CC BY
8УДК 519.17
МИНИМАЛЬНЫЙ ВЕС ОКРЕСТНОСТИ 5-ВЕРШИНЫ В ПЛОСКИХ ТРИАНГУЛЯЦИЯХ МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ 5*)
О, В, Бородин, А, О, Иванова
1. Введение
Строение плоских триангуляции с минимальной степенью 5 привлекает внимание исследователей давно отчасти в связи со знаменитой проблемой четырех красок, решенной в 1976 г. Аппелем и Хакеном
Т
вершину, смежную с ^ 6-вершиной, а Франклин [3] (1922 г.) — с двумя ^ 6-вершинами.
Лебег [4] в 1940 г. показал, что в Т всегда теть 3-грань / = хуг веса = ¿(х) + ¿(у) + ¿(г) те более 19, где ¿(у) — степень вершины у. Коциг [5] в 1963 г. усилил оценку Лебега до 18, а Бородин [6] в 1989 г. — до неулучшаемой оценки 17.
Пусть 'ш(Бь) — минимальный вес ^-звезды с центром в 5-вершине. Тогда имеют место следующие точные оценки: ^($1) ^ 11 (Верни-ке), т(Б2) < 17 (Фраклин), т(Бз) < 23 (Иендроль и Мадараш [7], 1996 г.), ^($4) ^ 30 (Бородин и Вудал [8], 1998 г.), что улучшает оценку ^($4) ^39 Иендроля и Мадараша [7].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 06^01^00694 и 08^014)0673); второй автор была поддержана грантом Президента России для молодых кандидатов и их научных руководителей (код проекта МК-2302.2008.1).
© 2008 Бородин О. В., Иванова А. О.
Через w(Ck) обозначим минимальный вес (сумму степеней вершин) fc-цнкла в любой T5. Из результата Бородина [6] следует, что w(C$) < 17. Иендроль и Мадараш [7] показали, что w(C±) < 35 и w(C5) < 45.
Из оценки w($4) ^ 30 Бородина и В удала [8] немедленно следуют, с одной стороны, неулучшаемые оценки w(C4) ^ 25 и w(C§) ^ 30, а с другой — оценка w(S§) ^ А+30 (при любом А), где А — максимальная степень графа.
Целью данной заметки является
Теорема 1. Для любой плоской триангуляции минимальной степени 5 с А ^ 28 имеет место неулучшаемая оценка w(S5) ^ А + 27.
2. Доказательство теоремы 1
Сначала покажем неулучшаемость оценки w(S5) ^ А + 27. Возьмем три концентрических А-цикла V1 = v\ ...v\, \ ^ i ^ 3, и соединим V2 с V1 ребрами вида vjvj и vjvj+1, где 1 ^ j ^ А, а сложение по
VV
V
V
с двумя 5-вершипами, двумя 6-вершипами и А-вершиной.
Пусть теперь T5 — контрпример к теореме 1. Формулу Эйлера \V\ — |-Е| + \F\ = 2 для T перепишем в виде
£ (d(v) — 6) = —12. (1)
vev
Сопоставим заряд n(v) = ^^ — 6 каждой вершине v G V; видно, что
—
T
деление зарядов, сохраняющее их сумму, так, что новый заряд ^(v)
будет неотрицателен для всех v G V. Это даст противоречие с тем
—
Наши правила распределения следующие.
Ш.. Каждая > 6-вершпна у отдает £( у) — ^(у) каждой инцидентной ей грани.
112. Пусть грань / = хуг такова, что ¿(х) = 5 и ¿(г) > 6. Тогда х получает от / заряд: (1) если ¿(у) = 5, (И) £(у) + ф) при ¿(у) > 6.
Как нетрудно видеть, у) > 0 при ¿(у) > 6. Нам остается показать, что при ¿(у) = 5 вершина у получает в сумме не менее 1 согласно правилам II1 и 112.
Замечание 1. Пусть 5-вершина у смежна с > 6-вершиной ш,
тогда у получает от IV один из зарядов £(го), Щр! либо 2£(го) в за-
у
ипцидептпые ребру уш: две, одна или ни одной.
Для натурального п > 6 положим 0(п) = В дальнейшем при оценке суммарного заряда, получаемого 5-вершиной по правилам Н 1 и Т12, нам будет удобно пользоваться следующим легко доказываемым фактом.
Лемма 1. Для любых целых р, ц, где 6 ^ р < д, выполняется неравенство 0(р) + 0(д) < 0(р + 1) + 0(д — 1).
у
рядке неубывания как ¿,... ,¿5), т. е. 5 ^ ¿1 ^ ¿2 ^ ... ^ ¿5. Например, в приведенной в начале доказательства конструкции все вершины
,,,,
Т
примером, то выполняются следующие неравенства: (*) ¿1 + ... + ¿4 > 23; (**) ¿! + ... + ¿б >51.
СЛУЧАЙ 1. 6 < ¿1. Согласно замечанию 1 суммарный заряд, получаемый у здесь равен 2(0^1 ) + ... + #(¿5)), что ввиду леммы 1 не меньше
2(40(6)+ 0(27)) = 20(27) > 1.
Отсюда ц' (v) >5 — 6+1=0.
СЛУЧАЙ 2. 5 = ¿1 < ¿2. Аналогично суммарный заряд, полученный v, теперь не меньше §(#(<¿2) + • • • + что не меньше
¿(30(6)+ 0(28)) = ¿0(28) >1.
Отсюда ц' (v) > 0.
СЛУЧАЙ 3. 5 = di = ¿2 < ¿з. Отметим, что при фиксированных d d d v
v
ряд. В наихудшем случае одна из ^ 6-соседок вершины v передает v свою долю в с коэффициентом 1, а две другие — с коэффициентом §.
v
^e(d3) + p(d4) + e(d5),
что не меньше
Отсюда ц' (v) > 0.
СЛУЧАЙ 4. 5 = ¿1 = ¿2 = ¿3 < ¿4. Отметим, что ¿4 ^8 ввиду (*). Ясно, что v получат не меньше #(¿4) + #(¿5), т. е. не меньше
0(8) + 0(28)Л + |,
откуда ц'(v) > 0.
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Appel К., Haken W. The existence of unavoidable sets of geographically good configurations // Illinois J. Math. 1976. V. 20. P. 218-297.
2. Wernicke P. Uber den Kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann. 1904. Bd 58. S. 413-426.
3. Franklin Ph. The four color problem // Amer. J. Math. 1922. V. 44. P. 225-236.
4. Lebesgue Я. Quelques consequences simple de la formule d'Euler // J. Math. Pure. Appl. 1940. V. 9. P. 27-43.
5. Kotzig A. From the theory of eulerian polyhedra // Mat. Cas. 1963. V. 13. P. 20-34. (in Russian).
6. Бородин О. В. Решение задач Коцига и Грюнбаума об отделимости цикла в плоском графе // Мат. заметки. 1989. Т. 46, № 5. С. 9-12.
7. Jendrol'S., Madaras Т. On light subgraphs in plane graphs of minimal degree five // Discussiones Math. 1996. V. 16. P. 207-217.
8. Borodin О. V., Woodall D. R. Short cycles of low weight in normal plane maps with minimum degree 5 // Discussiones Math. 1998. V. 18, N. 2. P. 159-164.
г. Новосибирск, г. Якутск
15 марта 2008 г.
