CC BY
239
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)
УДК 512;514; 519.6;519.8
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В СКМ MAPLE ГРАФИЧЕСКИХ И АНИМАЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ШКОЛЬНЫХ КУРСОВ МАТЕМАТИКИ
© Л.И.Розакова
В статье рассмотрены основные математические структуры элементарной математики, их математические модели и принципы построения их компьютерных моделей в СКМ Maple 5.5. Приведены примеры геометрической интерпретации и анимации основных объектов элементарной математики и их свойств.
Ключевые слова: математическое моделирование, компьютерное моделирование, динамическая графика, элементарная математика, многопараметрические программные процедуры.
1. Введение Системы компьютерной математики (СКМ),
Возрастающие информационные потоки и темпы развития общества диктуют необходимость коренного пересмотра целей, задач и структуры образования. В настоящее время само существование образования, особенно естественно-научного, невозможно представить без интенсивного применения методов информационных технологий (ИТ), которые одновременно решают и когнитивные, компетентностные задачи, а также задачи организации учебного процесса. Однако, следует заметить, что до сих пор в подавляющем числе случаев использование ИТ в учебном процессе происходит на дилетантском уровне и чаще всего сводится к механическому копированию, набору текстов и линейным презентациям. Таким образом, уникальные возможности ИТ фактически остаются нереализованными, а процесс внедрения ИТ заменяется его профанацией. Необходимо подчеркнуть, что увеличение степени наглядности и интерактивности учебных материалов, созданных средствами ИТ, требует вложения больших интеллектуальных затрат и высокой степени профессионализма преподавателей. В первую очередь, сказанное касается предметов физико-математического цикла. Здесь центральной идеей создания высококачественных электронных учебных материалов является математическое моделирование изучаемых объектов и явлений. Создание математической модели изучаемого объекта во многом определяет наглядность и степень усваивания изучаемого материала. Поэтому основными образовательными требованиями к математической модели должны быть: ее многопараметрич-ность, возможность графической трехмерной реализации, интерактивность, возможность построения анимационных (графических динамических) представлений.
в первую очередь Maple, предоставляют уникальные программные и графические возможности для реализации этой идеи [1]. Однако, попытка прямого применения стандартных процедур СКМ далеко не всегда дает желаемый результат. Для получения качественных графических и анимационных моделей основных математических структур анализа функций приходится создавать пользовательские многопараметрические программные процедуры, простые для неискушенного в программировании пользователя, которые удобно объединять в специализированные библиотеки пользовательских процедур [2].
Ниже мы рассмотрим основные методы создания интерактивных учебных материалов с помощью СКМ на конкретных примерах из школьных математических курсов. Соответствующие пользовательские процедуры объединены в авторской библиотеке SchoolMathematics.
2. Компьютерное моделирование математической модели тригонометрического круга
Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций, включая их производные, а, в особенности, важного для понимания многих природных процессов свойства периодичности. Поэтому изучению этих функций следует уделить пристальное внимание. При изучении данной темы в школьном курсе возникают большие трудности из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. Как показывают результаты ЕГЭ и вступительных экзаменов последних лет, выпускники средних школ весьма слабо знают именно этот раздел ал-
гебры, в частности, не могут определить значения тригонометрических функций для ряда простейших значений аргумента, плохо владеют формулами приведения и т.п. Нам представляется, что это является результатом потери связи между математическим понятием и наглядными математическими моделями тригонометрических функций, в частности, моделью тригонометрического круга. Математическая модель тригонометрических функций, реализованная в СКМ с помощью авторских программных процедур, помогает преодолеть указанный разрыв. Математическая модель тригонометрического круга построена на известном геометрическом факте равенства катетов вписанного в единичную окружность треугольника синусу и косинусу центрального угла ф.
Компьютерная модель реализуется с помощью анимационной процедуры. Завершающим этапом создания процедуры анимации является составление последовательности, каждый член которой представляет графический кадр рисунка с заданным значением угла. Анимация осуществляется с помощью процедуры:
plots[display](seq(GC(i),i=1..n+1),
insequence=true).
Созданная многопараметрическая программная процедура позволяет эффективно управлять процессом анимации: выбирать градусную или радианную меру углов, изменять цвет элементов изображения, обозначение угла и т.д. Полученный в результате применения процедуры графический Maple-объект можно сохранять в формате gif (при этом мы получим анимационный фильм) или экспортировать в HTML (при этом получим качественную WEB-страницу). Анимационная модель тригонометрического круга вызывается процедурой:
SchoolMathematics[AnimCircSin]
(a,black,blue,red,2,grad);
Исполнение процедуры показано на Рис.1. Отметим, что созданные процедуры позволяют демонстрировать функции sin^) и cos^) для любого угла ф, заданного как в радианной, так и градусной мере.
Рис.1. Кадр из анимации математической модели тригонометрического круга
3. Компьютерное моделирование математической модели производной функции
Касательной прямой к кривой L в точке А называют предельное положение секущей АМ, когда точка М неограниченно приближается по кривой L к точке А. Построим компьютерную модель вычисления производной произвольной функции f(x) и ее геометрического представления в виде касательной к графику функции для заданных своими абсциссами x1, x2 произвольных точек A и M кривой L, используя алгоритм деления отрезка [x1, x2] на n частей. Сначала создадим процедуру построения n-го кадра графика секущей (A,xn), где Хп = x + (x2 - xj/ n, graph_n(x,f,x1,x2,n, c1,c2), где с1,с2 - цвета графика функции f(x) и секущей, соответственно, -graph_n(x,f,x1,x2,n,c1,c2) (подробности см. в [4]).
Процедура анимации получается с помощью команды display с опцией insequence=true от последовательности n предыдущих графиков graph(x,f,x1,x2,n,c1,c2). Заметим, что аналогичная процедура, реализованная для конкретной функции y = (ecos(x) + 3) , с использованием библиотеки student описана в книге Матросова [3]. При этом в процедуре Матросова необходимо устанавливать границы изображения и другие параметры. Наша же многопараметрическая процедура, Anim(x,f,x1,x2,N,c1,c2), автоматически оптимизирует область изображения графика, отображая на нем все существенно важные элементы, при этом предоставляя пользователю возможность вводить произвольную функцию f, устанавливать начальный интервал [x1,x2], задавать число кадров анимации и цвета кривой и касательной. Исполнение созданной процедуры имеет формат: >Anim(x,xA3,1,Pi,200,red,blue);
- в данном случае создается анимационный фильм длиной в 200 кадров, демонстрирующий процесс стремления секущей к графику кубической параболы, заданной абсциссами первоначальных точек x1=1 и x2=n, в титрах которого откладываются моментальные значения номера кадра, N, дифференциала Ax, приближенного значения производной на n-ом шаге и точного значения производной. На рисунках 2, 3 показаны первый и сотый кадры анимационного фильма, состоящего из 200 кадров. Начальные значения x1 и x2 равны 1 и 3, соответственно.
Аналогичным образом создаются программные процедуры изображения касательной при движении точки касания вдоль кривой, процедуры интегрирования функции и т.п.
4. Компьютерное моделирование математической модели свойств касательных к окружности
Создадим компьютерную модель известной школьной теоремы планиметрии о свойствах касательной к окружности.
[И = 1, с!х = 2., = 13.00, Оу/с!х = 3.]
X
Рис.2. Первый кадр анимационного фильма
[Г\І = 100, сіх = ,2000е-1, сіу/ііх = 3.060, йу/сіх = 3.]
X
Рис.3. Сотый кадр анимационного фильма
Теорема: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, а прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными пополам (Рис.4).
Алгоритм построения модели
Пусть ОМі=ОМ2=Я - радиус окружности С.
1. Найдем длину отрезка ОМ:
ОМ = ^{МХ - О )2 + (Му - Оу )2 ;
2. Найдем р=ММ1 - радиус окружности с центром в т. М:
р = у/ОМ2 - Я2 ;
3. Построим эту окружность:
(х - Мх )2 + (у - Му )2-р2 = 0; (1)
4. Построим окружность С:
(х - Ох )2 +(у - Оу )2 - Я2 = 0; (2)
5. Найдем М1, М2 - точки пересечения этих окружностей, решая совместно квадратные уравнения (1), (2) относительно переменных х, у;
6. Построим прямые ММ1, ММ2, МО, М10, М2О.
Программная процедура
Программная процедура
Tan_Cir(proc(Q,M0,R) (подробности см. в [4]) осуществляет построение изображения касательных к заданной координатами центра, 0, и радиусом, Я, окружности, выходящих из точки с координатами М0.
Пример исполнения процедуры
Тап_Сіг([1,2],[4,7],3) показан на Рис.5.
5. Компьютерное моделирование процедуры вычисления определенного интеграла
Определенным интегралом функции У=/(х) по промежутку [а,Ь] называется конечный предел интегральных сумм1 (см., например, [5])
X/(£)&х,
1=1
при п ^ да, где предел берется по всем разбиениям промежутка [а,Ь] на п отрезков длиной Ах{, причем максимальный отрезок разбиения стремится к нулю, а точка принадлежит 1-му от-
резку разбиения и обозначается
|/(х)Л = Пт£4/(£.)Дх .
а 1=1
Геометрически определенный интеграл представляет площадь криволинейной трапеции под графиком положительной функции. Если на некотором отрезке функция отрицательна, то определенный интеграл по этому промежутку отрицателен.
Увеличивая число отрезков разбиения заданного промежутка, мы увеличиваем точность вычисления определенного интеграла. Компьютерная модель заключается в том, что, увеличивая число п, мы осуществляем предельный процесс вычисления площади криволинейной трапеции.
Создадим процедуру итераций функции Д(х) на отрезке [а,Ь], разбивая его на п частей методом прямоугольников, причем высоту прямоугольников определим как левое значение функции на каждом из интервалов:
> АА:=/,х,а, Ь,п,ё)->т1ёЛеЬох/,х=а..Ь,п,Ш1в=ё, Ш1е/оМ=[Т1МЕ5,Б01П,14]):
1 Здесь, конечно, предполагается, что пределы нижней
и верхней сумм Дарбу совпадают.
Команда middlesum вычисляет среднюю сумму для заданного разбиения, которая аппроксимирует определенный интеграл от заданной функции на заданном промежутке:
> LS:=(f,x,a,Ь,n)->middlesum(f,x=a..Ь,n): Конвертируем полученную величину в строковую переменную:
> LSN:=(f,x,a,Ь,n)->convert(eval/(LS(/,x,a,Ь,n)),string): Cadr:=(f,x,a,Ь,n)->AA(/,x,a,Ь,n,LSN(f,x,a,Ь,n)): Cadr(sm(x)/x,x,0,2*Pi,12);
СскЗг: =(£х, а, Ь, п)^>АА (£х, а, Ь, п,Ь5Ы(£х, а.Ь.п))
1.416321137
\ \
1 2 5
Рис.6. Двенадцатый кадр анимации процесса вычис-
2п
ления определенного интеграла | sin(х)/xdx методом
0
прямоугольников
С помощью команды seq создадим последовательность этих интегральных сумм, задав в качестве заголовка значение суммы при заданном числе разбиений:
> S:=(f,x,a,Ь,N)->seq(Cadr(/,x,a,Ь,n),n=1..N); Наконец, создадим анимацию процесса вы-
Ь
числения определенного интеграла: 3 = | № при
a
делении промежутка интегрирования на N частей:
> GS: =(/,x,a,Ь,N)->plots [display] (S(f,x,a,Ь,N), insequence=true):
Заметим, что аналогичная процедура, реализованная для конкретной функции /(х) = (х - 2)(х - 3)(х - 4) + х2(х - 3), описана в книге Матросова [3]. Наша процедура GS(f,x,a,Ь,N) позволяет анимировать процедуру вычисления определенного интеграла от любой функции. При этом процедура GS позволяет контролировать границы промежутка интегрирования и число интервалов разбиения.
6. Заключение Таким образом, с помощью СКМ на основе математического и компьютерного моделирова-
ния можно создавать качественные интерактивные учебные материалы, применение которых на уроках математики позволяют существенно повысить эффективность учебного процесса и активизировать познавательную деятельность учащихся. Заметим, что рассмотренный аспект применения СКМ является одной из возможностей СКМ в физико-математическом образовании - сочетание методов математического и компьютерного моделирования в среде СКМ самими учащимися позволяет повысить креативность предметов физико-математического цикла, сделать эти предметы наглядными и интересными и развить интерес к научному творчеству учащихся.
1. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. - М.: Солон-Пресс, 2006. - 720 с.
2. Игнатьев Ю.Г. Проблемы информационных технологий в математическом образовании: учеб. по-соб. / Под ред. Ю.Г.Игнатьева - Казань: ТГГПУ, 2005. - 120 с.
3. Матросов А . Maple б. Решение задач высшей математики и механики. - СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 52б с.
4. Розакова Л. И. Математическое моделирование объектов элементарной математики и их анимация в СКМ Maple // Труды Российской летней школы "Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики" и Российского семинара "Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии" / Под ред. Ю.Г.Игнатьева. - Казань: Фолиантъ, 2010. - С.79-8б.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 2002. -Т.2. - 799 с.
THE METHODS OF MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELLING OF GRAPHIC AND ANIMATED MATERIALS IN SCM MAPLE FOR SCHOOL COURSES OF MATHEMATICS
L.I.Rosakova
The basic mathematical structures of the elementary mathematics, mathematical models and principles of constructions of their computer models in SCM Maple 5.5 are considered in this article. The examples of geometric and dynamic graphics of the basic objects of elementary mathematics and theirs properties are represented.
Key words: mathematical modelling, computer modelling, dynamic graphics, elementary mathematics, polyvalent programme procedures.
Розакова Лейсан Илдусовна - соискатель кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.
E-mail: [email protected]
