CC BY
16
Научная статья
УДК 51
МИНИМИЗАЦИЯ ДНФ И КНФ И ЕЁ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Евгения Яковлевна Экгауз,
Каменск-Уральский техникум торговли и сервиса,
Каменск-Уральский, Россия ekgaus.ku@yandex.ru
Елена Григорьевна Цылова,
Пермский национально-исследовательский политехнический университет,
Пермь, Россия lenajasha@rambler.ru
Аннотация. В предложенной статье демонстрируются возможности минимизации канонических форм (ДНФ и КНФ) с помощью стандартизированных преобразований. Такие преобразования позволяют сразу давать ответ в логических задачах.
Статья будет полезна студентам математических и технических специальностей высших учебных заведений при освоении курса дискретной математики.
Ключевые слова: математическая логика, высказывание, конъюнкция, дизъюнкция, дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ), конъюнктивные нормальные формы (КНФ), совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ), совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)
Для цитирования: Экгауз, Е.Я., Цылова, Е.Г. Минимизация ДНФ и КНФ и её использование при решении текстовых логических задач // Вестник Уральского института экономики, управления и права. 2022. №2 (59). С. 87-97.
Original article
MINIMIZATION OF DNF AND CNF AND ITS USE IN SOLVING TEXTUAL LOGICAL PROBLEMS
Evgeniya Ya. Ekgauz,
Kamensk-Uralsky College of Trade and Service, Kamensk-Uralsky, Russia ekgaus.ku@yandex.ru
Elena G. Tsylova,
Perm National Research Polytechnic University,
Perm, Russia lenajasha@rambler.ru
Abstract. The proposed article demonstrates the possibilities of minimizing canonical forms (DNF and CNF) with the help of standardized transformations. Such transformations allow you to immediately give an answer in logical problems.
The article will be useful to students of mathematical and technical specialties of higher educational institutions when mastering the course of discrete mathematics.
Keywords: mathematical logic, statement, conjunction, disjunction, disjunctive normal forms (DNF), conjunctive normal forms (CNF), perfect disjunctive normal forms (PKNF), perfect conjunctive normal forms (PCNF)
For citation: Ekgauz E. Ya., Tsylova E. G. Minimization of DNF and CNF and its use in solving textual logical problems // Bulletin of the Ural Institute of Economics and Law. 2022. No.2(59). P. 87-97. (In Russ.)
Введение
Работа с дизъюнктивными (ДНФ) и конъюнктивными (КНФ) нормальными формами занимает важное место при изучении курса математической логики. Это обусловлено тем, что существует большой класс логических задач, которые могут решаться на основе приведения нормальных форм, соответствующих условию задачи, к совершенному виду (построения, соответственно, СДНФ и СКНФ) или минимизации этих форм.
Практически все текстовые логические задачи имеют общую структуру. Условие задачи представляет собой ряд утверждений, включающих в себя некоторый набор элементарных высказываний, каждое из которых может быть либо истинным, либо ложным. Кроме того, имеется явное или неявное заключение об истинности этих утверждений: все они истинны, или, по крайней мере, одно (два, три, ...) из них истинно, или ровно одно (два, три, ...) из них истинно. Решением задачи является логический вывод, сделанный на основе представленной информации (то есть по существу некоторая нормализация этой информации).
Метод и ход решения зависят как от вопроса, на который нужно ответить при решении задачи, так и от требуемой степени детализации ответа задачи. Поясним это.
1. Если требуется сформулировать искомое умозаключение в виде как можно более компактного и удобочитаемого набора правил, которые должны быть выполнены, исходя из условия задачи, то решение необходимо представить в виде минимальной конъюнктивной формы, так как КНФ является моделью набора инструкций, истин-
ность которого требует истинности всех его членов.
2. Если же требуется сформулировать полный и четкий перечень всех тех случаев, при которых выполняются условия задачи (при этом нет никаких ограничений на количество членов искомой формы, важно сформулировать набор правил, из которых истинно всегда ровно одно), то решение должно представлять собой совершенную дизъюнктивную форму. Именно СДНФ как раз и представляет собой полную группу логических высказываний, истинность любого из которых обеспечивает истинность всей формы. В этом случае построение минимальной КНФ может оказаться полезным этапом при решении главного вопроса задачи, так как (это отмечалось в п. 1) она делает условие задачи легко воспринимаемым и удобочитаемым.
Описание исследования
Задача приведения нормальных форм к совершенному виду и задача минимизации этих форм оказываются неравноценными. Если для совершенных форм существуют строгие определения и чёткие правила приведения нормальных форм к совершенному виду (см., например, [1]), то определения, что такое минимальная форма, по-видимому, не существует. Мадер В. В. определяет минимальную форму как «форму, имеющую самую короткую запись». Неконструктивность этого определения очевидна, так как «короткость» может достигаться за счёт уменьшения количества переменных, входящих в форму, уменьшения числа конъюнкций или числа дизъюнкций. В связи с этим не может существовать и алгоритма приве-
дения к минимальной форме. По большому счету сама задача «минимизировать форму ...» оказывается некорректной, так как для её решения нужно перебрать все возможные варианты форм (а сколько их опять-таки никто не знает) и выбрать из всех более или менее похожую на самую короткую.
По существу есть лишь два общих правила некоторого упрощения ДНФ и двойственные им два общих правила упрощения КНФ.
Эти правила носят название правил поглощения:
1. а v (л л в) = а; а л(а v в) = а;
2. л V (а л В) = л V в; л л (а V в) = л л в.
Справедливость утверждений первой строки основана на законе поглощения меньшего большим, вторая же строка - на свойстве дистрибутивности дизъюнкции и конъюнкции друг относительно друга и "первичных" свойствах дизъюнкции и конъюнкции, вытекающих из их определения:
Av0 = А; AvA = А AvA = 1; Av1 = 1; А л 1 = А; АлА = А АлА = 0; Ал0 = 0.
Кроме общих правил поглощения, приведённых выше, имеющих универсальный характер, существуют также особые правила поглощения, предназначенные для ДНФ и КНФ специального вида. Их мы обсудим позже.
Обозначения
Будем считать, что ДНФ и КНФ составляются из членов (как суммы из слагаемых, а произведения из сомножителей), а каждый член ДНФ и КНФ составляется, в свою очередь, из элементов. Каждый элемент при этом представляет собой или переменную, или отрицание некоторой переменной.
В этих обозначениях минимальной нормальной формой будем считать форму, содержащую наименьшее количество членов, а среди них ту, которая содержит наименьшее общее количество элементов. Таким образом, поиск минимальной нормальной формы осуществляется в два этапа: сначала выбираются формы с минимальным количеством членов, а затем из них выбирают
ту, в которой содержится минимальное общее количество элементов. Следует принимать во внимание, что минимальная форма для данной формы не определяется единственным образом. Этот факт будет проиллюстрирован на примерах ниже.
Вводные замечания
Пусть имеется пространство, определяемое п логическими переменными:
х, у, г,... .
Будем считать, что любой член ДНФ или КНФ содержит каждую переменную не более чем по одному разу, то есть все его элементы различны и не содержат одновременно какой-нибудь элемент вместе со своим отрицанием.
В этом случае каждый п -элементный член ДНФ или КНФ (в частности, член СДНФ или СКНФ) определяет в таблице истинности ровно одну ( 2п_п ) единицу или один ноль соответственно (число строк в таблице истинности и число возможных п -элементных членов одинаково и равно, как известно, 2п ), каждый ( п — 1 )-элементный член ДНФ или КНФ устанавливает в таблице истинности ровно две ( 2п—(п—1)) единицы или два нуля соответственно, каждый ( п — 2 )-элементный член ДНФ или КНФ устанавливает в таблице истинности ровно четыре (2п—( п—2)) единицы или четыре нуля соответственно, и так далее.
С учётом сказанного заметим, что пространство, состоящее из одной логической переменной ( X ), имеет только 3 формы: X, X и X VX = 1 (X • X = 0), и поэтому постановка задачи о минимизации формы в этой ситуации бессмысленна.
Рассмотрим теперь пространство, состоящее из двух логических переменных ( X, У ). Оно имеет 28 — 1 = 255 форм, в том числе 24 — 1 = 15 совершенных форм, исследование которых достаточно просто.
В случае, когда пространство состоит из трёх логических переменных ( X, У, г ), в нём существует уже 226 — 1 = 67108863 формы, из них 28 — 1 = 255 совершенных форм, и их исследование уже достаточно трудоемко.
Сложность форм в пространствах с большим числом переменных возрастает экспоненциально (всего форм в пространстве, состоящем из п логических переменных, -
£ [п V
'У 1 -)3п -1л 12п -|
2 — 1 = 2 — 1, из которых 2 — 1
совершенные), но (на наше счастье) в большинстве практических случаев (и почти всегда в примерах и задачах) число переменных не превышает 3. В связи с этим для простоты ограничимся минимизацией ДНФ и КНФ в пространстве, состоящем из трёх логических переменных ( X, У, Z ), хотя предлагаемый метод без ограничения общности может быть использован и для большего числа переменных.
Необходимо иметь в виду, что минимизация формы может быть как конечной целью решения некоторой задачи (важен именно процесс приведения формы к минимальному виду), так и некоторым фрагментом этого решения (промежуточным этапом получения другого результата), и нам нужна минимальная форма, а как она получена - не важно. Поэтому в описании метода и иллюстрирующих его примерах приведены как непосредственные правила упрощения форм, так и подробные алгебраические выкладки, приводящие к этим упрощениям.
Описание метода
Как отмечалось выше, каждый трёхэлементный ( п = 3 ) член ДНФ или КНФ устанавливает в таблице истинности ровно
Трёхэлементные
одну единицу или один ноль соответственно и «закрывает», таким образом, ровно одну строку таблицы истинности. Воспользовавшись этим фактом, заполним «несколько расширенную» таблицу истинности.
Рассмотрим теперь двухэлементные члены форм. Каждый такой член устанавливает в таблице истинности ровно две единицы или два нуля соответственно и «закрывает» ровно две строки таблицы. Но из двух строк в таблице можно образовать 28 ком-
бинаций (
У2У
2п (2п — 1)
= 2
п —1
(2п—1)),
число возможных двухэлементных членов при этом равно 12
(
Г п >
V 2 У
•22 = п(п 11 ■4 = 2п (п — 1)). В связи с
этим не для каждой комбинации из двух строк в таблице истинности существует «закрывающий» двухэлементный член. Приведём «счастливые» комбинации строк, которым соответствуют двухэлементные члены форм.
И, наконец, рассмотрим одноэлементные члены форм, то есть непосредственно переменные или их отрицания. Каждый такой член устанавливает в таблице истинности уже четыре единицы или четыре нуля соответственно и "закрывает", таким образом, четыре строки таблицы. Приведём возможные комбинации строк.
Таблица 1
члены ДНФ и КНФ
№ X У Z Член ДНФ, Член КНФ,
строки устанавливающий единицу устанавливающий ноль
1 1 1 1 XУZ X V У V z
2 1 1 0 XУZ X V У V z
3 1 0 1 xУz X V У V Z
4 1 0 0 xУZ X V У V Z
5 0 1 1 XУZ X V У V Z
6 0 1 0 XyZ X V У V Z
7 0 0 1 XУz X V У V Z
8 0 0 0 XУZ X V У V Z
Таблица 2
Двухэлементные члены ДНФ и КНФ
№№ строк Член ДНФ, устанавливающий единицу Член КНФ, устанавливающий ноль
1, 2 ХУ Х V У
1, 3 Х2 Х V X
2, 4 XX Х V X
3, 4 ХУ х V У
1, 5 УХ У V X
2, 6 УХ У V X
3, 7 УХ У V X
4, 8 УХ У V x
5, 6 Ху Х V У
5, 7 Хх Х V X
6, 8 Хх х V x
7, 8 ХУ х V У
Т Одноэлементные члены ДНФ и КНФ
Таблица 3
№№ строк Член ДНФ, Член КНФ,
устанавливающий устанавливающий
единицу ноль
1, 2, 3, 4 Х Х
1, 2, 5,6 У У
1, 3, 5,7 X X
2, 4, 6, 8 X X
3, 4, 7, 8 У У
5, 6, 7, 8 Х Х
Предлагаемый процесс построения минимальных ДНФ и КНФ заключается в следующем.
1. Исследуемая форма приводится к совершенному виду. Как правило, рассматривать совершенную форму легче, так как её члены абсолютно равноправны, поэтому, несмотря на, казалось бы, шаг назад, такой переход рекомендуется сделать, и для его осуществления известен несложный универсальный алгоритм.
2. Выписываются, в соответствии с первым столбцом таблицы 1, номера строк, которые содержат члены, входящие в построенную в первом пункте СДНФ или СКНФ.
Как было отмечено ранее, в таблице 1 имеется ровно по одной строке для всех возможных членов СДНФ и СКНФ, поэтому для любого члена номер строки определится единственным образом.
3. Пусть получившаяся в пункте 1 СДНФ или СКНФ содержит не меньше четырёх членов. Если их удается сгруппировать по присвоенным в пункте 2 номерам так, чтобы получилась хотя бы одна четверка, содержащаяся в первом столбце таблицы 3, то члены, соответствующие этим четверкам, нужно заменить одноэлементным членами (переменными или их отрицаниями) из соответствующих строк этой таблицы. Алгеб-
раические преобразования, соответствующие процедуре пункта 3, иллюстрируются следующим примером:
ХУХ V ХУХ V ХУХ V ХУХ = (ХУХ V ХУХ) V (ХУХ V хУХ) = ХУ (X V X) V ХУ (X V Х) =
= ХУ V ХУ = Х (У V У ) = Х
(в приведенном примере рассмотрены четверка членов с номерами 1, 2, 3, 4 в верхней строке таблицы 3).
4. Члены, не вошедшие в сгруппированные в пункте 3 четверки, группируются по своим номерам в соответствии с первым столбцом таблицы 2. Собранные пары трёхэлементных членов заменяются двухэлементными членами из соответствующих строк этой таблицы. Алгебраические преобразования, соответствующие процедуре пункта 4 иллюстрируются следующим примером:
XУZ V XУZ = XI (Z V Z) = XI
(в этом примере рассмотрена пара членов с номерами 1, 2 в верхней строке таблицы 2).
5. Если в результате проделанных упрощений оказалось, что в получившейся форме присутствуют члены, содержащие различное количество элементов, то иногда удаётся упростить форму, воспользовавшись правилами
поглощения: А V АВ = А V В для ДНФ и
А • (А V В) = А • В для КНФ. Отметим, что
в этих тождествах А и В не переменные, а произвольные элементарные конъюнкции (дизъюнкции), поэтому тождество (например)
А V АВ = А V В упрощает формы вида:
ХVХУ = ХVУ, ХVХУХ = ХVУХ, где X, У, Z - любые переменные или их отрицания.
Примечание 1. Приведение к СДНФ или СКНФ в пункте 1 может быть проделано неявно. Если у нас есть двухэлементный член, то можно считать, что у нас в наличии пара номеров строк из соответствую-
щей строки таблицы 2. Если же у нас есть одноэлементный член (переменная или ее отрицание), то можно считать, что у нас в наличии четверка номеров строк из соответствующей строки таблицы 3.
Примечание 2. Вариантов группировки в третьем и четвёртом пунктах может быть несколько, то есть возникает ситуация, когда некоторые члены можно сгруппировать в различные четверки или пары, то есть «приписать» к различным строкам таблиц 3 или 2. Это не порождает никакого «конфликта» выписываются все такие одноэлементные или двухэлементные члены. Никакой мистики тут нет, так как любой член ДНФ или КНФ можно продублировать, не изменяя истинности формы
( А V А = А , А • А = А ). Из получившихся представлений выбирается то, которое приводит к максимальному сокращению формы. Но в любом случае минимальная форма не обладает свойством единственности, и иногда разные варианты группировки приводят к разным совершенно равноправным с точки зрения минимальности формам. Этот случай будет рассмотрен в примере 1.
Примечание 3. При наработке достаточного опыта в пункте 4 можно группировать в пары не только члены, не вошедшие в сгруппированные в пункте 3 четверки, а все члены, тогда пункт 5 может оказаться лишним.
Примеры
1. ХУХ V ХУХ V ХУХ V ХУХ V ХУХ V ХУХ - СДНФ.
Выпишем из таблицы 1 номера строк, соответствующие членам этой СДНФ: 1, 3, 4, 5, 6, 8. Сравнивая этот набор номеров строк с первым столбцом таблицы 3, выясним, что ни одной четверки номеров в нем не содержится. В первом столбце таблицы 2 обнаруживаются пары: 1, 3; 1, 5; 3, 4; 4, 8; 5, 6; 6, 8. Эти пары можно объединить в группы двумя способами (необходимо, чтобы каждый номер строки из первого списка вошёл в объединение хотя бы один раз): 1,
3; 4, 8; 5, 6 и 1, 5; 3, 4; 6, 8. Выпишем члены, соответствующие первому объединению: XX , УX и ХУ . Таким образом, выпишем соответствующую КНФ: ХЪ V УЪ V ХУ . Второму объединению соответствуют чле-
ны: УX, ХУ, XX. Ему соответствует КНФ:
УЪ V ХУ V ХЪ. Обе получившиеся формы
совершенно равноправны с точки зрения минимальности, поэтому обе могут быть приняты в качестве минимальной формы.
2. ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ - СДНФ.
Выписываем номера строк по таблице 1:
2, 3, 4, 5. В таблице 3 не нашлось ни одной подходящей четверки, а в таблице 2 можно найти пары 2, 4 и 3, 4, поэтому выписываем члены: XX и ХУ, соответствующие этим парам. Строка с номером 5 не вошла ни в одну пару, поэтому соответствующий ей член должен быть выписан в КНФ без изменений. Получим:
ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ = ХУ V ХЪ V ХУЪ
Приведём последовательность алгебраических преобразований исходного выражения для получения выписанной минимальной КНФ (без использования таблиц):
ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ -
ХУЪ V (ХУЪ V ХУЪ) V (ХУЪ V ХУЪ) -
ХУЪ V ХУ (( V Ъ) V ХЪ (У V У) -
ХУ V ХЪ V ХУЪ
Заметим, что эта последовательность преобразований сама по себе не гарантирует того, что не существует другой последовательности, приводящей к более короткой форме.
3. ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ -СДНФ.
Вновь выписываем из таблицы 1 номера строк, соответствующие нашей форме: 1, 2, 3, 4, 6. В таблице 3 сразу же находим четвёрку 1, 2, 3, 4 и заменяем ее соответствующим этой четверке членом Х . Строка с номером 6 не вошла ни в одну пару, поэтому соответствующий ей член должен быть выписан в КНФ без изменений:
ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ - Х V ХУЪ Воспользовавшись теперь правилом поглощения А V АВ - А V В (см. п. 5 метода), запишем:
ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ - Х V УЪ Алгебраическая запись: ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ -ХУЪ V (ХУЪ V ХУЪ) V (ХУЪ V ХУЪ) -
ХУЪ V ХУ (( V Ъ) V ХУ (( V Ъ)-
ХУЪ V (ХУ V ХУ) -
ХУЪ V Х (У V У)-
ХУЪ V Х - Х V УЪ
4. ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ - СДНФ. Выписываем номера строк по таблице 1: 3, 6, 8. Из этих номеров можно выделить только одну пару 6, 8, соответствующую
члену УЪ в таблице 2. Ответ:
ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ - ХЪ V ХУЪ. Алгебраическая запись:
ХУЪ V ХУЪ V ХУЪ -ХУЪ V (ХУЪ V ХУЪ) -
ХУЪ V ХЪ (У V У)-
ХЪ V ХУЪ
5. (Х V У V Ъ)-(Х V У V Ъ)-(Х V У V Ъ) - СКНФ.
Номера строк по таблице 1: 3, 5, 7. Из этих номеров можно выделить две (пересекающиеся) пары 3, 7 и 5, 7. С помощью таблицы 2 выписываем ответ:
X V У V Ъ)-( X V У V Ъ)-( X V У V Ъ)-( X V Ъ)-( У V Ъ) Алгебраическая запись:
XvYvЪ) • (XV У'уЪ) • (XvУ vЪ) -
Xv"YvZ •(XvYvZll-KXv YvZ -(XvYvZ|| =
Xv Z)v( Y- Yl| • ((YvZ) v( X-X) l =
=(Xv Z|-( Yv Z
6. (х V У V х)-(х V У V х)^(х V У V х) - СКНФ.
Номера строк по таблице 1: 1, 4, 5. Из этих номеров можно выделить только одну пару 1, 5, соответствующую члену У V Ъ в таблице 2. Ответ:
(Х^У/Ъ) •( XvYvZ) •( Х^У/Ъ) =( Yv2) •( XvYvZ)
Алгебраическая запись:
(Х V У V Х )•( Х V У V Х )•( Х V У V Х ) =
((Х V У V Х) •(( V У V Х ))•(( V У V Х ) =
((( V Х) v(х • Х ))(Х V У V Х ) =
(( V Х )(Х V У V Х)
Особые правила поглощения
Как уже отмечалось выше, существуют дополнительные особые правила поглощения для ДНФ и КНФ. Сформулируем их для пространства, состоящего из трех логических переменных ( X, У, Z ):
1. Если КНФ (ДНФ), зависящая от трёх переменных, является трехчленом, и если симметрия нарушена только по одной из переменных, то поглощается тот член конъюнкции (дизъюнкции), который эту переменную не содержит:
ХУ V ХХ V УХ = ХХ V УХ и
(Х V У) • (Х V Х) • (У V Х) = (Х V Х) • (У V Х);
2. Если КНФ (ДНФ), зависящая от трех переменных, является трехчленом, и при этом симметрия нарушена по двум из этих переменных, то данная КНФ (ДНФ) равносильна двухчленной конъюнкции (дизъюнкции), одним из членов которой является переменная, по которой симметрия не нарушена, а вторым членом будет член первоначальной КНФ (ДНФ), не содержащий эту переменную:
ХУ V ХХ V ХХ = Х V ХУ и
(Х V У) • (Х V Х) • (У V Х) = Х • (Х V У).
3. Если КНФ (ДНФ), зависящая от трех переменных, является трехчленом, и сим-
метрия нарушена по всем трем переменным или, наоборот, симметрия вообще не нарушена, то рассматриваемая КНФ (ДНФ) является минимальной и дальнейшие ее упрощения невозможны.
Знать эти правила полезно, но не необходимо, так как они все получаются из предложенного метода.
Логические задачи
Как уже отмечалось выше, основным методом решения большого числа логических задач является приведение условия задачи и которые могут быть решены с помощью сведения условия задачи к дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной форме и последующего приведения этой формы к совершенному виду или, наоборот, ее минимизации.
Прежде чем проиллюстрировать сказанное, отметим, что в текстовых логических задачах условия формулируются не в виде «готовых» дизъюнкций и конъюнкций, а в виде привычных для языка импликаций и эквиваленций. Поэтому первым (подготовительным) этапом их решения является исключение этих импликаций и эквивален-
ций на основе правил: А ^ В = А V В и
А ^ В = (А V В) (А V В) = АВ V АВ с последующим упрощением полученных или исходных «сложных» отрицаний с помощью
правил де Моргана: АВ = А V В и
А V В = АВ.
Условия следующих двух задач сформулированы в вышеупомянутой книге Мадера В.В. В этой книге можно найти и много других интересных задач.
1. У Пети был день рождения, и он хотел пригласить своих друзей. При составлении списка приглашённых участвовала вся семья.
Мама сказала: «Если мы пригласим Володю, то надо пригласить и Андрея. А Серёжу приглашать не надо».
Папа сказал: «Неверно, что Андрея или Володю, а также Серёжу можно пригла-
сить тогда и только тогда, когда будет приглашён или Серёжа, или Володя».
Бабушка сказала:«Нельзя приглашать ни Андрея, ни Володю».
Пете это не понравилось, у него было своё мнение, кого приглашать на свой день рождения. Из чувства неподчинения он сказал, что в качестве инструкции возьмёт не эти высказывания, а их отрицания.
Сформулируйте Петины правила «совместимости» гостей.
Решение. Так как должны быть выполнены одновременно все 3 условия, то задача на КНФ, а так как нам не требуется указывать точно все комбинации гостей, а только общие правила их "совместимости", то задача на минимизацию.
Обозначим элементарные высказывания, заключающиеся в том, что будут приглашены конкретные мальчики, первыми буквами их имён: А , В , С.
Мамино условие: (в ^ а) С - (В v а) • С. Папино условие:
(В V А)-С^ СVВ -
-(((В V А) • С) л(С V В)) V А) • С) Л(С V В))
Бабушкино условие: АВ. Петино условие:
(( V А)- С-(((В V А)- С )Л(С V В))
^((В V А)- С )л(С V В))- АВ
После применений правил де Моргана, раскрытия скобок и удаления одинаковых членов мы придём сначала к приблизительно такой (довольно сложной) КНФ:
(А V В )-(А V С )-(В V С)-(А V С )-(А V В V С )-
- (А v В v С) (ее вид зависит от способа ее получения), а затем к единственной и более простой СКНФ:
(Аv В V с)-( Аv В V с)-( А V В V с)-( Аv В V С)-
-(А VВ V С)
Выписываем номера строк по таблице 1:
2, 4, 6, 7, 8. В соответствии с таблицей 3 сразу же заменяем четверку 2, 4, 6, 8 соответствующим ей членом С:
(А V В V С)-(А VВ V С)-(А V В V С)-
-( А V В V С )-(А V В V С)- С-( А V В V С)
Теперь можно воспользоваться правилом поглощения и записать:
С-( А V В V С)-С-(А V В)
Итак, на день рождения нужно пригласить Сережу и хотя бы одного из пары Андрей Володя (можно и обоих вместе, то есть не исключается вариант, в котором будут приглашены все мальчики).
2. На столе стоит корзина с яблоками: большими и маленькими, сладкими и кислыми, желтыми и зелеными. На столе лежит инструкция, регламентирующая, какие яблоки можно брать из корзины:
1) сладкое яблоко следует брать только при условии, что оно большое и желтое;
2) если яблоко большое, то сладкий вкус должен быть достаточным признаком жёлтого цвета;
3) если яблоко зеленое, то для того, чтобы оно было кислым, необходимо, чтоб оно было маленьким.
Какие яблоки разрешается брать из корзины.
Решение. Здесь даны не требования, которые должны быть выполнены одновременно, а варианты, хотя бы один из которых должен быть выполнен, поэтому задача на ДНФ. Решением задачи должно быть точное указание, какие яблоки можно брать, а какие нельзя, поэтому задача на построение совершенной формы.
Обозначим большие яблоки буквой Б, сладкие яблоки буквой С, желтые яблоки буквой Ж, тогда маленькие яблоки Б, кислые яблоки С, зеленые яблоки Ж .
Инструкция требует:
С ^ БЖ-С V БЖ;
Б ^(с ^ ж)- бv( С ^ ж)- бv( Сv ж)- Б V С V Ж;
Ж ^(с ^ Б) = Ж v(c ^ Б) = Ж v(c V Б) =
= Ж V С V Б.
Так как должны быть выполнены все пункты инструкции (на то она и инструкция, а не набор услуг), то составляем конъюнкцию:
(СVБЖ)•(БVСvж)-(жVСVБ). На
основе этой формулы строим КНФ:
(С V Б )•( С V Ж )•( Б V С V Ж )•( Ж V С V Б)
которую переводим в СКНФ:
(Б V С V Ж )•( Б V С V Ж )•( Б V С V Ж )•
•( Б V С V Ж)
Выписываем номера строк по таблице 1: 2, 4, 5, 6. В таблице 2 можно найти пары 2,
4 и 5, 6, поэтому выписываем члены: Б V Ж
и Б V С, соответствующие этим парам. Получим минимальную ДНФ:
( Б V С V Ж )•( Б V С V Ж )•( Б V С V Ж )•
•( Б V С V Ж ) = ( Б V Ж )•( Б V С)
Последняя форма стандартными методами легко сводится к СКНФ:
(Б V Ж )•( Б V С ) = БС V ЖБ V ЖС = = БС V ЖБ = БСЖ V БСЖ V БСЖ V БСЖ
Итак, из корзины разрешается брать следующие «сорта» яблок: большие желтые (как сладкие, так и кислые) и маленькие кислые (как желтые, так и зеленые). Заключительные замечания До сих пор мы с целью минимизации формы двигались от таблицы 1 к таблицам 3 и 2. Но можно двигаться и наоборот, от таблиц 3 и 2 к таблице 1. В этом случае после отбрасывания одинаковых членов мы получим быстрый способ построения СДНФ и СКНФ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мадер, В.В. Школьнику об алгебре логики. Книга для внеклассного чтения учащихся 10-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1993.
REFERENCES (TRANSLITERATION)
1. Mader, V.V. SHkol'niku ob algebre logiki. Kniga dlya vneklassnogo chteniya uchashchihsya 1011 klassov srednej shkoly. M.: Prosveshchenie, 1993.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Экгауз Евгения Яковлевна, преподаватель, ГАПОУ СО «Каменск-Уральский техникум торговли и сервиса», г. Каменск-Уральский, Россия.
E-mail: kgaus.ku@yandex.ru
Цылова Елена Григорьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Пермский национально-исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Россия.
lE-mail: enajasha@rambler.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Evgeniya Ya. Ekgauz, teacher, Kamensk-Uralsky College of Trade and Service, Kamensk-Uralsky, Russia.
E-mail: ekgaus.ku@yandex.ru
Elena G. Tsylova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia. E-mail: lenajasha@rambler.ru
Дата поступления статьи / Received: 16.05.2022 Принята к публикации / Accepted: 15.06. 2022
