CC BY
65
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2011 Прикладная теория графов №4(14)
УДК 519.17
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ СВЯЗНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ1
А. А. Кочкаров*, Л. И. Сенникова**
* Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, г. Москва, Россия,
** Ставропольский институт управления, г. Ставрополь, Россия
E-mail: akochkar@gmail.com, s-ludhen@yandex.ru
Работа посвящена исследованию связностных характеристик предфрактальных графов. Получены достижимые оценки для числа точек сочленения и числа мостов предфрактального графа. Свойство самоподобия определяет получение прогнозируемых диапазонов количественных оценок для перечисленных связностных характеристик.
Ключевые слова: самоподобные графы, фрактальные (предфрактальные) графы, сетевые системы, точки сочленения, мосты.
Введение
Развитие глобальных сетей (информационных, социальных, технических) и накопление за последние десятилетия эмпирического материала спровоцировали новый виток изучения сложных многоэлементных сетевых систем [1, 2] и предопределили появление так называемой «сетевой науки» (Network Science) [1].
Если формализовать структуру сетевой системы в виде графа [3], то изменения, происходящие в ее структуре, могут быть описаны простейшими теоретико-графовыми операциями: стягивание ребра, удаление (добавление) ребра, удаление (добавление) вершины. Изменения структуры системы могут быть разовыми, а могут быть постоянными. Для второго случая принято использовать понятие структурной динамики [4]. Несомненно, для описании структурной динамики лучше всего подходит аппарат теории графов.
Одним из наиболее распространенных сценариев структурной динамики является рост структуры. Рост структуры — это регулярное появление новых элементов и связей в структуре системы. Рост структуры может происходить по строго сформулированным правилам, не исключая наличия в них фактора случайности.
Исследование структурной динамики как модели изменчивости связей многоэлементных сетевых систем представляется актуальной задачей.
В работе рассматривается одно из возможных правил, задающих структурную динамику сложных многоэлементных сетевых систем. Формальным представлением изменения структур сетевых систем по этому правилу являются масштабно-инвариантные, или самоподобные [5], графы большой размерности, называемые фрактальными (предфрактальными) [6]. Правила порождения предфрактального графа позволяют прогнозировать его качественные и количественные характеристики, а также оценивать изменение этих характеристик в процессе роста структуры сетевой системы. Доказанные в работе теоремы устанавливают зависимость характеристик всего
хРабота поддержана грантом РФФИ № 10-01-00786-а.
предфрактального графа от характеристик его самой меньшей несамоподобной части— затравки, что позволяет оценить диапазон изменения важных характеристик, относящихся к структурной стойкости сетевых систем [7].
1. Фрактальные и предфрактальные графы
Фрактальные графы [8] используются для моделирования структур, растущих по одним и тем же правилам независимо от точки роста. Не исключается множественный одновременный рост во всей структуре системы. Формальным отражением этих правил является операция замены вершины затравкой (ЗВЗ) [8], она же лежит в основе определения фрактальных графов.
Термином «затравка» условимся называть какой-либо связный граф Н = (Ш^). Суть операции ЗВЗ заключается в следующем. В данном графе С = (V, Е) у намеченной для замещения вершины V Є V выделяется множество V = {vj : і = 1, 2,... , | V|} смежных ей вершин. Далее из графа С удаляется вершина V и все инцидентные ей ребра. Затем каждая вершина Vj Є V, і = 1, 2,... , |V|, соединяется ребром с одной из вершин затравки Н = (Ж, ^). Вершины соединяются произвольно (случайным образом) или по определенному правилу при необходимости.
Предфрактальный граф будем обозначать через Сь = (Уь,Еь), где Уь — множество вершин графа; Еь — множество его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе І = 1, 2,... ,Ь — 1 графе Сі = (Уі,Еі) каждую его вершину затравкой Н = (Ш,(^). На этапе І = 1 предфрак-тальному графу соответствует затравка Сі = Н. Об описанном процессе говорят, что предсфрактлльный граф Сь порожден затравкой Н. Процесс порождения предфрактального графа Сь по существу есть процесс построения последовательности предфрактальных графов С1, С2,... , Сі,... , Сь, называемой траекторией. Фрактальный граф С = (V, Е), порожденный затравкой Н, определяется бесконечной траекторией. Ранг Ь фактически определяет «возраст» (число этапов порождения) и размер (число вершин) предфрактального графа.
Для предфрактального графа Сь ребра, появившиеся на 1-м, І Є {1, 2,... , Ь}, этапе порождения, будем называть ребрами ранга І. Новыми ребрами предфрактального графа Сь назовем ребра ранга Ь, а все остальные ребра назовем старыми.
Если из предфрактального графа Сь, порожденного п-вершинной затравкой Н, последовательно удалить все старые ребра (ребра ранга І, І = 1, 2 ,...,Ь — 1), то исходный граф распадется на множество связных компонент {В^}, каждая из которых изоморфна затравке Н. Компоненты В(1) будем называть блоками первого
ранга. Аналогично при удалении из предфрактального графа Сь всех старых ребер
(2)
рангов І = 1, 2 ,...,Ь — 2 получим множество блоков {В^ } второго ранга. Обобщая, скажем, что при удалении из предфрактального графа Сь всех ребер рангов І = 1, 2,...,Ь — г получим множество {В(гі}, г Є {1, 2,..., Ь — 1}, блоков г-го ранга, где і = 1, 2,... , пь-г — порядковый номер блока. Блоки В^ первого ранга будем называть также подграф-затравками Н предфрактального графа Сь.Очевидно, что всякий блок Вь = (и^", , г Є {1, 2,... , Ь — 1}, является предфрактальным гра-
фом Вг = (иг, Мг), порожденным затравкой Н.
Обобщением описанного процесса порождения предфрактального графа Сь является случай, когда вместо единственной затравки Н используется множество затравок Н = {Н1, Н2,... , Ну}, Т ^ 2. Суть этого обобщения состоит в том, что при переходе от графа Сі-1 к графу Сі каждая вершина замещается некоторой затравкой Н4 Є Н,
которая выбирается случайно или согласно определенному правилу, отражающему специфику моделируемого процесса или структуры.
Термином подграф-затравка г(і) будем называть блок В^, в = 1,... ,пі-1, первого ранга предфрактального графа Сі, І = 1,...,Ь, из траектории. Подграф-затравки г(і) графов С1, С2,... , Сь из траектории предфрактального графа Сь объединим в множество Z(Сь) = {г^і) : І = 1,...,Ь,в = 1,...,пі-1}. В траектории переход от графа Сі-1 к Сі осуществляется |Уі-1| = пі-1 операциями ЗВЗ, поэтому общее число использованных затравок в порождении предфрактального графа Сь равно 1 + п + п2 + ... + пь-1 = (пь — 1)/(п — 1). Тогда мощность множества всех подграф-затравок из траектории графа Сь также равна ^(Сь)| = (пь — 1)/(п — 1).
На рис. 1-3 показана траектория С1, С2, С3 предфрактального графа С3 = (У3, Е3), порожденного затравкой Н = (Ж, ^) —полным 4-вершинным графом (рис. 1). Самыми «жирными» линиями на представленных рисунках изображены ребра подграф-затравки г(1). Линиями средней «жирности» (рис. 2) нарисованы ребра подграф-затравок ^2), 42), ^32) и ^2). И наконец, тонкими линиями (рис. 3) нарисованы новые ребра предфрактального графа С3, которые образуют подграф-затравки г(3), в = 1,..., 16.
А
Рис. 1. Н = (Ш, О)
2. Оценка числа точек сочленения предфрактального графа
Число точек сочленения графа Н = (Ж, ^) обозначим через т(Н).
Теорема 1. Для всякого предфрактального графа Сь, порожденного п-вершин-ной затравкой Н с сохранением смежности старых ребер одного ранга, справедливы верхняя и нижняя оценки числа точек сочленения
т(Н)пь-1 ^ т(Сь) ^ т(Н)пь-1 + ^(Сь)|,
где Z(Сь) —множество всех подграф-затравок предфрактального графа Сь.
Доказательство. Рассмотрим траекторию предфрактального графа Сь, порожденного затравкой Н, имеющей т(Н) точек сочленения. Точкой пересечения старых ребер одного ранга будем называть вершину, в которой сохраняется их смежность. На втором этапе порождения все точки пересечения старых ребер (первого ранга) могут совпасть с точками сочленения затравок и в этом случае т(С2) = т(Н)п, где п — число затравок графа С2. При выполнении условий теоремы меньше чем т(Н)п точек сочленения быть не может. В случае же несовпадения всех точек пересечения старых ребер с точками сочленения затравок число точек сочленения графа С2 определяется равенством т(С2) = т(Н)п + п, поскольку каждая точка пересечения старых ребер является точкой сочленения графа С2. При произвольном размещении смежных старых ребер число точек сочленения графа С2 ограничивается неравенствами т(Н)п ^ т(С2) ^ т(Н)п + п.
Продолжая рассуждения аналогичным образом, на l-м этапе, l = 3,... ,L, порождения в траектории графа Gl получим, что число точек сочленения графа Gl равно m(Gl) = m(H)nl-1 при совпадении точек пересечения старых ребер с точками сочленения затравок. В противном случае, если никакая точка пересечения старых ребер одного ранга не совпадает ни с одной из точек сочленения затравок, а значит, каждая из точек пересечения старых ребер дает по одной точке сочленения для графа Gl, то достигается верхняя оценка, которая равна m(Gl) = m(H)nl-1 + (nl — n)/(n — 1).
При произвольной инцидентности старых ребер с точками сочленений затравок или другими точками сочленения, полученными в результате смежности старых ребер одного ранга, число точек сочленения графа Gl оценивается двойным неравенством m(H)nl-1 ^ m(Gl) ^ m(H)nl-1 + |Z(Gl)|, l = 1,..., L. ■
3. Оценка числа мостов предфрактального графа
Число мостов графа H = (W, Q) обозначим через k(H).
Теорема 2. Для всякого предфрактального графа Gl, порожденного затравкой H, справедливы верхняя и нижняя оценки числа мостов
k(H) ^ k(GL) ^ k(H)|Z(Gl)I,
где Z(Gl) —множество всех подграф-заставок предфрактального графа GL.
Доказательство. Рассмотрим траекторию предфрактального графа GL, порожденного затравкой H = (W, Q). На затравке H = (W, Q) выделим мост e = {v1, v2} Є Q, удаление которого приводит к разделению затравки на две компоненты. На втором этапе порождения предфрактального графа Gl, после замещения всех вершин затравки, выделенное ребро (уже старое ребро 1-го ранга) e = {v/ , v2} Є E2 случайным образом соединит вершины двух подграф-затравок предфрактального графа G2 = (V2, E2). Но удаление ребра e приведет к разделению графа G2 на компоненты, поскольку мост e Є E2 — единственная цепь, соединяющая концы ребра e, независимо от того, какие вершины (v1 Є W и v2 Є W или же v/ Є V2 и v2 Є V2) она соединяет. Из этих рассуждений вытекает, что все мосты затравки H остаются мостами на всей траектории графа Gl , поэтому число мостов предфрактального графа Gl не меньше числа мостов затравки H : k(GL) ^ k(H ).
Рассмотрим произвольный предфрактальный граф G* = (VJ*,E*), l = 2,...,L, выделим на нем подграф-затравку H = (W, Q), которая, в отдельном от графа виде, имеет k(H) мостов. Возникает вопрос, останутся ли мостами для графа G* ребра, являющиеся мостами в отдельно взятой затравке H ? Пусть при удалении моста e* = {v*,v*} Є Q затравка H распадается на две компоненты H/ = (W/,Q/) и H// = (W//,Q//). Значит, для того чтобы ребро e* Є Q перестало быть мостом в графе G*, достаточно, чтобы подграфам H/и H// были инцидентны хотя бы по одному старому ребру (l — l) -го ранга, тем самым нейтрализуя мост e* и сохраняя связность графа G* при удалении ребра e*.
Если старые ребра (l — l) -го ранга сохраняют смежность, то ребро e* будет мостом и для всего графа G*, поскольку при его удалении связность предфрактального графа G* нарушается.
Теперь ясно, что число мостов k(GL) предфрактального графа GL, порожденного затравкой H, зависит от того, как часто сохраняется смежность старых ребер графа Gl. Если старые ребра (l — 1)-го ранга предфрактального графа Gl, l = 2,..., L, из траектории предфрактального графа Gl подходят к подграф-затравкам таким образом, что каждый из k(H) мостов образует с какими-либо двумя из старых ребер одного
ранга простую цепь, то мосты отдельно взятой затравки не будут мостами графа G¿, так как при их удалении из подграф-затравки H компоненты, на которые должна была бы распасться отдельная затравка, будут инцидентными старым ребрам, сохраняя этим связность самого графа G¿. В случае выполнения этого правила для всех графов G¿, l = 2,... , L, из траектории предфрактального графа Gl получим, что все мосты затравок, появляющихся в процессе порождения графа Gl, нейтрализуются старыми ребрами, кроме тех k(H) мостов, которые существовали изначально в графе Gi = H, поскольку для этих мостов не существует старых ребер меньшего ранга. Отсюда следует, что нижняя граница числа мостов графа Gl определяется неравенством k(GL) ^ k(H).
Для нахождения верхней границы достаточно рассмотреть случай, когда в пред-фрактальном графе Gl сохраняется смежность старых ребер любого ранга. Действительно, при сохранении смежности старых ребер (l — 1)-го ранга предфрактального графа Gi, l = 2,...,L, все старые ребра, подходящие к затравке H, будут смежны одной из компонент, полученных при удалении одного из мостов. Следовательно, все k(H) мостов затравки H останутся мостами и в графе G¿. Учитывая, что в G¿ число затравок равно nl-1 (n — число вершин затравки H), замечаем, что число его мостов по сравнению с графом G¿-1 увеличится на nl-1k(H):
k(Gi) = k(H), k(G2) = k(H) + nk(H), ..., ВД) = k(H)(nl — 1)/(n — 1).
При произвольном построении фрактального графа Gl число его мостов ограничивается неравенствами k(H) ^ k(GL) ^ k(H)|Z(Gl)|. ■
Заключение
Для проведения анализа работоспособности всякой сетевой системы, имеющей сложную изменяющуюся структуру, необходимо моделировать динамику самих изменений в структуре. Это позволяет анализировать изменения важных для сетевой системы связностных характеристик, к которым относятся число точек сочленения и число мостов. В качестве инструментария моделирования структурной динамики можно рассмотреть многие подходы. Процесс порождения предфрактальных графов, несомненно, является сильно ограниченным с точки зрения описания всех возможных сценариев роста структуры сетевой системы, но обладает возможностью прогнозирования изменений характеристик. Основная цель настоящей работы — продемонстрировать возможность получения прогнозируемых диапазонов количественных оценок для различных характеристик предфрактальных графов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Евин И. А. Введение в теорию сложных сетей // Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2. №2. С. 121-141.
2. Newman M. E. J. Networks: an introduction. New York: Oxford University Press, 2010.
3. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
4. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Р. М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов. М.: Наука, 2006.
5. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
6. Мелроуз Дж. Иерархические фрактальные графы и блуждания на них // Фракталы в физике. М.: Мир, 1988. С. 519-523.
7. Кочкаров А. А., Малинецкий Г. Г. Моделирование распространения внешних воздействий по структуре сложной системы // Матем. моделирование. 2006. Т. 18. №2. С. 51-60.
8. Кочкаров А. А., Кочкаров Р. А. Параллельный алгоритм поиска кратчайшего пути на предфрактальном графе // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. №6. С. 1157-1162.
