Минимальные лагранжевы подмногообразия в CP n в терминах функций Бейкера-Ахиезера спектральных кривых Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

МИНИМАЛЬНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В СР" В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИЙ БЕЙКЕРА — АХИЕЗЕРА СПЕКТРАЛЬНЫХ КРИВЫХ*)

И, П, Рыбников

Введение

1. Введение. В [1] предложен метод построения минимальных лагранжевых погружений (МХ-погружений) М" в СР" в терминах функций Бейкера — Ахпезера спектральных алгебраических кривых. Цель этой работы — дать эффективные формулы для таких погружений в случае гиперэллиптической спектральной кривой.

Подмногообразие в СР" вещественной размерности п называется лагранжевым, если на нем обращается в нуль симлектическая форма Фубини — Штуди. Подмногообазие минимально, если его вектор средней кривизны тождественно равен нулю.

Лагранжевы подмногообразия в С Р "с индуцированной диагональной метрикой можно задавать как композицию Ж о где Ж — проекция Хопфа,

< : И" ^ Б2 "+1 С С"+1, < удовлетворяет следующим уравнениям (см. [2]):

) = --- = {<,<хп ) = )= 0, гфо. (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01—00598), Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-7256.2010.1).

© 2010 Рыбников И. П.

В работе [1] найдены решения системы (1) в терминах функций Бей-кера — Ахиезера спектральных кривых, а также ограничения на спектральные данные этих функций, чтобы отображения, которые они задают, были минимальными.

В этой работе получены явные формулы для МЬ-погружений в случае гиперэллиптической спектральной кривой, в случае эллиптической спектральной кривой получены условия периодичности построе-ных отображений.

Теорема 1. Пусть спектральная кривая Г задается уравнением

ад2=Р(х) = (.г — — г2з+2), х € М. (2)

Тогда отображение Ж о «,..., <9+2) : М9+1 ^ СР23+1, ' Я i

^ / ш + х^2 + • • • + х2 9+1 и2 9+2 + К7^)

■ — А 4 г_/_Цх1,...,х2д+1) (ъ)

г в (Х1и^ + ■ ■ ■ + х2д+1и^ + К7) '

лаграижево н минимально, где А^ — некоторые константы (см. (6)), 0(х) — тэта функция Рнмаиа поверхности Г, ш = ..., ш9) — базис голоморфных дифференциалов па Г (см.п. 3), Qi — некоторые точки на Г (см. теорему 2), — мероморфиые дифференциалы на Г с полюсами второго порядка в (х^, 0), ] = 2,... , 2д + 2, н пулевыми а-цикламп. и0 — Ъ-перподы П ,

Я* Я*

Ь(х\, .. ., х 9+1) = 2пгх1 ^ П 2 + • • • + 2 пгх2 9+1 У ^29+2, г = (^ъ 0),

71 7а

К7 = К — ш — • • • — ш,

где К — вектор римаповых констант, 7i — некоторые точки Г (см. теорему 2).

В п. 2 напоминается определение функции Бейкера — Ахиезера.

В п. 3 формулируется теорема 2, с помощью которой строятся МЬ-

С ",

дичность (3). В п. 4 разбирается пример с сингулярной спектральной кривой.

Автор благодарит А. Е. Миронова за полезные обсуждения. 2. Функция Бейкера — Ахиезера. Напомним определение

п

зера строится по набору спектральных данных {Г, Р, 7, г, к—1,..., к—1}, где Г — риманова поверхность рода 9, Р = Р1 + • • • + РП, 7 = 71 + • • • + 7д

— два дивизора на Г, г € Г — фиксированная точка, к—1 — локальные параметры в окрестностях Р,. Тогда п-точечная функция Бейкера

— Ахиезера ф(х,Р), х = (х\,... ,хп), Р € Г, обладает следующими свойствами:

1) в окрестностях Р., функция ф имеет существенные особенности:

2) ф мероморфна на Г \ {У Р,} с простыми полюсами в точках 7., 3 = 1, • • • ,9',

3) выполнено условие нормировки ф(х, г) = ! € С;

Для спектральных данных общего положения существует единственная функция Бейкера — Ахиезера. Если Г — сингулярная кри-

9

менить арифметическим родом (см. [4]).

Функцию Бейкера — Ахиезера явным образом можно выразить через тэта-функцию поверхности Г. Выберем на поверхности Г базис циклов ^,..., ад, Ь±,..., Ьд с индексами пересечений

а, о а. = Ь, о Ь. = 0, а, о Ь. = 5., г, 3 = 1 ... 9.

Пусть ... ,шд — базис голоморфных дифференциалов, нормированный условиями § ш, = 5.. Матрица Ь-периодов В. = / ш. симметрическая и ее мнимая часть положительно определена.

Тэта-функция Римана задается абсолютно сходящимся рядом

Для тэта-функции справедливы свойства

0(.г +т) = 0(.г), в(г + Вт) = ехр( —пг(Вт,т) — 2П1(т, г))в(г), т € Ъ9. Пусть X — многообразие Якоби поверхности Г:

для некоторой фиксированной точки до. Для точек в общем положении 71,..., 79 то теореме Римана функция 6(г + А(Р)), где г = К — А71) — • • • — Л(^9), К — вектор римановых констант, имеет на Г ровно д нулей

Обозначим через П% { = 1,..., п, мероморфный дифференциал с полюсом в точке Рг гада ¿П г = ¿(кг + 0(к-1)) и нормированный условиями / Пг = 0, ] = 1,..., д. Пусть

тех»

X = С9/{Ъ9 + ВЪ9 }.

Пусть А : Г —^ X — отображение Абеля, заданное как

Пусть ф — функция вида

ф( и1,...,ип,Р)

9(А(Р) + и1 и1 + ■ ■ ■ + ипип + г) в(А(Р) + г)

При l = 0 функция Бейкера — Ахиезера имеет вид

...,un,P) = f{u\ un) ф{ u\ ...,un, P),

и функция f определяется из условия нормировки ф(ч1,... ,un ,r) = h. При l > 0 функция Бейкера — Ахиезера представляется в виде ф = /ф + /гфг + • • • + ¡1фи где функция ij строится аналогично ф по дивизору 7i + • • • + 7g-i + rj и функции f и fj находятся из условий нормировки.

3. Доказательство теоремы 1. Введем следующую функцию: Ч? = 0.i1^{xi,...,Xn,Qi), где ai = const, Qi,..., Qn+i £ Г. Сформулируем теорему 2 из [1].

Теорема 2. Пусть спектральная кривая Г имеет аитиголоморф-иую инволюцию ^ : Г ^ Г с фиксированными точками Q,..., Qn+i, P , . . . , Pn и полюсов:

(П)о = 1 + № + P! + • • • + Pn, (to = Ql + • • • + Qn+1 + r, и пусть

Resoi П > 0, a.i = Y/Resoi П, d=—=L=.

Vn,esr u

Тогда Ж о ч задает лаграпжево отображеипе Rn в C Рn.

Если, кроме того, существует голоморфная инволюция a : Г ^ Г такая, что Pi неподвижны, ^(y) = a(y), м(г) = a(r), d £ Ми форма ft имеет следующие разложения в окрестностях Pi:

Л = (cjWi + diWi3 + ... ) dwi, Wi = 1/ki, (5)

то отображение минимально.

Для доказательства теоремы 1 нужно подобрать спектральные данные так, чтобы все условия теоремы 2 были выполнены. Зададим на Г голоморфную и антиголоморфную инволюции

т : (z, w) ^ (z, -w), ц : (z, w) ^ (z, W).

г = (¿1,0), Р = (¿2,0),..., Р9+1 = 9+2,0) неподвижны относительно ц и т. Положим

<51 = (Ръ = (РЪ ~у/РЫ)), ■■■,

<523+1 = (Рд+1, ^Р(рд+1)), <^2д+2 = (р3+1, ~^Р(рд+1)).

Так как неподвижны относительно то € М, Р{рг) > 0. Положим 7г = (7о¿,Р(7ог)), « = 1,...,д. Поскольку = 7, имеем ^г € М,

РЬО < о.

Мероморфный дифференциал П с дивизорами нулей и полюсов (П)0 = 7 + Р1 + Р1 + • • •+ , = + • • ^ Я29+2 + Г

имеет вид

(г — 701) ...{г — 7о 9) ¿г

П =

Иев^О — Иев^¿+2 О —

(г — ^(г — рО...(г — Р9+1)'

(рг — ш)...(Рг — 7о 9)

1 ,+2 .. 9+1

(Рг — г0 П (Рг — Рз)

Очевидно, что выполнения условий Кевц^ >0 можно добиться соответствующим выбором спектральных параметров.

Выберем в окрестностях Рг локальные параметры кг = ад. Тогда в окрестностях Рг имеет место разложения П = (сг— + аг—2 + ...) ¿—. Так как т— = —то аг = 0. Поэтому П удовлетворяет условиям (5) теоремы 2. Таким образом, все условия на спектральные данные теоремы 2 выполнены.

Для доказательства теоремы 1 остается задать функцию Бейкера — Ахиезера в терминах тэта-функции (см. п. 2). Выберем на Г базис циклов а,1 ... а9,Ь±,... ,Ь9 с индексами пересечений

аг о аз = Ьг о Ь^ = 0, аг о Ь^ = Згз, г,] = 1,...,д.

Пространство голоморфных дифференциалов на Г состоит из линейных комбинаций дифференциалов

¿г х9- ¿г

1 — ' ' 1 —

Выберем базис ш\,... ,шд в этом пространстве, удовлетворяющий условиям

ш, — 5..

Дифференциалы Щ =--/¿1^1----- 1гдЩ, = / -, 2 = 2,. .., 2д + 2,

удовлетворяют условию

.

Р.

в тэта-функциях:

в{ /' ш + х1и2 + • • • + х2д+1 и2д+2 + кЛ

= Л.—И_¿_ Ь(х1,...,х2д+1)

* 1 е{х1\р + • • • + х2д+1тя+2 + к7)

_ у/Ш^п ■ в(к7)

~~ 777" ч • V0''

К /^ ш + К-<)

Теорема 1 доказана.

Из свойств тэта-функции (см. п. 2) вытекает, что для периодичности отображения (3) относительно сдвигов х, ^ а, нужно, чтобы

%

а,иг € %д и а, / € %. Эти условия дают 4^^+9+1 уравнений.

г

9

Г,Р1т . . , Р2 д+1, ... , Яд+1, а1, ... , а2 д+1,

в силу непрерывности в случае эллиптической кривой

= (г - гг)(г - г2)(г - г3)(г - (7)

.

можно получать периодические отображения. Выпишем (3) для спектральной кривой (7)

е(Тш + х [ П2 + У [Оз + г [ П4 + К.Л

. _ у^ ь[ I ь[ 7 I Ъ+У I I п*>

^ ~ 1 6»(ж/П2 + у/П3 + г/П4 + ^7) 6

Ъ\ Ъ\ Ь\

[

Для периодичности (8) необходимо выполнения условия / Пг € М. Пусть

Ъ

ш = Е(г)с1г. Тогда из билинейных соотношений Римана (см. [3]) вытекает f Пг = 2пгР(г) |р*, следовательно, Л € гМ, где Л находится из Ъ[

нормировочного условия / ^^ = 1. Если выбрать а 1 = {(г,ъи), г €

ах

[г!,г2]}, то Л € гМ. Таким образом, доказано

Следствие 1. Пусть спектральная кривая Г задается уравнением

(7), н пусть МЬ-отображеипе Ж о ^ : М3 ^ СР3 задается формулами

(8). Тогда это отображение периодично относительно сдвигов

(х, У, г) ^ (х + а, у, г), (х, у, г) ^ {х,у + в, г), (х, у, г) ^ (х, у,г + 7),

если § выполнены следующие условия:

а

а у П2 = к, в У^з=/, 7^4 = т, к,1,т € Z (9)

Ъ\ Ъ\ Ъг

я* я* я*

а У П2 = Г, в^з = э, = ^ г=\,2,г,8,г € Z. (10)

г г г

4. Пример с приводимой спектральной кривой. Результаты теоремы 2 переносятся на случай приводимой спектральной кривой по схеме работы [4]. Пусть кривая Г состоит из компонент, изоморфных

С , г

гг на третьей. Далее, пусть точки пересечения первых двух компонент

имеют координаты а, —а, Ь, —Ь соответственно на первой и второй компонентах, а точки пересечения второй и третьей компоненты имеют координаты с, —с, I, —/соответственно. Точки а, Ь, с, / подразумеваются вещественными.

р1 = <егь р2 = <ег2, Р3 = «ег3, г = о егь Я е г2, ег3, Яг е к, 71 е г2, ъ еГз, е ж.

На кривой Г задана голоморфная инволюция:

ст : Г ^ Г, ст(^) = — ¿1, ст(г2) = — г2, а(г3) = —г3 и антиголоморфная инволюция

^ : Г ^ Г, ^(гх) = ^(г2) = г2, = г3.

г

Рис. 1.

Положим

Ох

1 ¡2 =

03

—

* ¿3 — -7-•

(¿з — ЯХ^З — Яз)(гз — Я^Щ — /2)

йз {%3 ~ 72) ^з

Выпишем условия регулярности формы П:

Иева Пх + Иевь П2 = 0, Иев-а П1 + Иев-ь И2 = 0,

Т1е8с П2 + Невг Пз = 0, Нев-с П2 + Иев-; П3 = 0.

Из этих уравнений, учитывая равенства (5), находим

Ь2(Ь2 — с2) _

52-"а2(Ь2_72Г ¿21-0,

(ь2 (с2 — 72 )/2(/2 — д22))

«3 - / 9 9 / 9-5Т7-2 <?3 - -<34, <?2 - 0.

Далее,

^ (¥ — 7{)

/5-гГ_ Ъ2 (с2 -"/г)12 Ы-ЯI)

«2 _ «з _ ^Т^ П3 - -2а2с2(ь2_72)(_72 + /2)дГ

V — 71)к—12 + / )кс — Яг)

а , а , а

Пусть, например, а = Ь = / = 1, с = 2, Я2 = 1, 71 = г, 72 = 2г, ¿ = 1.

Функция Бейкера — Ахиезера ф определяется функциями ф\, ф2, фз на компонентах Г1, Г2, Г3:

ф1=е™*Мх,у,г), ф2 = е^ (мх,у,г)+д2{Х'У>г)

V г2 — 71

гз — 72

Функции /1, /2, /3, д2, дз находятся из условий согласованности ФЛх,у,г,а) = ф2{х,у,г,Ь), ф(х,у,г, —а) = ф2{х,у,г, —Ь), ф2{х,у,г,с) = ф3(х,у,г,/), ф2{х,у,г, —с) = фъ(х,у,г, —/)

и условия нормировки ф\ (ж, у, г, 0) = <1, причем <1 =

.

| Иево П1

Опуская громоздкие выкладки, выпишем искомое отображение:

<f2 = -^-де-^+^-^ад + 12i)e6iy + (36 - 27i)e2i(x+2y)

+ (4 + 3i)e2 i(x+z) — (9 — 12i)e2 i(y+z

^ = -^=e-i{x+3{y+z))((4 - 3i)e6iy - (9 + 12>i)e2i{x+2y)

(9 — 12i)e2 i(x+z) + (36 + 27i)e2 i{y+z)

1

ipA =

e-Hx+Sv+z)^! + 7i)e6iy + (21 + 3i)e2i<x+2y)

80

— (1 + 7i)e2i(x+z) + (21 — 3 i)e2 i(y+z)). Лагранжев угол и индуцированная метрика имеют вид

е^ = —i,

da2 = dx2 + ^(cos(x — у) + sin(x — y))2 dy2 + ^t:(3cos(x + y — z) 2 800

+ 7cos(x — 3y + z) + 21 sin(x + y — z) + sin(x — 3y + z))2 dz2. ЛИТЕРАТУРА

1. Рыбников И. П. Минимальные лагранжевы номногообразия в CPn с диагональной метрикой // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52. № 1. С. 122-131.

2. Миронов А. Е. Об одном семействе конформно плоских минимальных лагран-жевых торов в CP3 // Мат. заметки 2007. Т. 81, № 3. С. 374-384.

3. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

4. Mironov А. Е., Taimanov I. A. Orthogonal curvilinear coordinate systems, corresponding to singular spectral curves // Proc. Steklov institute of Math. 2006. V. 255. P. 169-184.

г. Новосибирск

3 декабря 2010 г.