CC BY
308
Метрические характеристики динамических графов и их применение
Кочкаров A.A.
ОАО «РТИ», Финансовый университет при Правительстве РФ, Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Московский физико-технический институт (ГУ), akochkar@gmail. сот
Сенникова Л.И.
Северо-Кавказский социальный институт s-ludhen@yandex. ги
Аннотация. В работе введено понятие динамического графа. Рассмотрены некоторые свойства динамических графов. В работе также продемонстрированы условия сохранения диаметра в траектории динамического графа.
Ключевые слова: динамические графы, динамические сети, сетевые системы, диаметр графа, наследственность сетевые системы, алгоритмы самоорганизации.
1 Определение динамического графа
Понятие динамических сетей (Dynamic networks) [Westaby, 2011] широко используется при изучении сложных структурно-изменяющихся сетей различной природы и происхождения. К динамическим сетям относят и социальные сети [Губанов и др, 2010], и сети связи [Кучерявый и др., 2010; Голдсмит и др., 2012] и коллективного взаимодействия [Шерешева, 2010], и структуры фондовых рынков [Визгунов и др., 2012], и структуры взаимных обязательств межбанковской системы [Georg, 2013]. Не смотря на накопленный эмпирический материал по изучению динамических сетей, еще нет существенных оснований говорить об окончательно сложившейся теории динамических сетей (Dynamic network analysis) или сетевой науки (Network science). Для формирования такой отрасли прикладной науки необходима теоретическая основа. Ядром такой платформы имеет шансы стать зарождающаяся динамическая теория графов, основным объектом которой является динамический граф - модель динамической сети.
Динамический граф Г, как модель динамической сети, представляет собой последовательность «классических» графов G/, не имеющих параллельных ребер и петель, переход между которыми описывается различными теоретико-графовыми операциями <p(G[) = Gl+l (удаление/ добавление ребра [Емеличев и др., 2009], удаление/ добавление вершины [Емеличев и др., 2009], замена вершины затравкой [Кочкаров,
2012], приоритетное присоединение вершин и ребер [Подлазов & Щетинина, 2013] и т.д.).
Операции удаления/ добавления ребра, удаления/ добавления вершины будем назвать простыми или базовыми. Любую другую операцию, которую можно описать чередованием простых операций, будем называть сложными. В общем случае динамический граф представляет собой последовательность конечных невзвешенных (не всегда связных) графов - С^,^,...^,...^^..., в которой переход к последующему графу осуществляется применение операции
<^(67) = Операция, осуществляющая переход, может быть как простой, так и сложной. Для построения траектории динамического графа могут быть использовано несколько (конечное множество) чередующихся
операций Ф = ^ ]. Также в операции может быть определен механизм выбора элементов графа (ребра, вершины, подграфы), над которыми совершается заданная операция. Последовательность графов = (У^Е^, / = 1,2,составляющая динамический граф, будем называть траекторией динамического графа Г.
2 Свойства динамического графа
Следующие ниже очевидные утверждения призваны продемонстрировать применение введенных понятий.
Утверждение 1. Траектория динамического графа Г является бесконечной, если (р{у{) / = 1,2,...,Ь....
Утверждение2. На множестве всех полных «-вершинных простых цепей {Рп}, п> 2, существует динамический граф Г с бесконечной траекторией Р2,Р3,...,Р1,...,Р£,..., у которого операция (р(Р1) = Р1+1, I = 2,3,.определяется как добавление одной вершины, смежной с одной из висячих вершин графа Рг.
Утверждение 3. На множестве всех полных «-вершинных простых циклов {Сп}, п > 3, существует динамический граф Г с бесконечной траекторией С3,С4,...,С/,...,СХ,..., у которого операция <р(С/) - С/+1, / = 3,4,.определяется как удаление одного ребра, и последующим добавлением одной вершины, смежной с обеими висячими вершинами графа Р1.
Утверждение4. На множестве всех полных «-вершинных графов {Кп} существует динамический граф Г с бесконечной траекторией
К1,К2,...,К1,...,К1,..., у которого операция р(К1) = К1+1, / = 1,2,..
определяется как добавление одной вершины и инцидентных с ней (/ + 1)-
го ребра.
Утверждение 5. Если операции перехода <£>(67) = G/+1 динамического графа не использует простую операцию добавления вершины, то динамический граф конечен.
Одним из частных случаев динамического графа является фрактальный граф [Кочкаров, 2012]. Определение фрактального (предфракталъного) графа базируется на сложной операции, называемой замены вершины затравкой (ЗВЗ). Суть операции ЗВЗ заключается в следующем. В данном графе G = (V,E) у намеченной для замещения
вершины v eV выделяется множество V = {vy-}czF, j = 1,2,..., V , смежных ей вершин. Далее из графа G удаляется вершина v и все инцидентные ей ребра. Затем каждая вершина Vj eV, j = 1,2,..., V ,
соединяется ребром с одной из вершин затравки Н = (W, Q). Вершины
соединяются произвольно (случайным образом) или по определенному правилу, при необходимости.
Заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе I = 1,2,...,L -1 графе Gt каждую его вершину затравкой Н, получаем траекторию предфракталъного графа. На этапе 1-Х предфрактальному графу соответствует затравка G1-H. Фрактальный граф Г определяется бесконечной траекторией. Фрактальный граф является бесконечным графом [Уилсон, 1977], поскольку его операция перехода (p(G[) = G/+1 предполагает только увеличение количества вершин Vl и количества ребер Е1 в траектории.
Возможны и другие варианты построения фрактальных графов, когда затравкой замещается не вершины, а ребро [Krön, 2004;Rozenfeld et al., 2012].
3 Диаметр динамического графа
Если в классической теории графов ключевой экстремальной задачей является поиск подграфа (или остова) с заданными характеристиками (например, поиск дерева минимального веса), то для динамической теории графов основная задача - установление связи между решения экстремальной задачи на различных «классических» («стационарных») графах, составляющих динамических граф. Если решения на различных графах сопоставимы по заданным критериям, то можно говорить о свойстве наследственности в классе динамических графов, объединенных общими правилами перехода в образующих их последовательностях графах. Логичным продолжением этой задачи становится задача установление формализованной связи между свойством наследственности и операциями перехода в траектории, образующими динамический граф. В случае установления такой связи можно говорить о программируемой
самоорганизации [Мй^ат, 1967], т.е. получения гарантированных наследственных структурных свойств и характеристик динамических графов.
Лемма 1. Для динамического графа Г, операция перехода
) = Сг/+1, / = 1,2,.которого в траектории определена как присоединение единственной вершины к любой непериферийной [Емеличев и др., 2009] вершине графа Ои диаметр ¿/((7/) = [Емеличев и др., 2009] остается неизменным, если в С1 есть хотя бы она непериферийная вершина.
Следствие 1.1. Для динамического дерева Г, операция перехода #>(/);) = /)/+1, / = 1,2,.которого в траектории определена как присоединение единственной вершины к любой невисячей [Емеличев и др., 2009] вершине дерева Д, диаметр ¿/(Д) = б/(Д) остается неизменным.
Примечание 1.1. Граф в траектории динамического графа Г может быть таковым, что все его вершины будут периферийными. Примером такого графа является полный граф. В такой ситуации применение операции из леммы 1 невозможно.
Теорема 1. Для динамического графа Г, операция перехода <р(С= / = 1,2,.которого в траектории определена как
присоединение новой вершины к любому количеству непериферийных вершин графа С[, диаметр ¿/(С^) > не увеличивается, если в есть хотя бы она непериферийная вершина.
Теорему 1 можно рассмотреть как абстрактное объяснение известной гипотезы Стэнли Милгремом о «шести рукопожатиях» [Мй^ат, 1967]. Суть этой гипотезы заключается в том, что два жителя Земли опосредованно связаны между собой не более чем шестью знакомствами. Эта гипотеза была экспериментально подтверждена для различных социальных сетей [Ахромеева и др., 2013; Митин и др, 2012], т.е. для различных сообществ людей. Структура связей таких сообществ представляется в виде графа, а изменение структуры можно описать простыми теоретико-графовыми операциями. Таким образом, модель роста социальных сетей может быть представлена в виде динамического графа. На настоящий момент не существует строгого аналитического обоснования гипотезы «шести рукопожатий». С точки зрения теории графов граф социальной сети - это граф, значительная часть расстояний между его вершинами находятся около шести. Свойство «шести рукопожатий» социальной сети сохраняется при ее формирования, и эволюции. Поэтому и динамический граф, моделирующий социальную сеть, также сохраняет это свойство в траектории. В идеализированном, упрощенном представлении динамический граф социальной сети должен сохранять свой диаметр в ближайшей окрестности шести. Или упрощая
далее, динамический граф должен сохранять свой диаметр в траектории неизменным. Теорема 1 предлагает простой механизм, гарантирующий сохранение изначального диаметра, но не объясняет, почему гипотеза Стэнли Милгрема основана имена на «шести рукопожатиях».
4 Инженерные приложения динамической теории графов
Идеология и методы динамической теории графов особенно полезны при конструировании командно-информационного взаимодействия подвижных абонентов в сетевых системах [Кочкаров, 2013]. Сетевые системы следует понимать как технические системы, в основе функционирования которых лежать сети. В этом смысле сетевые системы - больше инженерное понятие, чем строгое математическое.
История развития беспроводных сетей показывает, что область применения этого раздела телекоммуникационных технологий расширяется. В настоящее беспроводные сети превосходят проводные аналоги в безопасности, стоимости, устойчивости, функциональности, комфортности применения. Тем не менее, спектр задач, связанный с новыми приложениями беспроводных технологий и беспроводных сетей, устойчиво расширяется. Здесь следует очертить две основных области приложения беспроводных сетей - телекоммуникации и мониторинг. В «больших» системах беспроводные сети могут выполнять одновременно и функции передачи информации, и функции мониторинга.
Особый интерес представляют сети с подвижными абонентами (датчиками, сенсорами). Обеспечение качественной связи в таких сетях -чрезвычайно актуальная задача. Решение этой задачи повысит связность и скорость передачи информации между мобильными абонентами, сократит затраты на наземный сегмент сети за счет маршрутизации и ретрансляции между подвижными узлами. Трудоемкость этой задачи растет с увеличение количества абонентов сети. При этом очевиден тот факт, что наибольшей эффективности работы систем можно добиться при помощи скоординированных действий абонентов сети. В последнее десятилетие в трудах зарубежных и отечественных теоретиков все чаще можно встретить разработки в областях, связанных с совершенно новой концепцией организации действий. Вместе с тем подавляющая часть существующих алгоритмов сетевого взаимодействия имеют очень ограниченную область приложения, по сути, представляя собой конкретные инженерные решения.
Зарождающаяся динамическая теория графов может стать теоретической базой для конструирования алгоритмов командно-информационного взаимодействия подвижных абонентов в сетевых системах. Топология сети подвижных абонентов не может быть строго фиксированной. Более того топология вынуждена претерпевать изменения в силу различных обстоятельств, например, увеличение количества абонентов в сети. Поскольку передача информации в сети зависит от
длины цепочки абонентов, то разумно при увеличении абонентов в сети не допускать увеличение его диаметра при присоединении каждого нового абонента. Это можно сделать, следуя алгоритму, сконструированному в самом тривиальном случае согласно требованиям леммы 1.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-00617).
Список литературы
[Westaby, 2011] Westaby J.D. Dynamic Network Theory: How Social Networks Influence Goal. American Psychological Association, 2011. - 279 p.
[Губанов и др, 2010] Губанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. «сети: модели информационного влияния, управления и противоборства. М.: Физматлит, 2010. - 228 с. [Кучерявый и др., 2010] Кучерявый А.Е., Прокопьев A.B., Кучерявый Е.А. Самоорганизующиеся сети. - С.-Пб.: Издательство «Любавич», 2011. - 311 с. [Голдсмит и др., 2012] ГолдсмитА., МедарМ., ЭффросМ. Самоорганизующиеся беспроводные сети // В мире науки. - 2012. - № 6. - С. 76-81.
[Шерешева, 2010] ШерешеваМ.Ю. Формы сетевого взаимодействия компаний. Курс лекций. - М.: Изд. дом Гос. ун-та - Высшей школы экономики, 2010. - 339 с. [Визгунов и др., 2012] Визгунов А.Н., Гольденгорин Б.И., Замараев В.А., Калягин В.А., Колданов А.П., Колданов П.А., Пардалос П.М. Применение рыночных графов к анализу фондового рынка России // Журнал Новой экономической ассоциации. - 2012. - № 3 (15).-С. 66-81.
[Georg, 2013] Georg С. The effect of the interbank network structure on contagion and common shocks // Journal of Banking & Finance. - 2013.
[Емеличев и др., 2009] Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: УРСС, 2009. - 392 с.
[Кочкаров, 2012] КочкаровА.А. Структурная динамика: свойства и количественные характеристики предфрактальных графов. - М.: Вега-Инфо, 2012.-120 с. [Подлазов & Щетинина, 2013] Подлазов A.B., Щетинина Д.П. Модель роста социальной сети// ПрепринтыИПМим. М.В.Келдыша. 2013. № 95. - 16 с. URL: http://librarv.keldvsh.ru/preprint. asp?id=2013 -95
[Уилсон, 1977] Уилсон Р. Введение в теорию графов. - М.: Мир, 1977. - 208 с. [Krön, 2004] Krön В. Growth of self-similar graphs // J. Graph Theory, 45(3):22Ф-239,2004. [Rozenfeld et al., 2012] Rozenfeld H.D., GallosL.K, SongCh., MakseHA. Fractal and Transfractal Scale-Free Networks. Mathematics of Complexity and Dynamical Systems. Edited by Robert A. Meyers. New York: Springer, 2012. - 1858 p.
[Milgram, 1967] MilgramS. The small world problem// Psychology Today. 1967. №2. P. 60-67.
[Ахромеева и др., 2013] Синергетика и сетевая реальность / Т.С.Ахромеева [и др.] // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2013. № 34. 32 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013-34
[Митин и др, 2012] Митин H.A., Подлазов A.B., Щетинина Д.П. Исследование сетевых свойств Живого журнала // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2012. № 78. 16 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2012-78
[Кочкаров, 2013] Кочкаров A.A. Моделирование структурно-динамических процессов в сетецентрических системах мониторинга // Антенны. - 2013. - № 1. - С. 164-168.
