CC BY
67
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 519.711
ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОНФЛИКТА
СИСТЕМ
© В. И. ЛЕВИН Пензенская государственная технологическая академия e-mail: levin@pgta.ru
Левин В. И. — Логико-алгебраические методы в теории конфликта систем // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 596—608. — Показано, что отношения конфликта, сотрудничества и нейтральности между системами, описываемыми с помощью аппарата алгебры логики, можно успешно изучать с помощью этого же аппарата. Это обеспечивает конструктивность изучения, эффективность вычислительных алгоритмов, легкость интерпретации результатов.
Ключевые слова: конфликт, сотрудничество, нейтральность систем, алгебра логики, логическое изучение систем
Levin V. I. — Logical-Algebraic Methods in the Theory of Conflicts of Systems // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 596—608. — It is shown that relations of the conflict, cooperation and a neutrality between systems described by means of logic algebra it is possible to study successfully by the same mathematical apparatus. Such approach provides constructibility of studying, efficiency of computing algorithms and results interpretation ease.
Keywords: systems conflicts and cooperation, neutrality between systems, logic algebra, logical studying of systems
1. ВВЕДЕНИЕ
Разнообразные конфликты присутствуют практически во всех областях, с которыми связана деятельность человека: общество, его экономика, природа, техника. Однако различные виды конфликтов до сих пор воспринимаются учеными не как различные проявления в принципе одного и того же явления, а как существенно разные процессы. В связи с этим современная наука о конфликтах развивается по различным направлениям, связанным отчасти с типами изучаемых конфликтов, но в большей степени
- с полученным образованием и опытом работы исследователя. В наибольшей степени сложилось два таких направления - гуманитарное и естественнонаучное. Первое направление использует традиционные качественные методы гуманитарных наук и направлено не столько на детальное изучение, сколько на способы практического разрешения психологических, педагогических, медицинских, этнических, религиозных, юридических, политических и иных подобных конфликтов [1]. Второе направление использует математические модели и методы, сходные с используемыми в естественных и точных науках - математике, физике, биологии, кибернетике; оно ставит своей задачей детальное количественное изучение
конфликтных ситуаций, возникающих в технических, биологических, экологических, физических, информационных и некоторых других подобных системах. Отметим также, что непрестанно увеличивается число классов конфликтующих систем, к изучению которых привлекаются методы обоих названных направлений. Таковы, например, социальные, исторические, человеко-машинные, экономические, управленческие, производственные и некоторые другие системы. К этой же группе можно отнести вооруженные конфликты в системах государств.
С конца 1990-х годов на базе естественнонаучного направления начали создаваться различные версии общей теории конфликта, которые различаются базовой концепцией и выбранными математической моделью и математическим аппаратом. Например, существует игровая теория конфликта, имеющая форму математической теории игр [2], структурная теория конфликта, построенная на базе структурно-параметри-ческого представления конфликтующих систем [3], вероятностная теория конфликта, в которой степень конфликтности определяется с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики [4], дифференциальная теория конфликта, созданная на основе дифференциального и интегрального исчисления [5].
Известно, что большое число классов систем, в частности, конфликтующих между собой систем, можно адекватно описывать в терминах математического аппарата алгебры логики [6-26]. Преимущества логического моделирования систем заключаются в конструктивности аппарата алгебры логики, наличии в нем эффективных вычислительных алгоритмов и легкости интерпретации получаемых с его помощью результатов. Все это делает целесообразным построение логической теории конфликта и сотрудничества систем. Настоящая работа - первый шаг на пути построения указанной теории.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для формулирования конкретной постановки задачи сначала рассмотрим несколько примеров систем различной природы.
1. Пусть существует некоторая техническая система, состоящая из основного устройства и п резервных устройств. Система запускается с работоспособным основным устройством, которое выполняет возложенную на систему функцию. При этом все резервные устройства отключены. По выходе основного устройства из строя включается 1-е резервное устройство, которое берет на себя функцию системы. Аналогично, по выходе из строя 1-го резервного устройства эту функцию берет на себя 2-е резервное устройство и т.д. Обозначим состояние основного устройства х, где х =1, если устройство работоспособно, и х = 0, если оно неработоспособно. Аналогично, обозначим состояние ¿-го резервного устройства XI, г = 1,п, где XI = 1, если ¿-е устройство работоспособно, и XI = 0, если неработоспособно. Далее, обозначим состояние всей системы у, где у = 1, если система выполняет возложенную на нее функцию, т. е. работоспособна, и у = 0, если не выполняет (неработоспособна). Из приведенного выше описания работы системы следует, что система работоспособна, только если в ней работоспособны основное устройство или хотя бы одно из п резервных устройств. Таким образом, функцию состояния системы у = /(х, XI, ...,хп), выражающую зависимость состояния системы у от состояний ее устройств х,х\, ...,хп в один и тот же произвольный момент времени, можно записать в виде следующей логической функции, в которой знак V означает операцию логической булевой дизъюнкции
у = х V х\ V ... V хп. (1)
Логическая функция (1) представляет собой одномоментную (статическую) математическую модель функционирования описанной системы: она выражает одномоментное состояние всей системы у в виде суперпозиции логических операций дизъюнкции над состояниями в тот же момент времени х, х\, ...,хп всех ее устройств. Эту функцию мы будем называть функцией состояния системы. Из (1) видно, что у =1
только если х =1 или хх = 1 или ... или хп = 1, что полностью соответствует описанному выше условию работоспособности нашей системы.
2. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из п однотипных организаций по обслуживанию клиентов некоторого города (магазинов или банков или ремонтных мастерских и т.д.). Для определенности будем далее рассматривать систему магазинов. Каждый магазин имеет свой индивидуальный перечень предлагаемых товаров (продуктов). Однако множество А всех магазинов нашей системы Ах,А2,...,Ап должно обладать свойством полноты, в соответствии с которым клиент, посетив все магазины этого множества, гарантированно сможет купить все товары (продукты) из некоторого стандартного списка минимально необходимых товаров. Некоторые подмножества множества всех магазинов системы могут также обладать свойством полноты. Обозначим х^, ¿ = 1, п, действие клиента в отношении ¿-го магазина, где х* = 1, если клиент посещает этот магазин для покупки некоторой части стандартного списка необходимых товаров (продуктов), и х* =0, если не посещает. Пусть |А*1, А*2,..., Aik} - некоторое полное подмножество магазинов с номерами ¿ = ¿1, ¿2,..., ¿и. Действия клиента в отношении этого подмножества магазинов, рассматриваемого как единое целое, можно описать в виде следующей логической функции
у = / (х»1, ...,х»ь)
у = х^ Л х*2 Л ... Л х^, (2)
в которой у = 1, если клиент посещает все магазины подмножества, приобретая при этом все необходимые товары, и у = 0 - в противном случае, а х* введены выше. Здесь Л означает операцию булевой конъюнкции. Из (2) видно, что у = 1, только если х*1 =1 и х*2 = 1 и ... и х^к = 1, что полностью соответствует описанному условию работы некоторого подмножества магазинов. В дальнейшем знак Л булевой конъюнкции для сокращения записи будет опущен. Логическую функцию у = /(х*1, ...,х*к) вида (2) естественно называть частной функцией состояния клиента при выбранном полном подмножестве {А*1,..., А^}, так как она выражает зависимость состояния клиента, в смысле приобретения (неприоб-ретения) им стандартного списка необходимых товаров, от посещения (непосещения) им всех магазинов выбранного полного подмножества магазинов. Но клиент вправе выбрать для посещения любое полное подмножество имеющегося множества магазинов А (включая и само множество А), поскольку все они эквивалентны в смысле возможности приобретения стандартного списка товаров. Отсюда следует, что полная возможность приобретения клиентом стандартного списка товаров во всем имеющемся множестве А есть теоретико-множественное объединение его частных возможностей приобретения указанного списка товаров в отдельных полных подмножествах множества А. Это означает, что, наряду с частными (2), существует также общая функция состояния произвольного клиента у = /(х1, ... , хп), выражающая зависимость состояния клиента, в смысле приобретения (неприобретения) им списка товаров, от посещения (непосещения) им всех магазинов хотя бы одного полного подмножества магазинов {А*1, ...,А*к} имеющегося множества магазинов А = {А1, ... , Ап}. Эта функция имеет следующий вид
у = V (х*1 ,х*2 ...х^). (3)
{%1,...,1к}
Дизъюнкция V конъюнкций переменных (х*1, ...,х*к) в выражении (3) берется по всем наборам номеров магазинов {¿¿, ..^¿и}, которым соответствуют полные подмножества {А*1,..., А^ }. Из (3) видно, что у = 1 (клиент приобретает стандартный список товаров), только если хотя бы для одного набора {¿¿,..., ¿и} имеем х*1 = 1, ..., х^ = 1 (т. е. клиент посещает все магазины хотя бы одного полного подмножества магазинов {А*1,..., А^}. Такое устройство общей функции состояния клиента системы магазинов полностью соответствует описанным выше условиям функционирования этой системы. Поэтому логическую булеву функцию (3), имеющую вид дизъюнкции конъюнкций (т. е. дизъюнктивной нормальной формы -ДНФ) можно считать статической математической моделью работы системы магазинов города. Совершенно аналогично строятся статические математические модели других сходных по структуре и функциям
экономических систем - банков, ремонтных мастерских и т.д.
3. Пусть имеется административная система - Ученый совет, включающий председателя совета и п членов совета. Для простоты будем считать п четным. Заседание Ученого совета правомочно, только если в нем участвует его председатель и не менее половины членов совета. Обозначим состояние ученого совета у, где у = 1, если совет правомочен проводить заседание, и у = 0, если не правомочен. Далее, будем обозначать х* состояние ¿-го члена совета, где х* = 1, если ¿-й член совета присутствует на заседании совета, и х* = 0, если не присутствует. Аналогично вводим переменную х для обозначения состояния председателя совета: х = 1, если председатель присутствует на заседании совета, и х = 0, если не присутствует. Из описания работы совета следует, что заседание совета правомочно (у = 1), только если х = 1 и существует хотя бы один набор {х^1,..., х^п/2} из п/2 переменных х^, в котором х^1 = 1, ..., х^п/2 = 1. Таким образом, функцию состояния рассматриваемой системы у = /(х, хх,..., хп}, выражающую зависимость состояния
у от состояния председателя х и рядовых членов хх,..., хп в один и тот же произвольный момент времени
можно представить в виде следующей булевой логической функции
у = х [г V ,(х*1 х*2 ...^„/2 )]. (4)
{*1,...,*п/2}
Дизъюнкция V конъюнкций переменных (х*1, ...,х*„/2) в формуле (4) берется по всем возможным конъюнкциям, включающим каждая по п/2 переменных из множества {хх, ...,хп}. Число этих конъюнкций
М = С"/2 = [(п/2)!]2. (5)
Булева логическая функция вида (4) является статической математической моделью работы описанной выше административной системы - Ученого совета. Она выражает одномоментное состояние всей системы у в виде суперпозиции логических операций конъюнкции и дизъюнкции над состояниями в тот же момент времени х, хх, ... , хп элементов данной системы - председателя и членов Ученого совета. Из выражения (4) видно, что у = 1, только если х = 1 и хотя бы для одного набора {х*1, ...,х*„/2} из п/2 переменных х* выполняется х*1 = 1, ..., х*„/2 = 1. Это полностью соответствует описанным выше условиям функционирования нашей административной системы.
Из приведенных выше практических примеров можно заключить, что значительное число систем -технических, экономических, административных и т.д. (подробный список систем см. в [6-14, 17, 22, 2426]) можно описать математически с помощью логической функции состояния, выражающей мгновенное состояние всей системы в произвольный момент времени £ в виде суперпозиции логических операций над состояниями в этот же момент £ элементов системы. Исследование каждой отдельной системы в терминах логической функции ее состояния позволило в свое время построить эффективную логическую теорию систем. С ее помощью можно успешно рассчитывать системы, анализировать и синтезировать их [6-13].
Задача настоящей работы состоит в том, чтобы распространить построенную ранее логическую теорию отдельных систем на ситуацию взаимодействия двух или нескольких систем. Такое распространение теории должно позволить изучать конфликты между системами как их отрицательное взаимодействие, а сотрудничество между ними - как положительное взаимодействие, используя для изучения тот же самый логический аппарат. В итоге должна быть создана логическая теория конфликта и сотрудничества систем, изучающая явления конфликта и сотрудничества полностью формализованно с помощью математического аппарата алгебры логики. Эта теория будет аналогична логической теории цифровых вычислительных устройств [19] и так же обладать всеми преимуществами последней - конструктивностью представления изучаемой системы, возможностью формализованного проектирования, системы, а также возможностью формализованной минимизации (упрощения) ранее спроектированной системы.
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
В качестве математического аппарата нашей теории будем использовать алгебру логики [27], т. е. систему
Ь = (В; /1,/2), (6)
где В = {0,1} - двоичное множество, а /1, /2,... - все возможные операции на множестве В, называемые логическими (булевыми) функциями. Любая п-арная операция / из (6) есть отображение В” ^ В, т. е. функция у = /(ж1, ...,жп) от п переменных, где у, XI, ...,жп € В. Соответственно этому областью определения любой булевой функции у = /(Ж1,...,Ж”) является множество всех п-местных двоичных наборов (х1,..., X”) значений аргументов ж*. Эти наборы имеют вид (00...0), (00...1),..., (11...1), их общее число равно 2”. Областью значений любой булевой логической функции / с любым набором аргументов ж* является, как вытекает из определения, само несущее множество В = {0, 1}.
Наборы аргументов (ж1,...,жп), на которых функция принимает значение / =1, называются единичными наборами. Совокупность всех единичных наборов образует единичное множество. Аналогично, наборы аргументов (ж1, ...,жп), на которых / = 0, называются нулевыми наборами, их совокупность образует нулевое множество.
Введенные только что булевы логические функции на практике могут быть заданы 5 способами, которые различны по форме, но эквивалентны по содержанию. Перечислим эти способы.
Табличный способ: функция задается так называемой таблицей истинности, которая имеет 2” строк по числу наборов значений аргументов (ж1,..., жп), п столбцов значений аргументов ж1,..., жп и один столбец значений функции у. Каждому набору значений аргументов (ж1, ...,жп) в таблице соответствует свое значение функции у (см. пример табл. 1). Обычно в таблице истинности наборы (ж1, ...,жп) следуют в лексикографическом порядке, т. е. в порядке возрастания наборов аргументов, рассматриваемых как двоичные числа.
Таблица 1
Х1 Х2 У
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Графический способ: функция задается п-мерным единичным кубом, вершинам которого соответствуют различные возможные наборы значений (ж1, ...,жп), которым приписаны значения функции у. Наборы относительно вершин расставляются так, чтобы соседним вершинам соответствовали соседние (т. е. различающиеся одним элементом) наборы. Примеры задания функций графически см. на рис. 1, 2.
Рис. 1.
Рис. 2.
Координатный способ: логическая функция задается картой Карно, имеющей 2” клеток - по числу наборов значений аргументов. Каждая клетка определяется координатами строки и столбца. Все аргументы разбиваются на две группы так, что своими значениями одна группа определяет координаты строки, а другая - координаты столбца. В любой клетке проставляется значение функции на данном наборе значений аргументов, состоящем из поднаборов, определяющих координаты строки и столбца, на пересечении которых стоит эта клетка. Клетки называются единичными и нулевыми, в соответствии с проставленными в них значениями функции. Пример карты Карно дан в табл. 2, где представлена некоторая функция четырех переменных жі, Ж2, хз, Ж4. Заметим, что поднаборы жі, Ж2 и жз, Ж4 значений аргументов расположены в табл. 2 таким образом, что соседним строкам и соседним столбцам соответствуют соседние поднаборы.
Таблица 2
жз, Ж4
00 10 11 01
жі, Ж2 00 1 0 1 1
10 0 1 1 0
11 1 0 0 1
01 1 0 0 1
Числовой способ: функция задается множеством десятичных номеров единичных наборов значений аргументов. Так, приписав двоичным аргументам жх, Ж2 соответственно веса 20, 21, мы получим запись функции (рис. 1) в виде / = {1, 2}Х1 ,Х2.
Аналитический способ: функция / задается формулой в виде суперпозиции нескольких более простых функций /ь ...,/то.
В практических случаях тот или иной способ задания логических функций выбирается в зависимости от количества аргументов необходимой функции и вида решаемой задачи [27].
Выделяют логические функции одного и двух аргументов - так называемые элементарные функции. С помощью суперпозиции полных наборов этих функций можно строить любые логические функции от любого числа аргументов [6, 27]. В последующем изложении будем использовать булев полный набор {V, Л,—}, который включает двухместные функции дизъюнкцию V и конъюнкцию Л и одноместную
функцию отрицание —, определяемые так:
!1, при Ж1 = 1 или ж 2 = 1,
0, при жх =0 и Ж2 =0;
1, при жх = 1 и Ж2 = 1, 1, при ж = 0,
ж = <
0, при жх =0 или ж2 =0; I 0, при ж = 1.
Понятия дизъюнкции и конъюнкции (7) распространяются на любое число аргументов ж*. Часто в целях экономии записи знак конъюнкции Л опускают и вместо выражения жх Л ж2 пишут жхж2. Нам еще потребуются две специальные сложные логические функции Р и Ф, конструируемые из двух произвольных логических функций /х и /2 так:
р \ 1 если Л = У*2, ф \ 1, если Л = У*2, (8)
| 0, если /х = /2; | 0, если /х = /2.
Функцию Р назовем функцией совпадения / и /2, а Ф - функцией несовпадения (расхождения) / и
/2. Согласно (7), (8), функции Р и Ф можно выразить аналитически через функции / и /2 с помощью
элементарных операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания (7):
Р = Л/2 V /х/, Ф = //2 V //2. (9)
Кроме того, из формул (7), (8) видно, что функции Р и Ф взаимно обратны, т. е. каждая равна отрицанию другой
р = Ф, Ф = р. (10)
Будем использовать в дальнейшем две числовые характеристики логических функций: 0-норму N0 и 1-норму Жх. 0-нормой логической функции п аргументов у = /(жь...,ж„) называется отношение числа нулевых наборов функции к общему числу ее наборов. 1-нормой логической функции у = /(жх,...,жп) называется отношение числа ее единичных наборов к общему числу наборов. Поскольку общее число
наборов значений аргументов функции /(жх, ...,жп) равно сумме чисел ее нулевых и единичных наборов,
эти нормы связаны соотношением
N0 + Жх = 1. (11)
Для нахождения в явной форме функций совпадения Р и несовпадения Ф можно использовать следующий аналитический метод, работая по нижеприведенному алгоритму.
Шаг 1. Выписать аналитические представления функций /х, /2 (или привести эти функции к аналитическому представлению, если оно не было задано, используя общеизвестные методы приведения [27]). Шаг 2. Подставить полученные на шаге 1 аналитические представления функций /ь /2 в формулы
(9).
Шаг 3. Найденные на шаге 2 начальные аналитические выражения функций Р и Ф привести к стандартной форме (дизъюнктивная нор-мальная форма (ДНФ), конъюнктивная нормальная форма (КНФ) и т.д.), используя общеизвестные методы приведения [27].
Явную форму функций Р и Ф можно найти также табличным методом, используя следующий алгоритм.
Шаг 1. Записать табличное представление функций /, /2 (или привести их к табличному виду, если он не был задан, используя общеизвестные методы приведения к заданному виду [27].
Шаг 2. Найти табличное представление отрицаний функций /ь/2, для чего нужно в таблицах истинности функций х, 2 заменить значения х = 0, 2 = 0 на значения х = 1, 2 = 1 и наоборот.
Шаг 3. Получить представление конъюнкций //2, / /2, / /2, Л/2, для чего следует в каждой клетке таблицы с данным набором значений аргументов обеих функций проставить значение конъюнкции
1 в случае, если обе функции, входящие в конъюнкцию, равны на этом наборе 1, и значение 0, если хотя бы одна функция равна 0.
Шаг 4. Наконец, найти табличное представление двучленных дизъюнкций, а именно //2 V Д /2 и / /2 V //2. Для этого нужно в каждой клетке таблицы с данным набором значений аргументов обоих членов проставить значение дизъюнкции 0, если оба члена, входящих в дизъюнкцию, равны на данном наборе 0, и значение дизъюнкции 1, если хотя бы один из членов равен 1.
В результате выполнения шага 4 в соответствии с формулами (9) получим табличные представления функций Р и Ф.
Для подсчета 1-нормы и 0-нормы любой логической функции проще всего использовать табличный алгоритм: взять таблицу истинности этой функции, сосчитать в ней числа единичных и нулевых наборов значений аргументов и затем разделить их на общее число наборов функции. При этом первый результат даст 1-норму, второй - 0-норму. Можно также использовать карту Карно функции; порядок действий при этом будет аналогичен предыдущему [19].
Еще один, аналитический способ подсчета норм логической функции основан на приведении ее к совершенным дизъюнктивной (СДНФ) или конъюнктивной (СКНФ) нормальным формам. Приравняв каждую конъюнкцию аргументов в СДНФ к 1, найдем соответствующий набор значений аргументов функции; это и будет единичный набор. В итоге получим все единичные наборы; оставшиеся наборы, очевидно, будут нулевыми. Аналогично, приравняв каждую дизъюнкцию в СКНФ к 0, определим соответствующий набор значений аргументов функции; это и будет нулевой набор. В итоге получим все нулевые наборы; оставшиеся наборы, очевидно, будут единичными.
Заметим, что для вычисления 1- и 0-норм логической функции не обязательно находить сами наборы - нужно лишь найти их число. Последнее легко установить по виду СДНФ или СКНФ функции; число коньюнкций в СДНФ есть число единичных наборов, а число дизъюнкций в СКНФ - число нулевых наборов.
4. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Изложенный в предыдущем пункте математический аппарат булевой алгебры логики, вместе с хорошо разработанной методологией использования этого аппарата для проектирования цифровых вычислительных устройств [27], позволяют эффективно решить задачу разработки логико-алгебраической теории взаимодействия (конфликта и сотрудничества) двух или нескольких систем (п. 2).
Итак, рассмотрим 2 произвольные системы Ах и А2 одинакового назначения с одним и тем же числом элементов п, статическая математическая модель функционирования которых задается булевыми логическими функциями состояния у = /х(жх, ..., жп) и у = /2(жх,...,жп). Данные функции состояния, согласно п. 2, представляют собой статические математические модели соответствующих систем, выражая одномоментное состояние всей системы у в виде суперпозиции операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания над состояниями в тот же момент времени жх, ...,жп элементов этой системы.
На основе систем Ах и А2 с функциями состояния / и /2 построим две новые системы. Функция состояния /с первой системы Ас определяется как функция совпадения Р функций состояния /х и /2 заданных систем. Систему Ас назовем системой совпадения Ах и А2. Функция состояния /с определяется в виде
/с = Р(/х, /2) (12)
и может быть вычислена через известные функции состояния /х, /2 систем Ах, А2 по формуле (9). Функция состояния /р второй системы Ар определяется как функция расхождения Ф функций состояния /х, /2 заданных систем. Систему Ар естественно назвать системой расхождения заданных систем Ах и А2. Ее
функция состояния /р согласно сказанному выше определяется в виде
/р = Ф (/і, /2)
(13)
и может быть также найдена по известным функциям состояния /х, /2 заданных систем Ах, А2 с использованием формулы (9). Основные практически полезные свойства, которыми обладают системы совпадения и расхождения можно сформулировать в следующем виде.
1. Система совпадения Ас двух систем Ах , А2 находится в состоянии 1 тогда и только тогда, когда обе заданные системы Ах и А2 находятся в одинаковых состояниях - 0 или 1. Другими словами, функция состояния /с системы совпадения Ас равна 1 в тех и только тех случаях, когда функции состояния /, /2 систем Ах и А2 принимают равные значения: / = /2 = 1 или / = /2 = 0.
2. Система расхождения Ар двух заданных систем Ах, А2 находится в состоянии 1 в тех и только тех случаях, когда Ах и А2 находятся в различных состояниях: система Ах - в состоянии 1, система А2 -в состоянии 0 или наоборот. Другими словами, функция состояния /р системы расхождения Ар равна 1 в тех и только тех случаях, когда функции состояния /х, /2 систем Ах, А2 принимают противоположные значения: / = 1, /2 =0 или / = 0, /2 = 1.
Указанные выше свойства систем совпадения и расхождения позволяют свести изучение отношений двух систем (сотрудничества или конфликта) к количественному изучению свойств одной системы, а именно, системы совпадения исходных систем или системы их расхождения.
Пусть доля всех наборов аргументов (жх,..., жп), на которых логические функции состояния /х(жх,..., жп) и /2(жх,..., жп) двух рассматриваемых систем Ах и А2 принимают различные значения, равна д. Тогда доля всех наборов аргументов, на которых указанные функции принимают одинаковые значения, равна г = 1 — д.
Введем некоторое пороговое значение д* величины д, достаточно близкое к 1 (например, д* =
0, 7 или 0, 8 или 0, 9 и т.д.) и аналогичное пороговое значение г* величины г. Будем говорить, что системы Ах и А2 находятся в отношении конфликта, если фактическое значение показателя д удовлетворяет условию
и что системы Ах и А2 находятся в отношении сотрудничества, если фактическое значение показателя г удовлетворяет условию
Таким образом, две системы считаются по определению конфликтующими, если доля случаев д, в которых системы находятся в противоположных состояниях (одна в состоянии 1, другая в состоянии 0), превышает пороговое значение д*, близкое к единице.
Аналогично, две системы считаются по определению находящимися в состоянии сотрудничества, если доля случаев г, в которых они находятся в одинаковых состояниях (обе системы в состоянии 1 либо в состоянии 0), превышает пороговое значение г*, близкое к единице.
Понятия конфликта и сотрудничества двух систем, введенные выше, можно обобщить следующим образом. Пусть д - доля всех наборов аргументов, на которых функции состояния /х, /2 двух систем Ах, А2 принимают различные (противоположные) значения, а г = 1 — д - доля наборов аргументов, на которых эти функции принимают одинаковые значения. В этом случае можно говорить, что рассматриваемые системы Ах и А2 в степени д находятся в состоянии конфликта и одновременно в степени г = 1 — д - в состоянии сотрудничества.
Введенное общее определение конфликта и сотрудничества систем отличается от предыдущего не только количественно - в нем нет количественных требований к параметрам систем д и г, но и качественно,
д > д*,
(14)
1 *
г =1 — д > г .
(15)
поскольку по нему системы могут одновременно и конфликтовать, и сотрудничать. Если же параметры систем д и г удовлетворяют требованиям (14) и (15), данное определение переходит в предыдущее.
Теперь, наконец, мы можем дать общий, полностью формализованный метод вычисления с помощью введенного логико-алгебраическо-го аппарата показателей конфликта и сотрудничества различных систем. Алгоритм указанного метода состоит из следующих шагов.
Ш!аг 1. Для двух заданных систем Ах и А2, которые имеют логические функции состояния / и /2, строим систему совпадения Ас. Построение заключается в вычислении функции состояния системы совпадения /с = Р(/ь/2) системы Ас путем использования аналитического или табличного алгоритмов, изложенных в п. 3.
Ш!аг 2. Подсчитываем 1-норму N функции состояния /с системы совпадения Ас двух заданных систем Ах, А2. Для этого также используем соответствующий табличный или аналитический алгоритмы, из-ложенные в п. 3. Согласно вышесказанному, вычисленное значение N равно доле случаев г (доле от числа всех наборов аргументов), в которых функции состояния /х, /2 двух рассматриваемых систем Ах, А2 принимают одинаковые значения.
Ш!аг 3. Выбираем некоторое пороговое значение г* параметра г, близкое к 1. Тогда, если г > г*, объявляем системы Ах, А2 находящимися в отношении сотрудничества. В случае если г < 1 — г*,
объявляем системы Ах, А2 находящимися в отношении конфликта. Если 1 — г* < г < г*, системы Ах, А2 считаем нейтральными друг к другу.
Ш!аг 4 (используется вместо шага 3 при более широком понимании конфликта и сотрудничества систем). Согласно вычисленным на шаге 2 показателям г и д = 1—г, объявляем системы Ах и А2 находящимися в отношении сотрудничества на величину г и одновременно в отношении конфликта, соответственно, на величину д.
Можно также построить алгоритм анализа отношения систем Ах , А2 с логическими функциями состояния соответственно /х, /2 на базе системы расхождения Ар этих систем. Данный алгоритм строится путем вычисления логической функции состояния /р = Ф(/ь /2) системы Ар с помощью аналитического или табличного алгоритмов (п. 3). Построенный таким путем алгоритм анализа состоит из тех же четырех шагов, что и предыдущий алгоритм, и отличается лишь тем, что вычисляемая в нем на втором шаге 1-норма Жр функции состояния /р показывает долю случаев д (долю от числа всех наборов аргументов), в которых функции состояния /ь/2 рассматриваемых систем Ах,А2 принимают различные (противоположные) значения. Показатель д связан с показателем г, по которому анализировалось отношение систем Ах и А2 в предыдущем алгоритме, формулой д = 1 — г.
Пример. Для приема вступительных экзаменов в некотором университете создано 3 комиссии из 4 человек каждая. Приемная комиссия Ах решает судьбу экзаменуемого большинством голосов. В случае равного числа голосов “ЗА” и “ПРОТИВ” большинство определяется голосом председателя. Приемная комиссия А2 принимает положительное решение простым большинством голосов, когда председатель не обладает никаким преимуществом, так что для положительного решения экзаменуемый должен получить не менее 3 голосов “ЗА”. Комиссия А3 принимает решение модифицированным большинством голосов, когда, в дополнение к правилу простого большинства голосов, ситуация равного числа голосов “ЗА” и “ПРОТИВ” трактуется в пользу экзаменуемого. Требуется установить отношения между тремя созданными комиссиями в терминах “конфликт-сотрудничество”.
Решение. Шаг 1. Вычисленные по условиям нашей задачи функции состояния /ь/2,/з систем Ах, А2, А3 показаны в таблице 3. В этой таблице жх,ж2,жз - состояния членов комиссии, ж4 - состояние председателя (ж* = 1 - голосование “ЗА”, ж* = 0 - “ПРОТИВ”), /ь/2,/3 - состояния соответствующей комиссии (/ = 1 - окончательный результат голосования - “ЗА”, / = 0 - “ПРОТИВ”).
Теперь строим три системы совпадения А^2, А^3, А^3 соответственно для пар систем Ах и А2, Ах
и А3, А2 и А3, для чего с помощью табличного алгоритма, предложенного в п. 3, вычисляем логические функции состояния /(Ь2,/с1,3,/2’3 этих систем совпадения. Эти функции состояния также показаны в таблице 3.
Таблица 3
Х2 хз Х4 /і /2 /з /і’2 /і’3 /2’3 Хі Х2 Хз Х4 /і /2 /з /і’2 /і’3 /с2’3
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Шаг 2. Находим 1-нормы N ’2, Ж1’3, Ж-2’3 соответствующих функций состояния /с’2,/1’3,/2’3, используя табличный алгоритм из п. 3. Вычисленные 1-нормы дают нам следующие значения параметра г®’5
- доли тех случаев, в которых функции состояния /¿,/ заданных систем А®, А^- принимают одинаковые значения (обе системы - значение 0 или 1)
N ’2 = г-’2 =0, 81, Ж-’3 = г-’3 = 0, 81, Ж2’3 = г2’3 =0, 63.
Шаг 3. Выбираем пороговое значение г* параметра г, например, равное г* = 0, 8. Тогда, поскольку г 1 ’2 > г* и г 1 ’3 > г*, а 1 — г* < г2’3 < г*, то пары систем (приемных комиссий университета) (1, 2) и (1, 3) необходимо объявить находящимися в отношении сотрудничества, а пару систем (2, 3) - находящейся в нейтральном отношении.
Шаг 4. При более широком понимании конфликта и сотрудничества систем можно объявить пару систем (1, 2) находящейся на г 1 ’2 =0, 81 в отношении сотрудничества и на д1’2 = 1 — г-’2 =0,19 в отношении конфликта. Аналогично, пару (1, 3) объявим находящейся на г1’3 = 0, 81 в отношении сотрудничества и на д1’3 = 1 — г1’3 = 0,19 в отношении конфликта, а пару (2, 3) находящейся на г2’3 = 0, 63 в отношении сотрудничества и на д2’3 = 1 — г2’3 = 0, 37 в отношении конфликта.
Отношения сотрудничества, конфликта и нейтральности между системами, которыми в данном случае являются различные комиссии по приему абитуриентов в университет, следует понимать соответственно как возможность, невозможность и проблематичность совмещения результатов решений этих комиссий.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье показано, что различные возможные отношения - сотрудничество, конфликт, нейтральность - между системами различной природы, описываемыми по отдельности с помощью аппарата алгебры логики, можно успешно изучать с помощью этого же аппарата. Преимущество логико-алгебраического подхода к изучению отношений между системами проявляется в том же самом, что и при использовании этого подхода к изучению отдельных систем, а именно, в конструктивности аппарата алгебры логики, наличии в нем эффективных алгоритмов вычислений и легкости интерпретации получаемых результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фишер Р., Юри У. Путь к согласию или переговоры без поражения. М.: Наука, 1992.
2. Нейман Дж., Моргенштерн О. Математическая теория игр. М.: Наука, 1970.
3. Сысоев В. В. Конфликт. Сотрудничество. Независимость. Системное взаимодействие в структурнопараметрическом представлении. М.: Изд-во Московской академии экономики и права, 1999.
4. Светлов В. А. Аналитика конфликта. СПб.: Росток, 2001.
5. Дружинин В. В., Конторов Д. С., Конторов М. Д. Введение в теорию конфликта. М.: Радио и связь, 1989.
6. Левин В. И. Математическое моделирование социально-экономических процессов (автоматнологические методы и модели). Пенза: Изд-во Пензенского технологического института, 1997.
7. Левин В. И. Теория автоматов и моделирование сложных систем. Пенза: Изд-во Пензенского государственного технического университета, 1995.
8. Левин В. И. Автоматное моделирование в социологии: анализ группового поведения // Гуманитарные науки и современность. Пенза: Изд-во Пензенского государственного технического университета, 1995. Вып. 1. Ч. 2.
9. Левин В. И. Автоматные модели и методы в политологии: анализ поведения политических систем // Гуманитарные науки и современность. Пенза: Изд-во Пензенского государственного технического университета, 1996. Вып. 2.
10. Левин В. И. Динамический автомат как модель динамического поведения социальных групп // Гуманитарные науки и современность. Пенза: Изд-во Пензенского государственного технического университета, 1997. Вып. 3.
11. Левин В. И. Математическое моделирование систем с помощью динамических автоматов // Информационные технологии. 1997. № 9.
12. Левин В. И. Математическое моделирование систем с помощью автоматов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 1997. Т. 2. № 2.
13. Левин В. И. Анализ социальных групп с помощью автоматной модели // Гуманитарные науки и современность. Пенза: Изд-во Пензенского государственного технического университета, 1998. Вып. 4.
14. Левин В. И. Автоматная модель определения возможного времени проведения коллективных мероприятий // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. № 3.
15. Левин В. И. Математическое моделирование Библии. Характеристический автоматный подход // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 1999. Т. 4. № 3.
16. Левин В. И. Автоматное моделирование коллективных мероприятий // Автоматика и телемеханика. 1999. № 12.
17. Левин В. И. Математическое моделирование потока исторических событий методами теории автоматов // Гуманитарные науки и современность. Пенза: Изд-во Пензенского государственного технического университета, 1999. Вып. 5.
18. Левин В. И. Математическое моделирование Библии. Характеристический подход // Гуманитарные науки и современность. Пенза: Изд-во Пензенского государственного технического университета, 1999. Вып. 5.
19. Левин В. И. Введение в математическую библеистику. Пенза: Изд-во Пензенского технологического института, 1999.
20. Левин В. И. Математическое моделирование библейской легенды о Вавилонском столпотворении // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2001. Т. 6. № 2.
21. Левин В. И. Математическая модель библейской истории о Вавилонском столпотворении и рассеянии народов // Внерациональные формы постижения бытия. Ульяновск: Изд-во Ульяновского государственного технического университета, 2001.
22. Левин В. И. Моделирование процессов образования коллектива из индивидуумов // Математическая морфология. 2001. Т. 3. № 3.
23. Левин В. И. Математическое моделирование библейских событий // Наука, религия, общество. 2002. № 3.
24. Левин В. И. Автоматное моделирование исторических процессов на примере войн // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. 2002. № 12.
25. Левин В. И. Автоматное моделирование процессов возникновения и распада коллектива // Кибернетика и системный анализ. 2003. № 3.
26. Левин В. И. Логико-математическое моделирование занятости // Импликативная алгебра выбора и непрерывная логика в прикладных задачах науки и техники. Ульяновск: Изд-во Ульяновского государственного технического университета, 2002. Т. 2.
27. Поспелов Д. А. Логические методы анализа и синтеза схем. - М.: Энергия, 1974.
