CC BY
126
Новые задачи динамической теории графов
Кочкаров A.A.
ОАО «РТИ», Финансовый университет при Правительстве РФ, Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Московский физико-технический институт (ГУ), akochkar@ email, com
Рахманов O.A.
ОАО «Ростелеком» ra-oleg @ yandex, ru
Аннотация. В работе описаны ключевые идеи зарождающейся динамической теории графов. Определены некоторые приложения динамической теории графов, как концептуальной основы для моделирования поведения децентрализованных сетевых систем.
Ключевые слова: оптимизационные задачи, наследственность сетевые системы, алгоритмы самоорганизации.
Введение
Понятие динамических сетей (Dynamic networks) широко используется при изучении сложных структурно-изменяющихся сетей различной природы и происхождения. К динамическим сетям относят и социальные сети, и сети связи и коллективного взаимодействия, и структуры фондовых рынков, и структуры взаимных обязательств межбанковской системы. Не смотря на накопленный эмпирический материал по изучению динамических сетей, и опыт использования их свойств при проектировании самоорганизующихся сетей связи с переменной топологией, еще нет существенных оснований говорить о сложившейся теории динамических сетей (Dynamic network analysis) или сетевой науки (Network science). Ядром сетевой науки имеет шансы стать динамическая теория графов, основным объектом изучения которой является динамический граф - модель динамической сети.
Динамический граф, как модель динамической сети, представляет собой последовательность «классических» графов, переход между которыми описывается различными теоретико-графовыми операциями (удаление/добавление ребра, удаление/добавление вершины, замена вершины затравкой, приоритетное присоединение вершин и ребер и т.д.). Если в классической теории графов ключевой экстремальной задачей является поиск подграфа (или остова) с заданными характеристиками (например, поиск дерева минимального веса), то для динамической теории графов основная задача - установление связи между решения экстремальной задачи на различных «классических» («стационарных») графах, составля-
Новые информационные технологии в автоматизированных системах 2014
ющих динамических граф. Если решения на различных графах сопоставимы по заданным критериям, то можно говорить о свойстве наследственности в классе динамических графов, объединенных общими правилами перехода в образующих их последовательностях графах. Логичным продолжением этой задачи становится задача установление формализованной связи между свойством наследственности и правилами перехода между стационарными графами, образующими динамический граф. В случае установления такой связи можно говорить о программируемой самоорганизации [Кочкаров, 2012], т.е. получения гарантированных наследственных структурных свойств и характеристик в динамических сетях.
Идеология и методы динамической теории графов особенно полезны при конструировании командно-информационного взаимодействия подвижных абонентов в сетевых системах [Кочкаров & Рахманов, 2013]. Сетевые системы следует понимать как технические системы, в основе функционирования которых лежать сети. В этом смысле сетевые системы - больше инженерное понятие, чем строгое математическое.
1 Самоорганизация в сетевых системах
Привлекшая большое внимание экспертов и получившая серьезную критику в свой адрес концепция сетецентрических войн основана на применении инженерных достижений уже уходящего технологического уклада [Ахромеева и др., 2013], такие основные принципы проведения сетецентрических операций, как децентрализация, сетевая распределенность и самоорганизация будут иметь фундаментальное значение в будущих военных доктринах, а войны будут вестись «сетевыми системами вооруженных сил». Одной из ключевых составляющих таких сетевых систем, по всей видимости, будут децентрализованные структурно-динамические мобильные сети связи, а их проектирование с учетом командно-информационного взаимодействия является важной научной и инженерной задачей. В качестве дополнительного аргумента важности исследований в области проектирования децентрализованных сетей с динамической структурой связи следует вспомнить дискуссионный вопрос о перспективах (уместнее - сценариях) развития вычислительной техники, и информационных технологий в целом. С одной стороны наблюдается мобильная персонализация, когда вычислительная техника жестко привязана к пользователю и в виртуальном и в реальном мире. А с другой стороны, «мобильная» вычислительная техника приобретает новые равные возможности сетевого взаимодействия без иерархического централизованного управления. А в сетях без иерархического централизованного управления возникает потребность в иных механизмах управления и организации [Ахромеева и др., 2013].
С середины прошлого столетия новые технологические достижения в элементной базе ознаменовывали появление нового поколения
вычислительной техники. Их, как известно, сменилось четыре поколения. Но не смотря на освоения электронной промышленностью на протяжении последних 20 лет новых технологических размеров производства микропроцессор, пока никто не осмелился говорить о новом поколении вычислительной техники. Напротив, прослеживаются альтернативные сценарии развития вычислительной техники, основой которых являются совершенно иные фундаментальные принципы проведения вычислительных операций. Речь идет о квантовых компьютерах и ДНК-компьютерах. Но миниатюризация современной вычислительной техники все-таки направляет развитие в русло сценария новой тягучей «сетевой революции», где принципы структурной (сетевой) самоорганизации на наш взгляд будут играть ключевую роль.
Идеи самоорганизации в сетях связи уже изменили сложившиеся подходы в инженерной науке. В XX веке проектирование сетей связи базировалось на проводных технологиях, что предполагало фиксированность (стационарность, неизменчивость) топологии (структуры) сетей и их централизованность. Повсеместное распространение в XXI веке беспроводных технологий позволило в системах связи отойти от традиционных подходов проектирования, предполагавших «фиксированные» связи и, как следствие, централизацию в иерархии. Децентрализованные мобильные сети связи, приобретя ряд важных качественных характеристик, сформировали целых класс инженерных, модельных и алгоритмических задач. Одной из ключевых задач является задача гарантированной и эффективной передачи информации в децентрализованных структурно-динамических системах.
Фактически основой любого протокола связи в сетевых системах является математическая модель передачи информации в сетях. Только адекватная модель позволяет разработать и обосновать алгоритмы передачи информации. В децентрализованных сетевых системах ни один из узлов (агентов, абонентов) системы не имеет полной информацию обо всей структуре системы, а только располагает информацией о своих ближайших «соседях». Поэтому все взаимодействия между элементами системы проходят в локальной окрестности каждого из них. Суть самоорганизации в децентрализованных структурно-динамических сетевых системах заключается в локальных правилах и алгоритмах взаимодействия, позволяющих решать задачи всей системы [Яцкин, 2013].
2 Применение динамических графов для проектирования сетевых систем
Построение структур с заданными характеристиками появляется там, где требуется объединить элементы, часто различной природы, в целостную функционирующую систему. В настоящее время, в эпоху «больших задач», создание структур с большой размерностью (с большим
Новые информационные технологии в автоматизированных системах 2014
числом элементов), как уже говорилось, имеет особое значение. Проследить за сохранением (или, наоборот, отсутствием) определенных качественных и количественных характеристик при проектировании сложных систем - важная задача. Эта задача усложняется, если структура проектируемой системы регулярно изменяется, то есть обладает свойством динамичности. Именно эта задача встает как первоочередная при проектировании структурно-динамических систем (сетевых) в целом и мобильных сетей связи в частности.
Для решения задач проектирования и моделирования структурно-динамических систем удалось адаптировать особые классы графов «большой» размерности. Это позволяет представлять структурную динамику сетевых систем в виде предфрактальных графов, порождаемых множеством затравок с чередованием [Кочкаров и др., 2004]. Полученные оценки метрических (радиуса, диаметра) и числовых (количество мостов и точек сочленения) характеристик предфрактальных графов при различных сценариях их порождения сформировали основу для теоретико-графового подхода моделирования структурно-динамических систем и наделения их требуемыми характеристиками, инвариантными к изменениям в структуре системы. Известные подходы для решения задачи наделения систем с переменной структурой требуемыми структурными характеристиками, как правило, несут эвристический характер. Подход же, предлагающий использование предфрактальных графов, основан на модельном представлении структурно-динамических систем. Предфрактальные графы обладают особой формой самоподобной иерархии, что позволяет решать оптимизационные задачи на разных уровнях иерархии с «незначительными» временными затратами.
Заключение
История развития беспроводных сетей показывает, что область применения этого раздела телекоммуникационных технологий расширяется. В настоящее беспроводные сети превосходят проводные аналоги в безопасности, стоимости, устойчивости, функциональности, комфортности применения. Тем не менее, спектр задач, связанный с новыми приложениями беспроводных технологий и беспроводных сетей, устойчиво расширяется. Здесь следует очертить две основных области приложения беспроводных сетей - телекоммуникации и мониторинг. В «больших» системах беспроводные сети могут выполнять одновременно и функции передачи информации, и функции мониторинга.
Особый интерес представляют сети с подвижными абонентами (датчиками, сенсорами). Обеспечение качественной связи в таких сетях -чрезвычайно актуальная задача. Решение этой задачи повысит связность и скорость передачи информации между мобильными абонентами, сократит затраты на наземный сегмент сети за счет маршрутизации и ретрансляции
между подвижными узлами. Трудоемкость этой задачи растет с увеличение количества абонентов сети. При этом очевиден тот факт, что наибольшей эффективности работы систем можно добиться при помощи скоординированных действий абонентов сети. В последнее десятилетие в трудах зарубежных и отечественных теоретиков все чаще можно встретить разработки в областях, связанных с совершенно новой концепцией организации действий. Вместе с тем подавляющая часть существующих алгоритмов сетевого взаимодействия имеют очень ограниченную область приложения, по сути? представляя собой конкретные инженерные решения.
В настоящем исследовании сделана попытка адаптации основ синергетической концепции для организации коллективных действий подвижных сетевых систем. Теоретической базой формируемой концепции является динамическая теория графов, основным объектом исследования которой являются графы, претерпевающие изменения основных характеристик (количество вершин, количество ребер, связностные характеристики и т.д.) с течением времени. Поэтому как следствие основной задачей динамической теории графов графов [Кочкаров & Рахманов, 2013] является выявление зависимости изменения различных структурных характеристик конкретного графа от правила изменения связей между его вершинами.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-00617).
Список литературы
[Ахромеева др., 2013] Синергетика и сетевая реальность/ Т.С.Ахромеева и др.// Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2013. - № 34. - 32 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013-34
[Кочкаров и др., 2004] Кочкаров A.A., Салпагаров С.И., Кочкаров P.A. О количественных оценках топологических характеристик предфрактальных графов// Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2004. - Т. 43. -№8.-С. 298-301.
[Кочкаров и др., 2006] Кочкаров A.M., Кочкаров A.A., Никищенко С.П. Структурная динамика и исследование структурно-временных характеристик дискретных систем // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2006. - Т. 58. -№ 3. - С. 235-238.
[Кочкаров, 2012] Кочкаров A.A. Структурная динамика: свойства и количественные характеристики предфрактальных графов. - М.: Вега-Инфо, 2012.-120 с.
[Кочкаров & Рахманов, 2013] Кочкаров A.A. Рахманов O.A. Структурная самоорганизация как основа функционирования сетевых систем // Интеллект и технологии. - 2013. - № 1(5). - С. 42-45.
[Яцкин, 2013] Яцкин Д.В. Алгоритмическая самоорганизация и моделирование децентрализованных мобильных сетей связи// Труды 56-й научной конференции МФТИ. Радиотехника и кибернетика. - М.: МФТИ, 2013. - С. 178-179.
