CC BY
60
УДК 537.52
К ТЕОРИИ РАЗВИТИЯ ПЛАЗМЕННОГО СТРИМЕРА
О. А. Омаров1, А. А. Рухадзе2
Обсуждается временная динамика начальных стадий развития пробоя в газах высокого давления: зарождения и развития лавины ионизации, ее перехода в плазменную лавину и далее в плазменный стример. Получены простые формулы для времен перехода между различными стадиями пробоя и скоростей распространения фронтов ионизации на отдельных стадиях.
Ключевые слова: пробой в газах, стример, лавина, ионизация газа.
1. Зарождение и развитие электрического пробоя в газах высокого давления исследовались еще в начале прошлого столетия классиками физики газового разряда [1-41. Развитые в этих работах теоретические представления носили сугубо качественный характер. Однако уже в них отмечалась существенная роль плазменного состояния стримера, обеспечивающего экранировку внешнего электрического поля в объеме плазмы стримера. Отмечалась также фотоионизация газа как вторичный механизм распространения стримера. Построение количественной теории пробоя газа и образования искры было начато в работе [5] и развито в более или менее завершенном виде в работах [6, 7], в которых были сформулированы основы плазменной модели начальных стадий пробоя газов. Современное состояние теории плазменной модели пробоя газов изложено в монографии [8].
Дагестанский государственный университет, ул. М. Гаджиева 42а, Махачкала 367000, Дагестан, Россия.
2Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова, ул. Вавилова 38, Москва, 119991 Россия. E-mail: rukh@fpl.gpi.ru
В настоящей работе предпринята попытка дальнейшего развития плазменной модели пробоя газов. Именно, будут получены уточненные формулы для скоростей распространения фронта ионизации на отдельных стадиях развития пробоя: на первой
—♦
лавинной (доплазменной) стадии, когда искажением разрядного поля Ео можно пренебречь, на второй плазменно-лавинной, когда искажение внешнего поля становится значительным и фронт ионизации начинает тормозиться, и на третьей стримерной, когда плазменное поле экранирует внешнее поле. На этой стадии происходит усиление внешнего поля вне плазменной области, охлаждение плазмы стримера и интенсивная рекомбинация. Вследствие поглощения рекомбинационного излучения происходит зарождение новых лавин и их распространение в усиленном электрическом поле. Именно эти вопросы недостаточно полно рассмотрены в существующей на сегодняшний день теории [6-8].
Однако прежде введем важные понятия порогового поля пробоя и перенапряженности, используемые в дальнейшем. Пробой газа начинается с одного электрона, случайно появившегося в разрядном промежутке, либо с некоторой малой начальной плотности электронов щ (при наличии предыонизации, обычно По ~ 104 —106 см-3). В дальнейшем для определенности считается, что пробой начинается в центре разрядного промежутка, длина которого равна ¿о- Разрядное напряжение считаем равным Ро, а исходное разрядное поле Е0 = У0/Ьо • Очевидно, что электрон в поле Е0 за время между столкновениями приобретает скорость
еЕ0
uF
mve
(1.1)
Здесь е - заряд электрона, т - его масса, vea - частота упругих столкновений электрона с атомами газа. Для того чтобы ускоренный электрон мог ионизовать атом газа, скорость должна удовлетворять условию
> (1-2)
где /,- - потенциал ионизации атома (/,- ~ 6 — 10 эВ). Именно это условие и определяет пороговое поле пробоя газа. Однако прежде чем подставлять в неравенство (1.2) величину ие, ее следует определить из уравнения (1.1). Для этого запишем выражение vea в борновском приближении. В области малых энергий (< /¿) с хорошей степенью точности имеем [9] vea « тсaluena, где а0 - радиус боровской орбиты электрона в атоме (<т0 = 7гal ~ 10~15 — Ю-16 см2), а па - плотность атомов газа (па = 6 • 101ь • Ро, где Р0
давление газа в торрах). Из (1.1) с учетом выражения для находим
(1.3)
Подставляя это выражение в (1.2), получим для порогового поля пробоя газа
6 • 1016сго/,
(1.4)
Отсюда для воздуха при ~ 10 эВ, сг0 « 2 - Ю-15 см-2 и атмосферном давлении находим Е0пр — 30 кВ/см.
В случае, когда разрядное поле превышает пороговое поле пробоя, говорят о перенапряжении. Перенапряжение принято измерять в процентах. Так, при превышении порового поля в два раза перенапряжение равно 100%.
2. Гидродинамическое описание лавинно-стримерного развития пробоя. В газах высокого давления характерные времена процессов, протекающих при электрическом пробое газов, порядка > Ю-9 с, что намного превосходит время релаксации электронов при упругом рассеянии на атомах (< 10~12 с), а длина пробега электронов (< Ю-4 см) намного меньше характерных размеров задачи (> Ю-2 см). Поэтому для описания этих процессов можно пользоваться гидродинамическими уравнениями в диффузионном приближении [5, 6]:
Здесь е = е2Е2/2т^а - энергия, набираемая электроном в электрическом поле Е = Ео где Ео - внешнее однородное поле (до начала пробоя), а Е\ - поле, создава-
емое электронами и ионами, образованными в процессе ионизации атомов при пробое, 6 = 2т/М - доля упругих потерь при столкновениях электронов с атомами с массой М, V, - частота ионизационных столкновений электрона, а Те - температура электронов. Отметим, что при написании системы (2.1) было пренебрежено движением ионов и их температурой, которая порядка температуры атомов газа, Т, = То- Это означает, что пренебрегается амбиполярной диффузией, что характерно для стадии лавинной ионизации и стадии плазменного стримера. Кроме того, в уравнении для баланса энергии
1/еае - 8иеаТе - и,(Те + I) - 0,
¿\уЕ = 47ге(пе — п,).
(2.1)
(второе уравнение) пренебрежено потерями на излучение, что также вполне оправдано для начальных стадий пробоя. Здесь следует заметить, что из-за неточности этого уравнения (оно, строго говоря, не учитывает и потери на возбуждение атомов) при вычислениях температуру электронов обычно берут из эксперимента и считают однородной.
Для простоты для величин 1/еа и I/, воспользуемся формулами борновского приближения, считая распределение электронов по максвелловским скоростям с температурой
Те [9]3:
±п0а0УТе 4/?0п0
"еа = -^- , 1/, = -==еХр (-и/Те). (2.2)
\/2тт \/2тг т!е
Здесь (30г* = 2<т0/,, где 2* - эффективное зарядовое число ядра атома. Для простоты ниже считается г* = 1, а поэтому
^-^а^ехр (7,/Ге). (2.3)
е
I
До момента перехода лавины в стример плазменное поле мало, Е\ « Ео, и в первом приближении им можно пренебречь. Тогда из второго уравнения (2.1) следует постоянство электронной температуры
Те = /{Ео/Ро). (2.4)
Постоянство температуры электронов сохраняется до момента перехода лавины в плазменный стример, когда плазменное поле Ех полностью скомпенсирует внешнее поле, и температура резко начнет падать.
На стадии развития лавины ионизации рост концентрации электронов определяется из решения первого уравнения (2.1). При начальном условии
пе(г,0) = по£(г) (2.5)
это решение имеет вид
р2 + (2г-М)2'
v¿t
ADt
(2.6)
З3аметим, что формула (2.2) для величины vea получается из приведенного выше для одного электрона соотношения vea — irnav после усреднения по скорости v, считая распределение по максвелловским скоростям с температурой Те.
Vj Те
Здесь z и р - продольная и радиальная координаты, D = - =--коэффициент
i/ea тиеа
электронной диффузии, характеризующий в основном радиальное расширение лавины до момента образования плазменного состояния в лавине. Из (2.6) видно, что на этой стадии плотность электронов распределена внутри конуса, расширяющегося по радиусу с диффузионной скоростью и удлиняющегося вдоль поля (ось oz) со скоростью электрического дрейфа электронов. При этом радиус головки лавины (при z = uet) равен
rA = у/Ш = yjADz/ue. (2.7)
Иное пространственное распределение имеют ионы, которые согласно первому уравнению (2.1) в рассматриваемом приближении считаются неподвижными. Полное число ионов в лавине, естественно, должно равняться полному числу электронов. Но в головке лавины на ее оси плотность ионов мала по сравнению с плотностью электронов:
t
пг(р = 0, .г = ut, t) = / dt'ne(p = 0,z = ut,t') « —VñDtne(p = 0, z = ut, t) « ne. (2.8)
J u
o
Описанная картина расширения лавины будет сохраняться до тех пор, пока радиус лавины меньше дебаевского радиуса электронов. Если при этом индуцированное поле Ei пренебрежимо мало по сравнению с внешним полем Е0, то радиальное давление, вызываемое индуцированным полем Ej/Ax, мало по сравнению с газокинетическим давлением электронов пеТе. Но как только радиус лавины достигнет дебаевского радиуса электронов, то из третьего уравнения (2.1), в котором плотностью ионов можно пренебречь, следует:
Ег и 4тгnerDe = у/47ГПеТе. (2.9)
С этого момента t = t\XT поле Е\ уже удерживает электроны и их свободная диффузия прекращается; в силу вступает движение ионов и амбиполярная диффузия, скорость которой в у/М/т раз меньше скорости электронной диффузии. Иными словами, расширение лавины практически прекращается.
Из (2.6) с учетом (2.9) и (2.7) находим для tiKV:
. , (mv>envi 1 \ щКТ mvenvi г-. ,
Vit 1кр = 1п —-- -- , гг1кр1п- = --—, гАкр = v/íiKvvíJven. (2.10)
V e2«o tlKVVi) n0 e2 v
При Te - 3-5 эВ, ven — Ю12 с-1, = 10 с-1 имеем п1кт = 1012 см-3, tlKp w 10 с-9, и гАкР = 5 • 10_3 см = 0.05 мм. Эти оценки согласуются с экспериментальными данными для газов при атмосферном давлении.
Заметим, что в момент времени I = ¿1К? продольный размер лавины Ь\кр = и^ = 0.1 см, т.е. более чем на порядок превосходит радиус лавины.
Таким образом, в момент времени I = ¿1Кр расширение лавины практически пре-
Е2
кращается. Продольный же размер продолжает расти со скоростью ие пока — > пеТе,
4 7Г
растет и плотность электронов. Отметим, что это неравенство выполняется практически всегда. Отметим также, что поскольку поле в плазме лавины на этой стадии остается большим, то и температура остается большой, Те = 3 — 5 эВ. Но как только достигается вторая критическая плотность, при которой
п,ктТе > (2.11)
47Г
разрядное поле экранируется плазмой лавины, лавина резко тормозится и температура плазмы за время {6иеп)~1 ~ Ю-10 — Ю-9 с падает до температуры нейтралов. В этот момент I = ¿2хР лавина переходит в плазменный стример, в котором вследствие резкого падения температуры плазма оказывается неравновесной с большим избытком плотности. Согласно (9), при 30 кВ/см и Те — 5 эВ плотность п2кр = 2 • 1014 см-3, что более чем на два порядка превышает п\кр и согласуется с экспериментом.
Наконец приведем теоретическую оценку времени ¿2кр, когда происходит переход плазменной лавины в плазменный стример. Исходя из (2.6), получаем:
_ 1п Ео По 4 тп0Те
При Те ~ 5 эВ и п0 = Ю4 см-3 и Ео — 30 кВ/см отсюда имеем = 3 • Ю-9 с, что также согласуется с экспериментом. При этом ¿2кр = 1—3 мм.
После второй стадии - образования плазменного стримера и экранировки поля в области, занятой плазмой, наступает третья стадия, сопровождающаяся охлаждением электронов, образованием неравновесной переохлажденной плазмы. Далее следует быстрая рекомбинация и высвечивание рекомбинационного излучения (в том числе и вынужденного), порождающего новые лавины как перед, так и позади (как анодона-правленного, так и катодонаправленного) стримера. Вновь рожденные лавины развиваются быстрее вследствие усиления поля в этих областях. И это повторяется вплоть до перекрытия разрядного промежутка искровым каналом. Эта стадия обсуждается в следующем параграфе, поскольку существенно связана с фотоионизацией атомов газа.
3.Рекомбинация в плазме стримера и фотоионизационный механизм распространения плазменного стримера. Переход плазменной лавины в момент ( — ¿2к? в плазменный
^2кр = = (2.12)
стример сопровождается интенсивным рекомбинационным излучением из стримера. Поскольку продольный размер стримера намного превосходит его поперечный радиус, то интенсивность излучения в продольном направлении намного больше, чем излучение в радиальном направлении, причем в оба направления, как вперед, вдоль внешнего поля, так и назад, навстречу полю. Этот экспериментальный факт, который наблюдался во всех экспериментах, начиная с классиков [2-4], имеет простое объяснение: поскольку продольный размер излучателя больше поперечного размера, то и его излучение в продольном направлении ближе к излучению черного тела, а поэтому превосходит излучение в поперечном направлении. Это утверждение, справедливое в случае термодинамически равновесного излучателя, только усиливается, если излучатель неравновесен.
Учитывая вышесказанное, легко понять, почему классики физики пробоя газов [2-4] приняли с самого начала именно излучение из плазмы стримера за основной механизм распространения стримера вплоть до перекрытия разрядного промежутка и образования искры. Дело в том, что эксперименты показывали очень большую скорость распространения в разрядном промежутке, порядка 108 —109 см/с, и даже больше. Эти скорости превышают дрейфовую скорость электронов во внешнем электрическом поле. Поэтому обычная тепловая ионизация газа и диффузионное распространение стримера (классическая модель стримера) не могли объяснить наблюдаемые скорости распространения стримера. Более того, фотоионизационный механизм распространения стримера как следствие рекомбинационного излучения хорошо объяснял эксперимент при пробоях в газовых смесях [3, 8]. Вместе с тем, этот механизм не может объяснить пробой в однородных газах, состоящих из атомов одного сорта, поскольку энергия кванта рекомбинации недостаточна для ионизации атома в однородном газе. Выход был найден в работах [7 (см. также [8]), к краткому изложению результатов которых мы и перейдем4.
Идея этих работ состоит в том, что для эффективной фотоионизации газа высокого давления нет необходимости, чтобы рекомбинационные кванты ионизовали атомы нейтрального газа. Для этого достаточно их возбуждение до высоких уровней, лежащих выше края так называемой "узкой зоны", занимающей область энергий порядка температуры атомов нейтрального газа, ниже нулевой энергии. Возбужденные атомы в "уз-
4В литературе обсуждались и другие механизмы быстрого распространения стримеров в разрядных промежутках: ионизация атомов убегающими электронами [2-4, 8], объемной либо поверхностной плазменной волной, бегущей вдоль направления распространения стримера [2-4], и др. Мы эти механизмы рассматривать не будем, сосредоточившись лишь на фотоионизационном механизме (см. также [8], где можно найти подробную библиографию).
кой" зоне далее легко ионизуются обычными упругими столкновениями самих атомов, при которых между ними происходит обмен энергией, равной их средней кинетической энергии, т.е. температуре.
Оценим характерные времена описанных процессов. Из второго уравнения (2.1), или, что тоже самое, из уравнения баланса энергии, в котором пренебрегли процессами рекомбинации и ионизации, имеем
Т.
е
\
88п1а*0 1 " ;
При Е0 — 30 кВ/см и атмосферном давлении для воздушной плазмы Те = 105 К.
Примерно такое же значение следует из (3.1) и для других газов при небольших перенапряженностях. Вместе с тем, температура нейтрального газа при интенсивном поглощении фотоионизационного излучения не превышает 0.1-0.2 эВ. После перехода плазменной лавины в стример происходит экранировка внешнего поля на длине порядка дебаевского радиуса перед его фронтом, температура плазмы стримера падает до температуры нейтрального газа, т.е. до 0.1-0.2 эВ за время порядка (8ие)~1 ~ • 109/о^) (где Р0 - давление газа в торах), т.е. за время Ю-9 с. С падением температуры электронов резко увеличивается вероятность рекомбинации, которая определяется уравнением (мы здесь учитываем трехчастичную, или ударно-излучательную рекомбинацию [10])
^ = /Зрпе, 0Р = 6 • 10-2ЧТ-9/2. (3.2)
Здесь Те - в эВ. При пе = 1015 см-3 (характерная плотность электронов в плазменном стримере) время рекомбинации сравнивается со временем охлаждения вследствие упругих столкновений электронов с атомами при Те ~ 0.3 эВ. Так как при больших температурах вероятность рекомбинации, согласно (3.2), резко уменьшается, считаем, что фотоионизация газа перед стримером и позади стримера (анодо- и катодонаправлен-ные стримеры) определяется именно временем охлаждения электронов при постоянной плотности пе. Кроме того, предполагается, что время столкновений атомов между собой пренебрежимо мало. Действительно, это время порядка 1 /г/а, где иа = (То^т0па, величина сто - определена. При Т0 = 0.1 эВ, (То = 10~15 см2 и п0 = 3-1019 см-3 время столкновений атомов < Ю-9 с.
Длина свободного пробега рекомбинационных квантов (ультрафиолетового излучения) в воздухе при атмосферном давлении, как отмечено в [7] (см. также [8]), составляет 10_3 см. Резонансные же кванты поглощаются на еще меньших длинах 10~ ' см.
Поэтому рекомбинационное излучение из плазмы стримера способно создать непосредственно впереди и позади стримера достаточно высокую степень предыонизации газа и, тем самым, породить новые лавины. Они, в свою очередь, после перехода в плазменную лавину, будут двигаться в направлении анода в усиленном электрическом поле. В результате плазменный стример будет распространяться с большой скоростью, эффективно удлиняясь в обоих направлениях, как бы порождая как анодонаправленные, так и каТодонаправленные стримеры.
Чтобы оценить эффективную скорость распространения плазменного стримера, вычислим усиление поля в разрядном промежутке вследствие образования плазменного стримера и сокращения эффективной длины промежутка £(£). Считаем, что первая лавина зародилась в центре разрядной камеры, перешла в плазменный стример, который распространяется в обе стороны. Поэтому
¿Ь = = 2 еЕ(1) 3
<Н е тпо<70и(1)
Здесь поле Е(Ь) - это поле, действующее на электроны вторичных лавин, т.е.:
ад = 2^, (3.4)
где Уо - постоянная разность потенциалов (напряжение) на разрядном промежутке.
Подставляя (3.4) в (3.3) и решая полученное уравнение для с начальным условием 1/(0) = Ь0, после несложных вычислений получим закон изменения скорости дрейфа электронов в усиливающемся во времени электрическом поле
2лДи0
(l-3V2u0t/L0y
«'(*) = 7-; (3-5)
где и0 - начальная скорость дрейфа электрона в поле Eq. Из формулы (3.5) видно, что с развитием стримерного пробоя на стадии распространения стримера его скорость возрастает, и перекрытие промежутка происходит за время tnp, причем
^пр
J dtue{t) = L0/2. (3.6)
о
Отсюда находим
_^
tnT - ——— « 0A5Lq/uq. (3.7)
Отсюда видно, что перекрытие разрядного промежутка происходит за время, почти на порядок меньшее, чем время прохождения промежутка дрейфующим электроном в исходном поле, ¿о = Таким образом, вследствие усиления поля в соответствии с экспериментом происходит ускорение распространения плазменного стримера. Вместе с тем, следует иметь в виду, что формула (3.7) справедлива, если ¿„р >> ¿2*? >> ¿1« Только при выполнении этих неравенств можно говорить об ускоренном распространении фронта ионизации и вообще о применимости изложенного выше стримерно-плазменного механизма развития начальных стадий электрического пробоя газов. Исходя из формул (2.10), (2.12), (3.7) и (2.3), легко показать, что эти неравенства выполняются при условиях:
Ь0 » и0/и{ » v-TeVea.lv] « —- ехр(/,/Ге). (3.8)
В заключение заметим, что проведенная оценка скорости распространения стримера является заниженной, поскольку мы считаем, что в результате фотоионизации газа развивается только одна лавина. Если считать, что развивается много лавин, то скорость распространения увеличится, что, по-видимому, имеет место в реальных условиях.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Н. А. Капцов, Электроника (М., Гостехиздат, 1959).
[2] Мик дж, Краге, Электрический пробой в газах (М., Мир, 1960).
[3] Л. Леб, Основные процессы электрических разрядов в газах (М., Гостехиздат, 1950).
[4] Г. Ретер, Электронные лавины и пробой в газах (М., Мир, 1968).
[5] Э. Д. Лозанский, О. Б. Фирсов, Теория искры (М., Атомиздат, 1975).
[6] О. А. Омаров, А. А. Рухадзе, Г. А. Шнеерсон, ЖТФ 49, 997 (1979); ЖТФ 50, 536 (1980).
[7] А. П. Бройтман, О. А. Омаров, А. А. Рухадзе, С. А. Решетняк, Краткие сообщения по физике ФИАН, N0. 6, 50; N0. 8, 27; N0. 9, 44 (1984).
[8] О. А. Омаров, Импульсные разряды в газах высокого давления (Махачкала, изд. Юпитер, 2001).
[9] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (М., Физматгиз, 1963).
[10] Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая кинетика (М., Физматгиз, 1979).
Поступила в редакцию 10 сентября 2009 г.
