CC BY
26
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ TECHNICAL SCIENCES
УДК 681.518:579.6+681.518:517.93 ББК 32.965 П 32
Пиотровский Дмитрий Леонидович
Доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой автоматизации производственных процессов Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, тел. (861) 2559392, е-mail: piotrovsky2005@yandex.ru Лубенцова Елена Валерьевна
Доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации производственных процессов Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, е-mail: elena-v-l@mail.ru
Модифицированные уравнения динамики роста биомассы с неустановившимся характером лимитирования
(Рецензирована)
Аннотация. Предложен подход к теоретическому описанию механизма смены факторов, лимитирующих рост популяции. Он заключается в том, что в систему уравнений, описывающих развитие популяции со всеми ее кинетическими зависимостями, включено модифицированное уравнение сигмоидной функции. Это дает возможность описать одним уравнением область, где в стационарном состоянии рост популяции лимитирует один фактор, и область лимитирования другим фактором, реализуя при этом механизм плавной смены факторов лимитирования при нестационарных границах областей их действия. В предложенной модели отсутствует необходимость реализации разрывных функций для переключения факторов, что дает возможность представить систему единым уравнением, упрощая при этом анализ устойчивости и моделирование управляемой системы. Работа носит теоретический характер и основана на закономерностях и качественных свойствах управляемых динамических биосистем в установившихся и в переходных режимах. Ключевые слова: уравнения динамики, лимитирование, рост биомассы, сигмоидная функция.
Piotrovsky Dmitriy Leonidovich
Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of Automatization of Production Processes, Kuban State University of Technology, Krasnodar, ph (861) 2559392, е-mail: piotrovsky2005@yandex.ru Lubentsova Elena Valeryevna
Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Department of Automatization of Production Processes, Kuban State University of Technology, Krasnodar, е-mail: elena-v-l@mail.ru
Modified equations of the biomass growth dynamics with an unsteady limitation character
Abstract. The article proposes an approach to the theoretical description of the mechanism of changing factors that limit population growth. It consists in the fact that a modified equation of the sigmoid function is included in the system of equations describing the development of the population with all its kinetic dependencies. This gives you the opportunity to describe in one equation the area where in a stationary state the growth of the population is limited by one factor, and the area limitation is another important factor, thus implementing a mechanism of a smooth change of the limiting factors for the non-stationary boundaries of their scope. In the proposed model there is no need to implement discontinuous functions for switching factors, which makes it possible to present a single equation of the system, while simplifying the analysis of stability and simulation of the controlled system. The work is theoretical and is based on the regularities and qualitative properties of controlled dynamic biosystems in steady and transient conditions. Keywords: equations of dynamics, limitation, biomass growth, sigmoid function.
Введение
Информационные технологии для биотехнологических процессов базируются на использовании кинетических моделей описания микробиологического синтеза [1]. Принципиальной особенностью кинетики микробных популяций является зависимость скорости роста культуры от концентрации одного или нескольких наиболее важных компонентов среды, обеспечивающих биосинтетическую основу метаболизма. Эти компоненты, получившие название лимитирующих субстратов, в определенной степени регулируют скорость роста популяции. Основной подход в современной кинетике и математическом моделировании био-
логических процессов при действии факторов, лимитирующих рост популяции, основан на математическом аппарате дифференциальных уравнений [2, 3]. Дифференциальные уравнения, описывающие концентрации микробной биомассы и лимитирующего субстрата в условиях хемостатного культивирования, были выведены Ж. Моно, исходя из условия материального баланса [4]. Несмотря на актуальность этих уравнений, до настоящего времени не рассматривается возможность описания одним уравнением области, где в стационарном состоянии рост популяции лимитирует один фактор, и область лимитирования другим фактором при нестационарных границах областей их действия, в существующих работах. Данная работа посвящена получению формального описания качественных характеристик динамического поведения биологической системы с учетом зависимости поведения системы от лимитирующих факторов и смены их в различных областях действия.
Базовые уравнения скорости роста для биосистем с установившимся
характером лимитирования
При моделировании конкретной культуры микроорганизмов часто нелегко выделить лимитирующий фактор. Для микробиологических систем обычно величина, лимитирующая рост, это концентрация субстрата. Наиболее важная закономерность - это закон Моно, который описывает процесс размножения микроорганизмов, когда лимитирующим фактором является питательный субстрат [4, 5]. Формула, предложенная Моно в 1942 г., является актуальной по настоящее время, так как имеет сходство с формулой Михаэлиса-Ментен для скорости ферментативной реакции. Закон роста Моно стали рассматривать как скорость реакции узкого места в цепи ферментативных реакций переработки субстрата [6]:
Шх 5
— = Цт——х, (1)
Ш 5 + К8
где х - концентрация микроорганизмов; /ит - максимальная скорость микроорганизмов
при данных условиях; 5 - концентрация лимитирующего субстрата; К5 - константа Моно-
Михаэлиса или константа полунасыщения, численно равная концентрации субстрата, при которой скорость их размножения равна половине максимальной.
Если лимитирующих факторов по субстрату несколько, например три, то уравнение Моно приобретает такой вид [7]:
Шх ^ 5з , -= /ит-!---2---з— х. (2)
Ш 51 + К1 52 + К 2 53 + К 3
Если факторы взаимозаменяемы, тогда уравнение Моно приобретает аддитивную форму [6]:
dx d -ß-
si s^ So
1 -+—2—+- 3
V S1 + K1 S2 + K2 S3 + K3 J
X. (3)
Помимо этого в некоторых случаях при больших концентрациях субстрата наблюдается ингибирование, и тогда формулу для скорости роста следует записывать в виде уравнения Андрюса [8]:
Шх 5
— = Ит--—х. (4)
Ш 5 + К1 + К 2 5 2
где К2 - константа субстратного ингибирования.
На скорость роста биомассы может оказывать влияние концентрация продуктов метаболизма в среде, окружающей клетку. Тогда к двум уравнениям, описывающим динамику концентрации биомассы и субстрата в непрерывном процессе культивирования, следует добавить третье уравнение, выражающее динамику концентрации продуктов метаболизма. При этом скорость роста биомассы будет зависеть как от концентрации субстрата, так и от концентрации продукта. Формула такой зависимости известна как формула МоноИерусалимского и имеет вид [9]:
и=и------, (5)
И Имакс + - Кр + Р' ^
где Р - концентрация продукта метаболизма; КР - константа продуктного ингибирования.
Модифицированные уравнения скорости роста для биосистем с неустановившимся характером лимитирования
Использование в математических моделях зависимости скорости роста популяции как функции одного элемента питания /л(-) допустимо только для систем с установившимся характером лимитирования. Однако смена факторов лимитирования встречается довольно часто [10]. Существует несколько различных подходов к теоретическому описанию механизма смены факторов, лимитирующих рост популяции. Наиболее распространенными являются модели, в которых предполагается, что в любой момент времени рост контролируется только одним элементом питания. Среди таких моделей можно выделить два варианта определения момента смены лимитирования [11]. В первом варианте лимитирующим считается элемент питания, дающий наименьшую скорость роста популяции. Например, для модели Моно смена лимитирующего элемента питания с -1 на -2 записывается следующим образом [10]:
ß =
если <_ »2s2
k- ^ s- k- ^ s- ^2 ^ s*2
№2 s2 если > ß2 s2
(6)
k2 ^ S2 k- ^ s- k2 ^ S2
причем смена лимитирования может происходить только при неравенстве максимальных скоростей роста: Д ф ¡и2.
Во втором варианте лимитирующим является элемент питания, для которого отношение «концентрация в среде/концентрация в организме» оказывается наименьшим среди подобных отношений для других незаменимых компонентов питания. Смена лимитирования в этом варианте записывается следующим образом [10]:
А-1
ß =
, если — <—,
k- ^ s- о- о2
11 12 (7)
ß2 S2 если ^ >s
k2 ^ S2 оо^- О2
где а1 и а2 - удельное содержание первого и второго элементов в организмах популяции соответственно.
Для обеих моделей на плоскости {-01,-02} (' - концентрация у'-го питательного вещества на входе системы) выделяют три области стационарных состояний с определенным типами лимитирования в зависимости от запасов биогенных элементов -01 и -02: область вымирания популяции; область, где в стационарном состоянии рост популяции лимитирует элемент -1, и область лимитирования элементом -2. Однако формы границ областей в моделях заметно различаются [10]. Это усложняет разработку и использование математических моделей, а именно выбор адекватного описания кинетики процесса, которое должно учитывать одновременно протекающие процессы на микроуровне (в клетках), в микробных популяциях и макроуровне (массо- и теплообмен в аппарате, гидродинамическая обстановка и т.п.).
Другая особенность существующих схем описания механизмов лимитирования (6) и (7) заключается в необходимости реализации логических условий (разрывных функций) для переключения факторов, что значительно усложняет анализ устойчивости и моделирование, причем не только биологических, но и технических систем. Подход к описанию процессов глубинного культивирования, когда наряду с базовыми уравнениями роста биомассы учитывается плавная смена различных факторов лимитирования, обусловленная физиологическими свойствами культивируемых микроорганизмов, до настоящего времени не рассматривался.
Для учета протекающих процессов глубинного культивирования аэробных микроорганизмов при различной кинетике, определяющей специфику протекания процесса в системе, где имеют место отмеченные зависимости, в уравнениях динамики роста биомассы предлагается использовать свойства функций, выполняющих роль переключающей функции. Такими свойствами обладают сигмоидные функции, которые часто применяются при создании нейронных сетей [12, 13]. Сигмоидные функции реализуются как встроенные функции в программе МайаЬ и его инструменте 81шиНпк. Для иллюстрации особенностей сигмоидных функций на рисунке 1 представлены построенные в среде МайаЬ графики этих функций.
Рис. 1. Графики сигмоидных функций в среде Matlab
Если требуется учесть временное запаздывание в системе клеточного метаболизма, то это также можно сделать с помощью сигмоидной функции с аргументом времени t. Для наглядности представления рассмотрим график функции f(s) (рис. 2):
1 1
fs) = Гл7 = , . / a/h "ГТГ, (8)
1 + e
1 + (e
У
где ^ - концентрация лимитирующего компонента; а - коэффициент смещения; Ь - коэффициент наклона, обеспечивающий учет инерционности регуляторных систем клетки.
fs) 1
Рис. 2. График функции /я)
В этой функции при любых значениях а и Ь множество значений /(я) ограничено интервалом (0,1). Наклон кривой определяется значением коэффициента Ь. С увеличением численного значения коэффициента наклон кривой возрастает, что ведет к уменьшению времени перехода от значений функции, близких к единице при нелимитированных значениях концентрации я, к значениям, близким к нулю при лимитированных значениях концентрации я.
Как следует из свойств рассматриваемой функции, момент лимитирования определяется отношением а/Ь, что может быть записано в виде:
я*=а/Ь= / (?), (9)
*
0
s
s
где / (5) - функция, определяющая влияние совокупности параметров 5 на рост микроорганизмов; - концентрация, соответствующая началу лимитирования.
На функцию / (5) оказывает одновременное влияние большое число факторов. Эффекты от колебаний этих факторов разнонаправлены и их общий вклад в величину 5 образуется суммированием. В случае отсутствия взаимовлияния параметров функция / (5) может быть представлена разделенными функциями:
f = Z f (S )
i=1
или
f (S) = П f (Si),
(10)
(11)
i=1
где п - число параметров.
С учетом выражений (10) и (11) функцию (8) можно записать в следующем виде:
1
f (s ) = ■
1+
Z Л fo)
(12)
или
f (s ) = ■
1 +
П f (i)
• e
(13)
Все существующие модели сравнительно хорошо описывают процесс размножения микроорганизмов. Однако при всем при этом уравнения (1)-(4) не учитывают то, что лимитирование либо ингибирование субстратом происходит с замедлением. Включение функции (12) или функции (13) в уравнения, описывающие динамику концентрации биомассы, субстрата и продуктов метаболизма в непрерывном процессе либо временную задержку в развитии микроорганизмов в начальной стадии периодического процесса культивирования, позволяет адекватно описать все фазы роста биомассы, включая лаг-фазу. Для этого, например, с помощью функции _Д^)=1/[1+ехр(а-Ь-^)] (^ - время процесса) уравнение (1) скорости роста микроорганизмов следует записать в таком виде:
dx s
dt s + K„
x
• f (t).
(14)
Для учета переходных процессов в системе клеточного метаболизма при развитии нескольких популяций микроорганизмов, предположив плавный характер их проявления, можно воспользоваться сигмоидной функцией _/($•), значения которой изменяются от 1 до 0. С помощью сигмоидной функции можно также математически формализовать механизм смены факторов, лимитирующих рост популяции. Для этого модель, описывающую изменение концентрации биомассы и концентрации лимитирующего субстрата, например, в условиях хе-мостатного культивирования, следует записать в виде:
dx
— = их - Dx, dt
— = D(s0 -s)-UX dt V 0 У Y
и =
Urs
kj + 5j
• f 1 (s)+
U2 s2
k 2 + s2
• f2 (s2 ),
b
s
i=1
e
e
1
b
s
i 1
e
где х - концентрация микроорганизмов; ц - удельная скорость роста микроорганизмов; D -скорость разбавления, равная отношению скорости поступления питательной среды к объему культуры; s - концентрация лимитирующего субстрата в среде; so - концентрация лимитирующего субстрата на входе в аппарат; Y - выход биомассы на единицу потребленного субстрата; /i(si), f2(s2) - переключающие функции: /i(si)=1-/2(s2), 0<fi(si)<1, 0</2(s2)<i.
Во втором варианте (7) схемы лимитирования уравнение скорости роста биомассы может быть записано так:
Msi
i „Л г. „ i „ Л
k1 + s1
s
¡и=^• h ^ • /2 ^ . (16)
v^i J
k2 + s2
V^2 J
Уравнение (16) иллюстрирует подход к описанию процессов глубинного культивирования, когда наряду с использованием базовых уравнений роста биомассы, учитывается плавная смена различных факторов лимитирования, обусловленная физиологическими свойствами культивируемых микроорганизмов.
Заключение
Предложенная формализация процесса смены факторов лимитирования с использованием сигмоидных функций не нарушает выведенные соответствующими разделами математической биологии строгие закономерности для разных условий и позволяет достаточно просто описать область, где рост популяции лимитируется различными факторами. Кроме этого, применение аппроксимирующей функции на базе сигмоидных позволяет описать все фазы роста, включая фазу задержки (лаг-фазу). На данном этапе статья носит теоретический характер и для доказательства универсальности предложенного подхода к задачам моделирования кинетики микробного синтеза и управления им на следующем этапе работы требуются экспериментальные исследования динамики процесса.
Примечания:
1. Ризниченко Н.Ф., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993. 301 с.
2. Бирюков В.В. Основы промышленной биотехнологии. М.: Колос, 2004. 296 с.
3. Арзамасцев А.А., Андреев А.А. Математические модели кинетики микробного синтеза: возможности использования и новые подходы к разработке // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2000. Т. V, № 1. С. 111-130.
4. Monod J. Recherches sur la croissance des cultures bacteriennes. Paris: Hermann, 1942. 210 pp.
5. Паников Н.С. Кинетика роста микроорганизмов. Общие закономерности и экологические приложения / РАН, Ин-т микробиологии. М.: Наука, 1991. 309 с.
6. Компьютерное моделирование биотехнологических процессов и систем / Д. С. Дворецкий, С.И. Дворецкий, Е.И. Муратова, А.А. Ермаков. Тамбов: Изд-во Тамбов. гос. ун-та, 2005. 80 с.
7. Баснакьян И.А., Бирюков В.В., Крылов Ю.М. Математическое описание основных кинетических закономерностей процесса культивирования микроорганизмов // Итоги науки и техники. Микробиология. Т. 5: Управляемое и непрерывное культивирование микроорганизмов. М., 1976. С. 5-75.
8. Bajpai R.K., Reuss M. A mechanistic model for penicillin production // J. Chem. Technol. and Biotechnol. 1980. Vol. 30. P. 332-344.
9. Иерусалимский Н.Д., Неронова Н.М. Количест-
References:
1. Riznichenko N.F., Rubin A.B. Mathematical models of biological production processes. M.: MSU Publishing House, 1993. 301 pp.
2. Biryukov V.V. Fundamentals of industrial biotechnology. M.: Kolos, 2004. 296 pp.
3. Arzamastsev A.A., Andreev A.A. Mathematical models of the kinetics of microbial synthesis: possibilities of using and new approaches to development // Bulletin of Tambov University. Ser. Natural and Technical Sciences. 2000. Vol. V, No. 1. P. 111-130.
4. Monod J. Recherches sur la croissance des cultures bacteriennes. Paris: Hermann, 1942. 210 pp.
5. Panikov N.S. Kinetics of growth of microorganisms. General regularities and ecological applications / RAS, Institute of Microbiology. M.: Nauka, 1991. 309 pp.
6. Computer modeling of biotechnological processes and systems / D.S. Dvoretsky, S.I. Dvoretsky, E.I. Mura-tova, A.A. Ermakov. Tambov: Publishing House of Tambov State University, 2005. 80 pp.
7. Basnakyan I.A., Biryukov V.V., Krylov Yu.M. Mathematical description of the main kinetic regularities of the process of cultivation of microorganisms // Results of science and technology. Microbiology. Vol. 5: Controlled and continuous cultivation of microorganisms. M., 1976. P. 5-75.
8. Bajpai R.K., Reuss M. A mechanistic model for penicillin production // J. Chem. Technol. and Biotechnol. 1980. Vol. 30. P. 332-344.
9. Ierusalimsky N.D., Neronova N.M. Quantitative rela-
венная зависимость между концентрацией продуктов обмена и скоростью роста микроорганизмов // Доклады Академии наук СССР. 1965. Т. 161, № 6. С. 1437-1440.
10. Фурсова П.В., Левич А.П. Дифференциальные уравнения в моделировании сообществ микроорганизмов // Успехи современной биологии. 2006. Т. 126, № 2. С. 149-179.
11. Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Т.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. 367 с.
12. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия - Телеком, 2001. 382 с.
13. Володин А.А. Системный анализ и управление сложными биосистемами на базе нейро-нечетких регуляторов: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01. [Место защиты: Северо-Кавказский федеральный университет] Ставрополь, 2014. 214 с.
tionship between the concentration of metabolic products and the growth rate of microorganisms // Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1965. Vol. 161, No. 6. P. 1437-1440.
10. Fursova P.V., Levich A.P. Differential equations in the modelling of microorganism communities // Successes of Modern Biology. 2006. Vol. 126, No. 2. P. 149-179.
11. Alekseev V.V., Kryshev I.I., Sazykina T.G. Physical and mathematical modelling of ecosystems. SPb.: Gidrometeoizdat, 1992. 367 pp.
12. Kruglov V.V., Borisov V.V. Artificial neural networks. Theory and practice. M.: Hot Line - Telecom, 2001. 382 pp.
13. Volodin A.A. System analysis and control of complex biosystems based on neuro-fuzzy regulators: Dis. for the Cand. of Technology degree: 05.13.01. [Place of defense: North-Caucasian Federal University] Stavropol, 2014. 214 pp.
