Модель разрушения структурно-неоднородных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

Модель разрушения структурно-неоднородных сред

А.М. Авдеенко

Московский институт стали и сплавов, Москва, 117936, Россия

В рамках формализма континуального интегрирования построен производящий функционал флуктуаций полей деформации и разрушения в модели нелинейного псевдоконтинуума Коссера с локальными неоднородностями — порами или частицами второй фазы. Локальное разрушение определено как скачок поля разрушения на границе структурного элемента. Макроразрушению соответствует полюс полной корреляционной функции флуктуаций локального разращения с бесконечным интервалом корреляций. В зависимости от исходных свойств среды (константы взаимодействия флуктуаций полей совместной деформации и дисперсии локальной неоднородности) возможны два типа асимптотического поведения с различными условиями макроразрушения, параметризованные через безразмерный модуль упрочнения вдоль траектории нагружения. Рассмотрены возможности экспериментальной проверки полученных результатов и направления дальнейших исследований.

1. Введение

Пластическая деформация реального материала происходит одновременно или последовательно на различных масштабных уровнях. Каждому уровню соответствуют свои “элементарные дефекты” — носители пластического течения: для микроскопического уровня это дислокации, мезоскопического уровня — элементы дислокационной субструктуры (в том числе дисклинации), макроскопического — соответствующие пластические и ротационные моды. На любом уровне в процессе эволюции системы увеличивается концентрация дефектов-носителей, усиливается их взаимодействие и в результате самоорганизации возникают коллективные степени свободы — носители течения следующего, “высшего” уровня. Пластическая деформация сопровождается и завершается разрушением. Неоднородности пластического течения делают возможным возникновение “элементарных объектов” разрушения — ямок вязкого излома, фасеток скола и зернограничного разрушения. Далее процесс переходит от разрушения элемента микроструктуры через многие трещины мезомасштаба к одной макротрещине, подавляющей рост остальных. Исходная среда также неоднородна — статистика частиц второй фазы, пор, ослабленных сегрегациями границ зерен определяет момент потери устойчивости пластического течения, условия и энергетические параметры разрушения.

В современной физике разрушения существуют три основных подхода. Во-первых, это дислокационно-дис-клинационная теория разрушения [1, 2]. Разрушение трактуется как критическое событие в системе дислокаций, определенная конфигурация которых создает силовые условия зарождения и распространения трещин. Во-вторых, это флуктуационная теория, в которой разрушение сводится к термофлуктуационному разрыву “межатомных связей” [3]. Влиянию структуры, созданной предварительной пластической деформацией, отводится вспомогательная роль. В-третьих, это различные перколяционные модели разрушения. В их основе лежит гипотеза масштабной инвариантности (скейлинга) процесса разрушения. Это оправдано фрактальным характером поверхности магистральной трещины [4]. Различают два основных направления: в ряде работ гипотеза скейлинга используется для описания результатов численного моделирования разрушения плоской (квадратной или треугольной) сетки [5] или упругого поведения фрактальной структуры с заданной размерностью [4, 6]. Результаты свидетельствуют о возникновении фрактального кластера магистральной трещины, а также степенных особенностях упругих констант в окрестности перколяции [4, 6]. Другое направление — применение аналитических ренормгрупповых преобразований для описания поведения кластера магистральной трещины (например [7]). В этом случае на перколя-

© Авдеенко А.М., 2000

ционной решетке задаются вероятность разрушения в единичном масштабе как функция приложенного напряжения и вероятность разрушения в удвоенном масштабе, которая связана с топологией решетки. Методом ре-нормгрупповых преобразований находятся точка протекания и напряжение макроразрушения. Поведение системы в окрестности этой точки подчиняется скейлинго-вым закономерностям.

Попытки синтеза дислокационного и флуктуацион-ного подходов носили ограниченный характер [8, 9]. Кинетика разрушения определялась термофлуктуацион-ным разрывом связей в поле уже имеющихся дислокационных скоплений. Однако очевидно, что само формирование скоплений и, в общем случае, структуры пластической деформации связано со структурными флуктуациями. Ограниченность существующих перколяци-онных подходов связана с невозможностью учесть в их рамках реальную структурную неоднородность материала, которая, как свидетельствуют многочисленные эксперименты, определяет процесс разрушения [8-10].

Ряд экспериментальных и теоретических посылок позволяет предположить, что существует возможность единого подхода при описании самоорганизации деформации и разрушения. Они могут быть сформулированы в виде трех основных принципов: принципа “универсальности” — при определенном наборе внешних параметров (напряжение, предельная деформация и т. д.) всегда произойдет макроскопическая потеря устойчивости течения (например образование шейки) и, в конечном счете, разрушение; принципа “расходимости характерных масштабов” — в окрестности предельных значений параметров нагружения характерные размеры “дефектов-носителей” течения (макропластические и ротационные моды) и элементов разрушения (мезо- и макротрещины) много больше всех существенных микромасштабов течения и разрушения и, наконец, принципа скейлинга (фрактальности) — статистические характеристики полей деформации и профиля рельефа магистральной трещины подчиняются масштабно-инвариантным закономерностям [10-12].

Цель предлагаемого исследования — установить связь между параметрами самоорганизации деформации и разрушения из статистических свойств среды.

2. Теория

Рассмотрим твердое тело в объеме граница которого нагружается заданной системой внешних сил F(r, где г, t — пространственные и временные

координаты соответственно. В дальнейшем используется рациональная система координат в пространстве

размерностью d = 4, метрикой [+-------] и скоростью

продольного звука с = 1. Разобьем на N малых “кубиков” V и поставим каждому из них в соответствие поле смещений А как разности координат каждой

точки в исходном состоянии гг- и после нагружения гг-: А = гг- - г/. Когда число N велико (V << ^)> начальное состояние, характер взаимодействия и локальные свойства объемов точно неизвестны, то естественный способ описания эволюции подобной системы — статистический.

Для статистического описания медленной (склерономной) деформации введем функционал плотности распределений флуктуаций полей смещения А (г) (М- = = 1, 2, 3): /[А] = е ЩА]. Представим производящий функционал рассматриваемой системы функциональным рядом:

w [ лц ] =

i it

Vf"'1 (г,)

k=2

Af, p ... Aq, v dri ... dr, ...,

(1)

Действительные тензоры У^'"'1 (гг-) ранга 2к назовем вершинами, первые к индексов (у = 1, 2, 3) будем относить к компонентам поля смещений А , последующие к индексов (у = 1, 2, 3) — к пространственным производным А, р = дАу!'дхр , г = (х1, х2, х3).

Назовем траекторией нагружения А (г, () изменение поля А (г) со временем деформации t. Плотность распределения / [ А ] — монотонная функция Щ[ А ], поэтому наиболее вероятному процессу соответствует траектория А V, удовлетворяющая вариационному уравнению: ЗЩ[А ]/§А = 0 при заданных граничных условиях. Его решение А, назовем “классической” траекторией, разность ЗА^ = А, - А, — флуктуа-

циями. В дальнейшем ограничимся рассмотрением “активных” траекторий. Длина траектории

f, v

dAf, v dA

dt dt

y/2

dT, где Af, v =

dA0

dxv '

нарастает в процессе нагружения, активная эволюция вдоль “классической” траектории одинакова для всех микрообъемов v, (“М-образец” в терминологии школы A.A. Ильюшина [13].

Производящий функционал флуктуаций полей деформации может быть получен разложением (1) в ряд в окрестности классической траектории Af v. Для простых процессов (пропорционального нагружения) вершины производящего функционала флуктуаций полей деформации параметризуются вторым инвариантом тензора производных полей смещения s [13]. Символ 8 перед флуктуациями в последующем изложении опускаем.

Нормированное гауссовское среднее с весом e-при Vf"'v = 0 (k > 2) назовем свободной корреляционной функцией деформации и представим ее в виде:

-W

R%"-v (г) = СУ " R2o(г) =

= ( АУ >р (г') А«’V (г' + г)):

(2)

I АУ >р (г') А?’V (г' + г)е-Щ [

КЖ["УЧ

В этом выражении dAlí — символ континуального интегрирования; Су — некоторый симметрийный тензор.

Оператор Уу"-4 (гг), обратный свободной корреляционной функции ЯУ" (г), определим с помощью соотношения:

IУ2кV (г1, гОЯ20, шpqn(г1 - г0Мг1 = ВД8(г1 - г2) (3)

и назовем свободной вершиной второго порядка. Для системы с У^-'1 (гг-) = 0 (к > 2) свободная вершина второго порядка совпадает с вершиной "^ (гг-). В общем

случае, когда У£ кV (гг-) ф 0 (к > 2), нормированное двухточечное среднее с весом е~Щ определяет полную корреляционную функцию Яу (г). Оператор У^1"^ (гг-), обратный полной корреляционной функции, определяется выражением (3) при замене ^(г) ^ Яу (г).

Эта величина учитывает взаимодействия (нелинейные эффекты) и в дальнейшем будет называться полной вершиной второго порядка. Полная вершина, вообще говоря, не совпадет с оператором при квадрате полевых переменных в производящем функционале (1), который теперь будет обозначаться У20"^ (гг-). Положим, что в исходном (ненагруженном) состоянии “классическая” траектория соответствует уравнению равновесия модели упругого псевдоконтинуума Коссера [8]:

у0 А+^ AV)-

-^02У2(У2а -ууAv) = 0,

где £0 — структурный масштаб упругого псевдоконти-

V =А ■ уо = у

нуума; у ^ у

Разобьем поле А на продольную и поперечную составляющие: А = А+ А’ тогда соответствующие дис-

торсии АП, V = 1 п8^Акл и АУ, V = А, V - А“, V • Своб°д-ную вершину второго порядка представим в виде суммы

У00-"" (г-) = У0Т’п(гг)+У00-""**Сг,-);

тУ-

У

<с0>

3 - 0v 1 - 0v

8(г1 - г0),

У0lo-v’t(г¿, 5 ^+0) =

т "

У

(с°)

- г0)>

где (е°0) = У-11(г^г, (е0) = У-11ЯУ0'у“(г)dг — поперечные и продольные дисперсии флуктуаций полей деформации в состоянии я ^ +0; V — объем тела.

Можно показать, что в нагруженном состоянии свободные вершины продольных флуктуаций остаются неизменными, а для поперечных принимают вид:

ТУ".^п г

У00-V’t(гг■, 5 ^ +0) = т2[(5) + ЙУ°]8^1 -г0), У( е0>

п. . 1 dт

где 9(5) =-------— касательный модуль упрочнения

G d5

вдоль “классической” траектории, нормированный на модуль сдвига.

Соответствующие корреляционные функции имеют вид:

ЯУ"'^(г, 5) =

У( е0)

4пг^0

яу "->

’п(г, 5) = СУ"л'’пу(е0)8(г1 -г0),

где Су"'^ = 8У1ре?е'’; СУ'-V’n = еУеУе^V; еУ — единичный вектор в направлении г; £ = £09-10 — интервал корреляций флуктуаций поперечной деформации.

Дисперсии флуктуаций полей поперечной и продольной деформации выражаются соответственно:

(е0(9)) = У-11(г, 9)dг = (е10)9-1,

(е0(9)) = У-11R00Vуln(г, 9^г = (е0),

и поскольку за исключением узкой области в окрестности макроупругости 9 << 1 и ^е0 ^ ~ ^е0 ^, то ^е0 (9)^ >> >>^е0у В дальнейшем ограничимся рассмотрением статистики лишь поперечных флуктуаций полей деформации (значок ‘Т ’ опустим). Производящий функционал поперечных флуктуаций может быть получен функциональным интегрированием Щ[ АУ ] по полю А:

Щ [ АУ] = - 1п I е

-Щ [ АП, АУ]

dAn•

В высших порядках теории возмущений дисперсия и интервал корреляций поперечных флуктуаций принимают вид:

(е0(9)) = (е0) 9

£ = £09-а 0,

где а = 1 - -

п +1

-£4. Величина g4 определяется соотно-

шением IУУ"^(г;, 5 ^+0^гг- = Т4УкVg4; п — количество компонент поля А [11, 12]. Для дальнейших преобразований перейдем к приведенным переменным

£

а

V, п

V, п

А, V, — А, V£0У 10(е0) 1, тогда в состоянии я > 0 свободная вершина второго порядка:

Уоо"Л’ (г) = ПкV (9(5)у0 + уу )8(г1 - г0).

После фурье-преобразования

У^ (Р) = I Ую ^ (г, г^+Р*^

имеем

У°0KV (Р) = ТУ■■л' (9(5)у0 + Р0),

где введено обозначение У = £-1.

Учет дисперсных неоднородностей проведем, положив, что величина А0 зависит от пространственной координаты: А0 = А0(г). Определим среднее

А0 = У-1 ^(г)*

и введем случайную функцию ф(г) = |УГ0(А0(г) - А0).

В исходном состоянии я — +0_для сред с заданным структурным масштабом среднее А0 (я — +0) стремится к величине А —> У (1 + п^0), где N0 — объемная доля неоднородностей. Величина п = ^ - G1)/G (G1 и G — упругие модули дискретной неоднородности и среды соответственно) конкретизирует тип неоднородности: если структурная неоднородность — пора, то п = -1. В общем случае п ^ -1, положительному значению п соответствует частица с упругим модулем, б ольшим, чем модуль среды. Полагается, что неоднородности не образуют связного кластера, их средний размер много меньше структурного масштаба среды, а случайная функция ф(г) реализует дельта-коррелированный (поры либо частицы не “наезжают” друг на друга) изотропный процесс:

((ф(г1)ф(г0))) = Д(г1 - г0) = Д8(г1 - г0),

где символ означает усреднение по всем реализациям случайного поля ф(г). Для пор Д = Ж0(1 -И0), для частиц Д = п0 N^1 - N0)•

Усредняя систему с производящим функционалом Щ[А, ф] по полю ф в континуальном смысле, имеем производящий функционал флуктуаций полей деформации в модели нелинейного псевдоконтинуума с локальными неоднородностями

еЩ А ] =1 е-Щ [ А> ф]dф,

где dф — символ континуального интегрирования по полю ф.

Дисперсию локальной неоднородности Д = N0 << 1 и константу взаимодействий флуктуаций полей деформации будем считать малыми параметрами разложения. Парная корреляционная функция в модели с неоднородностями в состоянии я > 0, полученная в результате разложения функциональной экспоненты в ряд и почленного интегрирования, имеет вид:

ЯУУкV(Р) = Я20-V(Р) - Я20-?'(Р)£уl^-v'(p)R2Po-V'(Р), Я 20-V (Р) = СУ"Л' (У 09( 5) + Р0 )-1,

Ху'-^' (Р) = т0, (9) + «0 Д(9))/ ),

где введены обозначения

Д(9) = Д + ^Д0! R°o(q)dq + 0(Д3, gД0), g4(9) = g4 + Ь^01Я 20 (q)dq + Й3Д01(q)dq +

+ Ь4 g4 д! (q)dq + 0( Д3, g4 Д, g4).

Величины а1 = (п + 1)/0, а0 = 1/0, Ь1 = (п + 8)/0, Ь3=2, Ь4 = 3, d1 = 1 — топологические коэффициенты, возникающие при вычислении функциональных интегралов; п — количество независимых компонентов поля А, обычно полагается п = 3.

что С2VРqTо, ^ =8'р, У0 (Р) = Я-1(Р), и разрешая это выражение относительно У (Р), имеем:

У0 (Р) = У00(Р) + ДР> Д) =

= У00(Р) + а1ё4 (9)! Я оo(q)dq - а0 Д (9)! R00(q)dq•

При вычислении интегралов 31 = IЯ00 (q)dq, 32 = = I Яа (q)dq возникают расходимости, для исключения которых необходима регуляризация, определяемая таким образом, чтобы в ненагруженном состоянии я — +0: У (Р, 9 — 1) — У00(Р, 9 — 1)(1 + nNo)• Соответствующие значения, полученные в результате размерной регуляризации, принимают вид:

1

•А(г^) = I Rоo(q)dq = -2^ 91п 9

г 0 1

J о(г^ = IЯ00 (q)dq = --1п 9

Соответствующая система ренормгрупповых уравнений для полных величин £4(9), Д(9) во втором порядке g4, Д принимает вид:

9 = +Ь1.?4 - Ь3д0 - Ь4g4 Д

d9

9 -dД = -d1Д0. d9 1

Граничные условия: £4(9 = 1, р; = 0) = g4, Д(9 = 1) = Д. Анализ этой системы проведем методами качественной теории дифференциальных уравнений. Топология фазовой плоскости (£4, Д) представлена на рис. 1.

Безразмерный модуль упрочнения 9 является параметром, уменьшающимся вдоль интегральных кривых в направлении, указанном стрелками. Система имеет

особые решения трех видов: Д = 0, Д = с-1я4, Д = -1—

= с1 g4, где

Рис. 1. Фазовая плоскость системы ренормгрупповых уравнений в модели локально-неоднородной среды

с1,2

(¿4 - dl) ±У(Ь4 -dl)2 + 4ЬіЬз

— 2Ьі

Решения Д = с-^4, Д = 0, g4 > 0 являются устойчивыми, а решения Д = с-^4, Д = 0, g4 < 0 — неустойчивыми особыми решениями. Линия Д = с- g4 разделяет все пространство на области 1+2, где все решения стремятся к устойчивому особому решению Д = с-1 g 4, и область 3, где все решения в данном порядке теории возмущений асимптотически уходят в область Д << Ш4. В области 1+2 после решения третьего уравнения находим:

Д (9) = Д(1 + d1Д 1п 9)-1,

Ш4(9) = С1Д (9).

Определяющей является дисперсия Д, которая характеризует скорость изменения величин ш4(9) и Д(9). Снижение 9 ведет к росту Ш4 (9), Д (9) и необходимости учета высших порядков теории возмущений.

В области 3 рассмотрим решение Д = 0, Ш4 < 0. Решение первого уравнения при Ш4 < 0 дает: Ш4(9) =

= ш4(1 - Ь1ш4 1п 9)-1. Снижение 9 ведет к росту |ш4| и выходу за область применимости второго порядка теории возмущений. Для исследования особенностей этой области необходимо учесть член порядка Щ3, опустив слагаемые ~ Щ4, Ш4 Д :

9 % = Ь1Ш 0 - Ь0 d 9

где топологический коэффициент Ь0 = (п + 1)(п + 8). При 9 — 0 особое решение Ш4(9), Д(9) = 0 стремится к устойчивой неподвижной точке Ш4 = - Ь11Ь0 .

Эволюцию системы в направлении устойчивого решения Д = с1-1Ш4 назовем асимптотическим поведением первого рода с условием Д/ш4 > с-1. Эволюцию

в области (g 4,0), А(0) << |я4(0)| назовем асимптотическим поведением второго рода.

Определим локальное разрушение в масштабе у в состоянии ^ > 0 как скачок поля смещений Л на поверхности структурного элемента. Допустим, что скачок поля смещений Л1 реализуется неоднородным поворотом шр(г) (р = 1 ...3) структурного элемента у как целого, шр (г) = %мх(1, где Xм — тензор полного изгиба-кручения, полагаемый постоянным для всех г є у.

Поля смещений двух точек М, М, принадлежащих поверхности структурного элемента, связаны соотношением:

м

Л (м) = А (м') — | вцр (хр (м) — хр (м '))XkqdXq.

м'

Суммарное смещение Л1 — сумма полного (упругого +

пластического) смещения структурного элемента Лі и

,, ^

скачка на поверхности Л — совместно, поэтому для любого замкнутого контура I, пересекающего поверхность у, | Л, у ^ =| Лч;, пк +5ікXII — Xкі = 0, £

где е™ — тензор Леви-Чивиты, dsk — элемент поверхности, натянутый на контур I.

Это соотношение справедливо всегда, если е^пЛ^, пк+ +5ікХа — Хк1 = 0, что позволяет ввести тензор локальных повреждений в виде а 1к = 5 ік X ц — X к1 и связать его с полем ЛІ соотношением а 1к = —е^пЛ^, кп.

Представим суммарное поле флуктуаций деформации в виде Л, V = Л,у + Л, V. Производящий функционал флуктуаций совместной (упругой + пластической) деформации в состоянии ^ > 0 может быть получен путем континуального интегрирования исходного производящего функционала Ж[Л|1, ф] по полям Л, ф:

е-Ж1[ Л1 ] = 1п | е[ Л1 ’ Л ’ ф ] л

dA1 dф,

причем вершина у£" (г;) параметризована длиной “классической” траектории суммарной деформации я.

Аналогичное выражение при замене в континуальном интеграле dA2 — dA имеет производящий функционал для флуктуаций полей локального разрушения.

Соответствующие корреляционные функции порядка 2к выражаются стандартным образом. Например, для совместной (упругой + пластической) деформации:

ЯоУ" У’с(г,.) = 1/ г IАУ,р (Г1) - А9’V (Гок )е А ^

= (еЩ Аьас

= 1

dAц■

Аналогично для корреляционных функций полей локального разрушения ^г (г;) порядка 2к. Индек-

сы f и с в дальнейшем опускаем. Соответственно полная корреляционная функция тензора локальных повреждений порядка 2 имеет вид:

G°Ш"9(г) =

(г-) = (ашп (п)... аР9 (гок )) =

= еШУ1... еР У5Я

0к

(г-) =

Ш^-}1 Р х~15 л ¡-5, £ / \

= е;ку •" ^5у Яок ’ (г;).

Полученные соотношения позволяют приступить к построению критериев макроразрушения. Полюс + -¡£-1 двухточечной корреляционной функции тензора локального разрушения "^ (р) совпадает с полюсом

Я"(р): р* = + - ¡£-1 = + - ¡(А0)10, ааа А0 = Уо(р = 0, 9). Поэтому условия макроразрушения — скачок поля полного смещения с бесконечным интервалом корреляции £ — естественно определить как полюс Я0(р) при

А0 — 0 или из соотношения Цт У0(р, 9) = 0.

р—0

Решение этого уравнения относительно 9 — величина 9С — параметризует условие макроразрушения через безразмерный модуль упрочнения вдоль “классической” траектории и для простого (пропорционального) нагружения позволяет определить напряжение и деформацию макроразрушения.

Пусть Д(9), ш4(9) — полная дисперсия неоднородностей и эффективное взаимодействие, параметризованное безразмерным модулем упрочнения, — решения системы ренормгрупповых уравнений типа в нужном порядке теории возмущений. Подстановка этих решений в первое ренормгрупповое уравнение при р — 0 позволяет получить: У0 (9, р = 0) = (У09(1 + у(9) 1п 9), где V(9) = -а1Ш4(9) + а0 Д(9). Тогда

9с(Ш4, Д) = е ^^Д).

В общем случае возможно численное решение этого уравнения. Однако в ряде случаев во втором порядке теории возмущений могут быть проведены аналитические оценки. Для асимптотического поведения первого рода Д/ ш4 < с-1 во втором порядке теории возмущений V(9) = (а0 - а1с1)Д(9), где Д(9) = Д(1 + d1Д 1п 9)-1. В этом случае уравнение разрешается в виде:

- _1_

9С = е 9Д, (4)

где 9 = dl + ао - с^1 > 0.

В трехмерной системе п = d = 3 величина q=2.13________

Рассмотрим асимптотическое поведение второго рода с условием Д/ш4 < с- . Для Д=0 (N0 = 0) достаточно рассмотреть первое ренормгрупповое уравнение в порядке ш4. Оно имеет неподвижную точку ш4 = = - Ь1 /Ь0, подстановка которой дает:

- _1_

9 = е ус Се

где vc =-«1ш4-

Для п = d = 3 имеем 9С = 1.66- • 10-3. Величина 9С дает верхнюю оценку прочностных свойств среды, разрушение в которой развивается по второму типу. Нижняя оценка для локально-неоднородной среды следует из уравнения границы области второго типа:

1

9тах(д) = е 9Д,

где 9 = а1 + а0 - с1а1. Для трехмерного случая q/ = = 2.02_ . Наблюдаемые значения безразмерного модуля упрочнения, параметризующего макроразрушение, должны лежать в области: е-^С < 9^™* < е9Д и могут быть получены численным решением.

Аналитические оценки возможны в областях |ш4| = = Д либо (ш4)0 ~ Д. В первом случае достаточно в выражении для полной дисперсии неоднородностей Д (9) = = Д - d1Д01п 9 заменить 9 — 9С (Д = 0), тогда из (4) имеем:

1___

(5)

9С(Д) = е Ус+91(Д),

где 91 (Д) = а0 Д

(

. При этом необходимые огра-

1 + -1 Д

ч V ,

ничения для величины Д: Д < vc/d1.

В области N0 << 1 для Д << vc/а0 (в системе пор при N0 << 0.16) разложение показателя экспоненты в ряд дает:

п0ао N 0

V 0

9с(N0) = 9се уС .

Если “классическая” траектория активного нагружения аппроксимируется степенным выражением а = = а05Ш, то истинная деформация макроразрушения 5С экспоненциально убывает с ростом концентрации пор:

5с(N0) = 51 е ^% где 51 =

(

9

ша0

(1 - ш)vc

Во втором случае (ш4)0 =Д необходимо учесть слагаемое = в выражении для полной вершины третье-

го порядка L2'-V (9) (свободная вершина в состоянии я— +0: Iу^-V = то1"'^0). В нагруженном состоянии соответствующий континуальный интеграл сводится к выражению:

^3 = dоШ4 (9)I Я00 (q)R00 (к)Я00 (q - к)dqdk’

где -0 — топологический коэффициент; ш4(9) — эффективное взаимодействие флуктуаций полей деформации во втором порядке; ш4 — решение первого ренорм-группового уравнения при Д = 0. Регуляризованное значение J3(reg) имеет вид:

13(г^;) = d о Щ40(9)1п 9

-0.14

-0.15

7 -0.16

Щ, -0-17

ф

с

^ -0.18 -0.19 -0.20

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

МоО-Мо)

Рис. 2. Зависимость безразмерного модуля упрочнения 9 в момент макроразрушения от исходной концентрации пор N для компактиро-ванного порошка на основе железа

и соответствующее выражение для полной вершины:

9 ^ = У 0-о —о (9).

d 9

о — — о

Его решение Ь(9) = у09 0—4 после замены 9 —9С,

d о Ьо

Ш4, —4(9) — Ш4 дает Ь(9С) = у0еd Ь и, следовательно,

- 1 9 С(Д) = е У с + 91 (Д\

—о Ьо

где величина 91(Д) = а0е d Ь Д, причем при п = d = 3

имеем 91( Д) = 1.34 Д.

В обоих случаях, если N" — 0, то 9С(Д) — 9С > 0, что принципиально отличается от условия макроразрушения для асимптотического поведения первого рода.

3. Эксперимент

Для экспериментальной проверки условия макроразрушения при асимптотическом поведении воспользуемся пористой структурой на основе чистого железа (спекание + компактирование), исследованной в работе [14].

Материал имеет поры технологического происхождения, распределенные равномерно (вариация £(N^1 N" < 0.05 для всех исходных концентраций

N0). Диаметр пор — d0 = 1.50 2.5 мкм — много

меньше фундаментального масштаба упругого псевдоконтинуума (£0 ~ 30 мкм), определяемого из скейлинга рельефа. Константа взаимодействия флуктуаций полей деформации для чистого железа также определяется из статистики рельфа деформации и составляет ш4 = = 0.303 ± 0.09 [12], поэтому для всех концентраций N" справедливо условие асимптотического поведения вто-

рого рода. Диаграмма деформации в истинных координатах аппроксимировалась степенной зависимостью и допускалась возможность экстраполяции в область макрошейки.

Экспериментальные данные (■) в координатах (1п9С(N"))- - N"(1 - N") приведены на рис. 2. Рост величины N0 сопровождается увеличением безразмерного модуля упрочнения 9С(N")’ параметризующего макроразрушение, от 2• 10-3 при N" = 0.003 до 6• 10 3 при N0 = 0.11. Обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов дает зависимость:

(1п 9С( N0))_1 =-(0.160 ± ".0007) -

- (0.395 ± 0.0136) N"(1 - N0).

Экстраполяция к состоянию N0 — 0 (чистая среда) определяет значение 9С (0) = (1.93 ± 0.18)-10-3, что близко к теоретической оценке 9С = 1.66 _-10-3. Угол наклона Ь=0.395 ± 0.0136 также близок к теоретическому значению (5): - Ь = п0а0 + О(Д0) « 0.5 (а0 = 0.5, п = -1).

4. Заключение

Таким образом, построен производящий функционал полей деформации модели нелинейного псевдоконтинуума с локальными неоднородностями — порами или частицами второй фазы. Локальное разрушение определено как скачок поля разрушения на границе структурного элемента. Производящий функционал флуктуаций полей разрушения определен континуальным интегрированием производящего функционала флуктуаций суммарной деформации по полям совместной (упругой + пластической) деформации.

Установлено существование двух типов асимптотического поведения среды с локальными неоднородностями. Для асимптотического поведения первого типа характерна большая дисперсия локальной неоднородности и положительное (либо малое отрицательное) взаимодействие флуктуаций полей деформации, асимптотическому поведению второго рода соответствуют отрицательное взаимодействие флуктуаций полей деформации и малая дисперсия локальной неоднородности. Каждому типу асимптотического поведения соответствует свое условие макроразрушения, определяемое через полюс полной корреляционной функции флуктуаций полей разрушения с бесконечным интервалом корреляций.

Критерий макроразрушения может быть параметризован через безразмерный модуль упрочнения вдоль классической траектории, его величина зависит от дисперсии локальной неоднородности. Для пропорционального нагружения полученные соотношения позволяют определить напряжение и деформацию макроразрушения. Для дельта-коррелированной неоднородности ее дисперсия определяется объемной долей и

“мощностью” П- Для поры п = -1, для частиц обычно | П | < 1, например для зернистого цементита в феррит-ной матрице (модуль Юнга цементита Е=250.. .260 ГПа, феррита Е = 90 ГПа) п = 0.25...0.30. Учет следующих порядков теории возмущений связан с эффектами взаимной корреляции в расположении локальной неоднородности, т. н. кластеризацией. Рассмотрение этих поправок — предмет следующей работы.

Литература

1. ВладимировВ.И., РомановА.Е. Дисклинации в кристаллах. - СПб.:

Наука, 1986. - 223 с.

2. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

3. РегелъВ.Р., СлуцкерА.И., ТомашевскийЭ.Е. Кинетическая природа

прочности твердых тел. - М.: Наука, 1974. - 560 с.

4. Авдеенко А.М., Кузъко Е.И. // ДАН РФ. - 1997. - Т. 355. - № 1. -С. 34.

5. Coima С. Разрушение нагруженных фрактальных деревьев // Фракталы в физике / Пер. с англ. под ред. Я.Г. Синая. - М.: Мир, 1988. -624 с.

6. Forero L.E., Koss DA. // Scripta Met. - 1994. - V. 31. - No. 4. -P. 419.

7. Приезжее В.Б., Терлецкий C.A. // ФТТ. - 1989. - Т. 31. - Вып. 4. -С. 125.

8. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 472 с.

9. Броек В. Основы механики разрушения. - М.: Высшая школа, 1980.- 368 с.

10. Штремелъ М.А. Прочность сплавов. - М.: Наука, 1997. - Ч. 2. -

525 с.

11. Авдеенко А.М. // Известия АН СССР. Металлы. - 1992. - № 2. -С. 64-67.

12. Авдеенко А.М., Кузъко Е.И., Штремелъ М.А. // ФТТ. - 1994. -№10. - С. 31-58.

13. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. - М.: МГУ, 1979.

14. Spitzig WA., Smelser R.E., Richmond O. // Acta Met. - 1988. - V. 36. -No. 5. - P. 1201-1211.