Микроволновой и оптический пробои газов и генерация гармоник поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9

МИКРОВОЛНОВОЙ И ОПТИЧЕСКИЙ ПРОБОИ ГАЗОВ И ГЕНЕРАЦИЯ ГАРМОНИК ПОЛЯ

М.В. Кузслсв, O.A. Омаров, A.A. Рухадзс

В работе исследуется пробой газов в сильных электромагнитных полях микроволнового и оптического диапазонов частот. Под сильными полями понимаются, поля, энергия, осцилляции электронов в которых превосходит потенциал, ионизации атомов газа, но которые все еще малы, для, полевой ионизации атомов. В таких полях частота неупругих столкновений электронов больше частоты упругих столкновений. Как следствие, процесс ионизации атомов сопровождается, эффективной генерацией высоких гармоник поля.

Ключевые слова: микроволновой и оптический пробои газов, гармоники, ионизация.

1. Введение. Постановка, задачи. Речь пойдет об ионизации атомов газа в поле электромагнитной волны.

E (r, t) = E0 cos(w0t -kr) (1)

большой амплитуды в условиях, когда выполнено условие

eEo [2Гг

VE =- >>Vi =\ —. (2)

тш0 V т

Здесь - частота, а k - волновой вектор волны, 1г ~ 10 — 15 eV - потенциал ионизации атома, e и т - заряд и масса электрона.

В микроволновой области частот — 1011 с-1 условие (2) выполняется в полях E0 > 104 V/cm или при плотностях мощности излучения P = > 105 W/cm2. Это

поле на много порядков меньше атомного поля (Ea — 8 • 109 V/cm), а поэтому о полевой ионизации атомов газа не может быть и речи. Ионизация атомов газа будет происходить электронным ударом непосредственно осциллирующими в поле волны электронами.

Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН; 119991, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: rukh@fpl.gpi.ru.

Несколько иная ситуация имеет место в оптической области частот и0 ~ 1015 с-1. Условие (2) при этих частотах выполняется в полях E0 > 108 V/cm или, что то же самое, при плотностях мощности излучения P = сЕ0/8п > 1013 W/cm2. Это поле в 50 раз меньше атомного поля, а мощность в 2500 раз меньше атомной мощности (Pa ~ 3 • 1016 W/cm2). В полях, сравнимых и выше атомного поля, ионизация атомов становится чисто полевой и происходит практически мгновенно (менее чем за полпериода поля излучения). Поэтому, говоря об оптическом пробое, ДЛЯ н<вьс более подходящим является пробой в поле С02 лазерного излучения с частотой и0 ~ 2 • 1014 с-1. В таком излучении условие (2) выполняется в полях E0 > 2 • 107 V/cm (или при плотностях мощности P > 4 • 1011 W/cm2), что намного меньше атомного поля, а следовательно, и область применимости полученных ниже результатов намного шире.

2. Функция распределения, электронов в процессе ионизации газа. Прежде чем перейти к решению сформулированной задачи ионизации газа в сильных полях, получим функцию распределения электронов ионизации. Такая функция впервые была получена в работе [1] и строго обоснована в [2]. Ограничиваясь полями меньше атомного поля, мы, тем самым, рассматриваем нерелятивистское движение электрона в поле волны. Поэтому в выражении (1) мы можем пренебречь пространственной зависимостью поля волны и записать скорость движения электрона в поле волны в виде

ШШо

Здесь р - фаза поля в момент рождения электрона.

Равновесное кинетическое уравнение, описывающее функцию распределения электронов в процессе ионизации газа, при этом записывается в виде

где у-т(р) = п0а(у)у - частота ионизационных столкновений электрона, п0 - плотность нейтральных частиц в газе, а(у) - сечение ионизации атома электроном. При написании уравнения (3), кроме принятых вьтттте ограничений, было принято, что тепловым движением электронов по сравнению с его движением в электромагнитном поле можно пренебречь, что обусловлено неравенством (2) (считается, что в процессе ионизации температура электронов не выше потенциала ионизации Д).

-dt + eEo cos(uot + р)-dp = noWi5(p).

Здесь n0 - плотность нейтральных частиц газа, Wi - вероятность ионизации

(3)

(4)

Представив решение уравнения (3) в виде fb = f'bne(t), имеем

fo = ¿(v±)¿(vy - ve (sin Ubt - sin <)). (5)

Направление поля I принято за продольное направление. Кроме ТОГО, СЧИТЙ16ТСЯ^ что частота поля wb намного превышает частоту ионизации vi.

Функцию (5) следует усреднить по фазам < так как при условии (2) ионизация атома электроном может происходить при любом значении фазы В результате получаем известную функцию равнораспределения [1]:

(fb) = -/-¿(i +\2 ■ (6)

Ky/vE - (V|| + VE cos Wot)2

Видно, что распределение по продольным скоростям в (6) является почти постоянным. ~ l/vE, и растет при vy ^ vE так 1/^/vy — vE.

Наконец, вычислим плотность электронов ne(t), уравнение для которой получается из (3) путем подстановки fb = ne(t)fb(v) и последующего интегрирования по импульсам

dne

e - Y(Eo)ne = none v'ai(v')fo(v')dv'. (7)

dt

Для сечения ионизации а(ь) с хорошей степенью точности можно воспользоваться формулой борновского приближения [3]:

а V

а (у) = — 1п— n(v - Vi). (8)

V2 Уг

Здесь а зависит от сорта атомов газа, приближенно а ~ 2пZe4/т1г (для атома водорода 1г = 13.6 еУ, а = 16/3 ст4/с2). Подстановка (8) в (7) приводит к результату

. . . . . . ап0 [ ¿V л V 1 . .

пе(Ь) = пе(0) ехр(т*), 7 =- — 1п - X 2. (9)

П У V Vi лJv2E - V2

С хорошей степенью точности для величины 7 получаем оценку

апо 2 VE 4Ze4no 2 VE

7 &-1п — = ——1п —. (10)

пvi vi m2v3 vi

3. Условия,

применимо стни полученных результатов. Выше

мы пренебрегли упругими столкновениями электронов с атомами газа, а также полевой ионизацией атомов В сильных ПОЛЯХ.

Эти требования

ншсл&дьго&ют определенные ограничения н£ь д<вьвле~ ние газа (или плотность нейтральных частиц п0), а также на амплитуду поля Е0. При

условии (2) энергия осцилляции электрона в поле волны, очевидно, будет превосходить и энергию их теплового движения (температуру). Поэтому упругое рассеяние электронов на атомах представляет собой кулоновское рассеяние осциллирующих электронов на ядре и орбитальных электронах атома. Так как энергия осцилляции электрона в поле волны превосходит энергию ионизации атомов газа, то орбитальные электроны атома можно считать свободными, а поэтому их вкладом в рассеянии осциллирующих электронов можно пренебречь. Достаточно ограничиться кулоновским рассеянием на

ионах с сечением

ак

2e4Z 2 и

т2У4

П(У - У;).

(11)

С учетом функции распределения (6) для частоты упругих столкновений осциллирующих электронов получим

*>Е

"еВ

Пг

¿V

2e4Z 2и

пт2у3

1

2e4Z 2Ь0иг

(12)

Здесь Ь0 ~ 10 — 20 - известный кулоновский логарифм.

Сравнивая величины (10) и (12). мы можем записать условие пренебрежения упругими столкновениями по сравнению с неупругими ионизационными столкновениями осциллирующих электронов:

niZLo У± << 1

(13)

7 п02пи2 уе

где иг = 1пуе/у; >> 1.

Рассмотрим теперь условие пренебрежения полевой ионизацией. Вероятность поле вой ионизации атома с потенциалом ионизации I дается формулой [3]

Iг

1а

5/2

Еп

т -¡=т ехр

Е0

2 Еа I I

3 Ег V I

3/2

(14)

где 1а = Нша/2 = 13.6 еУ - потенциал ионизации атома водорода, а ша = 5 • 1015 с-1 - боровская частота. Эту величину нужно сравнивать с (12). При этом получаем следующее условие пренебрежения полевой ионизацией

1

Ze4L20ni

5/2

Еа Е0

ехр

2 Еа

3 Ео

3/2

<< 1.

(15)

Условие (13) выполняется с большим запасом при степени ионизации, меньшей единицы, т.е. при пг < п0. Условие же (15) сильно зависит от отношения Еа/Е0 и

2

V

а

а

хорошо выполняется при атмосферном давлении и плотности мощности излучения P < 1014 W/cm2. Но при этом для выполнения условия (2) в случае С02-лазера (т.е. при ш0 = 2 • 1014 с-1) необходимо выполнение неравенства P > 4 • 1011 W/cm2. Как

P ДОВОЛЬНО большой. 4- Генерация, гармоник поля, волны в процессе ионизации атомов газа. Обратим теперь внимание на нелинейность сечения ионизационных столкновений и его зависимость от времени в условиях (2). Это должно проявляться в зависимости от времени диссипативного тока, обусловленного столкновениями частиц. Действительно, вернемся к уравнению (4) и запишем его с учетом как неупругих, так и упругих столкновений

f + — % = Jnel(f) + Jel(f)• (16)

dt m dv

Пренебрегая упругими столкновениями, из уравнения (16) получаем (3).

При полном пренебрежении столкновениями электронов и при условии (2) уравнение (16) имеет решение (5). Учет столкновений как малой поправки приводит для малой поправки f, (f = f0 + f1) к уравнению:

f + — f = Jnel ( f0 ) + Jel ( f0 ) • (17)

dt m dv

Впервые это уравнение было проанализировано В.П. Силиным [4] при пренебрежении неупругими столкновениями электронов, т.е. в отсутствие первого слагаемого в правой части. Такое приближение справедливо при выполнении обратного неравенства (13). При этом им было показано, что из-за зависимости сечения упругого рассеяния от вре-

f1

число нечетных

гармоник частоты поля и0. Это означает, что благодаря упругим столкновениям электронов в плазме, помещенной в сильное поле, происходит генерация высоких нечетных гармоник частоты поля.

Ниже мы покажем, что и при выполнении неравенства (13), когда преобладающими являются неупругие столкновения электронов с атомами, т.е. когда в уравнении (17) следует учитывать только первое слагаемое в правой части, происходит аналогичное явление. Впервые это было показано в [5]. С учетом только неупругих столкновений электронов решение уравнения (17) имеет вид

t

fnel(v)= dt Jnel {fo(v - VE sin Uot + Ve sin ф)} • (18)

Учитывая, что плотность электронов меняется медленно (y << ш0), отсюда находим для индуцированного тока

со

dJnel - i' v

— = 2en0neai\\ dv ln — 8[v — ve(sin w0t — sin р)]. (19)

(Jb J vi

Vi

Дальнейшее вычисление правой части (19) подобно проведенному в работе[4]. Именно, представляем ¿-функцию в виде интеграла, разлагаем подынтегральные экспоненты в ряд по гармоникам частоты ш0, выносим из-под интеграла медленно меняющуюся функцию ln v/vi в гаде ln vE¡vi = L1 и усредняем по р. В результате из (19) получим

dJnel

d^t = 2en0nea ^^ i\\ exp(—inw0t)F(n), (20)

n=—o 00

1 í dr 2 п F(n) = -[1 — (—1)n] / d-Jo(x)Jn(x) = — sin -n. n J r nn3 2

0

Отсюда видно, что разложение индуцированного (активного) тока Ji по гармоникам содержит лишь нечетные гармоники частоты ш0, а поэтому только нечетные гармоники основного поля порождаются таким током.

Подставляя (20) в уравнение Максвелла, после несложных вычислений окончатель-

n

новной гармоники [5]:

Enel ^ащ ve sin nn/2

= —S-ln— -, (21)

Eo пш^е vi n3(n + 1)

где up,e = 4ne2ne/m.

Для сравнения приведем результаты работы [2] для индуцированного тока Jf и отношения гармоник E^¡E0 при учете только упругих столкновений электронов. Для индуцированного тока в этом случае имеем:

ю 4 2 г

Jll = E0 V cos[(2n + 1)u0t]^ Z^L ln —. (22)

n=0

Ш0 n2m°vE vTe

Здесь уТе = \/Те/т - тепловая скорость электронов плазмы. Из (22) видно, что и в случае учета только упругих столкновений индуцированный в плазме диссипативньтй (активный) ток также содержит только нечетные гармоники частоты а поэтому

излучает только нечетные гармоники основного поля. При этом для отношения полей гармоник справедлива формула [2]:

Ее1

2n +1 niZ2e4L0 vE ín —.

E0 n(n + 1) m2U0V3E ^ VTe Из сравнения формул (21) и (23) следует, что при условии

(23)

П ~ n

2 niVi < 2 < 1 n0vE

(24)

в процессе генерации гармоник доминируют неупругие столкновения электронов, в обратном случае доминирующими оказываются упругие столкновения. Важно отметить, что в общем случае токи (20) и (22) суммируются, а следовательно суммируются и индуцированные ими излучения гармоник основного поля.

5. Устойчивость плазмы, при пробое газов в сильных электромагнитных полях. Найденная функция распределения электронов (6) обладает двумя опасными свойствами с точки зрения устойчивости описанного выше процесса пробоя в сильных полях. Именно, она сильно анизотропная и поэтому в процессе пробоя может развиться известная анизотропная (вайбеловская) неустойчивость [6] (см. также [7]). Кроме того5на начальной стадии пробоя, пока и0 > upe, может проявиться еще одна чисто электронная неустойчивость, обусловленная вынужденным рассеянием внешней электромагнитной волны на электронах плазмы [7], образованных в процессе ионизации газа. Возможны также неустойчивости с учетом ионов, но их мы рассматривать не будем из-за малости инкрементов развития.

Чтобы убедиться в сказанном и найти инкремент развития неустойчивости, воспользуемся адиабатическим приближением, считая инкремент меньше обратного времени нарастания плотности плазмы y-1. В этом приближении можно исходить из дисперсионного уравнения (для малых возмущений вида ~ exp(—iut + ikr))

J2

k25ij — kikj — — £ij (u, k)

0,

(25)

где £ij(u,k) - диэлектрическая проницаемость в адиабатическом приближении [7]

и2 Л и2 Í £ij(и, k) = ( 1 — U2 ) &ij + ue dv

дf о , k • дfo/dv

Vi^--+ vvj

'dvj

и — kv

(26)

При получении этого выражения ионы считались холодными, причем изменением плотности ионов во времени также как и элект ронов пе(£), пренебрегал ось за время

развития неустойчивости. Кроме того, выражение (26), также как и дисперсионное уравнение (25) записано в системе осциллирующих электронов. Компоненты тензора вычисляются легко, но мы их здесь выписывать не будем из-за громоздкости выражений (с вычислением компонент (и, к) можно познакомиться в [8]).

Начнем с анализа анизотропной неустойчивости, которая имеет место в пределе чисто поперечного распространения возмущений (поперек поля Е0), т.е. при Щ = 0. В этом пределе из уравнения (25) получаем

ш2 ( k2vE 1 - -Pe 1 + E

k c = Ш2 . 2 . . , 2 Ш2 \ 2ш2

Отсюда в области частот Ш2 << ш2e следует

(27)

ш2 = <k2v% 2 vi (28)

Ш = — 2(k2c2 + ш£) - —'^С2• (28)

При чисто продольном распространении электронных возмущений, т.е. при k± = 0, анизотропная неустойчивость отсутствует.

В заключение кратко рассмотрим неустойчивость, обусловленную вынужденным рассеянием внешней электромагнитной волны на электронах, образованных в процессе ионизации газа. Эта неустойчивость подробно изложена в учебнике [7] (см. также [8]) и поэтому мы не будем приводить здесь вывод дисперсионного уравнения и анализ его решения. Дадим лишь результат. Максимальный инкремент достигается при рассеянии падающей электромагнитной волны строго назад, причем инкремент равен

1тш = ve /Ш0Шрe. (29)

При ш0 >> шРе инкремент (29) немного превосходит (28).

Важно отметить, что рассмотренные неустойчивости могут проявиться только в условиях, когда инкременты их развития намного превосходят обратное время нарастания плотности плазмы в процессе ионизации, т.е. когда 1тш >> y■ На начальной стадии пробоя, пока плотность электронов мала, очевидно, что это условие не выполняется, а поэтому неустойчивость не развивается.

ЛИТЕРАТУРА

[1] С. Г. Арутюнян, А. А. Рухадзе, Краткие сообщения по физике ФИАН, У2 9, 12 (1978); Физика плазмы, 5(3), 702 (1979).

[2] Л. Г. Глазов. А. В. Игнатьев. А. А. Рухадзе, Высокочастотный разряд в волновых полях (Горький. ИПФРАН. 1988), с. 63-70.

[3] Л. Д. Ландау Е. М. Лифтпиц, Квантовая, механика (М.. Наука. 1963).

[4] В. П. Силин, ЖЭТФ 47(6 (12)), 2254 (1964).

[5] М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, Квантовая электроника 37, 924 (2007); Прикладная физика № 2, 17 (2009).

[6] Е. S. Weibel, Phys. Rev. Lett. 2, 83 (1959).

[7] А. Ф. Александров, Л. С. Богданкевич, А. А. Рухадзе, Основы электродинамики плазмы (М., Высшая школа, 1988).

[8] М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, Физика плазмы 27(2), 170 (2001).

Поступила в редакцию 20 января 2011 г.