Методы моделирования фазового поведения пластовых систем Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТОВЫХ СИСТЕМ, УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТОВЫХ ФЛЮИДОВ И ИХ КОМПОНЕНТОВ

УДК [622.031:553.98]:[550.8.01:536.71]

Б.А. Григорьев, А.И. Брусиловский, И.А. Зинченко

Методы моделирования фазового поведения пластовых систем

Прогнозирование и анализ фазовых превращений систем природных углеводородов (УВ), определяемых массообменными процессами, протекающими при разработке и эксплуатации месторождений природных газов и нефтей, необходимы для квалифицированного подсчета извлекаемых запасов, проектирования разработки залежей, промысловой обработки, заводской переработки и транспортировки добываемого сырья, развития методов повышения конденсато- и нефтеотдачи пластов. В основу методов прогнозирования и анализа фазового состояния и РУТ-свойств УВ комплексно закладываются результаты промысловых измерений, лабораторных исследований и математического описания соответствующих процессов. Расчеты фазового состояния и термодинамических свойств (ТДС) УВ смесей базируются на уравнениях состояния, методах моделирования фазового равновесия в многокомпонентных системах и эффективных вычислительных процедурах. В практике технологических расчетов для оценки ТДС, коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности) газов и жидкостей широко применяют и апробированные эмпирические методики и корреляции, которые приводятся в научно-методической и справочной литературе. Наряду с подходами, плодотворно используемыми в инженерной практике, российскими учеными проводятся и поисковые фундаментальные исследования в области компьютерного моделирования фазового поведения углеводородных систем.

Далее приводится обзорная характеристика отмеченных направлений в области математического моделирования фазового поведения углеводородных систем.

Уравнения состояния природных газов и нефтей

Кубические уравнения состояния. При математическом моделировании фазового состояния, калорических и термических свойств природных УВ систем применяют формулы, вытекающие из комплексного использования фундаментальных основ термодинамики многокомпонентных систем, и уравнения состояния. Если используется обобщенный вид уравнения состояния, то на его основе получают формулы для расчета термодинамических свойств, из которых как частные случаи вытекают выражения, соответствующие известным уравнениям состояния. Такой подход применяется в программно-вычислительных комплексах, предназначенных для моделирования РУТ-свойств флюидов месторождений природных углеводородов [1].

Подробные обзоры развития уравнений состояния ван-дер-ваальсового типа опубликованы в [2-7]. В практике проектирования разработки и эксплуатации месторождений в настоящее время наиболее часто применяют уравнения состояния Пенга-Робинсона (РЯ) и Соаве-Редлиха-Квонга (8ЯК). Моделирование РУТ-свойств природных УВ систем с применением отмеченных уравнений состояния РЯ, 8КК показало, что при давлениях свыше 40 МПа существенной становится неточность в оценке

Ключевые слова:

углеводородная

смесь,

уравнение

состояния,

математическое

моделирование,

фазовое поведение,

термодинамические

свойства,

PVT-свойства.

Keywords:

hydrocarbon mixture, equation of state, mathematical simulation, phase behavior, themodynamic properties, PVT-properties.

г-фактора (фактора сжимаемости) газовой (паровой) фазы. Погрешность при описании плотности жидкой фазы и при низких давлениях является высокой. Существует достаточно много способов уточнения кубических уравнений состояния, например введение шифт-параметра [8, 9], введение и уточнение температурных функций [10-12], коррекция критических свойств и фактора ацентричности ю [13] и др.

А.И. Брусиловским поставлена и решена задача создания модификации кубического уравнения состояния, более точно описывающего РУТ-свойства природных нефтегазовых смесей при давлениях до 100 МПа и температурах до 200 °С без применения

шифт-параметра. В качестве основы выбрана следующая форма уравнения состояния:

- КТ а

Р V - Ь (у+ с)(у + й)' (1)

где р - давление; Т - температура; V - мольный объем; Я - универсальная газовая постоянная; Ь, с, й - коэффициенты, постоянные для данного вещества; коэффициент а зависит от температуры (а = акф(Т), где ак - константа, ф - температурная функция, равная единице при критической температуре Тк).

Подробный алгоритм применения уравнения А. И. Брусиловского, структура используемых коэффициентов, таблицы значений коэффициентов парного взаимодействия, компонентов смеси, а также многочисленные примеры, показывающие весьма высокую точность моделирования РУТ-свойств чистых веществ и смесей природных углеводородов при использовании созданной модификации кубического уравнения состояния, приведены в работах [1, 2]. Уравнение А.И. Брусиловского наилучшим образом описывает фазовые равновесия сложных углеводородных систем.

В других источниках [2-5, 14, 15] проводится ретроспективный анализ методических приемов создания расчетных моделей природных УВ смесей, а также отмечены современные вычислительные процедуры идентификации фазового состояния многокомпонентных УВ систем с использованием кубических уравнений состояния.

Многокоэффициентные эмпирические уравнения состояния. Теоретической базой многокоэффициентных эмпирических уравнений состояния служит уравнение состояния в вириальной форме. Для расчета свойств вещества при давлении, не превышающем половину величины критического давления, в правой части сумму можно ограничить слагаемым со вторым вириальным коэффициентом. Его значения для многих газов табулированы или выражены в виде функции В = В(Т).

Сложности при определении вириальных коэффициентов более высокого порядка делают невозможным применение вириального уравнения для описания состояний веществ при больших плотностях. В связи с этим создаются эмпирические уравнения состояния, в которых давление представлено в виде полинома от плотности с коэффициентами, зависящими от температуры. Эти уравнения содержат также экспоненциальный член, введенный для компенсации членов более высокого порядка вириального уравнения.

Среди этой категории уравнений состояния широкое применение при моделировании парожидкостного равновесия и термодинамических свойств смесей легких углеводородов получили восьмикоэффициентное уравнение Бенедикта - Вебба - Рубина (ВЖЯ) и его модификации. Наиболее распространенной модификацией уравнения ВЖЯ явилось 11-коэффициентное уравнение состояния Старлинга - Хана (8И) [16]:

р = ЯТ р + ^ 50 ЯГ - Л- С + Е )р2 +[ ЯТЬ - а -Т ]р3 +

а + Т^р6 + Т£(1 + УР2)ехр(-ур2), (2)

где В0, С0, Ц,, Е0, а, Ь, с, й, а, у - коэффициенты; р - мольная плотность.

Для использования уравнения 8И при расчете парожидкостного равновесия природных смесей Старлинг и Хан получили корреляционные зависимости коэффициентов уравнения состояния от значений критических давления и температуры и ацентрического фактора веществ.

Многоконстантные фундаментальные уравнения состояния. Альтернативой кубическим и многокоэффициентным уравнениям состояния, полученным на базе вириального разложения, являются единые для жидкой и газовой фаз многоконстантные фундаментальные уравнения состояния (ФУС). Активные исследования многоконстантных ФУС начались в 70-е гг. прошлого века применительно к технически важным веществам, для которых имелись разнородные высокоточные экспериментальные данные о ТДС в широком диапазоне параметров состояния. Первоначально уравнения записывались в виде зависимости коэффициента сжимаемости г от приведенной плотности 5 и приведенной температуры т. В дальнейшем в связи с попытками установить физический смысл слагаемых уравнения состояния исследовалась зависимость свободной энергии Гельмгольца а(Т, р) от ее собственных переменных - температуры и плотности. Эти, фундаментальные, уравнения описывают фазовый переход «жидкость - газ», удовлетворяют условиям в критической точке, позволяют производить расчет всех ТДС без привлечения дополнительной информации. Нерешенным оставался вопрос о структуре уравнения - числе коэффициентов полиномиального и экспоненциального вида и показателях степени при температуре и плотности. Число коэффициентов в разных уравнениях колебалось от 14 до 55. При большом числе коэффициентов ФУС в некоторых областях поверхности состояния нарушалась устойчивость уравнения, а именно: наблюдались либо волнообразный характер изменения ТДС, либо нефизичное поведение того или иного свойства, что объясняется ограниченными возможностями применяемого линейного метода поиска коэффициентов. Это существенно затрудняло разработку ФУС для технически важных, но малоисследованных веществ, а также разработку обобщенных ФУС (ОФУС), обладающих широкими прогнозными возможностями. Значительный прорыв был осуществлен

в 1980-1990-е гг. в связи с появлением эффективных оптимизационных алгоритмов, которые широко использовались в различных областях знания. Достаточно полную информацию по проблеме оптимизации УС можно найти в монографии [17]. В настоящее время для технических расчетов предложены две универсальные формы уравнений состояния: 12-констант-ное уравнение Спана - Вагнера [17] и 14-кон -стантное уравнение Сана - Эли [18], которое может быть использовано как для полярных, так и для неполярных веществ.

Далее предлагается обзор методов, рекомендуемых для расчета ТДС нефтяных и газо-конденсатных систем на основе индивидуальных и обобщенных ФУС [19, 20]. (Следует отметить, что рекомендации суммируют результаты многолетних исследований, выполненных коллективом ученых под руководством чл.-корр. РАН, д.т.н., проф. Б.А. Григорьева.) Последовательно изложены рекомендации:

1) по применению многокоэффициентных уравнений состояния для расчета ТДС дегазированных УВ жидкостей;

2) компонентов, находящихся при стандартных условиях в газовой фазе, а также пен-танов (C5), гексанов (С6) и гептанов (С7);

3) вычислению ТДС для многокомпонентных пластовых углеводородных смесей.

ОФУС. Расчет термодинамических свойств сложных жидких УВ смесей (стабильный газовый конденсат, дегазированная нефть, фракции и товарные нефтепродукты) производится с использованием обобщенных ФУС. Для расчета рекомендуется использовать два ОФУС, первое из которых описывает ТДС парафиновых углеводородов (C5 - C50), второе - углеводородов, в молекулах которых имеются циклические структуры - нафтеновые и ареновые.

Уравнения описывают безразмерную свободную энергию Гельмгольца:

a(T, р) _ a0(T, р) + ar (T, р) _

RT ~ RT

= а0(т, S) + а/ (т, S), (3)

где a(T, р) - свободная энергия Гельмгольца; а0(т, 5) - идеально-газовая часть; аг(т, 5) - избыточная часть; 5 = р/рг; т = TrIT; pr, Tr - опорные значения плотности и температуры

соответственно. В уравнениях в качестве параметров приведения используются критические значения, т.е. Тг = Тк и рг = рк.

Идеально-газовая часть определяется соотношением

а0(т, 5) = ^-^-1 + 1п^0>-^Г4+1Г^¿х, (4)

КТ К 50 х К 1 х К 1 х

к 0 То

где 50 = р0/рк - приведенная идеально-газовая плотность при р0 = 101325 Па и температуре Т0 = 298,15 К; т0 = Тк/Т0 - приведенная температура в опорной точке; НО - идеально-газовая энтальпия в опорной точке; ^ - идеально-газовая энтропия в опорной точке; с°р - идеально-газовая изобарная теплоемкость.

Для описания избыточной (конфигурационной) части использована функциональная форма 14-константного уравнения, предложенная Саном и Эли [18] и применимая для расчета ТДС полярных и неполярных веществ:

аг (х, 5) = ¿ п,.х'' + £ п,.х'' ехр(-5р'). (5)

I=1 I = 7

Коэффициенты п1 = с1, + с2,ю + с3 ,ю4'. (6)

Поиск коэффициентов су и степеней ё ,, р, при приведенной температуре т и плотности 5 осуществлялся одновременно посредством нелинейной оптимизационной процедуры. В качестве таковой была применена модификация метода случайного поиска с возвратом при неудачном шаге. Алгоритм модифицирован введением элементов детерминированного поиска на шаге корректировки величины шага поиска и выбора направления. При разработке уравнений накладывались различные ограничения на вид термодинамической поверхности, что позволило обеспечить выполнение условий критической точки, правила Максвелла, положительности теплоемкостей и др.

В Рекомендациях ПАО «Газпром» [19] коэффициенты ОФУС приводятся как для парафиновых углеводородов (от С5 до С50) в диапазоне изменения ю = 0,25^1,8, так и для циклических углеводородов (нафтеновых, ареновых, гибридных) в диапазоне изменения ю = 0,2^1,1. Уравнения применимы для описания всех термодинамических свойств сложных УВ смесей, содержащих углеводороды с числом атомов углерода от пяти и выше, в диапазоне температур от тройной точки до 700 К при давлениях до 100 МПа.

Индивидуальные ФУС. Как уже отмечалось, математическая модель пластовой УВ смеси представляет собой комбинацию компонентного и фракционного составов. Фракционный состав, характеризующий жидкую (так называемую конденсат-ную или нефтяную) при стандартных условиях часть пластовой смеси, моделируется фракциями (псевдокомпонентами), ТДС которых рассчитывают по приведенным ранее ОФУС. Для описания ТДС компонентов, находящихся при стандартных условиях в газовой фазе (Ы2, С02, ИД С;, С2, С3, п-С4, ,-С4), а также распределенных между жидкой и газовой фазами (С5, С6, С7), рекомендуется [19, 20] использовать 12-кон-стантные ФУС, разработанные Спаном и Леммоном [17]. Уравнения имеют форму, аналогичную (5), но содержат 12 индивидуальных коэффициентов:

аг (х, 5) = ¿ п+ £ пехр(-8). (7)

1=1 ¡=7

Уравнения применимы в диапазоне температуры от тройной точки до 600700 К при давлениях до 100 МПа, а для некоторых компонентов и при более высоких давлениях. Коэффициенты уравнения (6) для компонентов, а также коэффициенты идеально-газовых функций и форма уравнений, описывающих идеально-газовую теплоемкость, приведены в [19].

Уравнение состояния для пластовой смеси. Для расчета ТДС пластовой смеси состава х рекомендуется [19] использовать ФУ С реальной многокомпонентной системы, описывающее безразмерную энергию Гельмгольца:

а(5, х, х) = а0 (р, Т, х) + аг (5, х, х), (8)

где а(5, х, х) - свободная приведенная энергия Гельмгольца смеси; а0(р, Т, х) - идеальная часть энергии Гельмгольца смеси:

а0(р, Т, х) = £ х,. [а0,. (р, Т) + 1п х,. ], (9)

1=1

где а0( (р, Т) - идеальная часть энергии Гельмгольца 1-го компонента смеси.

Избыточная функция (часть энергии Гельмгольца смеси) аг(5, т, х) определяется по формуле

аг (5, х, х) = £ х,.< (5, х) + £ £ ^ (8, т); (10)

1=1 1=1 j=i+1

Кро1у Кро1у + ^ехру 2

аг (8,х) = X п1]Лх'- + X ^^* ^^\ (11)

*=1 *=Кр01ц +1

где а 0 (5, х) - избыточная часть энергии Гельмгольца /-го компонента (определяется по уравнению (7) либо по ОФУС); XI - мольная доля /-го компонента в смеси.

Параметры приведения 5 = р/рг(х); т = Тг(х)/Т; рг(х), Тг(х), или так называемые псевдокритические свойства, определяются следующим правилом комбинирования, предложенным Кунцем и Вагнером:

1 N 1 N-1 N

—Г) = £ х<-+ X Е 2Xх1^Yv,!, ^ ^

Рг (Х) , =1 Рс,, , =1 1=,+1 Pv,í,■X,■ + X

х,. + х] 1

„1/3 + „1/3

Р^. 1 J

(12)

Тг(х) = £х%. + £ £ 2XXрг,Ут, (ТС,ТС])0,5, (13)

,=1 ,= 1 у=,+1 Рт ,уХ, * Ху

где Тс ^ и рс/. - критические свойства /-го компонента; Р„, у,, РТ, уТ - коэффициенты бинарного взаимодействия. В Рекомендациях ПАО «Газпром» значения коэффициентов пу избыточной функции (см. (11)) и коэффициентов р„, у,, РТ, уТ заимствованы из работ Кунца и Вагнера [19].

Тестирование методики расчета ТДС для стабильных углеводородных смесей проведено с использованием массива экспериментальных данных о плотности и изобарной теплоемкости более 200 нефтей, газоконденсатов, их фракций, товарных нефтепродуктов в диапазоне температур 200-630 К при давлениях до 60 МПа [19]. Плотность жидкой фазы описывается с погрешностью 0,2-1,5 %. Среднее относительное отклонение 0,7 %. При температурах свыше 450 К и ю > 0,7 ошибки расчета несколько возрастают.

Для бензиновых фракций плотность жидкой фазы описывается с погрешностью 0,5-1,2 %, плотность газовой фазы - с погрешностью 1,0 %. В надкритической области погрешности расчета возрастают от 3 до 8 %. Изобарная теплоемкость рассчитывается со средними ошибками 1-3 % при ю < 0,6. При возрастании фактора ацентрич-ности ошибки расчета увеличиваются и при ю > 1,0 достигают от 8-10 %. Для кубических уравнений состояния ошибки расчета изобарной теплоемкости для тяжелых фракций варьируются в диапазоне 20-100 %.

В газовой фазе изобарная теплоемкость описывается с погрешностью 1-3 %, в надкритической области - в диапазоне 3-7 %.

При тестировании из рассмотрения исключена критическая область Тн < Т < 1,05Тк; |р/рк - 1| < 0,3 (Тн - температура насыщения).

Корреляционные зависимости для оценки свойств нефтей и природных газов

В инженерной практике для оценки свойств флюидов месторождений нефти и газа широко используются корреляционные зависимости, прошедшие широкую апробацию и рекомендуемые опытными специалистами в области свойств пластовых флюидов [21-25]. Тогда в качестве исходных рассматриваются данные стандартных промысловых измерений, не подразумевающих определения компонентного состава флюидов. При ограниченной первичной информации с помощью апробированных корреляций можно получать вполне достоверные значения свойств нефти, газа и воды, необходимые для прогнозирования и мониторинга разработки залежей. Корреляции являются удобным инструментом определения свойств флюидов не только применительно к технологическим расчетам процессов добычи, но и с точки зрения оперативной оценки и верификации под-счетных параметров нефти и газа при отсутствии результатов лабораторных исследований представительных проб.

Атомистическое компьютерное моделирование как новое средство описания фазового состояния УВ систем

Отмечается, что современные вычислительные средства и методы, в том числе атомистического моделирования (АМ), позволяют выполнять расчеты фазовых диаграмм без непосредственного привлечения экспериментальных данных [26]. К основным для АМ относят методы молекулярной динамики (ММД) и Монте-Карло (ММК). ММД использует численное интегрирование уравнений движения для системы атомов и может применяться как универсальный метод исследования вещества.

Ключевой фактор в обеспечении достоверности результатов АМ - выбор потенциала взаимодействия в модельной системе. Для моделирования фазовых диаграмм УВ наиболее широко применяют потенциал TraPPE (англ. transferable potential for phase equilibria), а для воспроизведения свойств жидкой фазы -

потенциал OPLS (англ. optimized potentials for liquid simulations).

Недостаток АМ заключается в ограничении размера моделируемой системы мощностью компьютера. Современные многопроцессорные системы позволяют моделировать систему в составе до 109 частиц, что соответствует объему в несколько кубических микронов. Преимущество АМ - возможность расчета не только термодинамических характеристик, но и кинетических свойств вещества, таких как коэффициенты переноса, а также динамики равновесных и неравновесных процессов. Особенно полезно АМ при исследовании свойств вещества и процессов в нанометриче-ских масштабах. Оно позволяет изучать конденсацию в поровом пространстве в неравновесных условиях.

Предлагается создать отечественный программно-вычислительный комплекс для моделирования свойств флюидов месторождений природного газа и нефти, который не будет уступать зарубежным аналогам ни по полноте моделируемых свойств и процессов, ни по применяемым методам. Такой программный продукт должен аккумулировать современные методы математического моделирования фазовых превращений и теплофизических свойств природных УВ систем, что будет способствовать реализации программы импортозамеще-ния на важном научно-техническом направлении обеспечения процессов проектирования разработки и эксплуатации залежей достоверными данными о фазовом состоянии и PVT-свойствах пластовых, добываемых и нагнетаемых флюидов.

В свою очередь, реализация данного предложения повысит востребованность научно-исследовательских результатов, полученных специализированными организациями ПАО «Газпром», ООО «Газпромнефть НТЦ», институтами РАН и университетами. Кроме того, такой комплекс, несомненно, принесет пользу с точки зрения организации обучения на курсах повышения квалификации специалистов отрасли и в высших учебных заведениях.

Список литературы

1. Брусиловский А.И. Методология и результаты применения кубических уравнений состояния для моделирования термодинамических свойств природных углеводородных флюидов / А.И. Брусиловский // Актуальные вопросы исследований пластовых систем месторождений углеводородов: сб. науч. статей: в 2 ч. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2011. -Ч. 2. - С. 150-165. - (Вести газовой науки).

2. Брусиловский А.И. Фазовые превращения при разработке месторождений нефти и газа / А.И. Брусиловский. - М.: Грааль, 2002. - 575 с.

3. Whitson C.H. Phase behavior / C.H. Whitson, M.R. Brule. - Richardson, Texas, 2000. - 240 p. -(SPE Monograph Series).

4. Danesh A. PVT and phase behavior of petroleum reservoir fluids / A. Danesh. - Elsevier Science B.V., 1998. - 104 p.

5. Pedersen K.S. Phase behavior of petroleum reservoir fluids / K.S. Pedersen, P.L. Christensen, J.A. Shaikh. - Taylor & Francis Group LLC, 2015. - 439 p.

6. Уэйлес С. Фазовые равновесия в химической технологии: в 2-х ч. / пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - Ч. 1: 304 с. - Ч. 2: 360 с.

7. Герасимов А.А. Анализ точности расчета термодинамических свойств природных углеводородов и сопутствующих газов по обобщенным кубическим уравнениям состояния / А.А. Герасимов, И.С. Александров, Б.А. Григорьев и др. // Вести газовой науки: Актуальные вопросы исследований пластовых систем месторождений углеводородов. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2015. - № 4 (24). - С. 5-13.

8. Peneloux A. A consistent volume correction for Redlich-Kwong-Soave volumes / A. Peneloux, E. Rauzy, R. Freze // Fluid Phase Equilibria. -1982. - V. 8. - P. 7-23.

9. Jhavery B.S. Three-parameter modification of the Peng-Robinson equation of state

to improve volumetric predictions / B.S. Jhavery, G.K. Youngren // SPE Reservoir Engineering. -1988. - V. 3. - № 3 (August). - P. 1033-1040.

10. Duan Z. A new cubic equation of state and its applications to the modeling of vapor-liquid equilibria and volumetric properties of natural fluids / Z. Duan, J. Hu // Geochimicaet cosmochimica acta. - 2004. - V. 68, № 14. -P. 2997-3009.

11. Atilhan M. A new cubic equation of state: a thesis / M. Atilhan // Master of science. - Texas A&M University, 2004. - 136 p.

12. Neau E. The Soave, Twu and Boston-Mathias alpha functions in cubic equations of state. P. II. Modeling of thermodynamic properties of pure compounds / E. Neau, O. Hermandez-Garduza // Fluid phase equilibria. - 2009. - V. 276. -

P. 156-164.

13. Hinojosa-Gomez H. A modifi cation to the Peng-Robinson - fi tted equation of state for pure substances / H. Hinojsa-Gomez, J.F. Barragan-Aroche, E.R. Bazua-Rueda // Fluid phase equilibria. - 2010. - V. 298. - P. 12-23.

14. Брусиловский А.И. Рациональный подход

к формированию моделей пластовых нефтей для гидродинамических расчетов при проектировании и мониторинге разработки месторождений / А.И. Брусиловский, А.Н. Нугаева, И.Е. Хватова // Вестник ЦКР Роснедра. - 2009. - № 4. - С. 48-56.

15. Ющенко Т.С. Новый инженерный метод создания и адаптации PVT-модели природной газоконденсатной смеси / Т.С. Ющенко, А.И. Брусиловский // Вести газовой науки: Актуальные вопросы исследований пластовых систем месторождений углеводородов. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2015. - № 4 (24). -

С. 14-20.

16. Starling K.E. Fluid themodynamics properties for light systems / K.E. Starling. -Houston: Gulf Publ. Co., 1973. - 270 p.

17. Span R. Multiparameter equation of state:

an accurate source of thermodynamic property data / R. Span. - Berlin: Springer, 2000. - 367 p.

18. Sun L. Universal equation of state for engineering application: algorithm and application / L. Sun, J.E. Ely // Fluid Phase Equilibria. - 2004. -

V. 222-223. - P. 107-118.

19. Григорьев Б.А. Моделирование термодинамических свойств нефтяных и газоконденсатных систем на основе фундаментальных многоконстантных уравнений состояния / Б. А. Григорьев, А.А. Герасимов, И.С. Александров и др. // Рекомендации ПАО «Газпром». - М.: Газпром экспо, 2016.

20. Григорьев Б. А. Моделирование термодинамических свойств нефтяных и газоконденсатных систем на основе многоконстантных уравнений состояния / Б.А. Григорьев, А.А. Герасимов,

И.С. Александров // Газовая промышленность. - 2013. - № 696: спецвыпуск. - C. 98-101.

21. Григорьев Б.А. Теплофизические свойства нефти, нефтепродуктов, газовых конденсатов и их фракций / Б.А. Григорьев, А.А. Богатов, А.А. Герасимов; под ред. Б.А. Григорьева. - М.: Издательство МЭИ, 1999. - 372 с.

22. Григорьев Б.А. Теплофизические свойства и фазовые равновесия газовых конденсатов

и их фракций / Б.А. Григорьев, А.А. Герасимов, Г.А. Ланчаков; под общ. ред. Б.А. Григорьева. -М.: Издательский дом МЭИ, 2007. - 344 с.

23. Корреляционные зависимости для нефтяных систем. Гл. 6 // Справочник инженера-нефтяника. Т. 1: Введение в нефтяной инжиниринг. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2014. -

С. 313-406.

24. McCain W.D. Petroleum reservoir fluid property correlations / W.D. McCain, Jr., J.P. Spivey, C.P. Lenn. - PennWell Publishing Company, 2011. - 219 p.

25. McCain W.D. Reservoir fluid property correlations - state of the art / W.D. McCain, Jr. // SPE Reservoir Engineering. - 1991. - May. -

P. 266-272.

26. Норман Г.Э. Атомистическое моделирование пластовых систем месторождений углеводородов / Г.Э. Норман, В.В. Писарев,

B.В. Стегайлов // Вести газовой науки: Актуальные вопросы исследований пластовых систем месторождений углеводородов. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2015. - № 4 (24). -

C. 161-165.