчноi дiагностики iшемiчних змш мюкарда. Щ методики по-винш ввдповщати ряду вимог: мати досить високу чут-ливють i специфiчнiсть, можливiсть використання в
амбулаторних умовах i невисокi тимчасовi i фiнансовi витрати пiд час проведення скриншгових дослiджень.
Метод стандартноi ЕКГ та проведення навантажу-вальних проб до тепершнього часу досягли певних меж своiх дiагностичних можливостей по виявленню прихованих iшемiчних змш мюкарда. При хрошчних формах 1ХС, а тим бiльше на початкових ii стадiях використання звичайноi електрокардюграфп у спокоi,
як правило, не виявляе ввдхилень ввд норми. У той же час, е тдстави припустити, що вже в цей перюд мають мкце змiни частотних i тимчасових характеристик електричних потенцiалiв серця, якi не рееструються за допомогою звичайного електрокардюграфа [4; 5].
У зв'язку з цим, великий штерес представляють новi методи реестрацii та обробки ЕКГ-сигналу, в 1х числi електрокардiографiя висо^ чiткостi (ЕКГ-ВЧ), що дозволяе вид^яти високочастотнi низькоампль туднi компоненти ЕКГ-сигналу, що несуть додаткову шформащю про розповсюдження збудження по волокнах мюкарда. Для обробки отриманих сигналiв ви-користовуються такi способи, як тимчасовий аналiз за методом Омсона - головним чином використовуеться для виявлення електричноi нестабiльностi мiокарда та виявлення тзшх потенцiалiв передсердь i шлуночкiв
[9; 10].
Мета дослщження
Розглянути математичний апарат розрахунку Mip близькостi при аналiзi даних електрокардюграми.
Результати дослiдження
Вейвлет-перетворення стрiмко завойовують по-пулярнiсть в таких рiзних областях, як телекомуш-кацiï, комп'ютерна графiка i бiологiя. Завдяки добрш пристосованостi до аналiзу нестацiонарних сигналiв (тобто таких, чиï статистичнi характеристики змшю-ються в часi) вони стало потужною альтернативою перетворенням Фур'е в рядi медичних програм. Так як багато медичних сигнали нестащонарних, вейв-летнi методи використовуються для розтзнавання i виявлення ключових дiагностичних ознак, а також для стискання зображення з мжмальними втратами дiагностичноï iнформацiï.
Перетворення Фур'е представляв сигнал, заданий у часовш областi, у виглядi розкладу за ортогональ-ними базисними функщями (синусами i косинусами), вид^яючи таким чином частотнi компоненти. Недо-лiк перетворення Фур'е полягае в тому, що частотш компоненти не можуть бути локалiзованi в чась Це i обумовлюе його застосування пльки до аналiзу ста-цiонарних сигналiв. В той же час б^ьшкть медичних сигналiв мае складш частотно-часовi характеристики. Як правило, таю сигнали складаються з близьких за часом, короткоживучих високочастотних компоненпв
i довготривалих, близьких за частотою низькочастот-них компоненпв [3].
Принципово новi можливостi вiдкриваються в разi застосування до сигналу ЕКГ сучасних матема-тичних методiв аналiзу, заснованих на представлен сигналу у виглядi розкладiв в деяких узагальнених векторних просторах. Найб^ьш вiдомим прикладом такого розкладу е перетворення Фур'е, що реалiзову-еться частше за все як швидке перетворення Фур'е (FFT -FastFourierTransform). Застосування тимчасо-вого «вжна» дозволяе оцiнити змiну спектру сигналу в рiзних фазах кардiоциклу. Цей метод отримав назву спектрально-часового картування (СВК) - Spectral-temporal mapping. Дана методика придбала в даний час
досить широке поширення [6]. Разом з тим, в нш за-лишаються нереалiзованими Bci потенцшш можли-востi методу СВК i в першу чергу в силу природних недолжв стандартного Фур'e-аналiзу.Справа в тому, що метод використовуе фжсоване «вжно», яке не може бути адаптоване до локальних властивостей сигналу. У результат на низькочастотнш дшянщ спектру втрачаеться чiткiсть по частот^ а на високочастотнiй - по часу.
Для виршення ще1 суперечностi в сучаснiй мате-матищ розроблений ряд методiв аналiзу нестащонарних сигналiв (до цього класу сигналiв вiдноситься i ЕКГ). Найб^ьш вiдоме так зване вейвлет-перетворен-ня (Wavelet-transform). Воно являе собою розкладання сигналу по набору базисних функцш, як визначеш на iнтервалi, коротшому, нiж тривалiсть кардiосигналу [5]. При цьому ва функцii набору породжуються за до-помогою двопараметричного перетворення (зсуву по осi часу i змiни масштабу) однiеi вихiдноi функцii, так званоi «материнськоЬ». Вони називаються вейвлети (у перекладi - короткiхвилi або сплески). Великi значен-ня параметру масштабу вiдповiдають застосуванню до вихiдного сигналу фiльтру низьких частот, малi значення - ф^ьтру верхнiх частот [5; 8]. Вщ перетворення Фур'е вейвлет-перетворення вiдрiзняеться тим, що операцiя множення на «вжно» мiститься у самiй базиснш функцii, при цьому вiдбуваеться адаптащя «вiкна» до сигналу при змж масштабу.
У задачах аналiзу ЕКГ-сигналу ключовим моментом е введення мiри близькостi на отриманих даних. При цьому мiра близькостi по можливост повинна задовольняти аксiомам метрики. Мiра близькостi мiж даними е центральним поняттям б^ьшоси алгорит-мiв для пошуку знань у базах даних (datammingalgorit-hms). Загальний математичний апарат розрахунку мiр близькостi було розглянуто в робот Е.В. Бурнаева [1].
Нехай Z - часовий ряд довжини N = 2m для деякого щлого m> 0 (якщо необхiдно, ряд доповнюеться нулями або значеннями, рiвними середньому ряду, поки довжи-на ряду не буде дорiвнювати ступеню двiйки). Викори-стовуючи фiльтр Добешi з L = 4, тдраховуемо вейвлет коефвденти Wzk (k = 0, ..., Nj-1) для 1 < j <J = m. Загальна кiлькiсть вейвлет коефiцiентiв дорiвнюе N - 1.
Вщкидаемо граничнi вейвлет коефвденти. Нехай Nw- кiлькiсть вейвлет-коефвдентв, що залишилась. Очевидно, що для фшы^в Добешi з L = 4Nw = N - 2*m. Якщо часовий ряд доповнювався нулями або значеннями, рiвними середньому ряду, то вщкидаються також ri вейвлет-коефiцiенти, при пiдрахунку яких використовувалися щ новi значення часового ряду. При цьому Nw зменшуеться.
Покладемо WjZk = -
WZ х 2j
, що залишилися
VI k(WZ х 2j)2 пiсля вщкиданця вейвлет коефiцiентiв WjZk. Вектор коефiцiентiв Wj,k представляе собою характеристики ряду, яю, як випливае з вищенаведених властивостей вейвлет коефвдентв, 1) робастнi по вщношенню до змiни середнього ряду, тренду, масштабуванню, 2) не-залежш i нормально розподiленi з нульовим середшм та постiйною дисперсiею.
Нехай WXk та WjY - вектори характеристик часо-вих рядiв X i Y ввдповвдно (передбачаеться, що ряди X
i Y мають однакову довжину). В якоси мiри близькостi мiж тимчасовими рядами X i Y можна використовува-ти косинус кута мiж векторами характеристик, а саме
cosа= ^Wjt хWY . Покладемо Di(X,Y) = -ln(cosa) та
j,k , ,
D2(X,Y) = 1 - cosa. Таке перетворення спрощуе штер-претацiю значень D1(X,Y) i D2(X,Y)- тепер далеким об'ектам вiдповiдають великi значення цих мiр близь-костi, i навпаки.
Оскшьки коефiцieнт WjZk характеризуе змшу в значеннях ряду Z на певному масштабi в певний момент часу, то мае сенс визначити мiри близькоси
|XjJtsign (WX )х sign(W^X)|
на основi значення
cos Р = ]
N„
Покладемо Dз(X,Y) = -1п(^Р) 1 D4(X,Y) = 1 - ^р. Перевага D2(X,Y) та D4(X,Y)в тому, що щ м1ри близь-кост1 обмежеш. Якiсноi р1знищ м1ж м1рами близько-ст1 D2(X,Y), D4(X,Y) iD1(X,Y), D3(X,Y) немае.
Введет мiри близькостi D1(X,Y) та D2(X,Y)харак-теризують, наскiльки сильна нелiнiйна залежнють мiж тимчасовими рядами X i Y (iншими словами, мiри близькоси D1(X,Y) i D2(X,Y) показують, наскшьки ко-ливання тимчасових рядiв X i Y по вiдношенню до iх лiнiйних трендiв схожi). Оскшьки вектор характеристик може моделюватися як випадковий вектор, що мае нормальний розподш з дiагональною коварiацiй-ною матрицею i нульовим середшм, то значенням мiр близькостi D1(X,Y) i D2(X,Y)можна поставити у вщпо-вiднiсть деякi рiвнi значущостi. Значення мiр близько-стi D3(X,Y) i D4(X,Y)показують, наскiльки напрямки коливань тимчасових рядiв X i Y по вщношенню до iх лiнiйним трендам схожь
Зауважимо, що оскiльки дискретне вейвлет-пере-творення з фiльтрами Добешше iнварiантне по вщ-ношенню до звернення часу, то значення введених мiр близькоси змiняться при одночасному зверненш часу в обох часових рядiв.
Тим не менше, якщо для двох часових рядiв мiри близькостi брали близькi до нуля значення, то пюля звернення часу вони як i ранiше будуть приймати близью до нуля значення.
Термш вейвлет-перетворення об'еднуе два види перетворень: пряме та зворотне, яю, вшповшно, пере-водять дослiджувану функщю ^х) в набiр вейвлет-ко-ефщен^в Wy(a,b)f та назад.
Пряме вейвлет-перетворення здшснюеться згiдно формули
- Ь"
W-(a'b) f =i: ijs ф( пг)f (x) d
де a та b- параметри, що визначають масштаб та змщення функцп у, яка називаеться аналiзуючим вейвлетом, Су - нормуючий множник. 1нтегрування здiйснюеться по всiй числовш вiсi.
Базовий, або материнський вейвлет у утворюеться
'x - bл
шляхом розтягнень та здвипв сiмейства ф|
У якостi прикладу використання вейвлет-пере-творень в реальнш дiагностицi на рис. 1 показано три перюди реально! ЕКГ у II вщведенш, на якiй можна видшити кiлька характерних iмпульсiв, званих зуб-цями.
Рис. 1. Три перюду електрокардюграми (II вiдведення), записано! при частой дискретизацií 1 кГц.
По горизонтально осi вiдкладенi номери в^Мв, по вертикальнiй - рiвень сигналу в мкровольт
Зубець р вщповщае скорочення лiвого i правого передсердь.
Комплекс QRS, що включае в себе три iмпульсу q, R i s, вiдображае перiод активностi шлуночкiв. Вшзна-чимо, що зубцi q i s можуть бути слабо виражеш або зовсiм вiдсутнi.
Зубець Т вiдповiдае перiоду реполяризацп шлу-ночкiв.
Вид електрокардiограми може ютотно змiнюватися в залежностi вiд вшведень.
Одна з основних характеристик ЕКГ - штервал R-R мiж двома наступними один за одним iмпульсами R, що вiдображае частоту серцевих скорочень. Виявлення iм-пульсiв R або комплексiв QRS е першочерговим завдан-ням при автоматичнiй обробщ ЕКГ. Завдання iстотно ускладнюеться при збшьшенш обсягу даних, напри-клад, в тому випадку, коли тривала запис кардюграми отримана в результат мониторингу по Холтеру [2].
Сигнал ЕКГ крiм запису електричноi активност серця мiстить шумову добавку, яка включае в себе фон змшного струму (50 або 60 Гц) електромереж^ високо-частотнi коливання, викликаш м'язовими скорочен-нями, а також низькочастотну (частки Гц) складову, обумовлену змшою опору контакив датчик-тiло.
Шумовi добавки високоi частоти вiдносно легко вщокремити простими фiльтрами, однак при цьому фшьтр впливае також на iмпульси комплексу QRS, «розмиваючи» iх.
Вiдзначимо також, що Фур'е-спектр ЕКГ (рис. 1), мае пологу дшянку при збшьшенш частоти, що свщ-чить про корельованоси даних.
Розглянемо, як виглядае вейвлет-скелет сигналу ЕКГ. На рис. 2 зображено скелет сигналу, що мютить три перюди запису ЕКГ.
Скелет наочно вшображае структуру аналiзовано-го сигналу. Аналопчно перетворенню Фур'е, спектр показуе розподш компонент сигналу по частота Однак, вейвлет-аналiз дозволяе ощнити також локаль защю тих чи шших складових. Наприклад, в нижнiй частиш рис. 2 видно близько розташоваш лшп, що утворилися з-за наявноси високочастотних шумiв у записi ЕКГ. Верхня частина, навпаки, мютить тшьки лшп, викликанi внеском компонент з найменшими частотами; зокрема, потенцшно можливо виявити по-ложення комплексiв QRS.
a
Рис. 2. Вейвлет-скелет електрокардюграми, представлено""
на рис. 1. Горизонтальна вюь величини змщення вейвлета збiгаeться з вюсю на попередньому малюнку. За вертикально" оа в логaрифмiчному масштабi вщкладеш масштаби а
Розглянемо структуру вейвлет-спектра ЕКГ бшьш докладно (див. рис. 3).
о 1000 2000 n
Рис. 3. Видтення областей масштабiв на спектр^ характерних для рiзних компонент сигналу ЕКГ.
Затемнена область мютить внесок вiд основних зубфв - р, q, R, s i Т
На спектрi можна видшити кiлька горизонталь-них областей. 1ншими словами, ми подiляeмо сигнал аналопчно тому, як це вщбуваеться при фшьтрацп за допомогою традицшного перетворення Фур'е з прямо-кутним вшном в частотнiй областi. Аналогом частоти в перетворенш Фур'е е масштаб вейвлету (точнiше, аналогом е не сам масштаб, а зворотна йому величина а-1). Кожна смуга на спектрi вщповщае компоненту вихщного сигналу з масштабами, укладених мiж вер-тикальними межами смуги. Наприклад, ора смуга на рис. 3 видшяе з сигналу область з масштабами при-близно вiд 20 до 50.
Розшарування сигналу на окремi складовi при вейвлет-перетворенях можна ефективно використову-вати. Послщовшсть дiй при цьому така. Аналiзований сигнал пiддаеться прямому вейвлет-перетворенню, при цьому змшна Ь повинна проб^ти всi значення в межах обласи визначення сигналу, а коефiцiент роз-тягнення а слiд змiнювати лише в межах, вщповщних масштабам компоненив, якi необхiдно видiлити.
Описана процедура носить назву вейвлет-фшь-трацп, а програма, яка виконуе так дп, - вейвлет-
фiльтром. Звичайно додають ще один етап. Перед зворотним вейвлет-перетворенням в наборi вейвлет-коефщенив Wф (а,Ь) перетворять на нуль и коефiцi-енти, абсолютна величина яких не перевищуе деякого встановленого порогового значення (си>о££^е1).
Звернемося до графiкiв на рис. 4-7. На них показан результати фшьтрацп сигналу (одного перюду ЕКГ) на рiзних iнтервалах масштабiв. Сiрою кривою зобра-жено фрагмент вихщних даних, потовщеною лiнiею - сигнал, отриманий тсля перетворення.
А1 | 600
400
о 400 600 800 1000 n
Рис. 4. Видтення компонент сигналу (потовщеною лЫею показаний видтений сигнал, арою — вихiдний) на масштабах 1-7
А1 1 600
400
о 400 600 800 1000 n
Рис. 5. Видтення компонент сигналу (потовщеною лЫею показаний видтений сигнал, арою— вихщний) на масштабах 8-19
, .л....... 1 ,/\
0 400 600 800 1000 n
Рис. 6. Видтення компонент сигналу (потовщеною лЫею показаний видтений сигнал, арою — вихщний) на масштабах 22-45
1(4 [ ||Д \
и
0 400 600 800 1000 n
Рис. 7. Видтення компонент сигналу (потовщеною лЫею показаний видтений сигнал, арою - вихщний) на масштабах 53-215
Ф^ьтр з невеликими масштабами (рис. 4), вщпо-вщними нижнiй частинi спектру, видшяе з сигналу високочастотнi складов^ якi зазвичай е стороннiм шумом. Крiм шуму на вихщ можуть проникнути iмпуль-снi високочастотш компоненти сигналу, у разi ЕКГ це зубщ комплексу QRS.
Як видно з рис. 4-7, змшюючи масштаб, легко до-битися повного придушення високочастотних шумiв. При цьому, однак, може сильно звузитися i корисний сигнал (див., наприклад, рис. 7).
На практищ вибiр масштабу часлше зручнiше ви-конувати не до перетворення, а шсля нього, обчис-ливши вейвлет-спектр в досить широкому дiапазонi масштабiв.
Потiм по карп спектру вибирають необхщш мас-штаби i виробляють зворотне вейвлет-перетворення. Необхщно вiдзначити, що можна не обмежуватися пльки однiею областю, а вщбирати на спектрi двi або б^ьше смуг.
При використаннi в якосп аналiзуючого вейвлета однiею з функцш сiмейства VMWF у сигналi усша-еться всi моменти ступеня нижче порядку вейвлета. Так, якщо ми застосовуемо вейвлет g2 сигнал втратить постшну i лiнiйну складовi.
При аналiзi електрокардiографiчних даних така властившть вейвлет-аналiзу дозволяе позбутися вщ перекручення iзолiнii, що виникае через поганий елек-тричний контакту мiж датчиком i шкiрою тiла. Нульо-вий потенцiал на ЕКГ звичайно вщповщае дiлянцi вiд закiнчення зубця Т до початку зубця р.
На рис. 8 видно, що шсля обробки записано'1' ЕКГ iзолiнiя спрямляеться. Це дозволяе бшьш точно виз-начити амплггуду окремих зубщв ЕКГ як при автоматичному, так i при ручному аналiзi.
а 400
200
0 1000 2000 3000 4000 n
Рис. 8. Вщновлення 1зол1нп на ЕКГ. Вихщний сигнал (ара крива) пропущений через вейвлет-фтьтр з масштабами вщ 8 до 128
Варiюючи межi областi масштабiв, можна налаш-тувати вейвлет-фшьтр для вирiшення рiзних проблем. У разi даних ЕКГ це дозволяе виршити, як мiнiмум, три завдання.
1). Вщсшання стороннiх шумiв. Для цього необ-хiдно провести фiльтрацiю i усiкання на масштабах вище деякого рiвня, який зазвичай легко виявити на спектрь
Областi скелета, вщповщш шумам, насиченi короткими викривленими л^ями. Рiвень вiдсiкання легко шдбираеться експериментально.
2). Вiдновлення iзолiнii. Це найбшьш проста опе-рацiя, що не потребуе шяких додаткових маншулящя з фiльтром. Вiдновлення iзолiнii е проявом одного з властивостей гаусових вейвлепв.
3) Видшення iнтервалiв R-R. Пiдбором областi масштабiв перетворення можна домогтися того, що комплекс QRS буде ч^ко видiлений на фош значно ослаблених iнших компонент сигналу ЕКГ. З рис. 5 видно, що положення зубщв R вщповщають максимумам сигналу шсля перетворення.
Найпростший вейвлет-фшьтр враховуе лише роз-подiл компонент сигналу за масштабами, приблизно так, як це робить фшьтр Фур'е, аналiзуючи дослщжу-вану функцш в частотнш областi. У деяких випадках (наприклад, при вщновленш iзолiнii або фшьтрацп шуму) цього виявляеться достатньо. Однак, вейвлет-аналiз дозволяе також враховувати локалiзацiю осо-бливостей сигналу.
Так, на рис. 4 можна пом^ити, що при вид^енш шумiв на вихiд проникае i частина корисного сигналу.
Вщповщно, при фшьтрацп сигналу зникне не тiльки шум, але i високочастотна складова комплексу QRS.
На рис. 9 один перюд ЕКГ роздiлений на дешлька дiлянок вiдповiдно до характеру та рiвню сигналу. Центральна область видшяе зубець R, середня (вщ 280 до 520) - весь комплекс QRS, i, нарештi, найбшьш широка область охоплюе сигнал щлком.
а
600 400
Рис. 9. Видтення характерних областей сигналу (зверху) I областей масштаб1в з р1зними р1внями вщакання
У кожнiй з областей такого розбиття був обраний свш коефвдент вiдсiкання (див. табл. 1). Це дозволило зберегти високочастотну частину комплексу QRS, де вщношення сигнал / шум значно перевищуе це зна-чення в шших областях сигналу, що дало можлившть
знизити пор^ в цьому iнтервалi без збоьшення шуму на виходi фыьтра.
Таблиця 1
Масштаби, вiдповiднi Тм рiвнi вiдсiкання i межi iнтервалiв для адаптивного фiльтра
Шдраховаш за пропонованим в робота алгоритмом характеристики робастш по вщношенню до зм1-ни середнього ряду, тренду, масштабуванню, а також незалежш 1 нормально розпод^леш. Щ властивост1 особливо необхщш, коли м^ра 6лизькост1 визначаеть-ся м1ж нестацюнарними часовими рядами, осюльки звичайна евклидова вщстань в якост1 м1ри 6лизькост1 в такому випадку не шдходить.
Експерименти з медичними даними показали ефек-тившсть запропонованих заходов 6лизькост1. У робота запропоновано метод оценки залежност^ м^ри близь-кост1 м1ж тимчасовими рядами в1д часу. Розроблена методика також дозволяе оцшити м^ру 6лизькост1 м1ж тимчасовими рядами на певних делянках спектра цих тимчасових ряд1в.
Масштаб а Пор1г 1нтервал
1,189...3,364 100 405.415
4... 11,314 400 280.520
> 13,454 250 0.900
На рис. 10 показаний фрагмент вщновленого сигналу, фоьтращя якого була здшснена з пост1йним поро-говим р^внем у всьому штерваль На рис. 11 показаний сигнал, выделений адаптивним фильтром з налаш-туваннями за табл. 1. Очевидно, що модифшований алгоритм роботи фильтру дозволяе вщновити сигнал значно точшше.
Рис. 10. Вщновлення сигналу на масштабах бтьше 8 з постiйним рiвнем вiдсiкання (250)
Рис. 11. Адаптивна ф!льтрац!я того ж вихщного сигналу вщповщно до табл. 1 \ рис. 9
Висновки
Вейвлет-перетворення стали потужною альтернативою перетворенням Фур'е в ряд! медичних програм завдяки добрш пр^^сованос^ до анализу нестащ-онарних сигналов. При цьому, ключовим моментом е введення м^ри 6лизькост1 на отриманих даних.
^iTepaTypa
1. BypHaeB E.B., O.eHeB H.H. Mepbi6.H3ocTH Ha 0CH0Be-вeнв.пeткoэ$$нцнeнтoв cpaBHeHH^cTaTUcTH^ecKH-XHpacneTHMXBpeMeHHMXpagoB - Me^y3. c6. Tp. 3a 2005 r.(Bbin.10). KupoB: Bs^Y. - 2006. - C. 41-51.
2. ,^a6poBCKHA. CyTo^Hoe MOHHTopHpoBaHHe 3Kr. / A. ^a-6poBCKH, B. ^a6poBCKH, P. nuoTpoBH^. - M.: MegnpaKTH-Ka, 2000. - 311 c.
3. Akay M. Wavelet Applications in Medicine / M. Akay // IEEE Spectrum. - 1997. - Vol. 34. - No. 5. - Pp. 50-56.
4. Buckingham T.A. Signal-averaged electrocardiograms in the time and frequency domains. / T.A. Buckingham, C. Thess-en, D. Hertweck // American Journal of Cardiology.- 1989.
- Vol. 63. - P.820-825.
5. Crowe J.A. Wavelet transform as a potential tool for ECG analysis and compression. / J.A. Crowe, N.M. Gibson, M.S. Woolfson, M.G. Somekh// Journal of the Biomedical Engineering. - 1992. - Vol. 14(3). - P.268-272.
6. Haberl R. Spectral mapping of the electrocardiogram with Fourier transforms for identification of patients with sustained ventricular tachycardia and coronary artery disease. / R. Haberl, G. Jige, R. Pulter, G. Steinbeck // European Heart Journal. - 1989. - Vol.10. - P.316-322.
7. Gyaw T.A. The wavelet transform as a tool for recognition of biosignals. / T.A. Gyaw, S.R. Ray // Biomedical Scientific Instruments. - 1994-Vol. 30. - P.63-68.
8. Meste O. Ventricular Late Potentials characterisation in Time-Frequency Domain by Means of a Wavelet Transform. / O. Meste, H. Rix, P. Caminal, N. Thakor // IEEE Transaction on Biomedical Engineering. - 1994. - Vol. 41. - P.625-633.
9. Simson M.B. Detection of delayed ventricular activation on the body surface in dogs. / M.B. Simson, D. Euler, E.I. Mich-elson // American Journal of Physiology. - 1981. - Vol.241.
- P.363-369.
10. Simson M.B. Use of signal in the terminal QRS complex to identify patients with ventricular tachycardia after myocar-dial infarction. / M.B. Simson // Circulation. - 1981. - Vol. 64. - P.235-242.
