Мезомеханика деформации пористых структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезомеханика деформации пористых структур

А.М. Авдеенко, А.С. Мельниченко, В.Б. Филиппова

Московский государственный институт стали и сплавов (Технологический университет), Москва, 119049, Россия

Построена численная трехмерная модель деформации случайной пористой среды в соответствии с модифицированным деформационным законом пластического течения. Изучены механизмы влияния неоднородностей структуры на характеристики случайной пористой среды в процессе нагружения: тензоры напряжений, деформации и коэффициент Пуассона. Введено понятие центрированной дисперсии относительно случайной величины объемной доли пор. Проверка полученных результатов осуществлена на реальном материале — пеноалюминии с долей пор от 0.532 до 0.87. Проведено экспериментальное исследование мезоэффектов деформации пористой структуры.

1. Введение

Пористые материалы находят все более широкое применение в различных областях производства: это антифрикционные материалы, например пористые подшипники из железо- и бронзографита; фрикционные материалы на металлической основе (Си, Fe, № и их сплавы), электроконтактные и тугоплавкие материалы. Наиболее широкое применение порошковые материалы нашли в автомобильной промышленности благодаря легкости, прочности и пониженной металлоемкости.

Одно из возможных направлений применения пористых структур — использование их как средства для высокоэнергетического демпфирования, т.е. поглощения ударных волн, инициированных сосредоточенным взрывом, кумулятивной струей, элементами кинетического поражения. Предварительные оценки показывают, что в ряде случаев удельная (на единицу массы) рассеивающая способность пористых структур может превосходить соответствующие показатели для сплошных сред [1, 2].

В настоящее время не существует однозначной теории, позволяющей описать механизм пластической деформации неоднородной пористой структуры. Трудность учета неоднородности связана с тем, что, во-первых, размеры пор, толщина стенок, топология стыков — случайные (в общем случае коррелированные) процессы, во-вторых, существующие технологии не позволяют получать (и поэтому исследовать) воспроизводимые (в статистическом смысле) структуры, в-третьих, отсутствуют разумные (обладающие предсказующей силой) мо-

дели деформирования сильнопористой (гипернеодно-родной) среды.

Цель предлагаемого исследования — построение численной модели деформации случайной пористой среды, проверка полученных результатов на реальном материале (пеноалюминий) и экспериментальное исследование мезоэффектов деформации пористых структур, которые позволят в дальнейшем уточнить рассмотренную модель деформации случайной среды.

2. Модель деформации пористых структур

Диаграмма деформации пористых структур зависит от структуры: средней плотности (р = р0 (1-N0), где р0 — плотность основы пористых структур; N0 — объемная доля пор) и степени ее неоднородности. В основу модели деформации случайной сильнопористой среды положим три основных допущения.

1. Деформируемое тело объемом ^ можно разбить на N >> 1 малых «кубиков» vi << для каждого из которых допускается существование локальной диаграммы деформации Оу (Етп, г), где Оу и етп — тензоры напряжений и деформаций соответственно (і, j, т,п = = 1, 2, 3), г—координата центра «кубика» уі (г(х, у, z)).

2. Тензор напряжения оіу однозначно связан с тензором деформации етп непрерывной гладкой зависимостью вида:

(г, етп ) ^ (Єтп X (1)

р0

© Авдеенко А.М., Мельниченко A.C., Филиннова В.Б., 2003

где р0(г) — случайная плотность среды в точке г; р0 — плотность, по отношению к которой введена диаграмма деформации Ху (єтп), в дальнейшем полагается р0 = 1.

3. Диаграмма Ху (єтп) удовлетворяет модифицированному деформационному закону пластического течения:

Ху = (1 + 0^(е) еу +13 ЪуК(0) 0, (2)

где 0 = є11 + є22 + є33 — первый инвариант тензора Єу (всестороннее сжатие-растяжение); еу =Єу - 1/3 08у — девиатор тензора Єу; е = ^еуеу — второй инвариант девиатора еу; Де), ^(0) — секущие модули упрочнения для девиаторной и шаровой составляющих тензора деформации. Изменение граничных условий (процесс нагружения) ведет к деформации среды, происходящей таким образом, чтобы в любой момент времени выполнялось уравнение равновесия.

Введем поля смещения Ап (п = 1...3) и определим тензор деформации стандартным образом

1

є=

nm 2

дAm + дAr

Л

v дx n ^m ,

тогда, с учетом условий совместности,

д2єу д2є

lm

д2є

д2є

km

дх1дхт дх,дхк дхкдхт дх,дхк

для трехмерного пространства ^ = 3) в рамках гипотезы 2, уравнения равновесия в перемещениях Ат имеет вид:

„2, 1 + F(0, e) д0

V 2 A, +----------------------+

^ 3 д*.

(1 + 0)p0(r)h(e)

Л

дxI

-(p0(r)(1 + 0)>V

= 0, (З)

где

V2 =

_ді

2 + дx22

2

дxl2

sy = f (e)eij + т

F(0, e) =

1 K(0)8у0

2 1 + 0 : дР/ д0 = дp 1

да/де д0 h(е)

^е) = ^, Р(0) = К(0)0, а(е) = /(е)е. de

С учетом определяющего соотношения (1), имеем полную систему уравнений, достаточную для определения полей г,, и а,, в любой точке г ей для заданных

у у

граничных условий. Относительно системы (1)-(3) необходимо сделать два замечания: во-первых, рассматривается квазистатическая (медленная) деформация — инерционными и вязкими эффектами можно пренебречь, во-вторых, величина 0 в (3) — относительное изменение плотности в точке г в процессе нагружения — перенормирует напряжение в смысле допущения (2) (множитель (1 + 0) в (1) и (3)).

Граничные условия на двух поверхностях зададим как стесненные смещения, т.е. A(r) = 0, если r е Гх, Г2, а на свободных поверхностях положим omn = 0.

Соотношение (3) — система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Входящая в третье и четвертое слагаемое величина р0(г) случайна, поэтому решение (3) при заданных (детерминированных) граничных условиях — также случайная величина, статистика которой связана со статистикой р0 (г).

Для понимания механизмов влияния неоднородностей структуры на свойства необходимо связать статистические характеристики (моменты) величины р0 (г) со статистическими характеристиками (моментами) тензора деформации (напряжения) случайной среды в процессе нагружения.

В дальнейшем от случайной плотности р0(г) перейдем к случайной объемной доле n(r), связанной с р0(г) соотношением: р0(г) = (1 - n(r ))р. Среднее по объему (распределению) определяется следующим образом:

1

N0 = —I n(r)dr.

Относительно случайной величины n(r) сделаем следующие допущения:

Д(г) = А8(г), А 2*+1 = 0, А 2, = (А)*,

где Д = ^(n - N0)2^ = — I(n - N0)2dr — центрированная дисперсия случайной величины n(r), т.е. положим дельта-коррелированность случайной плотности (отсутствие мезокластеров пор), симметричность процесса и пренебрежем высшими моментами случайной функции n(r).

Ответной характеристикой среды будем считать средние по объему (распределению) значения тензоров напряжений anm, деформации enm, коэффициент Пуассона и т.д.

Системы (3) аналитически не разрешимы, поэтому анализ проводился численным методом — модифицированным методом конечных элементов. На сетке d = 3 генерируется случайная плотность n(r) с известным законом распределения (например равномерным между n1 и n2), вычисляются случайные объемные силы и происходит релаксация — смещение в направлении действующей силы до достижения равновесия (либо заданного числа циклов); после этого вычисляют все поля деформации emn (г), напряжения amn (г), их моменты и т.д.

3. Численное моделирование деформации случайной пористой структуры

Для однородной структуры р(г) = р0 = const секущие модули упрочнения f (e) и fi(0) представим в виде полиномов второго порядка

д

Рис. 1. Диаграмма сжатия пористых структур (N 0 — объемная доля пор, А — дисперсия)

/V ч Ь С 2

/ (е) = а +— е +— е ,

2 3

/1(е) = а1 + — е + — е2.

1 1 2 3

Стандартное испытание при определении деформационных характеристик пористых структур — квазиста-тическое сжатие. Средний коэффициент Пуассона — теперь функция процесса нагружения

fl(0) - (1 + 0)f(e) 2f1(0) + (1 + 0)f (e)‘

(4)

На начальной стадии сжатия высокопористых структур (например пеноалюминия или пеномеди) коэффициент Пуассона, в пределах ошибки эксперимента, равен нулю, что позволяет, с одной стороны, решить уравнение (4) разложением в ряд по малому параметру 0 ~ е, в частности, из условия п = 0 во втором порядке 0 ~ е следуют следующие соотношения между константами разложения секущих модулей:

=з

= 4

С = "з

/

\

cl - 2 bl + за1

2

с другой стороны, определить все константы модели в экспериментах на одноосное сжатие.

Соответствующие величины для максимально однородной структуры (в рамках технологических возможностей получения пористой структуры — пеноалюминия со средней плотностью 0.65 г/см3) были получены в работе [3].

На рисунке 1 представлены диаграммы сжатия пористых структур для равномерного распределения локальной плотности между п1 и п2 в зависимости от объемной доли пор Ы0 = (п1 + п2)/2 и дисперсии локальной плотности А = (п1 - п2)2/12 для трехмерной модели (Л = 3) по результатам численного моделирования.

Рост дисперсии А от 0.0012 до 0.014 сопровождается снижением зависимости а(е) во всем интервале деформации и долей пор Ы0 от 0.51 до 0.87. Аналогичный эффект наблюдается при увеличении объемной доли пор в интервале от 0.51 до 0.87 при постоянной дисперсии А.

Проверка полученных численных результатов осуществлялась экспериментально при сжатии прямоугольных образцов размерами 40x40x20 мм со средним диаметром пор D от 3.15 до 6.6 мм и объемной долей пор Ы0 в интервале 0.532-0.792. Для оценки эффективной неоднородности пористой структуры был предложен следующий алгоритм.

Пусть на квадратной сетке МхМ задана исходная локальная плотность пористых структур Ск, т. Определим сглаженную плотность на шаге «р» с помощью соотношения:

^( р) р)

C

к

к=0 т=0 N1 (Р)

где Ы2(р) — количество узлов квадратной сетки на «р» шаге сглаживания. Тогда сглаженная дисперсия на шаге «р» определяется как:

N1(р)Nl(p) (с ( Р) С )2 л/ \ ^ ^ (с, У(Р) С0)

А( р) = 2 2 \Т 2 ( .—• у=0 ,=0 N1 (р)

Для реальных структур, рассмотренных в работе, величина А( р) — монотонно убывающая функция сглаживания, поэтому в качестве оценки параметра неоднородности структуры исследовалась приведенная дисперсия А (сглаженная дисперсия А(р), отнесенная к единственному фундаментальному масштабу среды — диаметру пор). Соответствующие значения А для всех исследованных структур лежат в интервале 0.19-0.32.

Экспериментальные зависимости напряжение-деформация для структур с разной плотностью и одинаковой дисперсией, а также с одинаковой плотностью и разной дисперсией представлены на рисунке 2, а, б.

Рост объемной доли пор от 0.532 до 0.683 при неизменной степени неоднородности ведет к снижению текущей зависимости во всем интервале нагружения.

Аналогичное снижение текущего напряжения при неизменной доле пор происходит с увеличением степени неоднородности структуры, характеризуемой дисперсией. Полученные результаты свидетельствуют в пользу модельных представлений, изложенных выше.

4. Мезомеханика деформации пористой структуры

Понимание поведения случайной пористой среды не ограничивается квазиконтинуальной нелинейной моделью, проанализированной выше. Ее существенное ограничение — невозможность учета эффектов локального схлопывания и разрушения пор. Эти эффекты ока-

-a

а, МПа

а, МПа

Рис. 2. Диаграммы сжатия образцов пеноалюминия

зывают существенное влияние на потерю устойчивости однородного течения пористой структуры и, как следствие, третью стадию деформации — быстрое упрочнение среды, предшествующее разрушению. Динамика локального поведения пористой структуры исследовалась экспериментально.

Для анализа эволюции характеристик пористой структуры при сжатии на снимках недеформированных образцов случайным образом выбиралось 70-90 пор. Поры идентифицировались на снимках деформированных образцов и для каждой измерялись диаметры в продольном и поперечном (относительно оси сжатия) направлениях.

В качестве исследуемых параметров пористой структуры определялись: доля сохранившихся в процессе деформации пор п = п/п0 , где п0 — количество пор до начала испытаний; п — количество сохранившихся (не схлопнувшихся) пор; средний размер пор, вычисляемый по следующей формуле d = , где

d1 — диаметр поры перпендикулярно оси сжатия; d2 — диаметр поры параллельно оси сжатия; анизотропии пор А = d1 /d2 ; деформации пор в направлении, параллельном оси сжатия, 8 = ^10 - d1)/d1,0 , где индекс 0 относится к недеформированному состоянию.

Все характеристики пористой структуры, кроме деформации пор, рассчитывались только для сохранившихся на данном этапе сжатия пор. Деформация пор 8 рассчитывалась для всех пор, при этом деформация схлопнувшихся пор считалась равной единице.

Эволюция пористой структуры изучалась на трех образцах с различающимися диаграммами деформации. В образцах 1 и 3 область медленного упрочнения заканчивалась при деформации ~0.35 при напряжении ~ 13 МПа. Далее образец 3 упрочнялся сильнее, и предельное напряжение при деформации ~0.62 в нем составило 45 МПа, а в образце 1 при той же деформации — 35 МПа. В образце 2 область медленного упроч-

нения закончилась при деформации ~0.25 при напряжении ~12 МПа, далее началось сильное упрочнение, и предельное напряжение 49 МПа было достигнуто при деформации 0.39.

Для более детального анализа поведения в процессе деформации пор различных размеров поры по гистограммам распределения среднего размера d разбивались на три размерные группы: малые, средние и крупные. Границы разрядов (таблица 1) выбирались так, чтобы они были примерно одинаковы во всех образцах, и в каждый разряд попадало бы не менее 10 пор.

На рисунке 3 приведены зависимости доли сохранившихся пор от величины деформации. Обрыв графиков при промежуточной деформации означает, что при следующем измерении все поры данного размера схло-пывались. На начальном этапе в образцах 2 и 3 наиболее быстро исчезали крупные поры, и при деформации 2225 % их количество составило менее 60 % от первоначального. При дальнейшей деформации количество этих пор продолжало убывать наиболее быстро, и они полностью схлопывались еще до достижения предельной деформации. В образце 1 на первом этапе деформации крупные поры сохранились почти полностью, и, хотя далее их количество убывало быстрее других, около 50 % этих пор сохранились неразрушенными (хотя и сильно деформированными) до конца деформации.

Увеличение анизотропии пор (рис. 4) связано почти полностью с уменьшением размера d1 и в малой сте-

Таблица 1

Интервалы разбиения пор по величине

№ обр. Малые поры Средние поры Крупные поры

1 d < 1.20 мм 1.20 мм < d < 3.30 мм d > 3.30 мм

2 d < 1.45 мм 1.45 мм < d < 3.30мм d > 3.30 мм

3 d < 1.15 мм 1.15 мм < d < 3.30мм d > 3.30 мм

п

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 в

□ Образец 1 ---- Крупные поры

• Образец 2 .... Средние поры

л Образец 3 .... Малые поры

Рис. 3. Зависимость доли сохранившихся пор п от степени деформации 8

пени — с увеличением d2 (выгибанием вертикальных стенок пор). Уменьшение анизотропии на отдельных этапах деформации в образце 3 связано с тем, что анизотропия рассчитывалась только по сохранившимся порам, а схлопывались наиболее сильно деформированные (т.е. наиболее анизотропные) поры.

Во всех образцах анизотропия крупных пор увеличивается быстрее, чем средних и мелких, но в образце 1 поры всех размеров были исходно изотропны, а в двух других образцах крупные поры были исходно вытянуты перпендикулярно оси сжатия. Возможно, что именно поэтому в образце 1 крупные поры могли сильнее деформироваться без разрушения.

В отличие от анизотропии, показывающей изменение соотношения горизонтальных и вертикальных размеров существующих пор, деформация поры — деформация объема (прямоугольника в сечении), включающего данную пору. Достижение деформацией поры величины 1 показывает, что данный объем далее не дает вклада в макродеформацию материала.

Как видно из рисунка 5, уже на начальном этапе сжатия деформируются все объемы, но объемы вокруг малых пор — в наименьшей степени. Деформация объемов вокруг малых и средних пор нарастает по мере исчерпания деформации объемов вокруг крупных пор. Отличия от этой закономерности обнаруживаются в образце 1, где объемы, связанные с крупными порами, на начальном этапе сжатия в среднем деформировались намного меньше, чем в двух других образцах (и меньше, чем объемы вокруг средних пор в данном образце) и сохранили способность к деформированию вплоть до предельных деформаций образца.

Сопоставление процесса эволюции пористой структуры с диаграммами деформации показывает, что уже

0.0 0.2 0.4 0.6 в

□ Образец 1 ----- Крупные поры

• Образец 2 .... Средние поры

а Образец 3 .... Малые поры

Рис. 4. Зависимость анизотропии пор А (средние значения в каждой размерной группе) от величины деформации 8

на начальном этапе нагружения деформируются поры всех размеров, при этом неравномерность течения пор возрастает с увеличением макродеформации образца. Наибольший вклад в деформацию образца вносят крупные поры. Если пористая структура такова, что крупные поры могут значительно деформироваться, уменьшая d1 и не схлопываясь, напряжения растут относительно медленно.

Разрушение большинства крупных пор приводит к изменению характера диаграммы деформации и сильному упрочнению (образец 2 при 0.25-0.40 макродеформации). Если же крупные поры сохраняются в достаточном количестве, переход к сильному упрочнению не происходит и после макродеформации, превышающей

0.0 0.2 0.4 0.6 в

□ Образец 1 ----- Крупные поры

• Образец 2 ..... Средние поры

д Образец 3 ..... Малые поры

Рис. 5. Зависимость деформации пор е (средние значения в каждой размерной группе) от величины макродеформации 8

0.60, несмотря на значительную деформацию самих крупных пор (образец 1, где при окончании сжатия сохранилась почти половина крупных пор при их значительной анизотропии, равной 2.9).

Причины, по которым крупные поры могут сохраняться вплоть до больших (более 0.60) деформаций в одних случаях и полностью разрушаются при макродеформации, меньшей 0.40, в других случаях, до конца не ясны. Из исследованных в данной работе факторов можно отметить только почти полное отсутствие начальной анизотропии крупных пор в образце 1 и значительную (=1.5) начальную анизотропию крупных пор в других образцах.

5. Выводы

1. Разработана численная модель деформации случайной нелинейной пористой среды с заданным законом распределения флуктуаций неоднородностей структуры.

2. Построены средние диаграммы сжатия растяжения в зависимости от статистических характеристик — доли пор N0 и дисперсии неоднородности локальной плотности А. Установлено, что увеличение объемной доли пор N0 в интервале от 0.51 до 0.87 (А = const) и дисперсии А от 0.001 до 0.01 (N0 = const) ведет к сниже-

нию текущей зависимости напряжение - деформация, причем более плотные структуры менее чувствительны к мере локальной неоднородности.

3. Экспериментально показано, что на всех этапах эволюции системы деформация объемов вокруг пор разного размера развивается неравномерно: наибольший вклад в макродеформацию вносит процесс течения объемов вокруг крупных пор. Сильное упрочнение пе-ноалюминия наступает после разрушения путем схло-пывания большей части крупных пор.

Благодарности

Авторы выражают благодарность Н.И. Дашкевич,

0.В. Куртышевой и Ж.Е. Костюковой за большую помощь при выполнении исследований.

Литература

1. Авдеенко А.М. Неустойчивость пластической деформации и разрушение. Диаграмма деформации неоднородных сред // ПМТФ. -2000. - Т. 41. - № 6. - С. 125.

2. Авдеенко А.М. Критерии макроразрушения неоднородных структур // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2001. -Т. 7. - № 1. - С. 103.

3. Авдеенко А.М., Филиппова В.Б., Куртышева О.В. Высокоэнергетическое демпфирование в пористых структурах // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2003. - Т. 9. - № 1. -С. 16.

Mesomechanics of porous structure deformation

A.M. Avdeenko, A.S. Melnichenko, and VB. Filippova

Moscow State Institute of Steel and Alloys (Technological University), Moscow, 119049, Russia

A three-dimensional numerical model of random porous medium deformation is developed in accordance with the modified deformation law of plastic flow. Consideration is given to the mechanisms of structure inhomogeneity influence on the characteristics of the random porous medium under loading, namely, the stress and strain tensors and Poisson ratio. The notion of centered dispersion relative to the random value of volume fraction of pores is introduced. The results obtained are verified for the real material, namely, foamed aluminum with a volume fraction of pores of 0.532 to 0.87. Mesoeffects of porous structure deformation are studied experimentally.