Научная статья на тему 'Динамическая визуализация решения дифференциальных уравнений при преподавании высшей математики'

Динамическая визуализация решения дифференциальных уравнений при преподавании высшей математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

780
77
Поделиться
Ключевые слова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / КОМПЬЮТЕРНАЯ МАТЕМАТИКА / ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ / МЕТОДИКА МАТЕМАТИКИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сачкова О. А.

Описаны основные принципы математического моделирования и программные процедуры в системе компьютерной математики Maple, оснащенной динамической визуализацией решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сачкова О.А.,

DYNAMIC VISUALIZATION OF SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE COURSE OF HIGHER MATHEMATICS

The abstract describes basic principles of computer-aided organization of lectures and seminars on the higher mathematics course for the students of agricultural institutes of higher education. The programmed procedures of dynamic visualization in the “Maple” Computer Mathematics System are studied regarding the sample topic of ordinary differential equations.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Динамическая визуализация решения дифференциальных уравнений при преподавании высшей математики»

the udder in a new way. A comparative analysis of animals that are different groups in terms of uniformity of development of the udder quarters.

УДК: 512;514; 519.6; 519.8; 378.02:37.016

ДИНАМИЧЕСКАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Сачкова О.А. - старший преподаватель Казанская государственная академия ветеринарной медицины имени Н.Э. Баумана

e-mail: sachkova.olga@mail.ru

Ключевые слова: математическое моделирование; компьютерная математика; обыкновенные дифференциальные уравнения; высшее образование, методика математики.

Key words: mathematical modeling; computer mathematics; ordinary differential equations; higher education; methodology of mathematics.

В связи с изменением учебных планов и сокращением часов, отведенных на изучение высшей математики, необходимо внедренияеновых методов обучения, которые позволят за достаточно короткий промежуток времени обеспечить высокий уровень овладения изучаемым материалом и закрепления его на практике. Поэтому методические инновации связаны с применением информационных технологий обучения.

Применение информационных технологий на занятиях по высшей математике предоставляет перспективные возможности для обучения: позволяет сделать аудиторные занятия более интересными, динамичными, визуализированными.

В статье рассматривается применение информационных технологий, а именно математическое моделирование, для изучения темы «Дифференциальные уравнения».

Математическое моделирование является основой научного познания окружающего мира. Суть математического моделирования заключается в перенесении реальных свойств объекта или процесса на некоторые математические отношения на конкретной базе, состоящей из декартовых произведений изученных в математике множеств, имеющих определенную математическую структуру. Физические, химические, биологические и социальные процессы не являются в этом смысле исключением. Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений и

процессов дифференциальными уравнениями и их системами. Простейшие модели явлений и процессов описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями и даже более узким их классом -обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями. Можно сказать, что линейные дифференциальные уравнения и их системы являются достаточно адекватной математической моделью процессов, либо слабо нарушающих состояние системы, в которой они протекают, либо протекающих в течение малого по сравнению с характерным временным масштабом системы. При учете влияния процессов на систему, либо при изучении их долговременного поведения математическая модель линейных дифференциальных уравнений становится непригодной и ее необходимо заменить на нелинейную модель. В этой статье мы рассмотрим линейные процессы. Именно линейные дифференциальные уравнения хорошо изучены, так что их решение обычно легко алгоритмизируется, поэтому именно эти уравнения и изучаются в стандартных курсах дифференциальных уравнений. Однако даже основы теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений плохо усваиваются студентами нематематических факультетов. Причинами этого, по-видимому, являются некоторая абстрактность материала и малая степень наглядности. Как неоднократно отмечалось в работах [1] - [5], графическая визуализация излагаемого материала с помощью системы компьютерной математики (СКМ) Maple и особенно динамическая визуализация помогает качественному усвоению абстрактного материала, а также более глубокому пониманию изучаемых объектов и явлений. Следует также отметить, что для неспециалистов в математике гораздо более важным является аспект математической формулировки модели и ее исследование, чем тонкости, связанные с теорией дифференциальных уравнений. Поэтому при изложении темы дифференциальных уравнений для студентов необходимо максимально упростить процедуру ввода задачи Коши, перенося акцент на исследование решений и выяснение их смысла.

Рассмотрим программные процедуры автоматизированного решения дифференциальных уравнений и различные способы динамической визуализации с помощью системы компьютерной математики Maple.

СКМ Maple позволяет находить в квадратурах общее решение систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с помощью стандартной команды dsolve(Eqs,Vars), где Eqs - система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), записанных в виде неупорядоченного множества {Eq1,Eq2,...,Eqn}, Vars - неупорядоченное множество искомых функций {y1(x),y2(x),..., yn(x)} (см., например, [6]).При этом решение выдается в виде неупорядоченного множества равенств:

{*(x) = Fx(x,_C1,..,_Cn), y2(x) = F2(x,_C1,..,_Cn), ..,y(x) = Fn(x,_C1,..,_Cn)}, (1) в которых Fi(x,_C1,..,_Cn) - функции переменного x и n произвольных

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

констант _Ci; при этом функции Fi могут выражаться через элементарные или специальные функции, либо в тех случаях, когда программе не удается найти явное значение интегралов, записываться в виде квадратур. Решение же задачи Коши достигается в пакете Maple этой же командой в формате dsolve({Eqs,IC},Vars), где IC - начальные условия. В этом случае решение выдается в явном виде:

Формат вывода решений (1) - (2) не позволяет непосредственно использовать полученные решения для их анализа и построения графиков. Для вывода решения в удобной для использования форме необходимо представить полученные решения в списочном формате векторной функции заданного аргумента. Программные процедуры GenDifSolve и DsolveCoush созданной нами библиотеки программных процедур ODES позволяют решить эту проблему и тем самым предоставляют пользователю возможность обращаться с решениями ОДУ, как с обычными функциями. Программная процедура GenDifSolve(Eq,x,y,n,G) [3] находит общее решение обыкновенного дифференциального уравнения Eq произвольного порядка n относительно функции у(х) с приданием n произвольным константам имен Gi:

Следует прокомментировать эту программную процедуру. Формат вывода произвольных констант в СКМ Maple имеет вид: _C1, _C2, ..., _Cn, что не соответствует Российским математическим стандартам. В связи с этим программная процедура переводит формат вывода Maple в Российский стандарт. Приведем пример нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у" - 0.2/ + 10у = 74sin3x.

В этом решении F1 и F2 - произвольные константы согласно обозначениям пользователя. Для получения частного решения данного уравнения, отвечающего значениям констант F1=1, F2 =2, достаточно использовать эту же команду в следующем формате:

>Z1:=(x)->ODES[GenDifSolve](diff(y(x),x$2)-0.2*diff(y(x),x)+10*y(x)-74*sin(3*x)=0,x,y,2,[1,2,3]);

{/i(x) = Fi(x), У2О) = F2(x), ..,у(x) = Fn(x)} . (2)

>Z:=(x,S)->ODES[GenDifSolve](diff(y(x),x$2)-0.2*diff(y(x),x)+10*y(x)-74*sin(3*x)=0,x,y,2,S); >Z(x,F);

>Z1(x);

f x Л

io) . f 3 /ГГГ x Л

Для адекватного представления компьютерных моделей объектов, описываемых ОДУ, необходимо создать программные процедуры управляемой, оснащенной динамической визуализации. Для повышения наглядности компьютерных моделей ОДУ можно использовать различный графический формат вывода решений: динамическая визуализация решения в виде графика функции с временной разверткой по переменной х, динамическая визуализация в формате динамической гистограммы и динамической цветовой/бело-серой визуализации. В случае цветовой визуализации каждому цвету (или освещенности) сопоставляется значение функции у

Программная процедура AnimF(f,x,a,b,i) [3] позволяет решить проблему визуализации решения дифференциального уравнения и представить это решение в виде графика функции. В этой процедуре f -решение дифференциального уравнения, x - переменная, a, Ь - начало конец отрезка анимации, i - число кадров.

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения у2 - 0,2у' +10у - 74вт3х = 0 с начальными условиями у(0) = 6, у' (0) = 3 в виде анимации фазовой траектории функции (рис. 1): > ODES[AnimF]((Z1(x)),t,0,20,64):

["¡" = 46. ["х" = 14.38, "у" = -240.6]]

Рис. 1. Вывод решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в виде анимации функции

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Программная процедура RectangleColor(f,x,k,a,N) [3] выводит решение дифференциального уравнения в форме гистограммы. В данной процедуре f - решение дифференциального уравнения, х - переменная, а -интервал отрезка анимации, N - число кадров.

Для большей наглядности динамическая визуализация RectangleColor(f,x,k,a,N) [3] решения дифференциального уравнения в форме гистограммы может быть реализовано в сочетании с анимацией цветом. При такой реализации оттенкам серых цветов соответствуют меньшие значения функции, а темных - большие значения.

На рис.2 - рис.3 представлена графическая интерпретация решения данного дифференциального уравнения. > ODES [DsolveCoush] (diff(y(x),x$2)-0.2 *diff(y(x),x)+10*y(x)-74*sin(3*x)=0,[y(0)=3,D(y)(0)=3],y,x, [0,1.4],50);

Рис. 2. Вывод решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в виде динамической гистограммы изменения цвета. Справа иллюстрация на интервале [0, 2,28], а с лева на

интервале [0, 1,4].

Рис 3. Вывод решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в виде динамической гистограммы изменения цвета (гладкий рисунок). Справа иллюстрация на интервале [0,

2,28], а с лева на интервале [0, 1,4].

Таким образом, различные способы динамической визуализации с помощью системы компьютерной математики Maple позволяют наглядно представить решения дифференциальных уравнений, а, следовательно, эффективнее усвоить данный раздел высшей математики.

ЛИТЕРАТУРА: 1. Сачкова О.А. Динамические модели дифференциальных уравнений в учебном процессе // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XIII международной научной конференции.- Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2012.

- Вып. 12. -256с., с. 47- 49. 2. Сачкова О.А. Программные процедуры автоматизированного решения обыкновенных линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и оснащенной динамической визуализации их решений. // Труды Российской школы «Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений» и Международного научного семинара «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии» 21-26 октября 2013, -Казань: Отечество, 2013г.

- с.131-132. 3.Сачкова О.А. Методическое обеспечение темы «Дифференциальные уравнения» на основе технологии оснащенной динамической визуализации решений обыкновенных дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maple // Информационные технологии в образовании и науке. Материалы международной научно-практической конференции ИТ0Н-2012 8-12 октября. Изд-во КФУ, 2012.-242с., с.159-161. 4.Сачкова О.А. Программные процедуры автоматизированного решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и оснащенной динамической визуализации их решений // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: Материалы двенадцатой молодежной научной школы конференции «Лобачевские чтения - 2013» 24-29 октября 2013, -Казань: Казан. Ун-т, 2013. -Т.47. - с.157-160. 5.Оснащенная динамическая визуализация решений однородных линейных и нелинейных дифференциальных уравнений // 13-15 ноября 2013 года 2-й Международная молодежная научно-практическая конференция «ПОКОЛЕНИЕ БУДУЩЕГО -2013: взгляд молодых ученых» (МЛ-03), Курск 2013, том-5, с. 326-328. 6. Дьяконов В.П., Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - М.: СОЛОН-Пресс, 2006.

ДИНАМИЧЕСКАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ

Сачкова О.А.

Резюме

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Описаны основные принципы математического моделирования и программные процедуры в системе компьютерной математики Maple,

оснащенной динамической визуализацией решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

DYNAMIC VISUALIZATION OF SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE COURSE OF HIGHER MATHEMATICS

Sachkova O.A.

Summary

The abstract describes basic principles of computer-aided organization of lectures and seminars on the higher mathematics course for the students of agricultural institutes of higher education. The programmed procedures of dynamic visualization in the "Maple" Computer Mathematics System are studied regarding the sample topic of ordinary differential equations.

УДК 636.085.16: 636.5.033

ВЛИЯНИЕ КОРМОВОЙ ДОБАВКИ «ЭКСТРАФИТ» НА ПРОДУКТИВНОСТЬ ИНДЮКОВ КРОССА BIG-6

Семина О.В. - аспирант; Папуниди К.Х. - д.в.н., профессор;

*Шилов В.Н. - к.б.н., доцент; **Жарковский А.П.

Федеральный центр токсикологической, радиационной и биологической безопасности

(г. Казань)

*ФГБОУ ДПОС «Татарский институт переподготовки кадров агробизнеса»

** ООО «Электрол Б» e-mail:vnivi@mail.ru

Ключевые слова: экстракт, амарант, индюки, рост, развитие, затраты корма, эффективность.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Key words: extract, amaranth, turkeys, growth, development, costs of feed, efficiency.

Интенсивное животноводство невозможно без прочной кормовой базы и полноценных кормов. Использование несбалансированных рационов приводит к снижению продуктивности животных, перерасходу кормов на единицу продукции, повышению ее себестоимости и, в конечном итоге, к снижению эффективности отрасли. Поэтому целесообразно использовать кормовые добавки, содержащие питательные и биологически активные вещества, которые смогут обогатить рацион. Эти компоненты, находясь в кормах в незначительных количествах, играют важную роль в обменных процессах, происходящих в организме животных, влияют на переваримость и усвоение питательных веществ