CC BY
30
УДК517.928.4
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОИЗВОДСТВА СМЕШАННОЙ КУЛЬТУРЫ С КОНКУРЕНТНЫМ И КОММЕНСАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
ЯЛОВЕГА И.Г., СИНЕЛЬНИКОВА О.И., МАМЕДОВА А.А.________________
Предлагается метод оптимального управления хемостатным производством двух смешанных микробиологических культур при наличии конкурентного и комменсального взаимодействий, сформулированный в виде задач детерминированного математического программирования с нелинейными целевыми функциями и ограничениями типа неравенств. Критериями оптимального функционирования предлагаются пропорциональность состава культуры на выходе и увеличение производительности установок.
1. Введение
Практические задачи, возникающие при промышленном выращивании микроорганизмов, заключаются, прежде всего, в повышении производительности установок. Также представляют интерес задачиуправления составом производимой микробиологической культуры. В культиваторах полного смешивания, работающих по принципу хемостата, после окончания переходного процесса устанавливается стационарное состояние, концентрация выходящей биомассы определяется только несколькими внешними параметр ами.
Производство смешанной культуры в непрерывном культиваторе, математическая модель которого представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, характеризуется существованием нескольких стационарных состояний системы. Наибольшую практическую значимость представляет нетривиальное стационарное состояние, так как оно соответствует такому составу микробиологической культуры, при котором оба вида сосуществуют в общей среде. Существует возможность управлять параметрами системы, что влечет за собой изменение значений концентраций микроорганизмов на выходе. При проточном культивировании в хемостате регулируемыми величинами являются скорость протока и концентрация подаваемого в установку субстрата. Варьируя значения этих параметров, возможно управлять процессом выращивания смешанной культуры в производственных целях. При этом критериями оптимального функционирования рассматриваемой системы могут выступать следующие:
- пропорциональность состава микробиологической культуры;
- увеличение производительности установки, т.е. суммарной концентрации культивируемых видов на выходе.
2. Постановка задачи
Рассмотрим математическую модель, описывающую производство смешанной культуры, которая состоит из двух видов популяций, в проточной системе, а именно хемостате. Предполагается, что виды лимитируются одним субстратом, а также то, что в присутствии вида 1 вид 2 растет быстрее, т. е. наблюдается взаимодействие типа комменсализм. Исходя из указанных взаимоотношений между видами, система уравнений, описывающая динамику компонентов в проточной системе, выглядит следующим образом [4]:
x = (-
Р Xs S + Kx
D)x,
ц VS
Iу = — D + yx)V
S + K у
S = D(S0 -S)-ax
P xS S + Kx
x - a у
H- VS
—------V,
S + KyJ
(1)
с начальными условиями x(0) = x, y(0) = у , S(0) = S .
Здесь S - концентрация субстрата; x, у - концентрации биомассы 1 и 2 в культиваторе; D - скорость протока, или скорость разбавления; S0 - концентрация субстрата, поступившего в культиватор; a^, а”1 -экономические коэффициенты биомассы 1 и 2, показывающие, какая часть поглощенного субстрата идет на приращение биомассы; рx , Ру - максимальные удельные скорости роста для двух видов; Kx, Kj, -константы Михаэлиса по субстрату S; у - коэффициент воздействия биомассы 1 на биомассу 2, в нашем
случае комменсализма; X, у, S - начальные значения концентраций биомасс 1,2 и субстрата соответственно.
В модели (1) не уточняется природа комменсального взаимодействия, это может быть выделение энергии или тепла одним из видов, что выражается в коэффициенте воздействия у .
Вторая математическая модель описывает производство смешанной культуры, также состоящей из двух видов микроорганизмов, конкурирующих за один субстрат, с комменсальным взаимодействием, принципом которого является выделение одним из видов продукта, стимулирующего рост другого. Модель была представлена Новосибирскими исследователями Дегерменджи и др. [1]:
—m = (-^- - D)xn dt Km +S n
dx
PtSP
UA+ pvfkjx
— = (------------------D)xt,
dt (Kt +S)(Kp + P) t
dS D(S H-mS PtSP
dt -D(So S) «mKm +Sxm «t(Kt +S)(KP + P)xt,(2)
— = D(P0 -P) +aP-^mS-dt 0 p Km +S
xm ap
PtSP
(Kt +S)(Kp + P)
t
РИ, 2007, № 3
119
с начальными условиями xm(0) = xm , xt(0) = xt, S(0) = S, P(0) = P.
Здесь S - концентрация глюкозы (субстрата); xm, xt- концентрации биомассы C. mycoderma и C. tropicalis в системе; Р - концентрация продукта, D -скорость протока, или скорость разбавления; S0 и Р0 - входные концентрации глюкозы и дрожжевого автолизата; pm, p.t - максимальные удельные скорости роста для двух штаммов; am1, aj"1 - экономические коэффициенты биомассы C. mycoderma и C. tropicalis, показывающие, какая часть поглощенного субстрата идет на приращение биомассы; Km, Kt - константы Михаэлиса по глюкозе; Кр - константа стимулирования по продукту, a'p и a p - соответственно удельная
скорость образования продукта штаммом C. mycoderma и его потребления штаммом C. tropicalis; xm, xt, S , P - начальные значения концентраций биомасс C. mycoderma и C. tropicalis, глюкозы и продукта соответственно.
В работах [3, 4] был проведен качественный и количественный анализ представленных моделей, который оказывается полезен для постановки задачи оптимизации процессов производства исследуемых смешанных культур. Качественный анализ, а именно анализ возможных стационарных состояний, необходим для определения целевых функций предложенных критериев. Так, наибольшую практическую значимость представляет случай устойчивого сосуществования видов, т. е. нетривиальные стационарные состояния систем (1) и (2) и области их устойчивости. Области существования и устойчивости данных состояний равновесия определят возможные области изменения управляющих параметров.
3. Постановка задачи управления хемостатным производством смешанной культуры, состоящей из двух конкурирующих видов, при комменсальном взаимодействии
Исходя из предложенного первого критерия оптимального функционирования непрерывного культиватора в случае модели (1), представим формальную постановку полученной оптимизационной задачи. Целевая функция:
f1(D,S0) = V(px-(1 -p)y)2 , (3)
где х, у - концентрации биомасс 1 и 2 в культиваторе, соответствующие нетривиальному стационарному состоянию системы (1) [4]:
x = 1(D ЦyS4 ) y = D(S0 - S4 -axx4)
x у S + Ky , ay(D-7x4) ,
S =
DKX ;
p x_ D;
(4)
параметр p отвечает пропорции состава (0 < p < 1).
Множество допустимых решений (D, S0 ) задается ограничениями типа неравенств, накладываемых на D
и S0:
Г Р x > D ,
Р y < D,
Р y > D,
• р.x ~ D > Kx Р y D Ky
V
S0 > S + axx,
D > yx,
S0 < S + axx, D < yx.
(5)
Ограничения получены из условий существования нетривиального стационарного состояния (4) системы (1) [4]. Система ограничений (5) обеспечивает реализуемость технологического процесса.
Требуется найти минимум построенной целевой функции (3) при ограничениях (5) и соответствующие значения регулируемых параметров D и S0 . Полученная задача (3), (5) является задачей математического программирования с нелинейной целевой функцией и нелинейной областью ограничений. Однако кроме ограничений, полученных при анализе существования нетривиального стационарного состояния, необходим также анализ устойчивости этого состояния, гарантирующий надежность технологического процесса.
Рассмотрим детали формальной постановки задачи оптимизации согласно второму предложенному критерию. Производительность культиватора измеряется потоком биомассы на выходе из установки:
F1(D) = D(x + y), (6)
где х, у - концентрации биомасс 1 и 2 в культиваторе, соответствующие нетривиальному стационарному состоянию (4) системы (1).
Множество допустимых решений D задается ограничениями типа неравенств, накладываемых на D:
Р x > D ,
Рy < D,
Py > D,
jp x - D > (7)
P y D Ky
4. Ll-
В отличие от критерия управления составом культуры, здесь значение S0 фиксировано, так как относительно S0 зависимость в целевой функции, при подстановке соответствующих выражений для стационарного состояния (4), линейна. Необходимо найти максимум построенной целевой функции (6) при ограничениях (7) и соответствующие значения регулируемого пара-
120
РИ, 2007, № 3
метра D. Так же как и для первого критерия, кроме ограничений, полученных при анализе существования нетривиального стационарного состояния, необходим анализ устойчивости этого состояния.
4. Постановка задачи управления хемостатным производством смешанной культуры, состоящей из двух конкурирующих видов, при выделении одним из видов продукта, стимулирующего рост другого
Также как и для модели (1), для математической модели (2), описывающей производство смешанной культуры, которая состоит из двух конкурирующих видов, при выделении одним из видов продукта, стимулирующего рост другого, критериями оптимального функционирования могут выступать пропорциональность состава микробиологической культуры и увеличение производительности установки.
Для модели (2) формальная постановка оптимизационной задачи в случае первого критерия выглядит следующим образом. Целевая функция:
f2(D,So) =д/(pxm - (1 -P)xt)2 , (8)
где xm и xt - концентрации биомассы C. mycoderma и C. tropicalis в культиваторе, соответствующие нетривиальному стационарному состоянию системы (2)
[3]:
x
m
apSo - аtP0
m^p ^ ^t^p
а pDKm______
(М-m - D)(amap +ata'p)
ap(KtKp(M-m - D) + KpKmD)
pm
(9)
(Km(M-t D) Kt(M-m D))(amap + atap)
apS0 +a mP0
a'pDKm
ata'p + a pam (Цm - D)(at a'p + ap am)
_______am (KtKp (H-m - D) + KpKmD) .
(Km(M-1 -D) -Kt(Pm -D))(atap +apam)’
параметр p отвечает пропорции состава (0 < p < 1).
Множество допустимых решений (D, S0) получено из анализа существования нетривиального стационарного состояния и задается ограничениями типа неравенств, накладываемых на D и S0 [3]:
^ ^ m > М-t > D,
{
Km > K
М-1 > М-m > D,
Kt > Km,
KtM-m _ KmM-t
D >■
Kt - Km
Kt < Km,
(10)
D <
Kt M-m KmM- t
Kt - K
V
S0 > max(S + ^(P0 - P),S (P0 -P)),
РИ, 2007, № 3
p
DKm
где S =
P =-
KtKp(pm - D) + KpKmD
pm
H- m D Km(H- t D) Kt(M- m D)
Требуется найти минимум построенной целевой функции (8) при ограничениях (10) и соответствующие значения регулируемых параметров D и S0 .
Согласно второму предложенному критерию в случае модели (2) целевая функция будет выглядеть следующим образом:
F2(D) = D(xm + х t), (11)
где xm и xt - концентрации биомассы C. mycoderma и C. tropicalis в культиваторе, соответствующие нетривиальному стационарному состоянию (9) системы (2).
Множество допустимых решений D задается ограничениями типа неравенств, накладываемых на D:
Гц m >Ц t > D, lKm > Kt,
Гц t >ц m > D,
Г fKt > Km,
D > KtFm - KmFt . Kt - Km
fKt < Km,
(12)
D ^ KtPm KmH-1 . Ki -Km
В отличие от критерия управления составом культуры, здесь значение S0 фиксировано, так как относительно S0 зависимость в целевой функции линейна. Требуется найти максимум построенной целевой функции (11) при ограничениях (12) и соответствующие значения регулируемого параметра D.
Для сформулированных задач нелинейного программирования целесообразно использовать метод внутреннего штрафа (метод барьерных функций), так как необходимо, чтобы управляемые параметры D и S0 всегда находились внутри области.
5. Численная реализация управления хемостатным производством смешанной культуры, состоящей из двух конкурирующих видов, при комменсальном взаимодействии
Рассмотрим задачу оптимизации технологического процесса хемостатного производства смешанной культуры, состоящей из двух конкурирующих видов, при комменсальном взаимодействии, описываемой системой дифференциальных уравнений (1) при значениях параметров
у = 0,1, p.x = 1,2, Цу = 0,8, Kx = 0,004, Ky = 0,02, a x = 0,05, а у = 0,3. (13)
Рассмотрим частный случай первого критерия, а именно, необходимость получения состава микробиологической культуры, в котором два сосуществующих вида на выходе системы будут иметь равные концентрации (р = 0,5). Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом:
121
fl(D,So) = 0,5yl(x - y)2 , (14)
где х, у - концентрации биомасс 1 и 2 в культиваторе, соответствующие нетривиальному стационарному состоянию (4) системы (1) при заданных значениях параметров (13).
Множество допустимых решений (D, So) задается ограничениями типа неравенств, накладываемых на D и So (5) при параметрах (13). На рис. 1 изображена область ограничений (область допустимых значений
закрашена, D изменяется от 0 до 1,5, So - от 0 до 2,5).
Рис. 1. Область ограничений (5) при параметрах (13) (по оси х изменение параметра D, по оси y - S0)
Для сравнения на рис. 2 представлена бифуркационная диаграмма для нетривиальной точки равновесия в тех же пределах изменения параметров (область устойчивости закрашена) [4]. Область ограничений, представленная на рис. 1, совпадает с областью существования и устойчивости нетривиального состояния равновесия системы (1), представленной на бифуркационной диаграмме (см. рис. 2).
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма для нетривиальной особой точки (4) (по оси х изменение параметра D, по оси y - S0)
122
На рис. 3 представлен график целевой функции f1(D,S0) (14), D изменяется от 0 до 1,5, S0 - от 0 до 2,5.
Рис. 3. График целевой функции ^(D,S0)
Для решения поставленной оптимизационной задачи используем Wolfram Mathematica 6.0. В результате ее решения получены оптимальные значения управляющих параметров. В табл. 1 представлены результаты решения оптимизационной задачи, а именно оптимальные значения управляемых параметров, соответствующие значения целевой функции и стационарных состояний (соответствующие значения х, y получены из аналитических выражений (4) для нетривиального стационарного состояния, собственные значения - с помощью комбинации методов Хаусхолдера и QR).
Из приведенных в табл. 1 результатов видно, что найденные значения управляющих параметров позволяют получить равновесный состав микробиологической культуры. Кроме того, соответствующие точки равновесия являются устойчивыми.
Представим численный эксперимент, согласно второму предложенному критерию, при заданных параметрах (13) и нескольких различных значениях S0 (так как для второго критерия значение S0 фиксировано). Рассмотрим задачу оптимизации при нескольких фиксированных значениях S0 : S0 =0,5; 1,181; 2,5. Множество допустимых решений D задается ограничениями типа неравенств, накладываемых на D (7) при
параметрах (13). При вариации S0 от 0 до 2,5 множество допустимых решений приведено на рис. 1. На рис. 4 представлен график целевой функции F1 (D) при заданных значениях параметров (13), D изменяется от
0 до 1,5 при вариации S0 от 0 до 2,5.
В результате решения оптимизационной задачи получены оптимальные значения управляемого параметра
D при нескольких значениях S0 . В табл. 2 представлены результаты решения оптимизационной задачи.
Таким образом, найдены управляющие параметры, позволяющие максимизировать продуктивность установки, а также получить равное соотношение видов
1 и 2 в производимой смешанной культуре.
РИ, 2007, № 3
Таблица 1
№ 1 2 3 4 5
D* 0,031 0,069 0,083 0,269 1,148
V 0,024 0,055 0,066 0,224 1,181
f1(D* V) 0,517х 10-15 2,375х10-14 0 1,473х10-14 3,799х10-15
x 0,268 0,594 0,713 2,253 4,957
У 0,257 0,598 0,710 2,261 4,956
Собственные значения -6,878 -0,01+0,016i -0,01-0,016i -14,942 -0,02+0,038i -0,02-0,038i -17,57 -0,025+0,045i -0,025-0,045i -44,712 -0,073+0,147i -0,073-0,147i -2,825 -0,246+0,189i -0,246-0,189i
Вывод об устойчивости Состояние устойчиво Состояние устойчиво Состояние устойчиво Состояние устойчиво Состояние устойчиво
Таблица 2 аР = 0.05 a„ = 0.06
Р ’ p
№ 1 2 3
S0 0,5 1,181 2,5
D* 1,039 0,943 0,841
F[(D*) 7,549 13,264 25,227
x 5,882 6,044 5,858
У 1,384 8,022 24,139
Собственные -5,224 -36,725 -142,737
значения -0,284+0,183i -0,198+0,381 i -0,143+0,428i
-0,284-0,183i -0,198-0,381i -0,143-0,428i
Вывод об Состояние Состояние Состояние
устойчивости устойчиво устойчиво устойчиво
Рис. 4. График целевой функции F[(D)
6. Численная реализация управления хемостатным производством смешанной культуры, состоящей из двух конкурирующих видов, при выделении одним из видов продукта, стимулирующего рост другого
Рассмотрим задачу оптимизации технологического процесса хемостатного производства смешанной культуры, состоящей из двух конкурирующих видов, при выделении одним из видов продукта, стимулирующего рост другого, описываемой системой дифференциальных уравнений (2) при значениях параметров
р0 = 10, Fm = 0.42, Km = 25, р.t = 0.56,
Kt = 20, Kp = 5, am = 2.3, a t = 2.2, (15)
РИ, 2007, № 3
Так же как и для модели (1), для модели (2) рассмотрим частный случай первого критерия, а именно, необходимость получения состава микробиологической культуры, в котором два сосуществующих вида на выходе системы будут иметь равные концентрации. Тогда целевая функция:
f2(D,S0) = 0,51/(xm - xt)2 , (16)
где xm и xt - концентрации биомассы C. mycoderma и C. tropicalis в культиваторе, соответствующие нетривиальному стационарному состоянию (9) системы (2) при заданных значениях параметров (15).
На рис. 5 изображена область ограничений (область допустимых значений закрашена, D изменяется от 0 до 0,3, S0 - от 20 до 100).
Рис. 5. Область ограничений (10) при параметрах (15) (по оси х изменение параметра D, по оси y - S0)
Область допустимых значений, представленная на рис. 5, совпадает с областью устойчивости, представленной на бифуркационной диаграмме для нетривиальной точки равновесия в тех же пределах изменения параметров [3]. Таким образом, неравенства, определяющие область ограничений (10), достаточны для реализуемости рассматриваемого технологического процесса.
На рис. 6 представлен график целевой функ-цииf2(D,S0) (16), D изменяется от 0 до 0,3,S0 - от 20 до 100.
123
■зп
Рис. 6. График целевой функции f2(D,Sg)
В табл. 3 представлены результаты решения оптимизационной задачи, а именно оптимальные значения управляемых параметров, соответствующие значения целевой функции и стационарных состояний.
Представим численную реализацию второго предложенного критерия оптимального функционирования рассматриваемой системы (2) при заданных параметрах (15) и нескольких различных значениях Sq (так как для второго критерия значение Sq фиксировано). Множество допустимых решений D задается ограничениями типа неравенств, накладываемых на D (12) при значениях параметров (15). Требуется найти максимум целевой функции (11) и соответствующее значение регулируемого параметра D. При вариации Sq от 20 до 100 множество допустимых решений представлено на рис. 5. На рис. 7 дан график целевой
функции F2(D) при заданных значениях параметров (15), D изменяется от 0 до 0,3 при вариации Sq - от 20 до 100.
Рис. 7. График целевой функции Fj(D)
В табл. 4 представлены результаты решения оптимизационной задачи, а именно оптимальные значения управляемого параметра, соответствующие значения целевой функции и стационарных состояний (соответствующие значения xm и xt получены из аналитических выражений (9) для нетривиального стационарного состояния, собственные значения - с помощью комбинации методов Хаусхолдера и QR).
Из приведенных в табл. 3 результатов видно, что найденные значения управляющих параметров позволяют получить равновесный состав микробиологи-
Таблица 3
№ 1 2 3 4 5
D* 0,186 0,185 0,185 0,183 0,176
Sq* 25,269 31,306 31,7 45,235 91,678
f1(D * ,Sq* ) 1,867х10-11 3,785х10-1С1 0,531х10-14 4,751х10-15 2,728х10-12
xm 1,211 2,575 2,671 5,753 16,314
xt 1,187 2,592 2,671 5,772 16,42
-0,186 -0,185 -0,185 -0,183 -0,398
Собств. -0,186 -0,185 -0,185 -0,183 -0,176
значения -0,027 -0,058 -0,06 -0,132 -0,176
-0,001 -0,001 -0,001 -0,002 -0,006
Вывод об Состояние Состояние Состояние Состояние Состояние
устойчив. устойчиво устойчиво устойчиво устойчиво устойчиво
Таблица 4
№ 1 2 3 4 5
Sq 30 40 65 80 100
D* 0,161 0,156 0,195 0,211 0,229
F2(D*) 1,054 1,776 3,737 5,09 7,047
x 0,034 1,87 11,683 16,811 23,264
y 6,465 9,512 7,483 7,317 7,509
-0,162 -0,158 -0,2 -0,219 -0,235
Собственные -0,162 -0,156 -0,195 -0,211 -0,229
значения -0,085 -0,156 -0,195 -0,211 -0,229
-0,001 -0,001 -0,003 -0,004 -0,004
Вывод об Состояние Состояние Состояние Состояние Состояние
устойчивости устойчиво устойчиво устойчиво устойчиво устойчиво
124
РИ, 2007, № 3
ческой культуры. Кроме того, соответствующие точки равновесия являются устойчивыми. Таким образом, также как и для модели (1), для модели (2) найдены управляющие параметры, позволяющие максимизировать продуктивность установки (табл. 4), а также получить равное соотношение видов в производимой смешанной культуре (табл. 3). Полученные значения скорости протока D и концентрации субстрата So дают возможность существенно повысить эффективность непрерывного производства.
7. Выводы
Научная новизна. Предложена математическая постановка задачи управления процессом непрерывного производства смешанных культур, состоящих из двух конкурирующих за один субстрат видов при комменсальном взаимодействии, сформулированы критерии оптимальности технологического процесса. Обоснован выбор области ограничений допустимых значений управляющих параметров, как области существования и устойчивости нетривиальных стационарных состояний рассматриваемых моделей.
Практическая значимость. В результате решения оптимизационной задачи управления, представляющей собой задачу нелинейного программирования, найдены значения управляющих параметров, позволяющие определять и регулировать необходимый состав производимой смешанной культуры, а также максимизировать продуктивность технологических установок хемостатного производства.
Результаты работы могут быть использованы при прогнозировании соотношения нормальной и патогенной флоры в различных экологических нишах макроорганизма, выращивании пробиотиков, иммунологических препаратов, веществ микробиологического происхождения, матричной культуры для дрожжевого и спиртового производства.
Сравнение с аналогами. При необходимости оптимизации процессов непрерывного производства сме-
шанных микробиологических культур исследователям приходится сталкиваться с проблемой обеспечения устойчивого стационарного состояния культуры на выходе. Это требует применения методов теории устойчивости и бифуркаций. Интерес к устойчивости и стабильности систем не уменьшается, а количество работ, посвященных этим вопросам, за последние годы существенно возросло. В первую очередь это определяется нуждами имитационного моделирования. Задачи, связанные с прогнозированием процессов выращивания микробиологических культур в непрерывных культиваторах, рассматривались такими исследователями как Дегерменджи А.Г., Романовский Ю.М., Чернавский Д.С. и др. [1,2].
Литература: 1. Дегерменджи А.Г, ПечуркинН. С., Шкид-ченко А.Н. Аутостабилизация факторов, контролирующих рост в биологических системах. Новосибирск: Наука, 1979. 144 с. 2. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с. 3. Яловега И. Г. Качественный и количественный анализ математической модели производства смешанной культуры с комменсальным взаимодействием / / Радиоэлектроника и информатика. 2007. №2. С. 57- 63.
4. Яловега И.Г. Устойчивость стационарных состояний смешанной культуры с видом взаимодействия типа комменсализм // Радиоэлектроника и информатика. 2005.
№4. С. 149-153.
Поступила в редколлегию 12.08.2007
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Удовенко С. Г.
Яловега Ирина Георгиевна, ассистент каф. ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование в биофизике и экологии. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021436.
Синельникова Ольга Игоревна, старший преподаватель каф. ПМ ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021436.
Мамедова Асима Абушовна, инженер каф. ПМ ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021436.
РИ, 2007, № 3
125
