Методы построения энергетически оптимальных алгоритмов движения шагающих машин Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

© Калинин Я.В., 2010

УДК 629.1.03 ББК 32.816

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ДВИЖЕНИЯ ШАГАЮЩИХ МАШИН1

Я.В. Калинин

Одним из сдерживающих факторов развития и широкого применения шагающих машин является низкая энергетическая эффективность их приводов. Необходимая для обеспечения мощность двигателя в приводе курсового движения шагающих машин пропорциональна кубу скорости 2, что значительно ограничивает увеличение скорости движения шагающих машин.

Известны различные варианты уменьшения энергозатрат, связанных с периодическим разгоном-торможением неуравновешенных движителей машины: увеличение отношения продолжительности фазы переноса к продолжительности опорной фазы (увеличение коэффициента режима механизма шагания)3, введение в схему механизма шагания рекуператора механической энергии 4. Однако эти меры приводят к усложнению конструкции машины, увеличению ее массы и снижению КПД приводов, эффективность работы рекуператора зависит от скорости движения машины, что затрудняет его использование при переменных режимах движения.

Для шагающих машин с цикловыми движителями правомерна модельная задача определения такого закона изменения относительной горизонтальной скорости опорной точки механизма шагания, при котором мощность приводного двигателя во время движения будет постоянна и минимальна.

Примером шагающей машины, для которой может быть поставлена такая задача, является шагающая машина «Восьминог»5 массой 4,5 т (рис. 1). Для существующего привода данной машины при средней скорос-

ти движения Vcp = 0,068 м/с максимальное значение реактивной мощности привода, требуемое на поддержание курсового движения машины без учета энергозатрат на работу по преодолению сил тяжести и сил сопротивления, - менее 5 Вт, а при скорости 1,5 м/с требуемая мощность превышает 53 кВт.

В рамках принятой постановки модельной задачи оценки энергозатрат машина представляется системой трех твердых тел (рис. 2): корпуса и двух стоп, соединенных друг с другом безынерционными обратимыми механизмами и приводимых в движение одним двигателем, что соответствует кинематической схеме шагающей машины «Восьминог» с одностепенными движителями, и не может быть распространена на общий случай движителей с большим числом степеней подвижности и (или) с индивидуальными приводами. Рекуперация энергии происходит следующим образом. В той фазе цикла шага, когда требуется ускоренное движение переносимой стопы, вторая стопа, находящаяся в опоре, и корпус машины движутся замедленно. За счет инерции корпуса, момент на ведущем валу второго механизма шагания становится отрицательным, и при постоянстве момента, развиваемого двигателем, момент на ведущем валу первого механизма возрастает. Таким образом, перераспределение кинетической энергии осуществляется от корпуса к ускоренно движущемуся механизму шагания и, аналогично, в обратном направлении при замедлении механизма шагания. Следовательно, при соответствующем выборе параметров механизма шагания и управления можно добиться того, чтобы мощ-

ность, развиваемая двигателем, оставалась постоянной и была минимальной.

При этом движение стоп относительно корпуса должно задаваться таким образом, чтобы в каждый момент времени одна из стоп находилась в опоре, а вторая в переносе - этим обеспечивается статическая устойчивость машины.

Уравнения движения рассматриваемой механической системы, имеющей один общий привод для механизмов шагания, находящихся в опорной фазе и фазе переноса, включают в себя дифференциальные уравнения движения тел, уравнения связей, устанавливающие зависимость между перемещением ведущего звена и перемещением корпуса машины и переносимого механизма шагания и уравнение двигателя при постоянной скорости выходного звена при действии постоянной силы сопротивления движению Q:

где М, т

К ^2

Мх1 = Л - Q, тЗс2 = ^2, х1 - П1{ф ) = 0 Х2 - П2 (Ф ) = 0,

(1)

аі------------

1 дф

2 дП2 = 0;

2 дф

масса корпуса машины и эквивалентная масса звеньев механизмов шагания, находящихся в фазе переноса, приведенная к опорной точке;

абсолютные горизонтальные координаты корпуса машины массы М и опорной точки переносимого механизма шагания массы т;

неопределенные множители Лагранжа;

Рис. 1. Шагающая машина «Восьминог»

Х2

Рис. 2. Модельная схема поступательного движения шагающей машины:

1 - корпус; 2 - эквивалентный механизм шагания в фазе переноса; 3 - эквивалентный механизм шагания в фазе опоры;

4 - привод курсового движения; 5 - грунт

Пі(ф), Пф-

обобщенная координата приводного двигателя (например, угол поворота), при этом ф = о = const;

передаточные функции, определяющие голономные стационарные связи между двигателем и рассматриваемыми телами;

генерируемая двигателем обобщенная сила (в рассматриваемом случае момент).

Полагая, что необратимые потери мощности W пропорциональны квадрату генерируемой обобщенной силы L, что, например, характерно для двигателей постоянного тока

W = аЬ2, (2)

где а - постоянный коэффициент пропорциональности.

С учетом того, что

дП .

дф

1Ф = Xb'

дП

2 т —

дф

ф = x2,

(3)

после преобразований уравнений (1) имеет место уравнение

Lф = Т + Qx^^. (4)

Для того чтобы минимизировать потери энергии, необходимо обеспечить минимум функционала

т/2

А = а | ]2Л = 0^ | (Т + Qxl)2dt, (5)

0 ф 0 при учете дополнительных условий

т/ 2 т/2

| ХЛ = £, | Х2А = 2S, (6)

0 0

где £ - длина шага механизма шагания; т - период движения.

С учетом (6) функционал (5) можно рассматривать как

т/2 .

a2

т/ 2 J = 1

(f+QXi)2 + М + U2 X2

dt, (7)

где uP U2 - неопределенные множители Лагранжа.

Тогда уравнения Эйлера имеют вид:

2 (f + QXi) m2 X2 = U2,

2 (f + QXi) miXi - 2Q (f + QX. ) = u

При выполнении граничных условий

(8)

х2(0)=х2 (т2)=0, х1(0)=х (т2)=X10, (9)

где Х10 - скорость шагающей машины в момент смены опорных точек механизмов шагания, входящих в движитель (в момент переступания).

При наложении граничных условий (9) следует u2 = 0 и u = -4Q2S/ т.

Поэтому,

f + QX1 = О,

(10)

и остается одно содержательное уравнение

f + QXi = 2QS = QVc

ср .

(11)

которое при Q = 0 сводится к известному ранее результату 6 Т = 0,, где V - средняя скорость движения шагающей машины.

Если задать требование минимальности и постоянства модуля ускорения корпуса машины, то получается равноускоренный закон его движения

X1 = 1

X10 - at, 0 к t к—,

т ( т ^ т т X10 - a — + a I t - — I, — к t к —. 10 4 I 4 J 4 2

(12)

Дальнейший анализ удобно производить в безразмерных параметрах и достаточно

рассмотреть движение при 0 < t < Тд. Зависит т

мость Х2 = Х2 (t) при — <t <— будет симмет-4 /

рична относительно оси t = %.

Методами теории подобия вводятся следующие безразмерные критерии:

_ Q

Я = Ма ~ безразмерная сила сопротивления;

в=

ta

X10

- безразмерное время;

Ф

L

= Х10 ю

У-------® - угол поворота ведущего звена ме-

а

ханизма шагания (для шагающей машины «Восьминог» угол поворота кривошипа), при котором, двигаясь равнозамедленно с ускорением а, шагающая машина останавливается; ю = ф угловая скорость ведущего кривошипа механизма шагания.

= _Х2_

у2 = . - безразмерная скорость опоры ме-

Х10

ханизма шагания в фазе переноса.

Тогда из (11), с учетом (12), следует

21 V2 = Р

(q - 1)в2 + 2

1 - ^ж]в

(13)

Так как квадрат безразмерной скорости опоры механизма шагания должен быть боль-

ше нуля, то имеют место ограничения, накладываемые на безразмерные параметры я и у.

Учитывая, что

О квк

ж

2/

/>

ж

(14)

то имеется одно содержательное условие

1 - Ж > О,

4/

или в физических переменных

4 2

Q к- MRo , ж

(15)

(16)

где R -

условный приведенный радиус механизма шагания (радиус колеса эквивалентного по кинематическим характеристикам данному механизму шагания), определяемый из соотношения

Xl0 = Ro.

(17)

Окончательно определяется требуемый закон переноса механизма шагания в относительном движении Х2г = Х2 - Х1 = П2(ф) - П1(ф) относительно корпуса машины как разность абсолютных движений опорной точки переносимого механизма шагания и центра масс корпуса машины.

При учете силы сопротивления, зависящей от скорости, дифференциальные

уравнения движения отличаются от (1) и имеют вид

MXl = і - Q(Xl),

mx2 = Я2,

X1 = П1 (ф ),

x2 = П2 (ф),

Г A дП1 A дП2

L - Al----------------------

дф

(18)

ч------

1 дф

Как и в предыдущих случаях, имея в виду, что ф = ю = const, требуется минимизировать функционал (7) при выполнении изопериметрических условий (6).

Тогда уравнения Эйлера имеют вид:

2[f + Xl + Q(xl)xljMXl - 2[f + Q(*i)*i]| Q(*l) + dQx1 xi |=ul,

\ 2\ f + d^1) Xl + Q(*l)*l ImX2 = u

(19)

Из граничных условий (9) и анализа второго уравнения (19) следует ц2 = 0, и тогда первое уравнение (19) имеет вид:

-2 [f + Q( xl) xl ]

Q( xl) + xl

дx1

Ul(20)

Дифференциальное уравнение (20) можно проинтегрировать, если задаться видом функции Q(Х1). Например, для Q(Х1) = Щ, где к - коэффициент пропорциональности. В этом случае (20) сводится к виду:

- 2

f + kX2 [2kXl] = ui.

(21)

При интегрировании данного дифференциального уравнения с учетом следствия из (19):

f + >Xl) Xl + Q(i Xl)Xl

dt

получается

= d [f+Q(Xl, Xl)Xl] = 0,(22)

T + Q( x{)xi = const = 70 + Q(x\o)xio = -Mijga + Ах10(23)

Уравнение (21), таким образом, решить невозможно, так как произведение в левой части должно быть константой ввиду того, что в данной изопериметрической задаче множи-

4

тель Лагранжа ц1 - константа, а Х1 - при выбранном законе движения корпуса константой не является. Однако минимум энергозатрат можно определить, задавшись требованием равнопеременного движения корпуса машины, аналогичным следствию (12) системы уравнений (8). В таком случае в исследуемом функционале остается один неопределенный множитель Лагранжа, а в системе (19) - одно второе уравнение, которое дает первый интеграл:

т + ^,Х1) х1 + б(х1)х1 1= &\т + 2(х1)х1 ] = 0 ^ Т + 2(х1)х1 = тші. (24)

Причем коэффициент из правой части уравнения (24) может быть определен, как и ранее, из наложения первого из изоперимет-рических условий (6), как средняя мощность сил сопротивления за период:

г/ 2 — 2 — 2 — 2 _

| [Т + Q(Xl)Xl]& = | С& ^ | Т& + | Q(xl)ху& = С —. (25)

0 0 0 0 2

Учитывая, что в силу (9) изменение кинетической энергии за период равно нулю, и задавшись линейной зависимостью силы сопротивления от скорости, получаем, переходя к безразмерным параметрам:

—2

кх^Лґ = £х20

*(2<¥ , */( * А2

Г (1 -е)2 &е + Г И-----------+ в\ л

0 0 V 2¥

С 2,(26)

откуда после соответствующих преобразований получаем:

С =

4кх\0

(

¥

(27)

Окончательно, для данного случая, также как и для случая постоянной силы сопротивления движению, при подстановке (27) в следствие из уравнения (24) может быть определен требуемый закон переноса опорной точки механизма шагания в относительном движении при различных значениях коэффициента пропорциональности линейной зависимости силы сопротивления от скорости.

Полученные результаты позволяют определять кинематическую характеристику циклового механизма шагания, который будет обеспечивать минимум энергозатрат при движении.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №> 09-08-97016).

2 Лапшин В. В. Модельные оценки энергозатрат шагающего аппарата // Известия АН СССР. МТТ. - 1993. - №> 1. - С. 38-43.

3 Динамика и управление движением шагающих машин с цикловыми движителями / Е. С. Брис-кин [и др.] - М. : Машиностроение, 2009. - С. 105-107.

4 Об управлении движением шагающих машин с цикловыми движителями / Е. С. Брискин [и др.] // Экстремальная робототехника. - СПб., 2008.- Т. 5. - С. 67-71.

5 Охоцимский Д. Е., Платонов А. К., Лапшин В. В. Об одном способе рекуперации энергии при движении шагающего аппарата // Известия АН СССР. МТТ. - 1986. - №> 5. - С. 39-45.

6 Охоцимский Д. Е., Голубев Ю. Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. - М. : Наука, 1984. - С. 290-296.

1

г