CC BY
28
Выбор оптимального метода минимизации при разработке программы поиска минимальной
о о 1
дизъюнктивной нормальной формы
В. А. Табанина Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия alekseevnav@gmail.com
Аннотация. Рассмотрены распространенные в изучении методы минимизации логических функций: эквивалентных преобразований, карт Карно, Куайна и Куайна-Маккласки. Проводится их анализ и сравнение, указываются основные математические соотношения, лежащие в основе методов, достоинства и недостатки. Выбран оптимальный метод с целью разработки ^уа-приложения, реализующего минимизацию логических функций в случае произвольного числа переменных.
Ключевые слова: минимизация, дизъюнктивные нормальные формы, совершенная и минимальная дизъюнктивные нормальные формы, эквивалентные преобразования, карты Карно, Куайн, Маккласки, логические функции.
Введение
В настоящее время вычислительная техника становится неотъемлемой частью нашей жизни. Каждый год появляются новые сферы ее применения. Из-за этого задачи, выполняемые вычислительными системами, усложняются. Для их решения требуются разработки новых и совершенствование старых методов логического проектирования цифровых устройств. Логическое проектирование при этом понимается в широком смысле. Оно основывается на методах минимизации логических функций и включает в себя не только структуру функции, но и анализ динамики на уровне переходных процессов, который связан с изменением переменных и временными характеристиками элементов. В связи с этим исследования, направленные на развитие методов минимизации логических функций, по-прежнему актуальны.
Практически любая логическая функция может быть упрощена непосредственно с помощью законов алгебры логики, но, как правило, при таком подходе преобразования требуют громоздких вычислений, тратится много времени и вероятность допущения ошибки возрастает. Поэтому целесообразно использовать специально разработанные алгоритмические методы минимизации, позволяющие проводить упрощение функции быстрее и безошибочно.
В учебной дисциплине «Алгебра логики» чаще всего рассматриваются следующие методы:
• метод эквивалентных преобразований;
• карты Карно;
• метод Куайна;
• метод Куайна-Маккласки;
Целью настоящей статьи является сравнение и анализ этих методов, определение оптимального для минимизации логических функций произвольного числа переменных, а также разработка компьютерной программы для поиска минимальных дизъюнктивных форм выбранным методом на языке Java.
Основные термины
Функцией алгебры логики n-переменных (или функцией Буля) называется функция n-переменных, где каждая переменная принимает два значения: 0 или 1, при этом функция может принимать только одно из двух значений.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.
Минимальная дизъюнктивная нормальная форма получается из совершенной дизъюнктивной нормальной формы путем применения указанных ранее методов.
Элементарной конъюнкцией n-переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.
Среди множества ДНФ А существует единственная ДНФ А', из которой имеются перечисленные ниже свойства [1]:
1) каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию f(X1 ,X2,..., Xn);
2) все логические слагаемые формулы различны;
3) ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание;
4) ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
Эти свойства называются свойствами совершенства. ДНФ, удовлетворяющая этим свойствам, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
Если функция f(XbX2,..., Xn) задана таблицей истинно -сти, то соответствующая ей СДНФ может быть получена просто. А именно, для каждого набора значений переменных, на котором функция f(X1,X2,.,Xn) принимает значение 1, записывается конъюнкция элементарных переменных, взяв за член конъюнкции Хк, если значение Хк на указанном наборе значений переменных есть 1, и отрицание Хк, если значение Хк есть 0.
Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет искомой формулой. Такие наборы конъюнкций называются импликантами. Элементарная конъюнкция К называется
1п1е11есШа1 Technologies оп ТгатроН. 2018. N0 2
импликантой функции £ если для всякого набора а = (а1,..ап) из 0 и 1 условие К(а) = 1 влечет Да) = 1.
Задача минимизации ДНФ заключается в поиске такой ДНФ для заданной булевой функции £ которая содержала бы минимальное число конъюнкций или букв [2]. ДНФ называется минимальной, если она имеет наименьшую длину среди всех эквивалентных ей ДНФ. Дизъюнкция простых импликант булевой функции называется безызбыточной (тупиковой), если она представляет эту функцию и не содержит импликант, поглощаемых другими [3].
Из тупиковой ДНФ нельзя удалить ни одной элементарной конъюнкции и ни одной буквы без изменения представляемой ею булевой функции. Тупиковая ДНФ получается из сокращенной ДНФ путем последовательного исключения простых импликант. Для одной и той же функции может существовать (в общем случае) несколько различных тупиковых ДНФ, в отличие от сокращенной ДНФ, которая однозначно определена. Справедливы следующие утверждения [4]:
1. Любая МДНФ булевой функции представляет собой дизъюнкцию множества некоторых простых импликант этой функции и являются тупиковой ДНФ.
2. Булева функция может иметь несколько различных минимальных ДНФ.
3. Существуют такие тупиковые ДНФ, которые не являются минимальными.
Характеристика методов минимизации
Рассмотрим основные характеристики методов минимизации, ключевые математические соотношения, а также достоинства и недостатки методов.
Метод эквивалентных преобразований
В основе метода минимизации булевых функций с помощью эквивалентных преобразований лежит последовательное использование законов булевой алгебры [5].
Основные эквивалентные соотношения в булевой алгебре
1. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции:
Х1 л Х2 = Х2 л Х1 и Х1 V Х2 = Х2 V Х1.
2. коммуникативность конъюнкции и дизъюнкции:
Х1 л (Х2 л Х3) = (Х1 л Х2) л Х3 =
= Х1 л Х2 л Х3;
Х1 V (Х2 V Х3) = (Х! V Х2) V Х3 =
= Х1 V Х2 V Х3.
3. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:
Х1 л (Х2 V Х3) = Х1 л Х2 V Х1 л Х3.
4. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
Х1 V (Х2 л Х3) = (Х1 V Х2) л (Х1 V Х3).
5. идемпотентность:
Х1 л Х1 = Х1 и Х1 V Х1 = Х1.
6. Закон двойного отрицания:
Х = Х.
7. Свойства констант 0 и 1:
Х л 1 = Х; Х л 0 = 0;
ХV1 = 1; ХV0 = Х.
8. Правила Де Моргана:
Х^Х = Х VХ2;
Х1 V Х2 = Х1 л Х2.
9. Закон противоречия:
Х л Х = 0.
10. Закон исключенного третьего:
Х V Х = 1.
Эти эквивалентные соотношения выводимы друг из друга, и их достаточно для выполнения всех эквивалентных преобразований. однако для упрощения логических формул используются следующие соотношения, полученные с помощью основных эквивалентных преобразований:
1) склеивание
АХ V АХ = А(Х V Х) = А;
2) поглощение
АХ V А = А,
где А - любая логическая функция.
Этот метод требует больших затрат труда, поэтому его стоит использовать лишь для простых функций и для количества логических переменных не более четрех. В случае, когда логических переменных много и функция сложная, возрастает вероятность пропустить склеивающиеся импли-канты, что приведет к неправильной минимизации логической функции. кроме того, в связи с неалгоритмичностью его сложно запрограммировать.
Минимизация с помощью карт Карно
Минимизация с помощью карт Карно - графический метод представления таблиц истинности логической функции. На карте Карно булева функция ДХ^ Х2,..., Хп) задается указанием в каждой ячейке значения, которое она принимает на соответствующем наборе простых элементов [6]. Количество ячеек зависит от числа логических переменных, а именно: таблица содержит 2п ячеек, где п - число переменных.
Все эти наборы переменных (импликанты) образуют структуру, по топологии эквивалентную М-мерному кубу. Причем любые две импликанты, соединенные ребром, могут быть склеены и поглощены. На рис. 1 в качестве примера показана таблица истинности для булевой функции трёх переменных в виде трёхмерного куба и соответствующая ему развертка.
Рис. 1. Таблица истинности для булевой функции трёх переменных и соответствующий ей куб
1п1е11гс1ыа1 Technologies оп ТгатроМ. 2018. N0 2
Этот метод применим при трех, четырех и даже пяти переменных. Он основан на зрительном анализе, поэтому при большом количестве переменных таблицы становятся громоздкими и менее понятными, что может привести к допущению ошибок. Данный метод с трудом может быть применен для реализации вычислительной техникой.
Метод Куайна
Метод Куайна условно разделен на два этапа [7]:
• преобразование совершенной дизъюнктивной нормальной формы в сокращенную;
• преобразование сокращенной формы в минимальную.
Первый этап. В заданной СДНФ все импликанты нумеруются для удобства дальнейшего склеивания. После производится попарное сравнение членов СДНФ, их анализ на возможность склеивания и поглощения. Полученный набор переменных называют простыми импликантами [8].
Второй этап. Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма может содержать в себе так называемые лишние простые импликанты. Лишними импликантами называют такие простые импликанты, при удалении которых результат никак не изменится. Чтобы выявить такие импликанты, нужно составить импликантную матрицу Куайна (рис. 2), в строки которой записываются полученные на прошлом этапе простые импликанты, а в столбцы - члены СДНФ [9]. После заполнения таблицы рассматриваются все пересечения строк со столбцами и ищется полное покрытие таблицы с минимальным количеством простых импликант.
Метод Куайна-Маккласки
В методе Куайна есть один существенный недостаток, который связан с попарным сравнением всех импликант. Это сравнение занимает значительное количество времени,
а также есть большая вероятность пропустить какое-нибудь склеивание или поглощение, что приведет к ошибке. Эдвард Дж. Маккласки усовершенствовал метод Куайна, систематизировав первый этап.
Аналогично методу Куайна метод Куайна-Маккласки условно разделен на два этапа, и в его основу тоже положен закон склеивания и поглощения. В отличие от рассмотренного ранее метода Маккласки приводит все элементарные
конъюнкции к двоичному номеру, т. е. заменяет X на 1, а X -на 0 [10]. После этого все двоичные номера сортируются по количеству единиц и записываются в таблицу со столбцами «номер группы», который соответствует количеству единиц в импликантах, и «двоичные номера» [11]. Склеивание производится только между соседними группами и между теми импликантами, в которых отличается только одна переменная.
Второй этап в методе Куайна-Маккласки практически не отличается от второго этапа в методе Куайна. Разница лишь в том, что в строки и столбцы импликантной таблицы записываются не члены СДНФ и простые импликанты, а их двоичные номера.
Усовершенствование МакКласки - разбиение конститу-ент на группы по количеству в них единиц - уменьшило число попарных сравнений при склеивании, что значительно снизило риск сделать ошибку и сократило время на выполнение ручного счета, а также упростило программную реализацию для любого числа переменных.
Исходя из проведенного анализа, для реализации программы минимизации логических функций произвольного числа переменных взят метод Куайна-Маккласки, так как он алгоритмизирован и подходит для любого числа импликант.
Пример работы и интерфейс программы показан на рис. 3.
Ч X ix 1й 1й ix ix |>? x 1й 1й ix ix |>? x 1й ix ix x ix Т)" x 1й ix ix ЬП x x 1й ix ix ix x x ix ix x ix; 1й 1й x ix ЬП x 1й 1й x ix ix x 1й x ix x ix x x ix x <Л x чг x x x ix ix x 1й 1й x x ix ix x 1й x ix 1й 1й x x x ix ix x x x ix x x x .■о ix x x x x <П x '¿г x 1й x x 1й 1$ x x x x 1 й x $ x
x ; x; \ ; x /, x x x x
x; x x. x x/, x x
x 1x2x3x4x5 x x
x ■ x - x. \. x x
х1хзх4хдхб x x
x ■ x x. x x x x
x x x. x > x x x
x ■ x - x. x. x/, x x
x; x; x1xx/, x x
x; x ■ x x . x x x
x1x2x5x4x6 x x
х^х^х^хдхд x x
x1 x; x; x : x хл x
x: x ■ x x. x x x
х2хзх4х5х6 x x
x ■ x - x. x. x/, x x
x x х\( x/, x x
Рис. 2. Пример заполненной матрицы Куайна
McCluskey Method
Х1 Х2 X3j X4 X5 X6 X7 l X8 I ÜJ —
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 —
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 1
с M 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0
о III 0 0 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
с LI 0 1 0
0 0 0 1 0
0 LI 0 1 о
0 0 0 0 0 0
о 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0 III —j— 0 0 1 0 Q ; V
U--1U1U1
001011~0 -
001101-1
001-1011
0-1-1110
01000-00
0^010011
0-10-011
011011-1
01-11001
100001-0
10011101
1-011-10
101001-1
101=1010
1011=001
1=000001
11000111
11001011
11001101
110-1110
11010—0
111~K100
1111011-
11111''00
11111011
1111110"
ЦНЗ»НПК1ПСПШ4 пианол tjriox фирна--
Количество ариантов - 2016
Вариант № 1
XI X2 ХЗ X4 ХБ X7 X8 V XI X4 X5 X6 xr xa v xi X2 X3 X4 X5 X6 X8 V XI X2 X3 X4 X5 X6 X8 V
XI X2 ХЗ X5 X6 X7 X8 V XI X3 X5 X6 X7 <3 V XI X2 X3 X4 X5 X7 XS V XI X3 X4 X5 X6 X7 XS V
XI X3 X4 X6 X7 X8 V XI X2 X3 X4 X5 X6 ХЗ V XI Х2 X4 X5 X6 X7 XS V XI X2 X3 X4 X5 X6 X8 V
XI X2 ХЗ X4 X5 X6 xr XS V XI X3 X4 X5 X7 XS V XI X2 X3 X4 X5 X6 XS V Kl X2 X3 X5 X6 X7 XS V
XI X2 ХЗ X4 X6 X7 XS V XI X3 X4 X5 X6 X7 XS V XI X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 V XI X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 V
XI X2 ХЗ X4 X5 X6 X" XS V XI X2 Xü X5 X6 X7 \6 V XI X2 X3 X4 X5 XS V XI X2 X3 X6 X7 XS V
XI X2 ХЗ X4 X5 X6 X7 V XI X2 X3 X4 X5 X7 XS V XI X2 X3 X4 X5 X6 ХГ X8 V XI X2 X3 X4 X5 X6 X7 V
X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 V XI кг X3 X4 X5 ï.6 X~ V <2 X3 X4 X5 X6 X7 XS V XI X2 X3 X4 X5 X6 X7 V
XI X2 ХЗ X4 X5 X6 K7 V XI X2 X3 44 X5 X6 ХГ V XI X2 X3 X4 X5 X7 XS V XI X2 X3 X5 X6 X7 X8 V
X2 X3 X4 X5 X6 X7 ХЗ V X2 X3 X4 XS X6 X7 XS V 41 X2 X3 X4 X5 X6 X7 V \1 X2 X3 X5 XS V
XI X2 ХЗ X4 X6 X8
Вариант № 2
XI X2 ХЗ X4 X6 X7 X8 V XI X4 X5 X6 X7 ХЗ V xi X2 X3 X4 X5 X6 X8 V \1 X3 X4 xl X6 XB V
XI X2 ХЗ X5 X6 X7 X8 V XI X3 X5 X6 X7 <3 V :•! Х2 X3 X4 X5 X7 XS V '1 X4 X5 X6 X7 XS V
XI X3 X4 X6 X7 xa V XI X2 X3 X4 X5 X6 xa V XI X2 X4 X5 X6 X7 X8 V XI X2 X3 X4 X5 X6 X8 V
I Сгенерировать случайную функцию
^ Запустить pi
[ Очистить функцию
© Справка
Рис. 3. Пример работы программы
Реализация
зований, карт Карно, Куайна и Куайна-Маккласки. Произ-
Программа состоит из двух классов:
• Value - основной класс, в котором происходят все вычисления, обработка ввода и вывода на экран;
• Cub - это специальный класс, в который входит динамический массив, реализующий импликанты и переменные типа Boolean, используемый для понимания, использована (вычеркнута) ли данная импликанта в конкретной ситуации.
Разработаны следующие методы:
• метод GetStringSDNF() - считывание значений функции из таблицы;
• метод GetFirstCube() - сортировка по количеству единиц;
• метод GetCube() - сравнение соседних строк таблицы. Производится сравнение каждой импликанты первого списка с каждой из второго и т. д. Если они отличаются на одно значение, стоящее в той же позиции, то это значение заменяется символом *;
• метод RDuplicate() - удаление повторяющихся элементов от нового получившегося списка;
• метод TableImplicant() - расчет таблицы импликант;
• метод MatchOneCube() - проверяет, покрывают ли простые импликанты члены СДНФ, если да - ставится метка;
• метод SokrTable() - выполняет расчет покрытиятаб-лицы импликант без учета ядра. Сначала считается, сколько простых импликант и конституент единицы осталось «не-вычеркнуыми», т. е. не вошедшими в ядро. Затем из них создается еще одна таблица.
Заключение
Рассмотрены распространенные в изучении методы минимизации логических функций: эквивалентных преобра-
веден их анализ и сравнение, выявлены достоинства и недостатки каждого из них.
Анализ показал, что первый метод - метод эквивалентных преобразований - в связи с неалгоритмичностью сложно запрограммировать. Метод карт Карно основан на зрительном анализе, поэтому данный метод с трудом может быть применен для реализации вычислительной техникой. В методе Куайна при конструировании множества всех простых импликант тратится много времени на поиск соседних элементарных конъюнкций в преобразуемой ДНФ, что занимает значительное время. Усовершенствование Маккласки - разбиение конституент на группы по количеству в них единиц - систематизировало метод Куайна, значительно сократило число сравниваемых двоичных номеров при склеивании, что позволило уменьшить время на выполнение минимизации.
На основе этих выводов был выбран метод Куайна-Маккласки для разработки 1ауа-приложения, реализующего минимизацию логических функций в случае произвольного числа переменных.
Литература
1. Лихтарников Л.М. Математическая логика / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. - СПб. : Лань, 2008. - 288 с.
2. Глухов М.М. Математическая логика / М.М. Глухов, А.Б. Шишков. - СПб. : Лань, 2012. - 405 с.
3. Закревский А. Д. Логические основы проектирования дискретных устройств / А. Д. Закревский, Л. Д. Поттосин. -М. : Физматлит, 2007. - 584 с.
4. Набебин А.А. Дискретная математика / А.А. Набе-бин. - М. : Научный мир, 2010. - 509 с.
5. Ершов Ю.Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. - СПб. : Лань, 2005.
6. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - СПб. : Лань, 2002. - 396 с.
7. Карри X. Основания математической логики. - М. : Мир, 1966.
8. Victor P. Nelson, H. Troy Nagle, Bill D. Carroll, David Irwin, Digital Logic Circuit Analysis and Design, 2 Ed Prentice Hall. 1995. - ISBN 0134638948. - 842 pages.
9. Bradford Henry Arnold. Logic and Boolean Algebra. -Dover Publications Reprint, 2011. - 158 pages.
10. Goodstein R.L. Boolean Algebra // The Commonwealth and International Library of Science, Technology, Engineering and Liberal Studies, Vol. 6, Pergamon Press, Oxford, 1963. - 140 pages.
11. H. Graham Flegg. Boolean Algebra. - John Wiley & Sons Canada, Limited, 1964. - 261 pages.
Choosing an Optimal Method of Minimization while Developing a Program for Searching Minimal Disjunctive Normal Forms
V.A. Tabanina
Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University St. Petersburg, Russia alekseevnav@gmail.com
Abstract. The methods of minimizing logical functions, equivalent transformations, Carnot, Quine and Quine-McCluskey maps, are widely used in the study. They are analyzed and compared, the main mathematical relationships underlying the methods, advantages and disadvantages are indicated. An optimal method is chosen with the goal of developing a Java application that minimizes the logical functions in the case of an arbitrary number of variables.
Keywords: minimization, boolean algebra, disjunctive normal form, canonical normal form, minimization of the logic functions, equivalent transformations, Carnot's cards, Quine's method, Quine-McCluskey method.
REFERENCES
1. Likhtarnikov L.M. Logic Theory [Matematicheskaya Logika], SPb. : Fallow deer, 2008. - 288 pages. (In Russ.)
2. Glukhov M.M. Logic theory [Matematicheskaya Logika], SPb. : Fallow deer, 2012. - 405 pages. (In Russ.)
3. Zakrevsky A.D. Logical bases of design of the discrete devices [Logicheskie osnovy proektirovaniya diskretnykh
ustroystv], D. Zakrevsky, L.D. Pottosin. - Moscow : Fizmatlit, 2007. - 584 pages. (In Russ.)
4. Nabebin A.A. The discrete mathematics [Diskretnaya ma-tematika], Moscow: Scientific world, 2010. - 509 pages. (In Russ.)
5. Yershov Yu. L. Logic theory [Matematicheskaya logika], Yu.L. Yershov, E.A. Palyutin. - SPb. : Fallow deer, 2005. (In Russ.)
6. Kurosh A. G. Lectures on the general algebra [ Lektsii po obshchey algebre.]. - SPb. : Fallow deer, 2002. (In Russ.)
7. Carry X. Bases of a logic theory [Osnovaniya ma-tematicheskoy logiki]. - M. : Patterns, 1966. (In Russ.)
8. Victor P. Nelson, H. Troy Nagle, Bill D. Carroll, David Irwin, Digital Logic Circuit Analysis and Design, 2 Ed Prentice Hall. - 1995. - ISBN: 0134638948. 842 pages.
9. Bradford Henry Arnold. Logic and Boolean Algebra. -Dover Publications Reprint, 2011. - 158 pages.
10. Goodstein, R. L., Boolean Algebra // The Commonwealth and International Library of Science, Technology, Engineering and Liberal Studies, Vol. 6, Pergamon Press, Oxford, 1963, 140 pages.
11. H. Graham Flegg. Boolean Algebra. - John Wiley & Sons Canada, Limited, 1964. - 261 pages.
HHmmneKmyanbHbie техноnогии Ha mpaHcnopme. 2018. № 2
58
