Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

МИНИМАКСНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ДАННЫХ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА НЕЙМАНА

© Перцов А.С.

Черновицкий национальный университет им. Ю.Федьковича

факультет прикладной математики

ул. Коцюбинского, 2, г. Черновцы, 58012, Украина e-mail: pertsov@ukr.net

Abstract. We find minimax estimates of functionals from unknown deterministic data of the boundary value problem for biharmonic equation with Neumann type boundary conditions.

Введение

Задачам минимаксного оценивания состояний систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных при условии их однозначной разрешимости посвящено значительное число работ (см., например, [1]).

Однако, в ситуации, когда решения краевых задач не определены однозначно и существуют лишь, если данные этих краевых задач удовлетворяют некоторым условиям совместности, вопросы их минимаксного оценивания разработаны недостаточно полно (в этом направлении см., например, [3]). Исследуемая ниже задача минимаксного оценивания относится к описанному кругу проблем.

В данной статье по зашумленным наблюдениям решений и при специальных ограничениях на неизвестные правые части уравнений и граничных условий типа Неймана, входящих в постановку краевых задач для бигармонического уравнения, а также на шумы в наблюдениях, найдены минимаксные оценки функционалов от этих правых частей.

Нахождение минимаксных оценок сведено к решению некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений и доказана их однозначная разрешимость.

1. Вспомогательные факты

Обозначим через Н - гильбертово пространство над К со скалярным произведением (-,-)я и нормой || • ||я- Через Зн е ^{Н,Н') будем обозначать оператор, называемый изометричным изоморфизмом, действующий из Н на его сопряженное пространство Н', и определяемый равенством (и,у)н = < V >нын Vг^, г; е Н, где < /,х > ¡г . //:= /(х) для я: б Я, / Е Я'. Этот оператор существует в силу теоремы Рисса.

Обозначим через Ь2(П,,Н) пространство Бохнера, состоящее из случайных элементов £ = £(о>), определенных па некотором вероятностном пространстве

со значениями в II таких, что

|2

1ь2(П ,Я)

|£(о>)||#с?.Р(и;) < оо.

(1)

В этом случае существует интеграл Бохнера Е£ := /() <И'{^) (= //. называемый математическим ожиданием или средним случайного элемента £(о>), удовлетворяющий условию

(Л,ЕОн = / V/! е II.

(2)

Применение к случайной величине 4 этого определения приводит к традиционному определению ее математического ожидания, поскольку интеграл Бохнера (1) переходит в обычный интеграл Лебега по вероятностной мере йР(ш). В Ь2(П,,Н) можно ввести скалярное произведение:

(3)

(£,л)ьцп,н) := / (£(и),г)(и))н<1Р(и) Е 1/(0, #).

Пространство Ь2(П,,Н), оснащенное нормой (1) и скалярным произведением (3), является гильбертовым.

Введем также следующие обозначения: х = (а^,,,, ,хп) - пространственная переменная, принадлежащая ограниченной открытой области £> С К" с липшицевой границей Г; йх = йх\ • • • йхп - мера Лебега в К"; Ь2(В) - пространство функций, суммируемых с квадратом в области £); для целого числа т обозначим через Нт(В) -стандартные пространства Соболева с естественными нормами.

Пусть состояние (р(х) системы определяется как решение краевой задачи

е н2(П),

А2ср(х) = /(х) в = ¡11, Мер = /г2

А

на Г,

(4)

(5)

(6)

где

Мц> = д / * \ ,л , д

аАср + (1 - <т)

д2(р

д2(р

дх?

ди2' д2(р

д2(р дхо

(7)

(8)

дх\дх2

/ е Ь2(В), ¡11,112 е Ь2(Г), 0 < о < 1, и - единичная нормаль к Г, внешняя по отношению к области £>, щ - ¿-я координата единичной нормали и, = --¡¡^Щ + ~ производная по направлению касательной к кривой Г, При этом под обобщенным решением этой задачи понимается функция ц) е П2{П). для которой справедливо интегральное тождество ([2], стр. 435),

о

д2у д2у + а

дх\

дх\

дх\

+ 2(1

о

д2%) д2(р

дх-1 дхо дх-1 дх-

+

д2у д2у + а

дх\

дх\

ЗУ

дх\

йх

у(х)/(х) + У уЬ(1Т+ I ¿Г У у Е Я2(£>). (9)

Как известно (см., например, [2]), для существования решения задачи (4) - (6) необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись условия совместности

¡(х)йх + JhldГ = 0, Jxlf(x)dx + JxlhldГ + ^-^-к2с1Г = 0, (10)

х2/(х) ¿х + У Х2Ы с?Г + У ¿Г = 0, (11)

Если условия (10), (11) выполняются, то существует бесконечное множество решений данной задачи, причем любые два решения отличаются друг от друга на полином видар(я;1, Ж2) = а, + Ьх\ + сх2 почти всюду в £>, Обозначим множество этих полиномов через Р\.

Постановка задачи минимаксного оценивания. Задача состоит в том, чтобы по наблюдении вида

у = у(<р\г)) = С(р + г] (12)

найти оптимальную, в некотором смысле, оценку значения функционала

= I 10(х)/(х) йх + I 11к1(!Г + I 12к2(1Т (13)

в классе линейных оценок

КЕ) = (у(<Р',л),и)н0 + с, (14)

где ср(х) - решение краевой задачи (4) - (6), ^ := (/, /гь /г2) Е Ь2(0) х Ь2(Т) х Ь2(Т), элемент и принадлежит гильбертову пространству Но, с Е К, 1а Е Ь2(В), 1\ Е Ь2(Г), ¡2 Е Ь2(Г) - заданные функции, в предположении, что правые части /(х), кг, /12 уравнений (5), (6) и погрешности г/ = г](ш) в наблюдениях (12), являющиеся случайными элементами, определенными на некотором вероятностном пространстве (О, В, Р) со значениями в //п. неизвестны, а известно лишь, что элемент /• := (/,/11/12) € 6'п и г/ Е Здесь С Е ^(Ь2(В),Н0) - линейный непрерывный оператор, такой что его ограничение на подпространство Р\ инъективно; через Со обозначено множество функций Р := (/,/г!,/г2) Е Ь2(В) х Ь2(Г) х Ь2(Г), удовлетворяющих условиям

<2(1-1о)(х)(1(х)-Мх))<1х + I Я^к^к^к^к^йТ

1Г

+ [ д2(Л*2 - кР)(к2 - кР) 4Г < 1, (15)

J/(х)с1х + JhldT = 0, Jxlf(x)dx + JxlhldT + J^p-h2dГ = 0, (16)

х2/(х)с1х + У 2:2^-1 с!Г + У ¿Г = 0, (17)

а через С\ обозначено множество случайных элементов г] = г)(ш) £ Ь2(&,Н0), с нулевыми средними, удовлетворяющими неравенству

М(<2о»7,»7)яо < 1, (18)

где Я-, Яъ Я 2 1 Яо ~ ограниченные самосопряженные положительно-определенные операторы в Ь2(В), Ь2(Г) и Н0 соответсвеппо, для которых существуют ограниченные обратные операторы ФГ^Фг1 и Яо1? Р'о '■= (/о, ^ ^(Р) х Ь2(Г) х Ь2(Г) - заданные функции, удовлетворяющие условиям (16)-(17),

Определение 1. Оценку вида /(/•') = (2/(93; //). й)я0 + с будем называть минимаксной оценкой 1(Р), если элемент й и число с определяются из условия

а(и,с): = вир М\1(Р) - 1{Р)\2 ->• := а

РеОоМО! иея0,сеС

где ф - любое решение краевой задачи (4)- (6) при /(ж) = /(ж), = =

1(1?) = (у(ф',т]),и)н0 + с. Величину а будем называть погрешностю минимаксного оценивания выражения (13),

2, Основные результаты

Теорема 1. Задача нахождения минимаксной оценки 1(Р) значения функционала 1(Р) эквивалентна задаче оптимального управления системой, описываемой краевой зада,чей

г(-,и)еН2(Р), (19)

А2г(х;и) = ~(С^Нои)(х) в Д (20)

Мг(-,и)= 0, Л/;(•: //) = 0. на Г, (21)

Я'1(1о(х) + г(х; и)) <к: + ^ Яг1(к + г(-\и)) <ПГ = 0, (22)

1Г

х1д-1(10(х)+г(х-, и)) с1х+1 (к + *(•; и)) с1Г+^ ^Я^ + йТ =

(23)

х2Я-1(к(х)+г(х- и)) йх+1Х2Я11 (к + и)) ЛЧ^ + =

(24)

с функцией стоимости вида 1(и) = / Q^l(z(x; и) + l0(x))(z(x] и) + l0(x))dx + I Qil(z(--,u) + h)(z(--,u) + k) dT

D

+ / «2 1 + fe) + i2) dT + (Qq1u, u)Ho inf. (25)

где1

V = {и e Н0 : J(C*Jh0u)(x)pq(x) dx = 0 Vp0 e -Pi},

D

С* : Щ —L2(a,b) - оператор, сопряженный к С, который определяется, соотношением, < Cv, w >я0хя;= fD v(x)C*w(x) dx для, всех v е L2(D), w е H'Q.

Доказательство. Сначала заметим, что задача (19)—(24), в силу условий совместности (10)—(11), в которых положено f(x) = — (C*Jhqu)(x), hi = 0, h2 = 0, однозначно разрешима при и е V.

Обозначим через ф± единственное решение задачи (4)-(6) при f(x) = f(x), h\ = hi, h2 = h2, ортогональное ко всем полиномам из множества Pi.

Тогда, поскольку любое решение ф этой задачи можно представить в виде ф = ф± + (ро, где фа G Pi, имеем

sup M|/(F) — l(F\2 = sup sup М\1(ф± + ipo) - 1(ф± + ipo)\2.

FeGoMGi FeGoMGi VotPi

Учитывая (12)-(14), для любого и £ Щ получим

1(F) = (у(Ф-L + <Ро\ fj), и)н0 + С = (С(ф± + щ), и)н0 + (fj, и)н0 + С

= < С(Ф_L + <ро), J щи >н0хН'0 + (fj,u)Ho + С (ф±(х) + (р0(х))(С* JHou,)(x) dx + (fj, и)н0 + С

D

ф±(х)(С*,7Нои)(х)с1х + I (po(x)(C*JHou)(x)dx+(ri,u)Ho + c,

D

откуда

D D

1(F)-1(F) = / k(x)f(x)dx + / h~hidT+ / l2h2 dT — 1(ф± + (fo)

D

l0(x)f(x)dx + I iJiidT + I l2h2dV

Ф±(х)(С* Jн0и)(х) dx — J (p0(x)(C* Jн0и)(х) dx — (fj, и)н0 — с.

D D

Нетрудно видеть,что V - непустое, замкнутое, выпуклое множество.

Отсюда, принимая во внимание соотношение = М|£ М£|2 = (М£)2 между

дисперсией случайной величины £ и ее математическим ожиданием М£, находим

М

1{Р) - 1{Р

вир

10(х)/(х) йх + I 1Ф1 йТ + I ¿2^2 ^Г

Ф ±(х)(С* 3нои)(х) (1.Г — I сро(х)(С* Зн0и)(х) (1.Г — С

в

в

+ М|(?], и)н0\

(26)

Поскольку функция (ра(х) под знаком последнего интеграла в правой части этого

2

будет огра-

т - т

равенства пробегает все пространство то величина М

пичеппой тогда и только тогда, когда и £ V. Учитывая теперь, что функция г(х; и) которая определена лишь тогда, когда и £ V, удовлетворяет уравнениям (19)—(21) имеем

д2ъи(х) д2ъи(х)\ д2г(х; и) . д2ъи(х) д2г(х; и) + —— I —--Ь 2(1 — а)-

в

дх\

дх\

дх\

'д2ги(х) д2ги(х)\ д2г(х;и) + I „ о + О- 1 М 1 ;

дхо

дх\

дхо

йх

дххдх^ 8x18x2

т(х)С*-1н0и(х) йх УтеН2(0). (27)

о

2 /

Положив в последнем тождестве из = ф±, получим равенство ' д2ф±(х

в

дх\

д2ф±(х)\ д2г(х; и) . д2ф±(х) д2г(х/,и) + —— I —--Ь 2(1 — а)-

дх\

дх\

8x18x2 8Х\8Х,2

,д2ф±(х) д2ф±(х)\ д2г(х;и)

дх\

дх\

дх\

йх

ф±(х)С*,7н0и(х) йх. (28)

в

С другой стороны, поскольку ф± является решением краевой задачи (4)-(6) при / = /, Л-1 = Л-1, Л-2 = Л-2, то для этой функции выполняется интегральное тождество (9), положив в котором V = г(-;и), находим

в

д2г(х; и) дх\

| ^д2г(х]и)^ д2ф± | ^ д2г(х;и) д2фА

дх\

дх\

8x18x2 8Х\8Х,2

'д2г(х-,и) д2г(х;и)\ д2ф

дхо

дх\

дхо

йх

и)

Г ~ Г дг(-] „

г(х-,и)/(х)йх+ / г(-; и)к\ йГ+ / ——-/г2с1Г,

(29)

Учитывая, что левые части (28) и (29) совпадают, получаем

— [ ф±(х)С*3н0и(х) йх = [ г(х; и)/(х) йх + [ г(-; и)Лх йГ + [ ^^'^Г-

дь>

в

в

Отсюда, в силу (26), находим

inf sup

сеЖ FeGo

inf sup M|/(F) — l(F)\2 =

сеж FeGoMGi

~ ~ (~ dz{"' и i

(/, z(-, u) + Iq)L2{D) + (hi, z(-, и) + Ii)L2(r) + ( h2, --H2J I - С

UV ) ¿2^

+ sup m\(f),u)ho\2. (30)

i?eGi

Для вычисления первого члена в правой части (30) применим обобщенное неравенсто Коши-Буняковекого и (15). Имеем

2

dz(•; и)

inf sup

ceR FeGo,

inf sup

ceR FeGo,

(/, z(-; u) + k)v2(D) + (hi, z(-; u) + ¿i)L2(r) + h

dv

+ k

L2(F)

z(-,u)+lo,f-fo)vHD) + (hi-hf),z(-,'ul + ¿i)L2(r)+ [h,2-h$

(o) dz(-,u)

dv

+ k

L2(F)

+ (z(-, u) + k, fo)L2(D) + (hf],z(-; u) + /i)L2(r) + ^/40), dz^ -t- 12 < {(Q'l(z(-, u) + k), z(-; u) + h)v2{D) + (Qil(z(-, u) + h), z(-; u) + ¿i)L2(r)

+ i2 J ^ с

L2(T)

+ Q

dz(-;u) \ dz(-;u)

dv

+ 1

dv

+ k

L2(F)

< (Q'l(z(-, u) + k), z(-; u) + h)v2{D) + (Qil(z(-, u) + h, z(-; и) + к)ьцг)

+ Q

dz(-; и) dv

+ k

dz(-; и) dv

+ h

L2(T)

(31)

Непосредсвеппой подстановкой убеждаемся, что неравенство (31) обращается в равенство на элементе

рт (/(0)^(0)^(0))

£ С?о, где

hf] := -dQi\z(-, и) + k) + hf\ hf := ^ ( ^ + ¿2 ) + hf,

ip-i ( d

d = \ (Q (z(-, u) + lQ), z(-, u) + k)L2(D) + (Qi (z(•; и) + h), z(-, u) + ¿i)L2(r)

1/2

dz(-; u) t 7 \ dz(-; и) 2

L2(F)

(тот факт, что элемент е Со следует, в силу равенств (22) - (24)), Поэтому

inf sup

ceR FeGo,

(/, z(-, и) + Iq)l2(d) + (hl, z(u) + ¿i)L2(r) + (h2, ^^ ' ^ + h) - с

\ OV J L2(r)

Q^l(z(x-, u) + l0(x))(z(x-, u) + l0(x))dx + / Q±l(z(--, u) + u) + l2) dT

2

p

при

c = J(k + z(x-,u))f^(x)dx + J(h + z(-,u))hf] dT + j № dT.

Аналогично, вычисляя второе слагаемое в правой части (30), получим sup^eGl М|(?], м)я0|2 = (Qöи)н0- Отсюда и из (30) и (18) придем к утверждению теоремы, □

Решая задачу оптимального управления (19) - (25), придем к следующему результату.

Теорема 2. Существует единственная минимаксная оценка выражения 1(<р), которая может быть представлена в виде

1(ср) = (у((р,г]),й)н0 + с, (33)

где

й = Q0Cp, с = j (lQ(x)+z(x))f(0)(x) dx+J(h+z)hf ] dT+J + hf dT, (34)

а функции p e H2(D) и z G H2(D) определяются, из системы, интегро-дифференциалъных уравнений

A2z(x) = -C*JHoQ0Cp(x) в D, (35)

Nz = 0, Mz = 0 на Г, (36)

Q'l(k(x) + z(x)) dx + j Qil(h + z)dT = 0, (37)

D Г

-Iii , J™ , f ™ гл-Ki , zw J-T , f9xi J_ /, cfe

a:iQ_1(io + ¿(ж)) da; + / a;^ (¿i + *)) + / I ^ + ^ I dr = °> (38)

x2Q-\k(x) + ¿(ж)) da; + / a^Qr* + z) dF + j ^Q? (h + ^)dT = 0, (39)

_ /л-i

= Q-1(/0(a;) + i(a;)) в Д (40)

Np = Q^(h + z), Mp = Q2-1^2 + Q на, Г, (41)

(■C*JHoQ0Cp)(x) dx = О, J(C*JHoQ0Cp)(x)xl dx = О, (42)

D D

(С* Jh0QqCp)(x)x2 dx = 0. (43)

D

Задача (35)-(43) однозначно разрешима. Погрешность оценивания а определяется, формулой а = 1{Р)112; где Р = ((2~1{10 + г), Я^Цк + г), Я^1 (12 + §)) .

Альтернативное представление для минимаксной оценки через решение системы интегро-дифференциальных уравнений специального вида, не зависящее от конкретного вида функционала (13), получено в следующей теореме.

Теорема 3. Минимаксная оценка выражения (13) имеет вид 1{Р) = 1{Р) где Р = (/, кк2), ¡(х) = х) + /(0)(ж), кг = (¿^р + И,^, к2 = Я21р + к{2 \ а функция р е Ь2{И, Н2{Р)) определяется, из решения следующей системы, стохастических интегро-дифференциальных уравнений:

А2р(х-, ш) = С* Зн0Яо(у(^>', V) ~ Сф)(х] ш) в Р, (44)

Мр(-,ш)=0, Мр(-,ш) = 0 на Г, (45)

Q^lp(x]u)dx + J СЦ11р(-', со) dT = 0, (46)

1Г . л , [„ „.иг [ дх1 л-1

XiQ p(x;uj)dx + J XiQl p(-]u))dT + J ~q~Q2 —q1—dT = 0, (47) . л , I „ .. л ^ , I i dp{-, u)

x2Q p(x; lo) dx + / x2Ql p(-;uj)dT+ / —^—с!Г = 0, (48)

А2ф(х-,ш) = д-1р(х-,ш) + Мх) в Р, (49)

щ(-,и) = + му = Фг1^'^ +/40) «о г, (50)

C*JHoQo(y((p■,rj)-Cф)(x■,ш)dx = 0, ! х1С*3НоЯо{у{ч>\,п)-Сф)(х\и)(1х = Ъ, (51) о о

х2С*3НоЯо{у{^ V) ~ Сф)(х-,ш) с!х = 0, (52)

о

где ф е Ь2(О, Н2(Р)), и равенства, (44) - (52) выполняются с вероятностью 1. Задача, (44)-(52) однозначно разрешима.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Заключение

Результаты данной статьи, таким образом, состоят в том, что для, систем,, описываемых краевыми задачам,и для, бигармонического уравнения с граничными условиями типа, Неймана, при сформулированных выше ограничениях на параметры этих задач, получены представления для минимаксных прогнозных оценок функционалов от детерминированных данных этих задач, и погрешностей оценивания через решения однозначно разрешимых интегро-дифференциальных уравнений специального вида.

Методика и результаты работы могут быть использованы в дальнейших теоретических и прикладных исследованиях процессов в теории упругости, а также при использовании системного анализа этих процессов,

список литературы

1. Наконечный О.Г. Оптимальне керування та оцшювання в р1вняннях 1з настигшими псшдними // Кшвський ушверситет, Кшв, 2004 г., 103 с.

2. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике //М.: Мир, 1985 г., 589 с.

3. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей // Системш достдження \ шформацшш технолог!!' // Л*42, 2004 г., с. 104-128.

Статья поступила в редакцию 22.09.2008