CC BY
137
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
УДК 681.586.785
А. И. Надеев, А. И. Мащенко, Г. С. Черкасова, П. А. Меснянкина Астраханский государственный технический университет
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАГНИТОСТРИКЦИОННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Магнитострикционные преобразователи перемещения (МПП) получили широкое применение в системах автоматического управления [1]. Магнитострикция - явление изменения формы и размеров тела при его намагничивании. Явление магнитострикции теоретически и экспериментально исследовалось многими авторами, результаты исследований обобщены в [1-11]. Этот интерес вызван тем, что с магнитострикцией связаны такие важные области ее применения, как магнитострикционные линии задержки (МЛЗ), МПП, ультразвуковая акустика и др.
В теории магнетизма магнитострикция рассматривается как результат основных взаимодействий в ферромагнитных телах: электрического, обменного и магнитного. Намагничивание сопровождается смещением границ между доменами и поворотом магнитных моментов доменов по полю. Оба эти процесса изменяют энергетическое состояние кристаллической решётки, что влечёт за собой изменение размеров материала, и происходит деформация.
Магнитострикционные преобразователи перемещения подразделяются на два класса: на продольных волнах (эффект Джоуля и Виллари) и на крутильных волнах (эффект Видемана). Конструкция магнитострик-ционного преобразователя перемещений на продольных волнах представлена на рис. 1.
Рис. 1. МПП на продольных волнах:
1 - звукопровод; 2 - демпферы; 3 - катушка считывания;
4 - катушка записи, 5 - постоянные магниты подмагничивания
Конструкция магнитострикционного преобразователя перемещений на крутильных волнах представлена на рис. 2.
X
И
2
=н
Рис. 2. МПП на крутильных волнах: 1 - звукопровод; 2 - демпферы;
3 - постоянный магнит подмагничивания; 4 - катушка считывания
Принцип работы МПП на крутильных волнах заключается в следующем. Постоянный магнит 3 является подвижным, жёстко скрепленным с органом позиционирования. Катушка считывания 4 жёстко закреплена на звукопроводе 1. Электрический импульс пропускается по звукопрово-ду. Он, проходя по волноводу, в зону продольного подмагничивания постоянным магнитом, производит его закручивание (эффект Видемана). При этом происходит механическая деформация в зоне подмагничивания. Далее эта механическая деформация распространяется в обе стороны, причём происходит изменение намагниченности звукопровода при механической деформации (эффект Виллари). Изменение намагниченности приводит к образованию переменного магнитного поля, которое перемещается с упругой крутильной волной.
Магнитострикционный импульс перемещается по звукопроводу. С одной стороны этот импульс демпфируется, а с другой переменное магнитное поле магнитострикционного импульса пересекает витки катушки считывания, в которых наводится ЭДС индукции. В катушке считывания возникает электрический ток, который в дальнейшем идёт на обработку. Измерительный интервал х в данной схеме определяется временем пробега ультразвуковой крутильной волны по звукопроводу и пропорционален преобразуемому перемещению - расстоянию между катушкой считывания и подвижным постоянным магнитом.
Математическое моделирование магнитострикционных явлений началось с рассмотрения магнитострикционных линий задержки. Одной из первых фундаментальных работ по теории магнитострикционных явлений с использованием в звукопроводе продольных колебаний является работа Е. Ф. Бережного [2], который для исследования перемещения ультразвуковой волны применил уравнение Д’ Аламбера:
РЭ2и ГЭ2и
= Е^Г, (1)
Эг Эх
где Р - плотность материала; Е - модуль упругости материала; и - смещение материальной точки материала.
Недостатком подхода Е. Ф. Бережного является то, что его функции не удовлетворяют уравнениям Максвелла и большая их часть получена эмпирически. Отсутствие точного решения вызвало необходимость применить для исследования другие методы.
2
3
4
1
Р. Бозорт [3] установил, что декремент затухания 5г-, обусловленный микровихревыми токами, пропорционален величине ЛЕ-эффекта:
8,. »| —
ДЕ
Е
(2)
где ЛЕ - изменение модуля упругости, а декремент затухания 5а, обусловленный макровихревыми токами, пропорционален квадрату магнитост-рикции насыщения 1/:
(3)
Магнитострикционные явления Бозорт рассматривал в толстых поликристаллических стержнях и в больших монокристалах, что не соответствует реальным условиям работы МПП.
А. С. Волков [4] установил зависимость скорости ультразвука от частоты в звукопроводе:
( ,
V = с
1 +
(4)
где к - эмпирический коэффициент, зависящий от вида материала; 7- частота волны продольного колебания.
Важным результатом работы А. С. Волкова является математическая модель МЛЗ, разработанная для тонких волноводов. Её можно использовать на практике, если волновод имеет достаточно малый диаметр и длину.
Г. Д. Тимофеев [5] определил максимальное значение механического напряжения в волноводе:
°зап = к •£•
0,4л • Ж Е - ик
I з
Я + г
огр зап
(5)
где /зап - длина намотки; Ек - напряжение источника питания; Логр -ограничительное сопротивление в цепи; икэ - остаточное падение напряжения на электронном ключе схемы формирователя; к -коэффициент пропорциональности; е - упругая деформация; Жзап - число витков в катушке; Zзап - сопротивление катушки записи.
Р. С. Вильямсом [6] была осуществлена первая попытка описать явление магнитострикции с помощью дифференциальных уравнений:
Р
э 2и дґ2
э^
Эх
Н = — В - 4л1- —, т г Эх
^=е —-1 В, эх
(6)
2,5
где р - плотность материала звукопровода; ^ - сила; х - координата; и -перемещение; Н - напряженность магнитного поля; т - обратимая магнитная проницаемость; Е - модуль упругости при постоянном магнитном потоке; 1 -магнитострикционная константа; В - магнитная индукция в материале.
Недостатком работы является то, что система дифференциальных уравнений не содержит уравнений Максвелла и совершенно неясно, насколько точно она описывает явление магнитострикции.
Следующим этапом в математическом моделировании магнитострикционных процессов явилась разработка математических моделей магнитострикционных преобразователей перемещения. Одной из первых работ, посвящённых МПП, стала работа А. И. Надеева [7]. Им были экспериментально исследованы МПП и получена математическая модель на основе методов математического планирования эксперимента:
А. И. Надеевым были впервые получены аналитические зависимости главных параметров от конструкторско-технологических факторов. Эти зависимости можно применять к различным материалам, условиям эксплуатации и другим параметрам при конструировании МПП.
В трудах О. Н. Петрищева и А. П. Шпиня [8] впервые сделана попытка объединения в единую систему электрических, магнитных и акустических явлений:
где итах - амплитуда электрического напряжения; ю - круговая частота пода-
ния упругих волн.
Р. Ю. Мукаев [9] пытался решить дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие потенциалы смещения частиц продольных и и сдвиговых Ж волн:
У = Ь0 + Е Ьгхг + Е ЬаХХ] + Е ЬгХ .
(7)
2=1
^ j=1 2< j
2=1
(8)
чи импульсов; Z^э1 (ю) - электрический импеданс ЗАП1; и(1:1 (ю) - коэффициенты пропорциональности; и(1:1 (Р, ю) - компоненты вектора и (Р, ю); Ж(р (Р, ю) - три функции, определяющие энергетику процесса возбужде-
гДе к1 = 2рД!р(1 Еу1 ’ к2 = 2%ї
2р(1 + у)
Е
- волновые числа соот-
ветственно для продольных и поперечных волн.
Р. Ю. Мукаевым получено одномерное решение распространения магнитострикционной волны по волноводу с частотой, стремящейся к нулю. Такое решение полезно для описания магнитострикционного явления в первом приближении.
А. Ленк [10] решал задачу в общем виде для распространения волн в анизотропных материалах. Он использовал тензор напряжений и деформаций
с1 сн М1 н 12 с1 н 13 с1 0 0 0 0 0 1 31 е1
С2 сн 21 н 22 с2 с 3 31 Є 2
С3 0 1 сн 32 3с 3 1 33 Є3
С4 0 и 115 0 Є 4
С5 = 0 *3 и 115 0 Є5
С6 0 сн ^66 0 Є 6
В 0 115 тп 0 н
В2 0 115 тп 0 Н 2
Вз ел ^31 3 3 0 0 0 0 0 т33 Н 3
(10)
где элементы матрицы - неизвестные коэффициенты, определяемые экспериментально.
В [11] тоже рассматривается задача распространения волн в анизотропных материалах, но несколько с других позиций. Упругие колебания в твердом теле представляют собой, в основном, бесконечно малые смещения частиц относительно равновесного состояния, поэтому изменением объема тела и поворотом частиц можно пренебречь. После объединения уравнений была получена следующая система дифференциальных уравнений:
ЄУ 2
эи эи,
- + -
Эх, Эх г
Эс г,
ри =т^,
Эх,
с, = с,ы -1 к,Ек ,
А = 11Е] + 1г3к^3к, УА = 0,
Е = --Э^.
е Эх,.
(11)
Эта система дифференциальных уравнений сводится к системе четырех связанных волновых уравнений для электрического потенциала и трех уравнений, содержащих компоненты упругого смещения. Кроме того, в [11] показано, что анизотропия упругих свойств (и, в меньшей степени, электромеханической связи), как правило, приводит к тому, что вектор потока энергии не коллинеарен вектору фазовой скорости.
Продолжением работ математическому моделированию при помощи решений дифференциальных уравнений стали исследования А. И. Мащен-ко [12]. Была составлена система дифференциальных уравнений, описывающая движение магнитострикционного импульса по волноводу с учетом уравнений Максвелла.
' - - дй дВ
гоН = уЕ + р------+ £----,
_ д* д*
дВ
го1Е =------,
_ д*
div В = р, div В = 0,
В = £Е, в = мн0 +мн,
/ =1 [гоН • В + го1В • Н + HdivB + В divH ] ,
(12)
" —1—gгad divй +Рм
1 - 2у О
V 2й +
/ -
д 2й д*2
= 0,
где В - магнитная индукция; Н - напряженность магнитного поля; Е -напряженность электрического поля; В - электрическая индукция; р -плотность электрического заряда; у - удельная проводимость материала; й - смещение элементарного объема; £ - диэлектрическая проницаемость среды; т - магнитная проницаемость; / - пондеромоторная сила; й -
смещение материала; О - модуль упругости; рм - плотность материала.
В [12] был полностью описан процесс возбуждения и перемещения магнитострикционного импульса для магнитострикционного преобразователя перемещения на основе эффекта Видемана. Недастатком математической модели, полученной А. И. Мащенко, является её очевидная громоздкость, что затрудняет оптимизацию конструктивных параметров МПП.
Выводы
1. В настоящее время не существует адекватных и удобных в работе полных математических моделей, описывающих физику явлений на всех этапах магнитострикционного преобразования.
2. Наиболее целесообразной авторы считают методику построения
МПП, заключающуюся в полном аналитическом описании отдельных
этапов преобразования с последующей оптимизацией параметров МПП
методами планирования эксперимента на теоретической модели.
Работа выполнена при поддержке РФФИ по гранту № 05-01-96508-р-Поволжье
«Математическое моделирование магнитострикционных преобразований».
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Надеев А. И. Магнитострикционные интеллектуальные преобразователи параметров движения: Моногр. / Астрахан. гос. техн. ун-т. - Астрахань: АГТУ, 1999. - 155 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.07.99 № 2385-В99.
2. Бережной Е. Ф. Магнитострикционная линия задержки как элемент устройств вычислительной импульсной техники: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - М., 1961. - 24 с.
3. Бозорт Р. Ферромагнетизм. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1956. - 784 с.
4. Волков А. С. Теоретическое и экспериментальное исследование магнитострикционных линий задержки на продольных волнах: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Ростов н/Д., 1962. - 24 с.
5. Тимофеев Г. Д. Исследование характеристик магнитострикционных линий задержки для вычислительных устройств: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. -М., 1973. - 24 с.
6. Williams R. C. Theory of magnetostrctive delay lines for pulse and continuous waves transmission // Institute of radio Engineers Transactions of Ultrasonic Engineering, VE-7. - 1959. - Vol. 16.
7. Надеев А. И. Разработка и исследование магнитострикционных преобразователей линейных перемещений: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Уфа, 1978. - 24 с.
8. Петрищев О. Н., Шпинь А. П. Ультразвуковые магнитострикционные волновые системы. - Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1989. - 132 с.
9. Мукаев Р. Ю. Магнитострикционные преобразователи перемещения с подвижным магнитом для систем управления: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. -Уфа, 1994. - 24 с.
10. Ленк А. Электромеханические системы: Системы с распределенными параметрами / Пер. с нем. - М.: Энергоиздат, 1982. - 472 с.
11. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчет, технология и применение) / Пер. с англ.; Под ред. Г. Мэттьюза. - М.: Радио и связь, 1981. - 472 с.
12. Мащенко А. И. Магнитострикционные преобразователи перемещения на основе эффекта Видемана: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Астрахань, 2001. - 24 с.
Получено 19.09.05
METHODS OF CREATING MATHEMATICAL MODELS OF MAGNETOSTRICTERS
A. I. Nadeyev, A. I. Mashchenko, G. N. Cherkasova, P. A. Mesnyankina
There have been described methods of creating mathematical models of magnetostrictive transformers of relocation based on mag-netostrictive phenomenon. Magnetostrictive transformers of relocation in stretching mode and twist mode have been described in the article. Different methods and approaches to the modeling magnetostrictive transformers have been presented and analyzed.
