Методы решения уравнений четвертой степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 37.016:51

Татьяна Александровна Оболдина, Полина Евгеньевна Кед

г. Шадринск

Методы решения уравнений четвертой степени

Авторы статьи рассматривают один из важных вопросов алгебры - уравнения четвертой степени и методы их решения, более подробно описывая два метода: метод Феррари и метод Декарта-Эйлера. В первую очередь рассматривается исторический аспект и основные принципы решения уравнений четвертой степени. Далее подробно описан метод Феррари, основанный на приведении уравнения к квадратному уравнению. В статье также описан метод Декарта-Эйлера, основная идея которого сведение к решению кубического уравнения и комбинаторному перебору корней, с учетом знаков и различных их переборов. Этот метод позволяет эффективно и компактно решать уравнения четвертой степени по сравнению с методом Феррари. После теоретических аспектов данной темы авторы демонстрируют рассмотренные методы на конкретных примерах.

Ключевые слова: уравнения четвертой степени, метод Декарта-Эйлера, метод Феррари.

Tatyana Alexandrovna Oboldina, Polina Evgenievna Ked

Shadrinsk

Methods for solving the fourth-degree equations

The authors consider one of the important questions of algebra - the fourth-degree equations and methods of their solution, describing in more detail two methods: the Ferrari method and the Descartes-Euler method. First of all, the historical aspect and the basic principles of solving the fourth-degree equations are considered. Then, the Ferrari method is described in detail based on reducing the equation to a quadratic equation. The article also describes the Descartes-Euler method, the main idea of which is to reduce to solving a cubic equation and combinatorial enumeration of roots taking into account signs and their various iterations. This method makes it possible to solve the fourth-degree equations efficiently and compactly compared to the Ferrari method. After the theoretical aspects of this topic, the authors demonstrate the considered methods with specific examples.

Keywords: the fourth-degree equations, the Descartes-Euler method, the Ferrari method.

Уравнения четвертой степени и методы их решения представляют собой важный аспект в области математики, привлекающий внимание математиков на протяжении столетий. В отличие от уравнений низших степеней, решение уравнений четвертой степени представляет собой более сложную задачу из-за отсутствия общего алгебраического метода.

В конце XV - начале XVI веков наступил период бурного развития математики, исследователи начали разрабатывать различные методы решения уравнений. Именно в это время важную роль сыграли такие итальянские математики, как Джероламо Кардано и Лодовико Феррари, внесшие значительный вклад в изучении теоретических и практических вопросов решения уравнений четвертой степени [2].

Известный математик Лодовико Феррари ещё в XVI в. описал решение уравнения четвертой степени. Это решение было основано на преобразовании исходного уравнения в два квадратных. Хотя это метод был эффективным, он требовал доработок и

усовершенствований [6]. В XVII в. французский математик Рене Декарт и швейцарский математик Леонард Эйлер разработали иной способ решения уравнений четвертой степени, который в настоящее время называют методом Декарта-Эйлера.

Данный метод основан на замене переменных и приведении его к кубической форме. Этот метод позволил эффективно и менее трудоёмко получить решение уравнения четвертой степени по сравнению с первым рассматриваемым методом [8].

Рассмотренные методы решения уравнения четвертой степени достаточно трудоёмки и сложны и, на основании этого, их лучше демонстрировать в старших классах т. к. учащиеся имеют уже все основные знания по алгебре и способны изучить более сложные математические выкладки.

Рассмотрим в общем виде уравнение четвертой степени:

а0х4 + а^3 + а2х2 + а3х + а4 = 0, (1) где а0, а, а2, а, а - некоторые действительные числа, где а0 ^ 0.

Опишем, в чём заключается метод Феррари.

Данный метод состоит их двух этапов.

На первом этапе исходное уравнение (1) представляют как уравнение четвертой степени, не содержащее членов с третьей степенью.

На втором этапе, уже полученное уравнение решают, используя разложение на множители [7].

Так как старший коэффициент а0 ^ 0, то разделим на а0 уравнение (1):

х4 + ах3 + Ьх2 + сх + ё = 0, (2) где а, Ь, с, ё - некоторые действительные числа.

В полученном уравнении х4 + ах3 + Ьх2 + сх + ё = 0 (2) выполним замену

а _ ч х = ^ —, (3) 4

где 2 - новая переменная [4].

Выполним преобразования, подставив выражение в уравнение. В результате получим неполное уравнение четвертой степени относительно 2 .

(

2 4 + 2 2

Ь -

3а 8

2 Л ( „3

+ 2

а3 аЬ

---+ с

8 2

^ 3а4

а2Ь са

у

--+ ё = 0 . (4)

256 16 4

Снова введем новые обозначения коэффициентов:

, , 3а2 а3 аЬ 3а4 а 2Ь са 7

I = Ь--, т =----ь с, п =---1-----ь а ,

8 8 2 256 16 4

И получим уравнение 24 + ¡2 2 + т2 + п = 0, (5)

где ¡, т, п - некоторые действительные числа.

Выполним ещё преобразования, прибавляя и вычитая к левой части уравнения (5)

выражение

2/22 + г2,

где г - некоторое число. Из (5) получим

24 + ¡2 2 + т2 + п = 24 + 2/2 2 + г2 +(1 - 2г)22 + т2 + п - г 2 =

= (22 + г)2 +(1 -2г) 22 + 2•

т2

т2

2(1 - 2г) у

т2 ^

= (22 + г)2 + (1 - 2г) 22 + 2 • , . ..

1 ; v \ 2(1 - 2г) 4(1 - 2г)

+ п - г2 =

+ п - г2 -

т

4(1 - 2г )2

= (г2 + г )2 +(/ - 2гЬ

+ -

Ш.2

\ 2(1 - 2г )У

В итоге уравнение (5) можно записать в виде:

+ п - г2 -

т

(г2 + г )2 + (/ - 2г)

г + -

тг

+ п - г2 —

т

4(1 - 2г )2 ' = 0. (6)

2(1 - 2г )у ' 4(/ - 2г )2 Заметим, что выбирая число г необходимо, чтобы оно было решением уравнения

п - г2 -

т

4(/ - 2г )2

= 0, (7)

При этом уравнение (6) примет вид

(г2 + г )2 + (/ - 2г Ь

+-

тг

= 0. (8)

\ 2(/ - 2г )у

Преобразуем ещё раз уравнение, освободившись от знаменателя

т

2г - /г - 2пг+п/--= 0 (9)

4 4 7

Получили кубическую резольвенту уравнения четвертой степени (5).

(г2 + г) + (/ - 2г)

т

2(/ - 2г)у

^(г 2 + г )2-(/ - 2г Ь-

т

\ 2(/ - 2г X

г

(г2 + г)2 - гл/2г-/-■

г2 -г

^ (г + г) - гл

V

т

т

2427-1

= 0

= 0

= 0

-г л/2г - /

Л ^

+

2л/2г - /

+ г

у

г2 + 2г-/ --

т

Итак, для решения уравнения (8) необходимо решить два квадратных уравнения

2 гг—7 т

г - - г V 2г - / +

2л/2г - /

2л/2г - / ва

+ г = 0, (10)

+ г

= 0.

у

г +

л/2г - /--

т

■ + г = 0. (11)

2л/2г - /

В результате исходное уравнение четвертой степени решается как последовательное решение одного кубического и двух квадратных уравнений. Продемонстрируем на примере данный метод.

Пример. Решить уравнение х4 - 2х3 + 2х2 + 4х -8 = 0 (13). Решение.

В исходном уравнении (13) произведём замену по формуле (3) и выполним подстановку

х = у +1 (14);

х4 - 2х3 + 2х2 + 4х - 8 = Г у +1'! - 2\у +1'! + 2\у +1'! + 4^у + £|-8 =

4 1 2 с 91

= у +-у + 5 у--.

2 16

Получим уравнение

2

2

2

2

2

2

у4 +1 у2 + 5у - 91 (15). 2 16

Коэффициенты уравнения (15) равны:

, 1 91

I = —, т = 5, п =--(16).

2 16

Кубическая резольвента для уравнения (15) имеет вид:

„ 3 1 2 91 291 |

2г3 — г2 +—г--= 0:2;

2 8 32 1

3 1 2 91 291

г3 — г2 +—г--= 0. (17)

4 16 64

Найдём корни уравнения гх = 3 , г2 = - ^ + 46г, гз = -^ - л/б/.

2 13

Подставим значения (16) и ^ в формулу (10) и получим уравнение у - у + — = 0 , а

затем его корни

=2 + л/3/, у2 =2 -л/3/ . (18)

ух 2 ... 2

Затем аналогичным способом получим уравнение

2 7 ~ у + у— = 0,

4

которое имеет корни

-1 + 242 -1 - 2л/2 ,1П.

у3 =-^2—, у4 =--2—. (19)

Используя формулу (14), найдём корни уравнения (13) из (18) и (19):

х = 1+л/э/, х2 = 1 -у/31, х3 = 42, х4 = -42. Ответ: 1 + 43/, 1 -43/, 42, -42.

Рассмотрим второй метод решения уравнений четвертой степени - метод Декарта-Эйлера. Суть метода состоит в том, что необходимо исходное уравнение преобразовать в

а

неполный вид х + ах + Ьх + с = 0 с помощью замены х = у — [3].

4

Пусть корнем уравнения будет сумма трех чисел

х = ух + у2 + у3 ,

тогда выполним замену.

(у1+у 2+у3 )4+а(ух+у 2+У3 )2+Ь(уг+у 2+у3 )+с=0;

Ы + у2 + у32 + 2(у1у2 + у^.^3 + у2у3 ))2 + а(у12 + у2 + у32 + 2(у1у2 + у^.^3 + у2у3 )) +

+Ь(ух+у 2+У3 )+с = 0;

(у2 + у2 + у2) + 4(уху2 + у1у3+у 2 у3 Хух2 + у2+у2)+ 4(уху2 + уху3 + у 2 у3 )2 +

+ а(у2 + у2 + у3)+ 2а(у1у2 + у^.^3 + у2у3)+ь(У1 + у2 + у3)+с = 0; (у1 + у2 + у32 ) + 4(у^.^2 + у^.у3 + у 2 у3 Ху!2 + у2 + у2 )+ 4(уХ2 у22 + у12 у32 + у2 у32 )-

(?! + у2 + у3 ) + 4(у^.^2 + у^.у3 + у2у3 М + у2 + у3 )+ 4(ух у2 + ух у3 + у2у3 ) + + ^у^у2у3 (ух + у 2 + у3а(ух2 + у22 + у322а(у^у2 + у^у3 + у 2 у3 )+ + Ь(ух + у2 + у3)+с = 0 .

Сгруппируем

)+

+ 4

(у2 + у2 + уз2 Т + (у^-у2 + у^.уэ + у2уз Х4(у2 + у22 + уз2)+ 2а)"

- 4(у2 у2 + У2 уз2 + У2 уз2 )+ (у1 + у2 + уз Х8У1У2 уз + ъ) + «(у2 + у2 + уз2 )+ с = 0.

Предположим, что 8 у1у2у3 + Ь = 0 и 4(у2 + у^ + у^ )+ 2а = 0. Тогда уравнение запишется в виде системы уравнений:

8 уу уз + Ь = 0

4(у2 + у2 + уз2 )+ 2а = 0 ;

.(у2 + у2 + уз2 ) + 4(у2 у2 + у2 уз2 + у2 уз2 )+ а(у2 + у2 + уз2 )+ с = 0

у^уз =

2 2 2 у + У 2 + уз =

а

«! + 4(у:2У2+У^УЗ2+У2УЗ2 )+«Г- а!+с=0

уу уз =

2 2 2 у у2 уз =

64

а

[5].

у + у 2 + уз =

2 2, 2 2, 2 2 у:У2 + УУЗ + У2 УЗ =

а - 4с 16

Используя теорему Виета, получим кубическое уравнение

у3 + ау2 +а - 4с)у - ^ = 0 (12) [1].

2 16 64

Тогда:

х

1,2,3,4 =±У1 у1 ±Л/ у2 ±Л/ УЗ

(± Ту Х+ Л/у2 Х± 47з ) = - Ь

где у, у2, у3 - корни уравнения (12).

Продемонстрируем метод Декарта-Эйлера на примере. Пример. Решить уравнение х4 - х3 - 4х2 - х +1 = 0 (14). Решение.

Приведем уравнение (14) в неполный вид, выполнив замену:

а -1 1

х = у-- = у —- = у + ■

4

Подставим это выражение в уравнение:

4

/+41 -

у+-4

/+41 -

4

у+-1+1 = 0

и получим неполное уравнение

у'

4 35 2 25

-у

у +125 = 0 (15). 8 256

Ь

8

2

Ь

8

2

Ь

<

2

2

1

Допустим, у = 2 + 22 + 2 .

Тогда

/ \4 35 / \2 25 / \ 125

(2х + 22 + 23 ) ^(2х - 22 + 23 ) ^(2х - 22 + 23 )+^7 = 0 .

8 8 256

2 3 1 2 3

После преобразований, данное уравнение будет принимать вид

(2!2 + 222 + 23 ^ + (2х22 + 2х23 + 2223 ^4(2!2 + 222 + 232 )- 35

25 ^ 35 / 2 , , л 125

+ 4(2х2222 + 2х2232 + 222232 )+ (2х + 22 + 23 ) 82х2,23 - — I - 35 ^ + у22 + у32 )+ ^ = 0 .

8 У 8

256

25 (2 2 2\ 35

Пусть, 82^2--= 0 и 4(2у + 22 + 22)--= 0. Тогда получим систему уравнений:

8 4

35

25

8212223 - у = 0

4(22

)-25 = 0

> л

22 + 222 + 22 )- —=

(у.2

+ ^2 + ?з) +

) - 4(у

2 2 2 2 2 35 2 2 2 125

у + у.^в + у ув + у2 + УВ)+-= 0

256

22 23

25 64 625 4096

2 . 2 . 2 21 + 22 + 23 =

35 16

21 22 — 21 23 — 22 23 =

275 256

Получим кубическое уравнение по теореме Виета

3 352 2752 625 Л 2---1----= 0,

16

256 4096

которое имеет корни

-А -25 -А

21 , 29 , .

2 16 2 16 3 16

Теперь нужно отобрать корни уравнения (15) по условию (13).

Путем комбинаций, получим следующие корни

5

5 V 5 5 5

ух = - +—, у2 =—, у3 =--+ -, у4 = —.

4 2 4 2 4 4

Теперь выполним обратную замену и найдем корни уравнения (14)

х2 =■

3 + л/5

2

х2 = 2, х3 =

3-л/5

х4 = -1.

Ответ: 15 -

3 + л/5 , 3-л/5

2

,-1,

2

-1.

Решение уравнений четвертой степени сопряжено с определенными вычислительными сложностями, особенно при использовании методов Феррари и Декарта-Эйлера. Сложность расчетов по решению уравнений четвертой степени связана с необходимостью выполнения многочисленных математических преобразований. Это требует

21 22 23 =

2

глубокого понимания математических понятий, тщательного контроля точности и правильности каждого шага процесса расчета.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Арефьев, В.А. Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари / В.А. Арефьев. - URL: https://ark.ru/wp-content/uploads/2019/08/Metody-resheniya-uravneniya-chetvyortoj-stepeni-V.A.-Arefiev.pdf (дата обращения: 10.02.2024). - Текст : электронный.

2. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках / С.Г. Гиндикин. - 2-е изд. -Москва : Наука, 1985. - 182 с. - Текст : непосредственный.

3. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров : справочник / С.Г. Гиндикин, Т. Корн. - Москва : Наука, 1973. - 832 с. - Текст : непосредственный.

4. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - 9-е изд. - Москва : Наука, 1968. - 430 с. - Текст : непосредственный.

5. Многочлен 4 степени и его корни. - URL: https://olymp.hse.ru/mirror/pubs/share/854940687.pdf (дата обращения: 15.01.2024).

6. Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, Э.Ф. Шибасова. - Москва : Просвещение : Учебная литература, 1996. - 320 с. -Текст : непосредственный.

7. Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари. - URL: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/ferrary.htm (дата обращения: 13.01.2024). - Текст : электронный.

8. Михалкин, Е.Н. Гипергеометрическая интерпретация формулы Декарта-Эйлера для решения уравнения четвертой степени / Е.Н. Михалкин. - Текст : непосредственный // Прикладная математика & Физика. - 2021. - № 3. - С. 230-234.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

Т.А. Оболдина, кандидат педагогических наук, доцент кафедры физико-математического и информационно-технологического образования, ФГБОУ ВО «Шадринский государственный педагогический университет», г. Шадринск, Россия, e-mail: Tatiana.oboldina@yandex.ru.

П.Е. Кед, студентка 3 курса, Институт информационных технологий, точных и естественных наук, ФГБОУ ВО «Шадринский государственный педагогический университет», г. Шадринск, Россия, e-mail: polinaked6@mail.com.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS:

T.A. Oboldina, Ph. D. in Pedagogical Sciences, Associate Professor, Department of Physics, Mathematics and Information Technology Education, Shadrinsk State Pedagogical University, Shadrinsk, Russia, e-mail: Tatiana.oboldina@yandex.ru.

P.E. Ked, 3th year Student, Institute of Information Technology, Exact and Natural Sciences, Shadrinsk State Pedagogical University, Shadrinsk, Russia, e-mail: polinaked6@mail.com.