Минимальный непорождаемый веер Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 154, кл. 1

Физико-математические пауки

2012

УДК 514.172.45^514.174.5

МИНИМАЛЬНЫЙ НЕПОРОЖДАЕМЫЙ ВЕЕР

Определено понятие порождаемого возможно неполного веера как части порождаемого полного веера. Предложен критерий порождаемости возможно неполного веера. Использование данного критерия позволяет построить в пространстве К3 минимальный пепорождаемый веер из трех двухмерных конусов, попарно пересекающихся в начале координат.

Ключевые слова: многогранники, конусы, вееры. системы линейных уравнений и неравенств.

О порождении веера многогранником говорят в том случае, когда с помощью многогранника строится веер, то есть семейство конусов, пересечением любых двух из которых является их общая грань. Рассмотрим, например, выпуклый полномерный многогранник, содержащий во внутренности начало координат. Любое семейство конусов, являющихся коническими оболочками граней этого многогранника, является веером. А так как этот веер построен по многограннику, то можно сказать, что многогранник порождает веер.

При исследовании процесса порождения, значительный интерес представляют вееры. не порождаемые многогранниками, впервые вопрос о их существовании был поставлен в [1]. Ответ на этот вопрос был вскоре дан в [2]. где приведен пример веера, не порождаемого никаким многогранником. В этой же работе появился и критерий порождаемости веера в виде разрешимости системы линейных уравнений и неравенств вида

где , Ъ^з - коэффициенты, определяемые структурой веера, а х- переменные, определяющие многогранник, порождающий веер.

Критерий работы [2] был получен для полных вееров в К3. В [3] этот критерий был обобщен на пространства произвольной размерности и на возможно неполные вееры, состоящие из полноразмерных конусов. Здесь же в [3] с помощью обобщен-

К3

Настоящая работа развивает результаты [3] в трех направлениях.

Во-первых, мы рассмотрим вееры, которые могут содержать конусы неполной размерности. Во-вторых, покажем, что для большого подмножества вееров разрешимость системы (1) равносильна разрешимости системы

М.Н. Матвеев

Аннотация

Введение

(1)

Е«ТЗХ3 > °> хз > 0,

где опять-таки определяются структур ой веера, а х^ - те же самые, что и в системе (1). Обратим внимание, что система (2) не имеет ограничений типа равенств, но при этом является бесконечной.

Наконец, используя систему (2), мы построим минимальный непорождаемый веер в М3 со специальными свойствами: конусы этого веера являются двухмерными и попарно пересекаются в единственной точке их общей вершине, расположенной в начале координат.

1. Определения

Все определения и результаты настоящей работы приведены для пространства М" размерноети п > 0. При этом объекты, которые рассматриваются в данном пространстве, могут иметь размерность й, 3 < п.

Конусом будем называть коническую оболочку конечного ненулевого числа векторов aj. Будем подразумевать, что ни один из этих векторов не является неотрицательной комбинацией остальных: в этом случае лучи, задаваемые векторами aj, называются экстремальными лучами конуса. Будем подразумевать также, что любая неотрицательная непустая комбинация векторов aj является ненулевой: в этом случае конус называется острым.

Определение 1. Конечное семейство конусов называется веером, если пересечение любых двух конусов из этого семейства является их общей граиыо.

Выпуклым многогранником будем называть выпуклую оболочку конечного множества точек. Опорной гиперплоскостью к выпуклому многограннику Р называется гиперплоскость Н такая, что Н и Р имеют непустое пересечение и Р целиком лежит в одном из замкнутых полупространств, задаваемых гиперплоскостью Н. Пересечение опорной гиперплоскости Н и выпуклого многогранника Р Р Р Н

собственной.

При доказательстве критерия неиорождаемости будем использовать следующую характеризацию грани выпуклого многогранника: замкнутое выпуклое подмножество Р выпуклого многогранника Р является гранью Р тогда и только тогда, когда любой отрезок [а, 6] в Р, где Ь те принадлежит Р, не имеет пересечения с Р в точке, отличной от а.

Определение 2. Пусть любой конус веера Т является конической оболочкой

Р

чало координат О. Тогда веер Т называется порождаемым, а многогранник Р -порождающим многогранником веера Т.

Веер называется полным, если объединение его конусов покрывает все пространство, в котором данный веер содержится. Согласно определению 2 внутренность порождающего многогранника содержит начало координат и, следовательно, является непустой. Отсюда следует, что порождающий многогранник является полномерным, а конические оболочки всех собственных граней порождающего многогранника формируют полный веер. Таким образом, определение 2 эквивалентно определению порождаемого (возможно неполного) веера как подвеера порождаемого полного веера.

Установим критерий порождаемости для подмножества множества всех возможно неполных вееров. В общем случае веер этого подмножества можно представлять себе как неполный, но в то же время расположенный «везде» или по крайней мере «достаточно широко» в окружающим пространстве. Благодаря такой визуальной характеризации имеет смысл называть вееры этого подмножества

204

М.Н. МАТВЕЕВ

неострыми. Если быть более точным, будем говорить, что веер является неострым, если выпуклая оболочка его конусов содержит по крайней мере одну прямую.

2. Критерий

Рассмотрим в М" произвольную точку р и аффинную гиперплоскость Н, не проходящую через начало координат. Пусть радиус-вектор точки р разложен по

Н

коэффициентов этого разложения через е. Хорошо известно, что в = 1 тогда и

рН

что в < 1, если точка р лежит «по ту же сторону» от Н, что и начало координат, и в > 1, если точка р лежит «по противоположную сторону».

рН если она принадлежит открытому полупространству, содержащему начало коор-

Н

р

Н

определяющая некоторую грань Р того же самого порождающего многогранника.

рН принадлежит грани Р, или ниже гиперплоскости Н в противном случае.

Это простое геометрическое наблюдение приводит к построению критерия порождаемое™ неострого веера. Пусть экстремальные лучи конусов веера Т заданы векторами а^,..., ат. Тогда любой конус С веер а Т может быть представлен как коническая оболочка векторов аз-, з € 7(С), где 7(С) - некоторое подмножество { 1,..., т }. Определим Б+ (С) как множество всех векторов 7 = (71,..., 7т) та-

т

ких, что 7за^ = 0, 7з ^ 0 Для всех 3 / 7(С) и существует г / 7(С) такой,

3 = 1

что 7^ > 0. Определим D+(Т) как и ^+(С). Для обозначения того, что все

ает

компоненты некоторого вектора ж больше нуля, будем писать х > 0.

Теорема 1. Неострый веер Т является порождаемым тогда и только тогда, когда существует вектор х = (х1;..., жт) > 0 такой, что

<7,ж> > 0 (3)

для всех 7 € ^+(Т).

Доказательство. Необходимость. Пусть Р - порождающий многогранник веера Т. Тогда для некоторых х3- > 0, 3 = 1,. ..,т, точки р3- = а3-/х3- являются вершинами Р. Возьмем произвольный конус С веер а Т и обозначим через Р выпуклую оболочку точек р3-, 3 € 7(С). Определим х так (х1,...,хт) и рассмотрим 7 = (71,..., 7т) € Д+(С). Мы имеем

73хзрз + ^ ЪхзРз =

зез(о)

Пусть в = ^ 7зхз' > 0 и пусть р = ^ ^з (хз/в)рз- Тогда р € Р, р / Р и

р = — Тз (хз /в)рз.

з^J(C)

Так как р € Р, р / ^о р лежит ниже опорной гиперплоскости к Р, проходящей через ру, 3 € 7(С). Имеем

Е —^(Х/в) < 1= X ^(ху/«)•

Таким образом, мы доказали, что (7, х) > 0.

Достаточность. Возьмем произвольный вектор х = (х^..., хт) > 0, удовле-

Р

оболочку начала координат О и точек ру = ау/ху, 3 = 1,..., ш. Рассмотрим конус С € Т и обозначим через Р выпуклую оболочку точек ру, 3 € 7(С). Так как Т является неострым, то

0,

/ ау

где 7 - некоторое непустое подмножество { 1,..., ш } и ^ > 0 для всех 3 € 7. Ввиду того, что С являете острым, это означает, что множество (С) непусто.

Пусть й обозначает размерность конуса С, а Ь(С) - пропзвольное ¿-элементное подмножество множества 7 (С) такое, что вект оры а у, 3 € Ь(С), являются линейно независимыми. Рассмотрим случай, когда г € 7(С), г / Ь(С). Тогда

Е

3еь(с)

0з аз

Е

3еь(с)

Хз рз.

Пусть к = («1,..., кт), где ку = -1 для 3 = г, ку

для 3 € £(С) и ку = 0 в

остальных случаях. Возьмем произвольный вектор 7 € Р+(С), тогда для любого скаляра в вектор 7 + вк также принадлежит множеству Р+(С). Следовательно,

(7 + вк, х) > 0

для всех в. Это означает, что (к, х) = 0. Можем заключить, что р^ принадлежит аффинной оболочке ру, 3 € Ь(С). Таким образом, доказали, что Р = Ср|Н, где Н - некоторая гиперплоскость, не проходящая через начало координат.

Предположим теперь, что Р те является гранью Р. Тогда в Р существуют точки р, а и Ь такие, что

р = Са + пЬ,

гдер € Р, Ь / Р и С,П > 0) С + П = 1- Пусть А = (Л1,..., Л„

(«1, .. ., ат)

ив = (въ ..., вт) _ произвольные векторы, удовлетворяющие условиям:

т

ру, Лу > 0

у=1

т

ру , у=1

т

Ев ру'

у=1

3 € 7(С), Ау =0, 3 (С),

ау > 0,

ву > 0, 3 = 1,

= 1,

у=1

т

Еау ^ 1,

у=1

т

Еву < 1.

у=1

Для всех 3 = 1,..., ш определим 7у = (£ау + пву — Лу )/ху и рассмотрим вектор

т

7 = (71,..., 7т). По построению (7, х) = ^ 7уХу ^ 0.

у=1

Из неравенства (7, х) ^ 0 находим, что 7у = 0 для всех 3 / 7(С), так как в противном случае получалось бы, что 7 € Р+(Т) и (7, х) > 0. Это означает, что

т

1

3

ш

ш

206

М.Н. МАТВЕЕВ

а 1 аз йд аз

Рис. 1. Веер , встроенный в треуголь- Рис. 2. Непорождаемые вееры и пую призму

аз= 0 Для всех ] / 7(С) и а, Ь € С. Более того, так как все р^-, € 7(С), принадлежат гиперплоскости Н, то а, Ь также принадлежат гиперплоскости Н. Но тогда а, Ь € ^. Это противоречит выбору Ь и доказывает, что ^ является гранью Р.

Обозначим через О произвольный достаточно маленький многогранник, содержащий во внутренности начало координат О. Так гак конус С является острым, то начало координат О те принадлежит Следовательно, ^ является гранью

Р О Р О

порождающим многогранником для Т. □

Следует заметить, что существование критерия порождаемости, использующего исключительно неравенства, очень маловероятно для неполных вееров общего вида. Дело в том, доказательство достаточности теоремы 1 становится неверным, если множество Б+(С) пусто. Например, рассмотрим веер Т, состоящий из единственного конуса С. Для такого мера множество Б+(С) совпадавт с Б+ (Т) и является пустым. В этом случае любой положительный вектор х удовлетворяет (3). Очевидно, что х может не соответствовать никакому порождающему многограннику для Т, так как точки р^ = а^ /х^ необязательно лежат в одной плоскости.

3. Пример

Рассмотрим конфигурацию шести точек а1,..., аб в пространстве М3, показанную на рис. 1. Эти точки являются вершинами регулярной треугольной призмы,

Т1

щий из конусов 16, 24 и 35 (см. рис. 1, 2). Для краткости здесь и далее конусы обозначаются номерами ] векторов а^, задающих экстремальные лучи этого ко-

16 а1 аб

Т1 123 456 124 245 235 356 136 146

получится веер, являющийся, пожалуй, наиболее известным примером иепорожда-емого полного веера. В частности, этот пример используется в [2, 4 6] и особенно активно в [7].

Т1

Т1

Т1

векторов

Y1 = ( 0, 1,-1, 0,-1, 1) € D+(Fi),

Y2 = ( -1, 0, 1, 1, 0, -1) € D+(Fi),

Y3 = ( 1,-1, 0,-1, 1, 0) € D+(Fi)

равна нулю. Таким образом, эти векторы но могут удовлетворять (3).

Так как все вееры в R2 и все вееры, состоящие из двух конусов, являются порождаемыми, то Fi является минимальным непорождаемым веером. Интересно, что конусы веера Fi являются двухмерными и попарно пересекаются в начале координат. Первая из этих особенностей позволяет строить на базе Fi другие пепо-рождаомыо вееры, конусы которых также попарно пересекаются в начале координат. Например, пусть а7, as, а9 являются серединами о трезков [а2,а3], [ai ,a2], [ai, аз] (см. рис. 2), тогда веер F2, состоящий из конусов 169, 248 и 357, также является непорождаемым.

Другие примеры нопорождаомых вееров, состоящих всего из трех конусов, могут быть получены опять-таки из треугольной призмы (см. [3]) в пространстве R3 и ленты Мёбиуса (см. [8] и [6, пример 5.16]) в пространстве R4. Однако конусы этих вееров не являются попарно пересекающимися в начале координат.

Summary

M.N. Matveev. A Minimal Nonpolyt.opal Fan.

The paper defines a polyt.opal incomplete fan as a subfan of a polyt.opal complete fan. A criterion for a not necessarily complete fan to be polyt.opal is proved. Using this criterion, a minimal nonpolyt.opal fan of three two-dimensional cones pairwise meeting in the origin is found in R3.

Key words: polytopes, cones, fans, systems of linear equations and inequalities.

Литература

1. Cains S.S. Isotropic deformation of geodesic complexes on the 2-spliere and on the plane // Ann. Math. 1944. V. 45. P. 207 217.

2. Supnick F. On the perspective deformation of polyliedra. II. Solution of the convexity problem // Aim. Mat.li. 1951. V. 53, No 3. P. 551 555.

3. Матвеев M.H. Невидимые грани и порождающие многогранники // Труды МФТИ. 2011. Т. 3, 1, С. 102 106.

4. Aurenhammer F. A criterion for the affine equivalence of cell complexes in Rd and convex polyhedra in Rd+1 // Discrete Comput. Geom. - 1987. - V. 2, No 1. - P. 49-64.

5. Shephard G.G. Spherical complexes and radial projections of polytopes // Israel J. Math. 1971. V. 9, No 2. P. 257 262.

6. Zieyler G.M. Lectures on polytopes. Berlin et. al.: Springer-Verlag, 1995. ix —370 p.

7. De Luera J.A., Rambau J., Santos F. Triangulat.ions. Structures for algorithms and applications. Berlin et. al.: Springer-Verlag, 2010. xiv — 535 p.

8. Betke U., Schulz С., Wills J.M. Bänder und möbiusbänder in konvexen polytopen // Abli. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1975. V. 44. P. 249 262.

Поступила в редакцию 20.12.11

Матвеев Михаил Николаевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики Московского физико-технического института. Е-шаП: тШетвтай. mi.pt. ги