Синтез оптимального по энергозатратам закона движения ортогонального шагающего робота Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

©Гаврилов А.Е., 2010

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 629.1.03 ББК 32.816

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО ЭНЕРГОЗАТРАТАМ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ШАГАЮЩЕГО РОБОТА 1

А.Е. Гаврилов

Разработка перспективных образцов роботов для применения в условиях чрезвычайных ситуаций, наряду с решением ряда приоритетных задач, связана, в том числе, с созданием нетрадиционных типов движителей и уменьшением их габаритных размеров, что обусловлено необходимостью повышения их проходимости и расширения режимов эксплуатации 2.

Применение шагающих движителей позволяет повысить профильную проходимость робота, комфортабельно перемещаться по неровной поверхности, внутри помещений, в узких коридорах и дверных проемах, по лестничным маршам, совершать маневрирование в ограниченном пространстве. Основная трудность при разработке шагающих роботов лежит в создании эффективной системы управления 3. Сложность алгоритмов управления, состав сенсоров системы информационного обеспечения в значительной степени зависит от кинематической схемы используемых механизмов шагания и структурной схемы робота, обусловленных необходимостью координации движений как отдельных звеньев каждого механизма шагания, так и взаимных движений разных механизмов между собой.

В Волгоградском государственном техническом университете спроектирован и из-

готовлен ортогональный шагающий робот «УмНик»4, конструктивная схема и фото которого представлены на рисунке 1.

Робот состоит из корпуса 1, смонтированного с возможностью возвратно-поступательного движения на верхней горизонтальной штанге 3, посредством реверсивного привода 2.

На нижней части корпуса, также с возможностью возвратно-поступательного перемещения посредством привода 10, смонтирована нижняя горизонтальная штанга 9. Корпус сконструирован с возможностью поворота штанг относительно друг друга посредством червячного механизма поворота 11 и реверсивного привода 12. На концах обеих штанг установлены разнесенные выдвижные вертикальные опорные стойки 6 с индивидуальными приводами 7, с помощью которых происходит адаптация робота к неровностям опорной поверхности.

Шагающий робот с ортогональным шагающим движителем по сравнению с другими движителями имеет то преимущество, что при его перемещениях отсутствуют энергозатраты на поддержание собственного веса. Экспериментальные исследования опытного образца робота показали, что основные энергозатраты на перемещение обусловлены силами

Рис. 1. Конструктивная схема и фотография робота с ортогональными движителями

трения в сочленениях его частей. В этом случае становится актуальной задача определения оптимального закона перемещения, обеспечивающего минимальные энергозатраты.

Перемещения робота можно разделить на маршевое движение и маневрирование, каждый из этих режимов состоит из ряда элементарных составляющих, выполняемых автоматически, а роль оператора заключается в подаче управляющего сигнала на реализацию заданного алгоритма перемещения.

Рассматривается алгоритм маршевого перемещения робота, при котором скорость корпуса 1 робота (рис. 1) постоянная, равная заданной величине.

Расчетная схема робота в режиме прямолинейного движения может быть представлена в следующем виде (рис. 2). Робот состоит из трех твердых тел: корпуса 1 и рам 2 и 3.

При прямолинейном движении корпус 1 имеет возможность перемещаться по направляющим и в том случае, когда все восемь опорных стоек находятся в контакте с опорной поверхностью.

Одно из прямолинейных программных движений состоит из следующих парциальных движений (рис. 3):

Этап 1. Рама 3 опирается на грунт и неподвижна. Корпус 1 движется с заданной постоянной скоростью V. Рама 2 движется относительно корпуса 1 со скоростью V

Этап 2. Рама 3 неподвижна. Корпус продолжает двигаться с абсолютной скоростью V Рама 2 после остановки в момент времени Т начинает двигаться относительно корпуса 1 в обратную сторону, и по достижении скорости относительно корпуса 1, равной V ее абсолютная скорость становится равной нулю в момент времени Т. В период времени Ді ее опорные элементы выдвигаются до касания с грунтом. Робот опирается на грунт всеми восемью опорами. Корпус движется относительно неподвижных рам 2 и 3 с той же скоростью Уу

Этап 3. Корпус движется с абсолютной скоростью V. Опорные элементы рамы 3 поднимаются, а рама 3 продолжает двигаться относительно корпуса 1 со скоростью V (период Дґ2). Рама 2 неподвижна.

Этап 4. Корпус 1 движется с абсолютной скоростью V Рама 2 неподвижна. Рама 3 движется с относительной скоростью V по закону, аналогичному закону движения рамы 2 на первом этапе. Далее цикл повторяется.

Приводы перемещения рам и корпуса электромеханические. Редуктор преобразовывает вращение ротора электродвигателя в поступательное перемещение приводного штока (рис. 4). Двигатели одинаковые постоянного тока, с независимым возбуждением.

В рассматриваемом режиме движения дифференциальные уравнения движения корпуса и переносимой рамы имеют вид

(^ - ^ - (Р2 - Р2) = 0

Р2 - К = т2 Х2 ,

(1)

¥1 - скорость корпуса; V - относительная скорость переносимой рамы

VI

/ / / /

\________'

Рис. 4. Привод перемещения:

1 - электродвигатель; 2 - редуктор; 3 - приводной шток

2

3

1

где х2 - относительное ускорение неопорной

рамы; т2 - масса рамы;

F1, F2 - движущие силы;

F , F2c - силы сопротивления движению.

Сила сопротивления движению, имеющая природу силы сухого трения, зависящая от силы нормального давления в кинематической паре скольжения направляющих рамы (рис. 5).

Координатная ось ОХ связана с корпусом, перемещающимся с постоянной скорос-оф V Точка С - центр масс, перемещающийся относительно корпуса, рамы 2 или 3.

Если центр масс рамы (точка С) находится внутри втулки (-1/2 > х > 1/2), то суммарная сила нормального давления во втулке N = G весу рамы. Если центр масс рамы (точка С) находится вне втулки, то сила давления

N = К| +1 N21

2Gx

(2)

тогда величина силы трения

—рх^, (—Х2 < Х2 < —I / 2)

I

р —,(—I /2 < х2 < I /2)

2 , (3)

рх2,(1 /2 < х2 < Д)

2Gf "

где р = —— - коэффициент силы трения скольжения.

Силы сопротивления движению. Сила линейного вязкого сопротивления

^ = —цУ, (4)

где л - коэффициент вязкого трения.

Силы сопротивления движению ^ ¥2с включают постоянные составляющие, характеризующие силы сухого трения в направляющих и в паре винт - гайка ^10, ^20, силы вязкого трения л1У1 и л2Х2, и дополнительные силы сопротивления от нагрузки, приложенной перпендикулярно направляющим 5.

К = р10 + Р1Х2 • + ЛУГ (5)

Р2с = Р20 + Р2Х2 ^ + ЛХ2'

Движущие силы ^ ^2 при учете стати-

ческой характеристики электродвигателей постоянного тока с независимым возбуждением определяются уравнениями:

(6)

где a и Ь - постоянные коэффициенты, определяемые типом двигателя и параметрами редуктора; и, и - напряжение питания якоря.

Так как силы ^ и F2 генерируются одинаковыми электроприводами постоянного тока, необратимые потери энергии в таких приводах обусловлены тепловыделением в обмотках электродвигателей. Мощность тепловыделения определяется равенством

I

Рис. 5. Пара скольжения:

1 - втулка; 2 - направляющая

N = а(^2 + ^22), (7)

где а - коэффициент, имеющий размерность времени деленного на массу, и определяется электромеханическими параметрами приводов.

При цикле движения рама робота, находящаяся в переносе, движется согласно циклограмме, описанной на рисунке 3. Таким образом, за время Т корпус проходит путь 51 = У1Т, а рама проходит путь в относительном движении 5 причем необходимо, чтобы скорость рамы при ї = 0 и ї = Т равнялась нулю (см. рис. 3).

Найдем закон движения х2(ї), доставляющий минимум функционалу6.

Д1то2 + 2Ь( аи 2 — Ьу) — Х1(Ь + л2) — Л.2(Ь + л2) — ^3 = 0

^3 + [ЛР2 + ^2 р — Р1 Х2) = 0

+ 2(аи1 — ЬУ1) = 0 Х1 + — 2(аи2 — Ьу) = 0 ,

(13)

которые вместе с уравнениями (10) составляют полную систему уравнений относительно функций и1, и2, х2, У, Я1, ^ Л,.

При решении системы дифференциальных уравнений, принимая закон трения, изменяющийся по закону

|—Р^ —х20 < Х2 < 0

“ lрxг,0 < Х2 < Х20 ,

(14)

I = | Ndt,

0

(8)

который с учетом (6) и (7) можно записать в виде

т

I(и1,и2,х2,у) = а11[(а • и1 —ЬУ1)2 + (а • и2 —Ь• у)2]Л,(9)

о

При дифференциальных связях (1)

да2у — аи2 + Ьу+^02 + р2х2 • и£п(х) + л2у = 0 аи1 — ЬУ1 — ^10 — р1 х2 sign(xг) — л1У — аи2 + Ьу + + р2 х2 sign(xг) + л у = 0 .

у - Х2 = 0

(10)

В этом случае условный экстремум функционала (9) достигается на тех же зависимостях, на которых реализуется безусловный экстремум функционала

(аи1 — ЬУ1)2 + (аи2 — Ьх2)2 + Л(т2 у — аи2 + Ьх2 + F20 +

Рг ^^п( х2) + ^2х2) + ^2(аи1 — ЬУ1 — ^0 — РЛ^п( х2) — (11) — аи2 + Ьх2 + Fго + Рг Х2^п( х2) + ^2Х2) + Л,( у — х2) =

= Ф(и!,и2, Х2, У),

где функции X (0, Я2 (0, Я3 (0 являются множителями Лагранжа.

d

d

Ф-------Ф - = 0;Ф---------Ф = 0;Ф = 0; Ф = 0 (12)

у dt у 2 dt х 1 2 . (12)

Записывая четыре уравнения Эйлера-Лагранжа 7, получим четыре дифференциальных уравнения:

система сводится к решению дифференциального уравнения

х + (Р + Р • sign(х2) — т^2-г)х2 +(р + р )х2 = ^^п(хг), (15) т2 2т2 2т2 4 '

аппроксимируя sign(х2) функцией аг^(20хх2) с граничными условиями на концах расчетных интервалов времени

х2 (0) = — х20; Х2 (0) = 0; Х2(Т) = х20 ; Х2 (Т) =0, где Т - время прохождения неопорной рамой всего пути.

При численном решении уравнения получим следующий закон изменения координаты х2 и скорости неопорной рамы от времени, относительно корпуса, движущегося с постоянной скоростью.

Для электроприводов с регулируемым напряжением легко реализуемой является так называемая «треугольная диаграмма скорости», когда скорость движения линейно нарастает на участке разгона (от t = 0 до t = Т/2) и линейно убывает на участке торможения (от t = Т/2 до t = Т)8.

При реализации полученного оптимального закона движения применительно к ортогональному шагающему роботу энергозатраты на парциальные движения робота снижаются по сравнению с «треугольным» законом на 11 % и являются минимальными при заданных параметрах.

Рис. 6. График изменения скорости и координаты, оптимального закона перемещения неопорной рамы,

относительно корпуса

Рис. 7. Графики изменения мощности, необходимой для реализации законов движения:

1. «Треугольный» закон. 2. Оптимальный закон

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №> 09-08-00802).

2 Батанов А. Ф., Грицынин С. Н., Муркин С. В. Робототехнические системы для применения в условиях чрезвычайных ситуаций. Условия применения и общие технические требования // Симпозиум по робототехнике и мехатронике. - М. : ИПМ РАН, 2008. - С. 38.

3 Там же. - С. 40.

4 Мобильный робототехнический комплекс для гуманитарного разминирования / Е. С. Брис-кин, В. В. Жога, Д. Н. Покровский, В. А. Шурыгин // Мехатроника, автоматизация, управление. -2007. - № 3. - С. 28.

5 Там же. - С. 64.

6 Там же. - С. 28.

7 Там же. - С. 64.

8 Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при не полностью известных возмущающих силах : учеб. пособие. - Л. : Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1987. - С. 29.