CC BY
85
УДК 681.586.785
Э. А. Артемьев Астраханский государственный технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТОСТРИКЦИОННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ НА ПРОДОЛЬНЫ1Х ВОЛНАХ
Введение
Магнитострикционные преобразователи с протяженным ферромагнитным волноводом (МП) получили широкое распространение в системах управления и технологического контроля (магнитострикционные преобразователи перемещений (МПП)), а также в электронике и измерительной технике (магнитострикционные линии задержки (МЛЗ)) [1-12].
Функционирование МПП и МЛЗ имеет много общего: возбуждение в ферромагнитном волноводе (ФВ) упругих волн (УВ) механического напряжения, их распространение вдоль ФВ со скоростью и и считывание последних через промежуток времени.
10( х) = х / и, (1)
где х - расстояние между элементами возбуждения и считывания.
Именно поэтому результаты исследования МЛЗ широко используются при построении моделей МПП.
На рисунке представлена структурная схема МПП.
X
МПП на продольных волнах:
1 - ферромагнитный волновод; 2 и 3 - входной и выходной электроакустические преобразователи;
4 - демпферы; 5 - постоянные магниты; 6 - формирователь импульсов возбуждения; 7 - усилитель импульсов считывания; 8 - фиксатор временного положения импульсов считывания;
9 - формирователь временного интервала
Математическому моделированию МПП и МЛЗ на продольных волнах посвящены работы [5-12]. Однако в них не учитывается влияние шума усилителя считывания. Дело в том, что процесс на входе фиксатора временного положения представляет собой аддитивную смесь собственно импульса считывания Ц« (t, x) и шумового напряжения усилителя считывания Um(t). Вследствие этого фиксация временного положения импульса считывания происходит со случайной погрешностью Ato . Данная погрешность в известных работах не исследовалась.
Ниже рассматривается математическая модель МПП на продольных волнах с учетом влияния собственных шумов усилителя считывания. Предполагается, что растягивающие напряжения, действующие в ФВ, неизменны, рабочая точка на кривой намагничивания материала ФВ в процессе работы не выходит за пределы её линейного участка, в материале ФВ отсутствуют дислокации и неоднородности.
Чаще всего интервал времени t0( х) в МПП определяют путем фиксации временного положения импульса считывания £/вых (¿, х) [13]:
- по положению экстремума импульса;
- по положению переднего или заднего фронтов этих импульсов;
- по положению обоих фронтов импульса.
За временное положение импульса при фиксации по экстремуму принимается момент достижения экстремума, т. е. t0 = tэ . Дисперсия погрешности определяется по формуле
°сл2 = иш /и'вых(Гэ), (2)
где иш - среднеквадратичное значение напряжения шумов на входе фиксатора.
Схемотехническая реализация фиксатора по экстремуму возможна с применением методов пикового детектирования, дифференцирования входного импульса, вычитания задержанного импульса. Первые два метода дают инструментальную погрешность, значение которой существенно превышает потенциально достижимое, определяемое выражением (2). Третий метод требует применения аналоговой линии задержки, что является его существенным недостатком.
За временное положение импульса при фиксации по положению одного фронта принимают одно из решений - ^ или /2 - уравнения
^вых «, х) = и0, (3)
где ио - опорное напряжение схемы фиксации.
Дисперсия погрешности определения временного положения при фиксации по одному фронту описывается выражением
°2л = иш/ивых ))2, (4)
где tф = ^(2) зависит от того, по какому фронту происходит фиксация.
Однако при определении временного положения по одному фронту при прочих равных условиях ошибка фиксации в два раза превышает ошибку, возникающую при использовании метода фиксации по экстремуму. Схемотехническая реализация фиксатора по одному фронту наиболее проста, т. к. фиксатор содержит только быстродействующий компаратор.
За временное положение импульса при фиксации по положению двух фронтов принимают временной интервал
^ = (^ +12)|2. (5)
Дисперсия погрешности определения временного положения равна:
°2л = иш/ и'вых ^ )Л , (6)
где ^ - коэффициент, зависящий от отношения ио/ивых(4), причем значения ^ лежат в диапазоне от 0,7 до 1,0 [13].
Сравнение описанных способов фиксации показывает, что наиболее приемлемой является фиксация по двум фронтам импульса считывания, поскольку погрешность фиксации при ней несущественно больше потенциально достижимой. Схемотехника фиксаторов по двум фронтам по своей сложности является промежуточной между фиксаторами по экстремуму и одному фронту. При фиксации временного положения по двум фронтам функция преобразования МПП имеет вид
Ч( х) = (^( х) +12( х))/2, (7)
где t1 (х) и t2 (х) есть решения уравнения
ивых (t, х) + иш (t) = ио, (8)
где U0 - пороговый уровень фиксатора временного интервала.
Полагая, что уравнение (8) имеет только два решения, можно записать [8]:
UвЫX (^ x) = (Л/2я)(ю)|и L(ю,х)е1ю^ю, (9)
где R - коэффициент усилителя считывания; и1 (ю) - спектральная характеристика зондирующего сигнала; L(ю, x) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ультразвукового тракта МПП.
L(w, x) = ((ую)2 с H вх (ю) £(ю)іф (ю, х) Н вых (ю) к(ю))/ 2вф (ю), (10)
с = ФВ к ; (11)
где dФВ - диаметр ФВ; к - коэффициент магнитомеханической связи; м1 и м2 - число витков входного и выходного электроакустических преобразователей (ЭАП); Н вх (ю) и Н вых (ю) - интерференционно-частотные характеристики входного и выходного ЭАП; ^ (ю) - АЧХ поверхностного эффекта в ФВ; ^ФВ (ю, х) - передаточная характеристика ФВ; к (ю) - АЧХ обмотки выходного ЭАП; 2вх (ю) - сопротивление входного ЭАП.
Форма интерференционно-частотной характеристики ЭАП определяется по формуле [8]
Н(ю) = | к(т)е~ JШdт, (12)
где И(т) - нормированная функция распределения напряженности магнитного поля, создаваемого в ФВ; т - временной эквивалент зоны преобразования.
Эта функция четная относительно оси, проходящей через центр ЭАП. Тогда выражение
для Н(ю) можно переписать в виде
Н(ю) = | Л(т)со8(ют^т;. (13)
Для Н(т), в случае использования однослойной обмотки, можно воспользоваться выражением, хорошо аппроксимирующим реальное распределение поля в ФВ [9]:
к(т) = оо82 (рт/2тз), (14)
где ±тз - значения на оси абсцисс, при которых к(т) достигает нуля. Функция Н(ю) обраща-
ется в нуль на частотах юп = 2рп / т3, п = 1, 2, 3 ... .
Очевидно, что при выполнении условия
Н вх (ю) = Н вых (ю) (15)
АЧХ ультразвукового тракта имеет наименьшее число обращений в нуль в интервале существования, а модуль АЧХ будет максимальным. Поэтому уравнение (10) можно переписать в виде
L(ю, х) = (с( ую)2 Н(ю) ЗД ^зв (ю, х) к(ю))/2вх (ю). (16)
Для Z вх (w) с достаточной степенью точности можно записать:
Z вх (w) = jwl, (17)
где l - длина электроакустического преобразователя.
Такое допущение справедливо потому, что во всем частотном диапазоне работы ультразвукового тракта индуктивное сопротивление индуктивности ¿ЭАП входного ЭАП на полтора-два порядка выше суммарного активного сопротивления потерь от поверхностного эффекта в ФВ; потерь, связанных с преобразованием энергии магнитного поля в энергию ультразвуковых колебаний; потерь в обмотке ЭАП.
Характеристику поверхностного эффекта S(w) можно определить следующим образом. В [10] показано, что при ступенчатом изменении напряженности магнитного поля на поверхности ФВ от нуля до Н0 магнитный поток Ф(0 в ФВ изменяется по закону
Фф = Фуст(1 - 0,69e~vt - 0,13e_5’28vt - 0,05e_13vt...), (18)
где ц - относительная магнитная проницаемость звукопровода; s - площадь поперечного сечения ФВ; у - удельное электрическое сопротивление ФВ.
Отсюда АЧХ поверхностного эффекта имеет вид
. % d V
S (w) = Ф(0/ Фуст = j — S (t )e~ jwtdt = 0,69v j (e~vt + e“5’28vt + e~l3vt ...)e~ jwtdt, (19)
0 dt 0
где tn - момент времени, к которому переходный процесс установления потока в ФВ можно считать закончившимся (Ф^) = Фуст).
Фуст = m0mHs ; (20)
v = 4 • 5,873/m0md ФВ 2. (21)
Ход АЧХ выходного ЭАП k( w) определяется индуктивностью и паразитной ёмкостью его обмотки, а также выходным сопротивлением усилителя считывания. В [8] рекомендуется резонансную частоту колебательного контура, образованного этими элементами, выбирать выше полосы частот, пропускаемых ультразвуковым трактом МПП, и сам контур демпфировать таким образом, чтобы исключить паразитный колебательный процесс, возникающий в нем при
приёме импульса считывания. При выполнении этого условия для k (ю) с приемлемой степенью
точности можно записать k (ю) =1 в полосе частот, пропускаемых ультразвуковым трактом. Пренебрегая затуханием ультразвука в ФВ, запишем для фазовой характеристики ^ФВ (ю, x) [8]:
arg ^ФВ (w, x) = wx / u0 + w3xd ФВ2a2 / u03, (22)
где u0 - скорость распространения упругих волн в ФВ при ю = 0; а - коэффициент Пуассона.
В [10] показано, что выражение (18) учитывает влияние поперечного сечения ФВ только для относительно малых d№ по сравнению с длиной волны X, а для больших значений d№ математическое выражение, связывающее arg ^ФВ (w, x) с d№, оказывается весьма сложным и в явном виде представлено быть не может. Однако в том случае, если d№ /21 < 0,15, формула (18) даёт очень малое отклонение от результатов, вычисленных по точным соотношениям. При dФВ /21 > 0,15 формула (18) даёт удовлетворительное совпадение, причём максимальная ошибка не превышает 15 % для материалов, у которых а = 0,25-0,35, в области 0,15 < d№ /21 < 0,2 и 0,5 < d№ /21 < 0,7 ошибка не превышает 3-4 %.
В практических конструкциях МПП диаметр применяемых ФВ не превышает 1,0 мм, а изготовление ЭАП с линейными размерами l < 2,0 мм связано с существенными технологическими трудностями. Поэтому если принять l = 2 мм, то частота обращения в нуль АЧХ ультразву-
кового тракта, т. е. верхняя частота его полосы пропускания, будет равна f =u0 /1 = 2,5 МГц, что соответствует длине волны X = 2 мм. Отсюда dOB /21 = 0,25, т. е. вполне возможно применение выражения (18) для описания фазовой характеристики FOB (w, x).
Тогда выражение для функции преобразования МПП имеет вид
¿0 (x) = 0,5(t^ (x) + t2c (x)) + j(x)Dt, (23)
где tc1( x) и t2c (x) являются решениями уравнения
U0 = (R / 2л) J Ui (w) L(w, x)ejwtdw; (24)
j (x) - нормированная функция величины второй производной ивых (t, x) в точке достижения экстремума t3, причем
j( x) = U" вых (t3, x)/ U" вых (t3,0) =
= J jw2 f/i(w)L(w, x)e;“3dw/ J jw2 U7i(w)L(w, 0)e;wtsdw, (25)
. T3
L(w, x) = jwadq>B [ J cos2 (лт / 2т3) cos(wt)dt]2 x
-t3
tn 3 3
x[0,69vJev(1 + e_5’28 + e“13 + ...)e_jwtdt] e"j(wx/u +ffl3xd®Bx2/u), (26)
0
a = kw1w2 /1; (27)
At - случайная функция, определяющая значения случайной погрешности преобразований, при-
чём математическое ожидание этой функции равно нулю, закон распределения принимается нормальным [10], а среднеквадратичное значение погрешности будет равно:
c(At) = (Um /и'вых(t3, 0)h)1/2 = (Uш wb)/(h J jw2 U(w)L(w, x = 0)e,Шэdt)), (28)
где U ш - приведенное по входу усилителя значение напряжения шумов; ю = wb - верхняя граница полосы пропускания ультразвукового тракта.
Заключение
Шумы усилителя считывания вносят в результат преобразования МПП случайную погрешность, величина которой определяется напряжением шумов, приведенных ко входу усилителя считывания, диаметром ФВ и длиной волны упругих волн в нем, верхней границей полосы пропускания и АЧХ ультразвукового тракта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белов К. П. Магнитострикционные явления и их технические применения. - М.: Наука, 1987. - 160 с.
2. Артемьев Э. А. Датчики линейных перемещений для современных гидравлических систем управления // Измерительные преобразователи и информационные технологии. Межвуз. науч. сб. - Вып. 1. -Уфа, 1996. - С. 70-83.
3. Артемьев Э. А. Измеритель уровня и массы нефтепродуктов в резервуарах // Материалы Междунар. науч. конф., посвященной 70-летию АГТУ. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2001. - Т. 3 - С. 265-267.
4. Артемьев Э. А. Ротаметр с цифровым выходом // Вестн. Астрахан. гос. техн. унта. - 2006. - 1(30) - С. 99-105.
5. Надеев А. И. Магнитострикционные интеллектуальные преобразователи параметров движения: Моногр. -Астрахань: Изд-во АГТУ, 1999, 155 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.07.99 № 2385-В99.
6. Ясовеев В. Х. Магнитострикционные волноводные преобразователи параметров движения: Дис. ... д-ра техн. наук. - Уфа, 2002. - 436 с.
7. Мукаев Р. Ю. Магнитострикционные преобразователи перемещений с подвижным магнитом для систем управления: Дис. ... канд. техн. наук. - Уфа, 1994. - 150 с.
8. Волков А. С. Теоретические и экспериментальные исследования магнитострикционных линий задержки на продольных волнах. - Дис. ... канд. техн. наук. - Ростов н/Д. - 1962. - 446 с.
9. Rothbart A., Rosenberg A. Theory of Pulse Transmissions along a Magnetostrictor Delay Linetransaction of the Instructe of Radio Engineers. - 1457. - 6. - С. 32-58.
10. Бережной Е. Ф. Магнитострикционная линия задержки как элемент устройств вычислительной и импульсной техники: Дис. ... канд. техн. наук. - М., 1961. - 314 с.
11. Шикалов В. С. Исследование и разработка элемента памяти для вычислительных устройств на магнитострикционных линиях задержки на крутильных и продольных волнах: - Дис. ... канд. техн. наук. -Киев, 1969. - 250 с.
12. Методы построения математических моделей магнитострикционных преобразователей / А. И. Надеев, А. И. Мащенко, Г. С. Черкасова, П. А. Меснянкина // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. -
1 (30). - С. 99-105.
13. Розенберг В. Я. Введение в теорию точности измерительных систем. - М.: Сов. радио, 1975. - 304 с.
Статья поступила в редакцию 10.10.2006
MATHEMATICAL MODEL OF MAGNETOSTRICTIVE CONVERTERS WITH LONGITUDINAL WAVES
E. A. Artemyev
A mathematical model was developed for magnetostrictive converters of transfers and magnetostrictive lines of delay that operate on longitudinal waves. This mathematical model considers reading amplifier noises that may be a cause of an accidental error which value depends on the level of intensity of noises brought to the input of reading amplifier, on the upper limit of pass band, gain-frequency characteristic of ultrasonic channel, diameter of ferromagnetic waveguide and wave length of resilient waves in it.
