CC BY
0Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДВУКРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ ПО ИНЖЕНЕРНЫМ СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ
Хуррамов Ёдгор Сафарали ртли Национальный исследовательский университет «Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства» Ассистент кафедры высшей математики Email: yxurramov94@mail.ru
АННОТАЦИЯ
Во многих разделах математики сталкиваются с проблемами, связанными с интегралами от функций многих переменных и очевидна важность изучения вычисления и применения кратных интегралов.
В теории кратных интегралов, как и в теории определенных интегралов, существуют такие понятия, как существование интеграла, его свойства, вычисление интеграла, применение интеграла. Следует отметить, что если в определенных интегралах интервал интегрирования состоит из отрезков в Р-пространстве, то кратные интегралы интегрируются по областям соответствующего пространства. Разнообразие таких областей затрудняет изучение кратных интегралов и приводит к дифференцированию кратных интегралов. Самым простым из кратных интегралов является двойной интеграл.
В работе исследуются прикладные аспекты двойных интегралов. Известно, что задача о площади криволинейной трапеции приводит к простому определенному интегралу. Точно так же задача о площади поверхности и объеме цилиндрического тела может быть вычислена с помощю двойного интеграла по области.
Эта статья дает представление о том, как вычислить геометрические и механические задачи с помощью двойных интегралов. В работе приводятся понятия, способствующие обогащению математических знаний молодых инженеров, получивших образование в политехнической сфере, а также повышению их профессиональных знаний и навыков по специализации. Формирование математической компетентности студента важно с точки зрения достаточности математических знаний для расчета различных типов поверхностей, определения объема и плотности объектов. Приведены формулы для расчета объема объекта сложной формы.
о
feR
Research BIB / Index Copernicus
Ключевые слова: инженерная специальность, математическая компетентность, двукратный интеграл, область интегргирования, порядок интегрирования, механическая, геометирическая интерпретация.
ВВЕДЕНИЕ
Сегодня, в процессе глобализации, мы видим взаимозависимость науки и общества во многих социальных и технических областях. Теории, изучаемые в фундаментальных науках, служат основой любого изобретения [1-5]. В то же время, несмотря на то, что последовательность тем дисциплины "Высшая математика" для студентов политехнического факультета составлена в соответствии с квалификационными требованими по техническим специальностям, на занятиях преподаватели зачастую ограничиваются теоретической частью преподносимой темы.
Решением такой проблемы может служить подход, когда профессор -преподаватель, преподающий математику, по мере возможности, исходя из выбранной студентом области обучения, должен поднимать насущные практические вопросы по предмету, пояснять их на лекциях и задавать по ним домашние задания для самостоятельного образования [2].
Будущий инженер-техник должен хорошо разбираться в математике. Например, тема «Специальные решения двойных интегралов» с точки зрения теоретической математики выражает расчеты поверхностей и объемов объектов различной формы, встречающихся в различных областях. Инженер, владеющий такой теорией, может добиться успехов в различных аспектах своей деятельности, например, он может освоить навыки по определению технического состояния используемого оборудования, контроля качества выпускаемой продукции и т.д. [1]
В этой связи в данной работе, рассмотрены некоторые специальные решения двойных интегралов как средство приобретения инженерных навыков путем применения математической теории в практических областях. 2. Основные понятия двукратных интегралов
Допустим, что область D ограничена простой линией L и в ней задана функция /О, у).
Разделим область D на п частей Dv D2,D3,... .,Dn с помощью сети любых простых линий. Обозначим соответственно через Д51у Д52, A53j ...., Д5П их площади, а их диаметры соответственно через d1d2id3,....,dn , введем обозначение Л = max dk/ (k = 1,2,...., п) [9, 10].
Из каждой области Dk выберем точку (?te,J7fe) и вычислим /rjk).
о
R
Research BIB / Index Copernicus
Эта сумма зависит от того, какой будет область и как будет выбрана точка «fc^fc)-
Если конечный предел / = л им сгп не зависит от разделения области и выбора точки (^iJii:), тогда / называют двукратным интегралом взятым из функции fix, у) по области D и обозначают как JJ- f(x, y)dxdy . Таким образом, согласно определению
Если для функции fix,у) существует интеграл JJ- f(x, y)dxdy то функция f (х, у) называется интегрируемой на D и записывается как
Приведем важные свойства двукратного интеграла [11-16].
1. Цр \idxdy = ¡1Б, где С - площадь области О, ¡л- любое число, в частном
случае dxdy = 5 (/л = 1) .
2. Если f{x,y) £ К{0) и ¡1 — любое число, тогда имеем
3. Если fix, у) £ R(D),g(x,y) ё тогда имеем
4. Если D = Dx и D2 и fix, у) ё R(D), тогда имеем
5. Если fix,у) ё R(D),<p(x,y) Е R(D) и для каждой точки D
, тогда справедливо
6. Если для fix,у) Е R(D) и каждой точки D справедливо т < fix,у) << М, тогда mS < jj— f(x,y)dxdy < М S.
7. Если fix,у) t R(D) и функция fix,у) непрерывна на D , т.е. fix, у) ё ё С (D), тогда на D найдется как минимум одна такая точка
rj), что JJ5 fix,y)dxdy = Sfi^,rf). Это выражает теорему о среднем значении.
Я- fix, y)dxdy = лим У^/^л?,)^. (2)
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
тогда
справедливо
неравенство
8. Если /(x,y)etf(D)
.
3. Вычисление двукратного интеграла в прямоугольной области
Предположим, что заданная функция /(х,у) ограничена в прямоугольнике Р = {(*; у): a < х < b; с < у < d] . Далее допустим, что для каждого у Е [с; d] существует интеграл ¡^ f (x,y)dx. Тогда на отрезке [c,d] будет определена какая-либо функция (р(у)
Допустим, что существует интеграл
Интеграл справа называется повторным интегралом. Таким же образом можно определить интеграл
(4)
В результате справедливо следующее равенство [7]: Пример 1. Вычислить интеграл:
с1хс1у
а,
Интеграл путем:
Р (;е+;у+5)2
можно
решить
следующим
Этот же интеграл можно вычислить следующим образом:
Результат одинаков, однако вычисления показывают, что порядок интеграла может привести к упрощению решения и порядок интеграла целесообразно выбирать в зависимости от подинтегральной функции [4].
В некоторых задачах приходится интегрировать гармонические функции. Пример 2. Вычислить интеграл:
О5 у сос(2л\') ахау,
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
Для начала интеграл можно вычислить следующим путем:
Вычисление внутреннего интеграла по частям будет иметь вид: J^ycocCZxy) dy = [и = у; du = dy; dv = coc(2ry) dy; v = sin2xy ] = j^sin(2xy)\%rS„ --^}*SnCHu(2xy)dy = ^(син(2тгх) -^simix) +
4x2
(cos2ttx — cosnx)
Если подставить найденную функцию во внутренний интеграл, то получаются
г бггшх , г сос(тг*:)
интегралы вида |-dx и J
d.x. В этом случае получились интегралы,
х"
которые не выполняются в классе элементарных функций. Сменив порядок интегрирования получим решение в классе элементарных функций:
Кроме того, как видно, смена порядка интеграла способствует упрощению и ускорению нахождения решения.
4. Вычисление двукратного интеграла в криволинейной области
Предположим, что функция /(х,у) задана в области С, ограниченной прямыми х=а , х = Ь, у = (р{х),у = ф{х). Тогда уместна формула
(6)
Аналогично, если область ограничена линиями
, тогда уместна формула
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
Применение формул (6) или (7) зависит как от вида функции f(x•! у), так и от вида области. Если область б не удовлетворяет вышеуказанным условиям, тогда область С надо будет разбить на соответствующие части.
Пример 3. Вычислить (2х2 + 3у)(1х<1у, где 0 область, ограниченная параболами у = х2 и х = у2. Точки пересечения парабол (0;0) и (1;1). Один из способов решения рассматривает внешний интеграл по I, т.е применение формулы (6):
В другом случае применяется формула (7), т.е. рассматривается внешний интеграл по й:
В результате имеем одинаковый ответ, что доказывает уместность формул (6) и (7). Выше было отмечено, что важность выбора порядка вычисляемого интеграла увеличивается при подинтегральных функциях, приводящих к интегралам, невыполняемым в классе элементарных функций.
В следующем примере иллюстрируется применение свойства двукратного интеграла о возможности объединения задаваемых областей двукратных интегралов в криволинейной области.
Пример 4. Упростить вычисление путем объединения области задания интегралов.
Решение. Пусть области С1 и С2 области первого и второго интегралов соответственно. Для начала очертим область затем С2.
С2 ={0; у); —< х < 0, 0 < у < 2 — \'4 - х2}.
Из очерченной формы видно, что область интеграла будет следующей:
ии .
С ={(*; У): о < у < 1, £Г(У) < х < /?(у)}; Таким образом
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
5. Механическая и геометрическая интерпретация двукратного интеграла
Механическая интерпретация двукратного интеграла заключается в следующем. Если плотность плоской пластины равна р(х; у), тогда ее масса
находится по формуле т = //- р (х; у)йхйу , статические моменты относительно осям координат плоской пластины равны [9-11]:
Моменты инерции по координатным осям плоской пластины и относительно полюса выражаются в виде
Координаты центра тяжести плоской пластины
р{х,у)йхйу _ _ ИВу р{х,у)йхйу
X,
у
Яд p(x,y)dxdy ' с Jj- p(x,y)dxdy
Пример 5. Найти массу м и статические моменты Sx, Sy фигуры ограниченной первой четвертью эллипса + = 1 и осями координат.
Плотность поверхности pi = кху, к — const. Решение.
Статические моменты пластинки: ykxydxdy = к J2 xdx f
î—
y2dy = »• =i-k
'D
15
Яп
1—
хкхуахау = к {,., х^ах к ' уау = = [15]
Пример 6. Найти массу неоднородной плоской пластинки, ограниченную линиями у = х2; х = 0; у = 1. Плотность поверхности равна вторичности координаты точки, отсчитываемой от оси оу. Решение.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
Имеем область:
D =
О < х < 1; 2 < у < 1. По условию задачи у = 2х. Тогда
Пример 7. Найти массу неоднородной пластинки ограниченную линиями (х — 1 )2 + у2 = 1, (х — 2)2 + у2 = 4. Плотность пропорциональна расстоянию от начала координат к каждой точке.
Решение. Рисуем фигуры Д. Фигура ограничена двумя окружностями. Перейдем к полярой системе координат:
х = рс осф, у = рсин<р,
Плотность у = у]х2 + у2 = р. Граница рассматриваемой поверхности:
Тогда решение задачи о фигуре находится следующим образом:
В некоторых случаях фигура может хранить и отрицательные координаты, в таких случаях эта часть области заменяется положительными координатами.
При геометрической интерпретации двукратный интеграл по неотрицательной функции f{xfy) по области О выражает объем тела, ограниченного снизу плоскостью 2 = 0 , сверху поверхностью г = [(х; у) и боковой цилиндрической поверхностью, основанием которой является граница области О [6].
Пример 8. Найти объем тела, ограниченного заданными плоскостями х=2 и й=2, параболоидой х2 + 2у2 + г = 16 и тремя плоскостями координат.
Решение. Рассмотрим случаи, когда С является твердым телом, лежащим под поверхностью г = 16 — х2 — 2у2 и входящим в квадрат
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
Воспользуемся двукратным интегралом.
Твердое тело в примере иллюстрируют объем и определения двукратных интегралов, соединяющихся суммой Римана через (м) = (н) = 24 столбца.
(а)т = п = 4, V - 41,5; (6) т = п = 8, V - 44,875; (с) т = п = 16, V ж 46,46875.
Рис. 2. Объем тела при различных параметрах суммы Римана.
Research BIB / Index Copernicus
По иллюстрациям можно проследить как с увеличением (м) и (н) изображение тела приближается к реальной форме.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в данном исследовании показано, что подобно нахождению поверхностей кривых криволинейной трапеции путем приведения к простым определенным интегралам, можно получать упрощенные методики решения задач о поверхности и объеме цилиндрических тел, выражаемых двойными интегралами путем приведения их к определенным интегралам. Кроме того на практике вычисления интегралов часто встречаются случаи сложных подинтегральных функций, приводящих к интегралам, нерешаемым в классе элементарных функций. Методики изменения порядка интегрирования, объединения областей интегрирования, приведенные в данной работе, помогают преодолеть проблему нерешимости таких интегралов.
Отметим, что усвоение свойств двойного интеграла полезно также при вычислении поверхностей и объемов фигур с гладкими сферическими поверхностями и в целом при изучении трехмерных объектов.
В связи с этим, учитывая, что для студентов, обучающимся инженерным специальностям дисциплина математики, несмотря на сложность ее восприятия у неспециалистов, важна для освоения практических навыков по профессии, можно утврждать, что представленные в работе способы применения двумерных интегралов направлены на более качественное формирование математической компетентности у будущих инженеров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ (REFERENCES)
1. Казачек Н. А. 2010, Математическая компетентность будущего учителя математики // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. - №. 121. - с. 45-56.
2. Иляшенко Л. К., Мешкова Л. М. 2014, Понятийное поле компетентностного подхода: компетентность, компетенции, математическая компетентность, профессиональная компетентность // Глобальный научный потенциал. - №. 3. - С. 36.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. 1985, Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука,- с. 163-170, 175-185.
4. Федоров Д. Л. 2016, О двойном интеграле Римана-Стилтьеса //Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - Т. 26. - №. 3. - С. 366-378.
Research BIB / Index Copernicus
5. Фихтенгольц Г.М. 2009, Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3 т. Т. 2. - 9-е изд. СПб.: Лань, 800 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная книга).
6. Дерр В.Я. 2008, Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения. М.: Высшая школа, с. 384.
7. Гусейнли А. А., Мирзабалаева А. И. 2018, Эквивалентность базисности двойной системы экспонент к корректной разрешимости задачи Римана//Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Материалы Международной научной конференции. В 2-х томах. - с. 268-270.
8. Савельев Л. Я. 2014, Элементы теории пределов (интеграл Римана)//Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Педагогика. - Т. 15. - №. 2. - С. 5-26.
9. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. 2015, Курс математического анализа М.: «БИНОМ» - 245 стр.
10. Фихтенгольц Г.М. 1970, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1, 2, 3 т. М.: «Наука». - 270 стр.
11. Бруй И.Н., Гаврилюк А.В и др. 1991, Лабораторный практикум по математическому анализу. - Минск.: Высшая школа, 178 стр.
