Методы финансового анализа для исследования одной модели страхования Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

УДК 519.681

Е.Н. Барышева, В.Н. Никишов, А.Л. Сараев * МЕТОДЫ ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОЙ МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ

Фактическая динамика страховых показателей может значительно отличаться от теоретических результатов, получаемых на основе стандартных актуарных методов и моделей.

В работе показано, что методы стохастической финансовой математики, применяемые для исследования показателей фондового рынка, и методы нелинейной динамики, применяемые для описания детерминированного хаоса, могут быть полезны для анализа динамических моделей страхования.

Ключевые слова и фразы: аппроксимация, перестрахование, убыток, убыточность, портфель рисков, гамма-распределение, предельное распределение.

1. Моделирование страхового фонда и его характеристика

При анализе страхового портфеля основной интерес представляет динамика страхового фонда и{ = и0 + wt - st, где и0 — начальный капитал; ^ — объем премии, поступившей к моменту времени t, и st — совокупный размер выплат к этому же моменту времени. Существует большое количество актуарных методов рассмотрения динамики иг, с некоторыми из них можно ознакомиться в [1—3].

Изменение фонда подвержено влиянию множества факторов, так что несовпадение теоретической динамики с фактическими изменениями — скорее правило, чем исключение.

Логично дополнить анализ динамики страхового фонда методами финансового анализа поведения активов, где влияющих факторов и методов их учета не меньше.

* © Барышева Е.Н., Никишов В.Н., Сараев А.Л., 2011

Барышева Евгения Николаевна ([email protected]), Никишов Виктор Николаевич ([email protected]), Сараев Александр Леонидович ([email protected]), кафедра математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

В связи с отсутствием фактического временного ряда достаточно длительной протяженности смоделируем динамику страхового фонда и предложим возможные методы его анализа на базе методов и моделей финансовой математики.

Рассмотрим коллективную модель страхования, в которой количество исков

n(t) , поступивших к моменту времени t, задается распределением Пуассона (1):

P(n(t )= k ) = e-1' М.. (1)

Параметр процесса Пуассона l считается заданным.

Капитал страховщика U(t) к моменту времени t складывается из начального капитала uQ , суммарного объема премии в размере w(t)= ct, поступившей к этому моменту времени, за вычетом произведенных выплат (2):

n(t)

u(t) = uq + ct -£ Y} . (2)

j=i

Здесь c — интенсивность поступления премий; Yj — размер требования о страховом возмещении с номером j .

Все Yj являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами F (*) = P(Y1 < x).

Выберем в качестве функции распределения убытков гамма-распределение (З):

ba x

F(x) = гг) 1ya1 exP b dy. (3)

Г (a) Q

Здесь E(Y) = Г; D(Y)= E(Y -E(Y))2 = -Г- , Y = E(Y) — математическое ожидание;

b b2

D(Y ) = s2 (Y) — дисперсия.

—2 —

Y Y

Таким образом, a = _ . . , b = _ . . .

s2 (Y) S2 (Y)

На практике мы имеем дело с неоднородным страховым портфелем, что может учитываться разделением его на субпортфели, каждый со своим параметром Пуассона 1i и своим распределением убытков Fi и дальнейшим применением

составного распределения Пуассона [3] с параметром 1 = ^1г и распределением

i

F = ^—Fi. Также применительно к практике страхования модель коллективного

і 1

риска должна учитывать расходы на ведение дела: расходы на заключение и сопровождение договоров страхования, что в принципе учитывается изменением параметра с, — и расходы по урегулированию убытков. Учесть случайный характер расходов по урегулированию убытков можно путем введения мультипликативного множителя, например, следующего вида: Yj ® Yj (l + c), где c — случайная величина, имеющая бета-распределение [4].

• (4) £(c»=afp • • (5)

Параметры бета-распределения оцениваются методом моментов:

E(С» = Со , а = -Хо +С2 -Vt7 , P = a • (6)

s2(c) Со

На первом этапе будем считать, что расходы на ведение дела фиксированные и учитываются параметрами гамма-распределения.

Организуем случайный точечный процесс следующим образом: зададим последовательность случайных величин zk , имеющих одну и ту же экспоненциальную плотность вероятности pk(z) = p(z) = 1 exp^,z > 0 •

Расставим точки в моменты времени:

11 = z' ,

- z~ ,

• (7)

t2 = z1 + z2

Ґк - 21 + 22 + ••• + 2к-

Согласно результатам работы [5], полученные точки распределены по закону

^ . Е(п(ґ))

Пуассона с параметром 1 - —4 4 77.

Капитал страховщика для случайного точечного процесса Пуассона вычисляется с помощью рекуррентного соотношения (8):

и(ік+1)-и(ік) + с(ік+1 - 1к)- У (ік+1). (8)

При этом и(і0 - 0)- и0, а размер убытка У(ік) моделируется случайным образом на основе гамма-распределения с заданными параметрами.

В качестве примера рассмотрим портфель автотранспортного страхования размером N -1000 единиц транспортных средств (ТС). Положим д - 0,4 на одно ТС в год, или 400 требований в год. Здесь не учитываются повторные обращения, что соответствует коллективной модели риска. Таким образом,

qN —

1» ——»1,06. Положим средний размер убытка У равным 50 тыс. руб., тогда 365

ст(У) - 0,5. Это соответствует параметрам гамма-распределения а - 4, Ь - 0,08. УсУ

тановим начальный капитал на портфель страхования ТС и0 - 5 млн руб. и с - 55 тыс. руб. в день.

Вычислим капитал по рекуррентной формуле, ограничиваясь значением длительности капитала К - 5000 .

Перейдем от абсолютных значений капитала ик к логарифмическим отношениям вида Як - 1п ик . Данный переход в финансовом анализе означает переход

ик-1

от стоимости активов, значении индекса и т. п. к соответствующей доходности актива, поскольку инвесторов интересует прежде всего доходность. В данном случае мы осуществили подобный переход по тем же соображениям: в каждый момент времени нас интересует изменение капитала в целях принятия возможных мер, например изменения ставки страхового тарифа, пополнения капитала, учета расходов на урегулирование убытков и прочее. В целях удобства изложения материала будем называть данное отношение доходностью капитала. В распределении доходности капитала Як = я(ґк) среднее значение Е(я)= -1,315 -10-5 , а стандартное отклонение а(^) = 0,01041.

Рис. 1

На рис. 1. приведена гистограмма доходности капитала Як = Я((к) с наложением на нее нормального распределения (среднее значение Е(Я) = -1,315 -10~5, стандартное отклонение о(Я) = 0,01041).

Оценки первых четырех кумулянтов: среднего значения т = Е(г), стандартного

: д/е((г - т)2), коэффициентов асимметрии уа = е((г зт) ) и эксцес-

ст

отклонения ст = л/Е 1(г - т)

Е 1(г - т) .

са уж “—4—- 3 , а также минимальные и максимальные значения доходно-

?((г - т)4) а4 '

сти капитала приведены в таблице 1.

Оценки кумулянтов

Таблица 1

т, % а, % Га Г тах, % тіп, %

-1,315 -10-3 1,041% 1,405 7,494 8,438 3,269

Следует отметить, что приведенные асимметрия и эксцесс характерны для доходности индекса РТС [6].

На рис. 2 изображена автокорреляционная функция доходности капитала для значений лага от 1 до 80.

На рис. 3. приведена автокорреляционная функция квадратов доходности капитала согг(Я2],Я2]+к) . Значения автокорреляционных функций (АКФ ) для первых шести лагов величин Я{ и Я2 содержатся в табл. 2.

Рис. 2 Рис. 3

Таблица 2

Значения автокорреляционных функций

№ і 2 3 4 5 6

Я -0,01164 0,011912 -0,01268 0,032106 -0,00419 -0,00295

Я 0,001653 -0,01079 0,011542 0,03389 0,018319 0,021474

Как можно видеть, для квадратов доходности характерно более медленное убывание (долгая память), в то же время значения первых АКФ (по модулю), за исключением 1-го лага, близки, но для доходности Я{ имеем отрицательную коррелированность соседних лагов. Отметим, что такое поведение АКФ в общем не является характерным для финансовых рядов [6], для которых привычнее нелинейная корреляция практически при полном отсутствии линейной корреляции в доходности, в то же время по характеристике глубины памяти для Я2 есть определенное сходство.

2. И8-анализ

Выполним Я8 -анализ ряда доходности капитала длительностью К согласно методике, изложенной в работах [6; 7]. Рассмотрим статистику:

Здесь п — длина временного интервала разбиения; і - порядковый номер интервала разбиения; I - общее количество временных интервалов разбиения; Яі,і- = Я(і_ )п+— значение величины Я с номером і на интервале разбиения

1 п

с номером і, включающем п значений; 1п = К , еі = — V Яі і - среднее значение

пі=1

по временному интервалу с номером і длины п .

Показатель Харста равен тангенсу угла наклона графика зависимости 1п\ ^

от ln n .

0 4 8

Рис. 4

На рис. 4 приведены графики RS -статистики. Цифра 1 соответствует кривой доходности капитала, цифра 2 — кривой стандартного белого шума с нулевым средним значением и единичной дисперсией.

Показатель Харста для доходности капитала равен HR = 0,516 и для белого шума He = 0,527 , что близко к теоретическому значению He = 0,5 . Значение H > 0,5 характерно для рядов, обладающих сохранением тенденции (персистентность — черный или коричневый шум); значениеH < 0,5 означает более быструю изменчивость по сравнению с белым шумом (антиперсистентность, или розовый шум). Следовательно, доходность данного ряда обладает свойствами белого шума. Значение показателя Харста фиксирует соответствующую автомодельность выборочной функции распределения и связанных с ней показателей.

Случайный процесс Xt называется автомодельным (самоподобным) или удовлетворяющим свойству статистической автомодельности, если для каждого a > 0 можно найти такое b > 0 , что Law(Xat,t > 0) = Law(bXt,t > 0) . Здесь Law означает совокупность всех конечномерных распределений.

Значит, с наглядной точки зрения изменение временной шкалы t ® at приводит к тому же самому результату, что и изменение фазовой шкалы x ® bx .

Если для любого a > 0 параметр b = aH , то случайный процесс называется автомодельным процессом с показателем Харста H . Величина H є (0,1) — это константа (параметр) Харста. Показатель Харста H и размерность по Хаусдорфу D связаны соотношением D = 2 - H [7].

3. Фильтрация

С целью выяснения порядка модели ЛШМЛ(р,д) рассмотрим поведение частных автокорреляционных функций (ЧАКФ) для . Пусть

n

Rt = Ф01 +ФіЛ-i + vt , Rt = Ф20 +(?2iRt-i + Ф22Rt-2 + vt ,

(10)

есть последовательность авторегрессионных моделей возрастающего порядка. Коэффициенты фкк называются частными автокорреляционными функциями порядка к. Частная автокорреляционная функция первого порядка ф11 показывает, какую часть вносит Я{_1 в величину Я{; частная автокорреляционная функция второго порядка ф22 показывает, какую часть вносит Я(_2 в величину Я(, и т. д. Таким образом, для модели АЯ(р) частная автокорреляционная функция фрр должна быть отлична от нуля, иначе порядок модели можно понизить, в то же время частная автокорреляционная функция порядка р +1 должна быть равна нулю, иначе порядок модели можно увеличить.

Таблица 3

Частные автокорреляционные функции

k 1 2 3 4 5 6

Rt -0,01284 0,012512 -0,0132 0,032295 -0,00333 -0,00394

r2 0,001659 -0,01082 0,011639 0,033856 0,018513 0,022178

В таблице 3 приведены частные автокорреляционные функции доходности капитала Rt и квадрата доходности Rt2 в зависимости от номера лага, вычисленные методом наименьших квадратов [4; В; 9].

Для определения параметров p,q можно применять МНК, метод максимального правдоподобия, метод Бокса - Дженкинса с дальнейшим применением критериев AIC, Бокса - Льюнга [В-10]. Практически во всех методах добавление параметров по сравнению с AR(1) несущественно, что достаточно очевидно из анализа АКФ и ЧАКФ. Например, применение метода Бокса - Дженкинса для ARIMA(l,l) дает

Rt = G,GGG1GS + G,5GGGG• Rt-1 + G,G11932et-1 +et. (11)

При этом остаточная дисперсия равна 6,31372 •lG-5, что хуже, чем в случае применения простейшей авторегрессии AR(l), для которой остаточная дисперсия порядка 2,SS -1G-. В связи с этим можно в качестве линейного фильтра для Rt остановиться на модели AR(l):

Rt = Cq + CiRt-i + Vt = -G,G12S4 + G,GGG1G7Rt-i + v^. (12)

Для проверки временного ряда доходности капитала на независимость доходности, одинаковое распределение и проверку AR остатков на нелинейность применяется BDS -статистика. В случае выявления нелинейности дальнейший анализ возможен как на базе стохастичных эконометрических моделей семейства ARCH, GARCH , так моделей и методов нелинейной хаотичной динамики.

4. BDS-статистика и корреляционная размерность

BDS -статистика была предложена в результате анализа финансовых рынков экономистами Броком, Дечертом и Шейнкманом (B. Brock, W. Dechert, J. Scheinkman) в 19В7 г. и представляет собой в настоящее время один из основных методов выявления зависимостей во временных рядах [11].

Цель теста состоит в том, чтобы различить данные I.I.D. (независимые, одинаково распределенные случайные величины) и любой вид зависимости, то есть проверить нулевую гипотезу о независимости и тождественном распределении значений временного ряда, используя критерий значимости. Также данный тест может выявить и нелинейность (нелинейный детерминизм) при условии, что линейная зависимость была удалена из данных. При нулевой гипотезе случайного блуждания BDS -статистика имеет стандартное нормальное распределение.

В настоящее время существуют два основных подхода к нелинейной динамике поведения доходности: стохастический и хаотический. Стохастический подход исходит из наличия внешних случайных воздействий, в то время как хаотический объясняет нелинейность внутренними свойствами динамической системы. В первом случае применяются нелинейные эконометрические модели типа модели условной гетероскедастичности ARCH, GARCH и их многочисленных модификаций [12; 13]. В рамках представления о хаотическом характере поведения доходности изменения объясняются внутренними свойствами модели, что предполагает определение размерности системы и ее построение.

Возможность восстановления характеристик динамической системы на основе одномерного временного ряда базируется на теореме Такенса, согласно которой вместо последовательности, состоящей из m переменных x1(t),x2(t),...xm(t), можно рассматривать последовательность, образованную одной переменной [14]:

x1 (t + T), x1 (t + 2 T ),... x1 (t + (m - i)T). (13)

При анализе динамических систем основной вопрос - это определение размерности системы, то есть количества переменных, необходимых для описания. В соответствии с теоремой Такенса возможно описание системы на основе многомерных векторов задержек, составленных из последовательных отрезков временного ряда. Они заменяют реальные переменные системы, которые чаще всего неизвестны и образуют так называемое фазовое пространство. На основании теоремы Такенса производится «вложение» временного ряда в m -мерное псевдофазовое пространство, элементами которого являются

точки x(m) =(xi,xi+1 ,...,xi+m), заданные m -последовательными значениями исходного временного ряда. Корреляционный интеграл определяет частоту попадания произвольной пары точек фазового пространства в гиперсферы радиуса d . Для оценки размерности динамической системы наиболее часто используется алгоритм Грассбергера - Прокаччиа [15].

Для ряда xt формируется последовательность последовательных векторов размерности m ai,i = 1..N-m . Компоненты вектора aij- = x(i-1 )m+j,j = 1,2..m .

Корреляционный интеграл дается выражением (14)

( [—Г.-----------------Л

(N-m)(N-m +1) Й (14)

if k=Q

m

Здесь 9(х) — функция Хевисайда, 9(х) = 0 , если х < 0 , и 9(х) = 1 , если х > 0 .

Сравнивается расстояние между всеми парами векторов, если это расстояние меньше заданного г , то значение 9 = 1.

Отметим, что кроме евклидового расстояния можно применять и другие, в частности, производить покомпонентное сравнение, то есть считать, что расстояние между векторами меньше, чем г, если по каждой компоненте меньше;

если расстояние между векторами хотя бы одной компоненты выше, то считается, что расстояние превышено, в этом случае имеем (15):

2 N - т N-т+1 т-1 / \

С<'тМ>>-т)(У-т +1) § П<¥-^* -‘С-**1) •

(15)

Изменяя размерность вложения т , вычисляем зависимость корреляционного интеграла от ё; если начиная с некоторого т наклон графиков перестает меняться, то это и есть размерность динамической системы, а тангенс наклона дает значение Бс корреляционной размерности 1пС(т,ё) = а + Вс 1пё.

Отметим, что представляет интерес только обнаружение низких размерах хаоса т < 4 или т < 5 , так как при больших размерностях т фактически невозможно отличать стохастичность от хаотичности.

0

-7,5

-15

я

/ /

/

/

-4,5 Рис. 5

На рис. 5. приведены графики зависимости корреляционного интеграла для доходности при разных значениях размерности т в логарифмических координатах. Цифры у кривых — значения размерности т .

Можно отметить отсутствие низкоразмерного хаоса, по крайней мере, до размерности т < 10 •

Значения корреляционной размерности Бс в зависимости от размерности вложения т отражены в таблице 4.

Значения корреляционной размерности

Таблица 4

т 2 4 6 8 10

Бс(т ) 1,771 3,512 5,242 6,817 7,086

Как можно видеть из таблицы, поведение корреляционной размерности в зависимости от размера пространства «вложения» т характерно для стохастичной системы. Действительно, стохастическая система заполняет в конечном счете все пространство более или менее равномерно, в то время как для хаотической нелинейной системы характерным является группирование (концентрация) точек вблизи каких-либо предельных траекторий, в результате чего размерность для хаотических систем намного меньше.

5. ВБ8-статистика для тестирования доходности на Ы.Б. и остатков

на нелинейность

Цель теста состоит в том, чтобы различить данные 1.1.0. (независимые, одинаково распределенные случайные величины) и любой вид зависимости, то есть проверить нулевую гипотезу о независимости и тождественном распределении значений временного ряда, используя критерий значимости.

На 1.1.Б. проверяется доходность капитала, ЛЯ( 1)-остатки от доходности проверяются на нелинейность.

ББ8 -тест основан на статистической величине (ББ8 -статистике) (16):

( 1 N ГГ Ст,м(Г) - (С1,N-т(г))т (1б)

™т,м(Г) = "VN - т + 1--------—---------. (16)

тМ(г)

Здесь в числителе приведены корреляционные интегралы СтМ (г) , С1 N-т (г) , а знаменатель стт 1Я(г) — среднеквадратическое отклонение числителя.

Зависимость корреляционного интеграла Ст, 14(г) от г имеет степенной вид: Ст ^г) ~ гБс , где БС — корреляционная размерность временного ряда.

Брок показал, что Ст 1Я(г) ^ (С1 14(г))т с единичной вероятностью при

N , а (СтМ(г) - (С^-т(г))т^ N -т +1

является случайной асимптотически

нормально распределенной величиной с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением ат,N(r) , которое определяется выражением (17)

ат N — 4

т-1

*т + 2 X *т 1 (С1, N (г))1 + (т -1/ С N (г))т - т2* С N (г))2т-2 1 —1

п2

(17)

1 I N N , Д

Здесь * —-------------------------«V Хб(г -\хі - X 2

(N -1)( N - 2^ \{—1 _^—1У 1 г ^

-3У У0(г-К -**1+.

^—1г—^+1 I

БББ -статистика wm, 14(г) — нормально распределенная случайная величина при условии, что оценка стт N(г) достаточно близка к ее теоретическому значению СТт, N(г) .

В качестве теста на достоверность гипотезы Н0 об отсутствии в наблюдении хаотического процесса принимается выполнение неравенства |^т, N (г) < 1, 96 для значения статистики wm 1Я(г) , что соответствует уровню значимости а = 0, 05 (вероятности ошибки первого рода), тогда с 95 %-ной уверенностью можно принять гипотезу Н0 (1.1.Б.).

Критическая область состоит из двух бесконечных полуинтервалов (-¥,1, 96); (1, 96;+¥) .

ББ8 -тест имеет два параметра: размерность вложения т и параметр масштаба й, который обычно изменяется от 0,5ст до 2ст, где ст — среднеквадратичное отклонение исходных данных доходности капитала.

В таблицах 5, 6 приведены значения ББ8 -теста для т = 2, 4, 6, 8, 10 и для ё = ст » 0,0078 (стандартное отклонение для доходности капитала) и для доходности индекса РТС [16].

Таблица 5

Значения ВБ8-теста

т 2 4 6 8 10

БББ -доходность капитала Я( 2,57 2,957 2,978 2,727 2,426

Таблица 6

Значения ВБв-теста

т 2 3 4 5

БББ -доходность индекса РТС{ 9,758 12,702 14,875 16,871

Для Я( все значения лежат вне интервала (-1, 96; 1, 96) , то есть гипотеза случайного блуждания должна быть отвергнута на 5 %-ном уровне значимости. Для доходности фондового индекса РТС значения ББ8 -статистики намного выше, что позволяет более уверенно отвергнуть гипотезу о 1.1.Б.

6. Применение ВБв-статистики для тестирования ЛК(1)-остатков

на нелинейность

С помощью ББ8 -теста можно проверить гипотезу о линейности или нелинейности.

С этой целью к ряду доходностей применяется линейный фильтр, на выходе которого используются оцененные остатки в модели авторегрессии ЛЯ(р) .

В данном случае в качестве линейного фильтра для Я{ можно остановиться на модели ЛЯ( 1):

Я^ = С0 + с Я-1 + у = -0,01284 + 0,000107Я^ - + у (18)

Для остатков применение ББ8 -теста есть тест на нелинейность.

6,45*107

6,425*107

6,4*107

-6 -4,5 -3

Рис. 6

3

2

1

На рис. 6 выстроены графики отсутствия зависимости корреляционного интеграла для ЛЯ -остатков от ё для любой размерности пространства вложения. Цифры у кривых — значения размерности ё .

В таблицах 7, 8 приведены значения ББ8 -теста для т = 2,4,6,8,10 для ЛЯ -остатков и для любого значения ё (стандартное отклонения для ЛЯ -остатков составляет а » 8,5 • 10-7 доходности капитала) и для ЛЯ -остатков доходности индекса РТС [17].

Таблица 7

Значения ББв-теста

т 2 4 6 8 10

БББ -доходность капитала Я{ -0,03 -0,024 -0,02 -0,018 -0,016

Таблица 8

Значения ББ8-теста

т 2 3 4 5

БББ -доходность индекса РТС{ 9,507 12,513 14,553 16,651

Как можно видеть, для ЛЯ -остатков тест опровергает гипотезу о наличии нелинейности, в то время как для ЛЯ -остатков доходности индекса РТС принимается гипотеза о нелинейности.

В том случае, если гипотеза о нелинейности принимается, дальнейший анализ чаще всего проводится на основе нелинейных эконометрических моделей типа семейства моделей условной гетероскедастичности ОЛЯСИ , что позволяет улучшить качество анализа, например прогноза показателей за счет меньшей величины условной дисперсии временного ряда по сравнению с безусловной дисперсией.

В заключение можно отметить, что методы и модели хаотической динамики и нелинейные эконометрические модели могут служить дополнительным математическим аппаратом для создания современных технологий управления страховым риском.

Библиографический список

1. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2007. 544 с.

2. Современная актуарная теория риска / Каас Р. [и др.]. М.: Янус-К, 2007. 376 с.

3. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994. 130 а

4. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1972. 648 с.

5. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977. 488 с.

6. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1: Факты и модели. М.: ФАЗИС, 1998. 512 с.

7. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-рейдинг, 2004. 304 с.

8. Мельников А. В., Попова Н.В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. М.: Анкил, 2006. 400 с.

9. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов. М.: Финансы и статистика, 2008. 206 с.

10. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Т. 1. М.: Мир, 1974. 405 с.

11. Brock W.A., Dechert W.D., Scheinkman J.A. A test for independence based on the correlation dimension // Working paper. № 8702. Department of Economics, University of Wisconsin, 1987.

12. Росси Эдуардо. Одномерные GARCH -модели: обзор // Квантиль. 2010. № 8. С. 1-67.

13. Прохоров А. Нелинейная динамика и теория хаоса в экономической науке // Квантиль. 2008. № 4. С. 79-92.

14. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

15. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с.

16. Борусяк K.K. Анализ применимости моделей нелинейной динамики при управлении рисками на российском фондовом рынке // XI Международная конференция ВШЭ по проблемам развития экономики и общества. 6-8 апреля 2010 г. М., 2010.

E.N. Barysheva, V.N. Nikishov, A.L. Saraev* METHODS OF FINANCIAL ANALYSIS FOR THE RESEARCH OF ONE MODEL OF INSURANCE

Actual dynamics of insurance parameters can differ considerably from the theoretical results received on the basis of standard actuarial methods and models. In the work it is shown, that the methods of stochastic financial mathematics applied for the research of parameters of the share market and methods of nonlinear dynamics, applied for the description of the determined chaos can be useful for the analysis of dynamic models of insurance.

Key words: approximation, reinsurance, loss, unprofitability, portfolio of risks, gamma distribution, limiting distribution.

* Barysheva Evgeniya Nikolaevna ([email protected]), Nikishov Viktor Nikolaevich ([email protected]), Saraev Alexander Leonidovich ([email protected]), the Dept. of Mathematics and Business-Informatics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.