УДК 514.75
МИНИМАЛЬНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В СР" В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИЙ БЕЙКЕРА — АХИЕЗЕРА СПЕКТРАЛЬНЫХ КРИВЫХ*)
И, П, Рыбников
Введение
1. Введение. В [1] предложен метод построения минимальных лагранжевых погружений (МХ-погружений) М" в СР" в терминах функций Бейкера — Ахпезера спектральных алгебраических кривых. Цель этой работы — дать эффективные формулы для таких погружений в случае гиперэллиптической спектральной кривой.
Подмногообразие в СР" вещественной размерности п называется лагранжевым, если на нем обращается в нуль симлектическая форма Фубини — Штуди. Подмногообазие минимально, если его вектор средней кривизны тождественно равен нулю.
Лагранжевы подмногообразия в С Р "с индуцированной диагональной метрикой можно задавать как композицию Ж о где Ж — проекция Хопфа,
< : И" ^ Б2 "+1 С С"+1, < удовлетворяет следующим уравнениям (см. [2]):
) = --- = {<,<хп ) = )= 0, гфо. (1)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01—00598), Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-7256.2010.1).
© 2010 Рыбников И. П.
В работе [1] найдены решения системы (1) в терминах функций Бей-кера — Ахиезера спектральных кривых, а также ограничения на спектральные данные этих функций, чтобы отображения, которые они задают, были минимальными.
В этой работе получены явные формулы для МЬ-погружений в случае гиперэллиптической спектральной кривой, в случае эллиптической спектральной кривой получены условия периодичности построе-ных отображений.
Теорема 1. Пусть спектральная кривая Г задается уравнением
ад2=Р(х) = (.г — — г2з+2), х € М. (2)
Тогда отображение Ж о «,..., <9+2) : М9+1 ^ СР23+1, ' Я i
^ / ш + х^2 + • • • + х2 9+1 и2 9+2 + К7^)
■ — А 4 г_/_Цх1,...,х2д+1) (ъ)
г в (Х1и^ + ■ ■ ■ + х2д+1и^ + К7) '
лаграижево н минимально, где А^ — некоторые константы (см. (6)), 0(х) — тэта функция Рнмаиа поверхности Г, ш = ..., ш9) — базис голоморфных дифференциалов па Г (см.п. 3), Qi — некоторые точки на Г (см. теорему 2), — мероморфиые дифференциалы на Г с полюсами второго порядка в (х^, 0), ] = 2,... , 2д + 2, н пулевыми а-цикламп. и0 — Ъ-перподы П ,
Я* Я*
Ь(х\, .. ., х 9+1) = 2пгх1 ^ П 2 + • • • + 2 пгх2 9+1 У ^29+2, г = (^ъ 0),
71 7а
К7 = К — ш — • • • — ш,
где К — вектор римаповых констант, 7i — некоторые точки Г (см. теорему 2).
В п. 2 напоминается определение функции Бейкера — Ахиезера.
В п. 3 формулируется теорема 2, с помощью которой строятся МЬ-
С ",
дичность (3). В п. 4 разбирается пример с сингулярной спектральной кривой.
Автор благодарит А. Е. Миронова за полезные обсуждения. 2. Функция Бейкера — Ахиезера. Напомним определение
п
зера строится по набору спектральных данных {Г, Р, 7, г, к—1,..., к—1}, где Г — риманова поверхность рода 9, Р = Р1 + • • • + РП, 7 = 71 + • • • + 7д
— два дивизора на Г, г € Г — фиксированная точка, к—1 — локальные параметры в окрестностях Р,. Тогда п-точечная функция Бейкера
— Ахиезера ф(х,Р), х = (х\,... ,хп), Р € Г, обладает следующими свойствами:
1) в окрестностях Р., функция ф имеет существенные особенности:
2) ф мероморфна на Г \ {У Р,} с простыми полюсами в точках 7., 3 = 1, • • • ,9',
3) выполнено условие нормировки ф(х, г) = ! € С;
Для спектральных данных общего положения существует единственная функция Бейкера — Ахиезера. Если Г — сингулярная кри-
9
менить арифметическим родом (см. [4]).
Функцию Бейкера — Ахиезера явным образом можно выразить через тэта-функцию поверхности Г. Выберем на поверхности Г базис циклов ^,..., ад, Ь±,..., Ьд с индексами пересечений
а, о а. = Ь, о Ь. = 0, а, о Ь. = 5., г, 3 = 1 ... 9.
Пусть ... ,шд — базис голоморфных дифференциалов, нормированный условиями § ш, = 5.. Матрица Ь-периодов В. = / ш. симметрическая и ее мнимая часть положительно определена.
Тэта-функция Римана задается абсолютно сходящимся рядом
Для тэта-функции справедливы свойства
0(.г +т) = 0(.г), в(г + Вт) = ехр( —пг(Вт,т) — 2П1(т, г))в(г), т € Ъ9. Пусть X — многообразие Якоби поверхности Г:
для некоторой фиксированной точки до. Для точек в общем положении 71,..., 79 то теореме Римана функция 6(г + А(Р)), где г = К — А71) — • • • — Л(^9), К — вектор римановых констант, имеет на Г ровно д нулей
Обозначим через П% { = 1,..., п, мероморфный дифференциал с полюсом в точке Рг гада ¿П г = ¿(кг + 0(к-1)) и нормированный условиями / Пг = 0, ] = 1,..., д. Пусть
тех»
X = С9/{Ъ9 + ВЪ9 }.
Пусть А : Г —^ X — отображение Абеля, заданное как
Пусть ф — функция вида
ф( и1,...,ип,Р)
9(А(Р) + и1 и1 + ■ ■ ■ + ипип + г) в(А(Р) + г)
При l = 0 функция Бейкера — Ахиезера имеет вид
...,un,P) = f{u\ un) ф{ u\ ...,un, P),
и функция f определяется из условия нормировки ф(ч1,... ,un ,r) = h. При l > 0 функция Бейкера — Ахиезера представляется в виде ф = /ф + /гфг + • • • + ¡1фи где функция ij строится аналогично ф по дивизору 7i + • • • + 7g-i + rj и функции f и fj находятся из условий нормировки.
3. Доказательство теоремы 1. Введем следующую функцию: Ч? = 0.i1^{xi,...,Xn,Qi), где ai = const, Qi,..., Qn+i £ Г. Сформулируем теорему 2 из [1].
Теорема 2. Пусть спектральная кривая Г имеет аитиголоморф-иую инволюцию ^ : Г ^ Г с фиксированными точками Q,..., Qn+i, P , . . . , Pn и полюсов:
(П)о = 1 + № + P! + • • • + Pn, (to = Ql + • • • + Qn+1 + r, и пусть
Resoi П > 0, a.i = Y/Resoi П, d=—=L=.
Vn,esr u
Тогда Ж о ч задает лаграпжево отображеипе Rn в C Рn.
Если, кроме того, существует голоморфная инволюция a : Г ^ Г такая, что Pi неподвижны, ^(y) = a(y), м(г) = a(r), d £ Ми форма ft имеет следующие разложения в окрестностях Pi:
Л = (cjWi + diWi3 + ... ) dwi, Wi = 1/ki, (5)
то отображение минимально.
Для доказательства теоремы 1 нужно подобрать спектральные данные так, чтобы все условия теоремы 2 были выполнены. Зададим на Г голоморфную и антиголоморфную инволюции
т : (z, w) ^ (z, -w), ц : (z, w) ^ (z, W).
г = (¿1,0), Р = (¿2,0),..., Р9+1 = 9+2,0) неподвижны относительно ц и т. Положим
<51 = (Ръ = (РЪ ~у/РЫ)), ■■■,
<523+1 = (Рд+1, ^Р(рд+1)), <^2д+2 = (р3+1, ~^Р(рд+1)).
Так как неподвижны относительно то € М, Р{рг) > 0. Положим 7г = (7о¿,Р(7ог)), « = 1,...,д. Поскольку = 7, имеем ^г € М,
РЬО < о.
Мероморфный дифференциал П с дивизорами нулей и полюсов (П)0 = 7 + Р1 + Р1 + • • •+ , = + • • ^ Я29+2 + Г
имеет вид
(г — 701) ...{г — 7о 9) ¿г
П =
Иев^О — Иев^¿+2 О —
(г — ^(г — рО...(г — Р9+1)'
(рг — ш)...(Рг — 7о 9)
1 ,+2 .. 9+1
(Рг — г0 П (Рг — Рз)
Очевидно, что выполнения условий Кевц^ >0 можно добиться соответствующим выбором спектральных параметров.
Выберем в окрестностях Рг локальные параметры кг = ад. Тогда в окрестностях Рг имеет место разложения П = (сг— + аг—2 + ...) ¿—. Так как т— = —то аг = 0. Поэтому П удовлетворяет условиям (5) теоремы 2. Таким образом, все условия на спектральные данные теоремы 2 выполнены.
Для доказательства теоремы 1 остается задать функцию Бейкера — Ахиезера в терминах тэта-функции (см. п. 2). Выберем на Г базис циклов а,1 ... а9,Ь±,... ,Ь9 с индексами пересечений
аг о аз = Ьг о Ь^ = 0, аг о Ь^ = Згз, г,] = 1,...,д.
Пространство голоморфных дифференциалов на Г состоит из линейных комбинаций дифференциалов
¿г х9- ¿г
1 — ' ' 1 —
Выберем базис ш\,... ,шд в этом пространстве, удовлетворяющий условиям
ш, — 5..
Дифференциалы Щ =--/¿1^1----- 1гдЩ, = / -, 2 = 2,. .., 2д + 2,
удовлетворяют условию
.
Р.
в тэта-функциях:
в{ /' ш + х1и2 + • • • + х2д+1 и2д+2 + кЛ
= Л.—И_¿_ Ь(х1,...,х2д+1)
* 1 е{х1\р + • • • + х2д+1тя+2 + к7)
_ у/Ш^п ■ в(к7)
~~ 777" ч • V0''
К /^ ш + К-<)
Теорема 1 доказана.
Из свойств тэта-функции (см. п. 2) вытекает, что для периодичности отображения (3) относительно сдвигов х, ^ а, нужно, чтобы
%
а,иг € %д и а, / € %. Эти условия дают 4^^+9+1 уравнений.
г
9
Г,Р1т . . , Р2 д+1, ... , Яд+1, а1, ... , а2 д+1,
в силу непрерывности в случае эллиптической кривой
= (г - гг)(г - г2)(г - г3)(г - (7)
.
можно получать периодические отображения. Выпишем (3) для спектральной кривой (7)
е(Тш + х [ П2 + У [Оз + г [ П4 + К.Л
. _ у^ ь[ I ь[ 7 I Ъ+У I I п*>
^ ~ 1 6»(ж/П2 + у/П3 + г/П4 + ^7) 6
Ъ\ Ъ\ Ь\
[
Для периодичности (8) необходимо выполнения условия / Пг € М. Пусть
Ъ
ш = Е(г)с1г. Тогда из билинейных соотношений Римана (см. [3]) вытекает f Пг = 2пгР(г) |р*, следовательно, Л € гМ, где Л находится из Ъ[
нормировочного условия / ^^ = 1. Если выбрать а 1 = {(г,ъи), г €
ах
[г!,г2]}, то Л € гМ. Таким образом, доказано
Следствие 1. Пусть спектральная кривая Г задается уравнением
(7), н пусть МЬ-отображеипе Ж о ^ : М3 ^ СР3 задается формулами
(8). Тогда это отображение периодично относительно сдвигов
(х, У, г) ^ (х + а, у, г), (х, у, г) ^ {х,у + в, г), (х, у, г) ^ (х, у,г + 7),
если § выполнены следующие условия:
а
а у П2 = к, в У^з=/, 7^4 = т, к,1,т € Z (9)
Ъ\ Ъ\ Ъг
я* я* я*
а У П2 = Г, в^з = э, = ^ г=\,2,г,8,г € Z. (10)
г г г
4. Пример с приводимой спектральной кривой. Результаты теоремы 2 переносятся на случай приводимой спектральной кривой по схеме работы [4]. Пусть кривая Г состоит из компонент, изоморфных
С , г
гг на третьей. Далее, пусть точки пересечения первых двух компонент
имеют координаты а, —а, Ь, —Ь соответственно на первой и второй компонентах, а точки пересечения второй и третьей компоненты имеют координаты с, —с, I, —/соответственно. Точки а, Ь, с, / подразумеваются вещественными.
р1 = <егь р2 = <ег2, Р3 = «ег3, г = о егь Я е г2, ег3, Яг е к, 71 е г2, ъ еГз, е ж.
На кривой Г задана голоморфная инволюция:
ст : Г ^ Г, ст(^) = — ¿1, ст(г2) = — г2, а(г3) = —г3 и антиголоморфная инволюция
^ : Г ^ Г, ^(гх) = ^(г2) = г2, = г3.
г
Рис. 1.
Положим
Ох
1 ¡2 =
03
—
* ¿3 — -7-•
(¿з — ЯХ^З — Яз)(гз — Я^Щ — /2)
йз {%3 ~ 72) ^з
Выпишем условия регулярности формы П:
Иева Пх + Иевь П2 = 0, Иев-а П1 + Иев-ь И2 = 0,
Т1е8с П2 + Невг Пз = 0, Нев-с П2 + Иев-; П3 = 0.
Из этих уравнений, учитывая равенства (5), находим
Ь2(Ь2 — с2) _
52-"а2(Ь2_72Г ¿21-0,
(ь2 (с2 — 72 )/2(/2 — д22))
«3 - / 9 9 / 9-5Т7-2 <?3 - -<34, <?2 - 0.
Далее,
^ (¥ — 7{)
/5-гГ_ Ъ2 (с2 -"/г)12 Ы-ЯI)
«2 _ «з _ ^Т^ П3 - -2а2с2(ь2_72)(_72 + /2)дГ
V — 71)к—12 + / )кс — Яг)
а , а , а
Пусть, например, а = Ь = / = 1, с = 2, Я2 = 1, 71 = г, 72 = 2г, ¿ = 1.
Функция Бейкера — Ахиезера ф определяется функциями ф\, ф2, фз на компонентах Г1, Г2, Г3:
ф1=е™*Мх,у,г), ф2 = е^ (мх,у,г)+д2{Х'У>г)
V г2 — 71
гз — 72
Функции /1, /2, /3, д2, дз находятся из условий согласованности ФЛх,у,г,а) = ф2{х,у,г,Ь), ф(х,у,г, —а) = ф2{х,у,г, —Ь), ф2{х,у,г,с) = ф3(х,у,г,/), ф2{х,у,г, —с) = фъ(х,у,г, —/)
и условия нормировки ф\ (ж, у, г, 0) = <1, причем <1 =
.
| Иево П1
Опуская громоздкие выкладки, выпишем искомое отображение:
<f2 = -^-де-^+^-^ад + 12i)e6iy + (36 - 27i)e2i(x+2y)
+ (4 + 3i)e2 i(x+z) — (9 — 12i)e2 i(y+z
^ = -^=e-i{x+3{y+z))((4 - 3i)e6iy - (9 + 12>i)e2i{x+2y)
(9 — 12i)e2 i(x+z) + (36 + 27i)e2 i{y+z)
1
ipA =
e-Hx+Sv+z)^! + 7i)e6iy + (21 + 3i)e2i<x+2y)
80
— (1 + 7i)e2i(x+z) + (21 — 3 i)e2 i(y+z)). Лагранжев угол и индуцированная метрика имеют вид
е^ = —i,
da2 = dx2 + ^(cos(x — у) + sin(x — y))2 dy2 + ^t:(3cos(x + y — z) 2 800
+ 7cos(x — 3y + z) + 21 sin(x + y — z) + sin(x — 3y + z))2 dz2. ЛИТЕРАТУРА
1. Рыбников И. П. Минимальные лагранжевы номногообразия в CPn с диагональной метрикой // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52. № 1. С. 122-131.
2. Миронов А. Е. Об одном семействе конформно плоских минимальных лагран-жевых торов в CP3 // Мат. заметки 2007. Т. 81, № 3. С. 374-384.
3. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
4. Mironov А. Е., Taimanov I. A. Orthogonal curvilinear coordinate systems, corresponding to singular spectral curves // Proc. Steklov institute of Math. 2006. V. 255. P. 169-184.
г. Новосибирск
3 декабря 2010 г.