CC BY
11617 (50) - 2005
^(са/ишжа - rfiOmerfvZifatectcöe i^tofe^u^aéd/uce
АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
Л. П. ЯНОВСКИЙ, доктор экономических наук, профессор Воронежского государственного аграрного университета им. К. Д. Глинки
ДА. ФИЛАТОВ Воронежский институт менеджмента, маркетинга и финансов
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время все большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [ 1, 2, 3,4]. Это достаточно новая область, которая представляет собой активно развивающийся раздел математических методов экономики. Развитие теории в этом направлении позволяет выявить сущность глубинных экономических процессов, часто скрытых и неявных. Как следствие все большую популярность приобретает точка зрения, что финансовый рынок подвержен, помимо случайных хаотических колебаний, и колебаниям, имеющим другую природу. Это колебания, возникающие под действием долгосрочных закономерностей, или так называемого детерминированного хаоса. В работе исследуются числовые характеристики детерминированного хаоса, и на основании эмпирических расчетов выводится новая характеристика - процентное содержание в финансовом ряду случайного хаоса. Даны оценки процентного содержания случайного хаоса для временных рядов валют и курсов акций на российском финансовом рынке.
Далее в работе разработанная методика применяется для анализа динамики наиболее глобальных рыночных кризисов, случившихся в последней четверти XX в. Полученные результаты позволяют разработать индикатор предвестников крахов финансовых рынков.
В заключении работы анализируется теория когерентного финансового рынка на примере поведения индекса SP-500. В отличие от предыдущих двух частей работы здесь предлагается многофакторная модель поведения финансового рынка, в основе которой лежит физическая модель плотности вероятности распределения намагниченности в ферромагнетике Изинга. (Напомним, кстати, что решение знаменитого уравнения Блэка-Скоулса (Black, Scholes) — ценообразование опциона — было получено Черчиллем на 10 лет ранее, в 1963 г., при решении теплового уравнения диффузии в твердом теле). В отличие от упомянутой модели Блэка-Скоулса, базировавшейся на теории эффективного рынка и не допускавшей возможности долгосрочного прогнозирования цен, теория когерентного рынка (Vaga) допускает, что в некоторые периоды времени рынок в большей или меньшей степени становится прогнозируемым. В статье удалось показать, что характеристики состояния рынка связаны с характеристикой «долгосрочной памяти» Харста, характеризующей настроение участников рынка; привести формулы расчета для характеристики, отвечающей за внешние фундаментальные экономические и политические факторы и, наконец, в отличие от физической модели Изинга, в которой предполагается постоянное число намагничивающихся элементов, показано, что число участников рынка напрямую связано с текущим состоянием рынка.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгоръЯ и ърякжсм
5
^tcafuMiWca - >4иипежатигеасае линрелирьбаНие
17 (50) - 2005
РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИНАНСОВЫХ РЯДОВ
И ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ВАЛЮТ И КУРСОВ АКЦИЙ НА РОССИЙСКОМ ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ
Исходными данными стали статистические данные о самых используемых валютах и их курсах к рублю, т.е. руб./дол. США и руб./евро (далее — Р/$ и Р/Е соответственно) за 2001 -2003гг. и цены на акции основных российских эмитентов («голубых фишек»).
Расчет и оценка постоянной Харста для финансовых рядов
Чтобы получить показатель Н, постоянную Харста [I], рисуется временная зависимость нормированного размаха временного ряда в двойном логарифмическом масштабе и ее линейная аппроксимация. Наклон аппроксимирующей прямой и есть оценка показателя Харста:
H=\og(R/S)/\og(aN),
где R - размах отклонения в рассматриваемом ряду;
S - среднеквадратическое отклонение рассматриваемого ряда;
а — константа из интервала (0; I);
Я- показатель Харста.
Применительно к финансовым данным можно использовать следующую содержательную и качественную трактовку: показатель Харста Я измеряет влияние информации на временной ряд данных.
Значение Я = 0,5 подразумевает случайное блуждание, что является подтверждением гипотезы эффективного рынка. В этом случае события некоррелированы, все новости уже учтены и обесценены рынком.
Значение Я> 0,5 подразумевает, что сегодняшние события будут иметь значение завтра, и полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя. И это не просто последовательная корреляция, это функция долговременной памяти, которая обусловливает информационное влияние в течение больших периодов времени.
Если же Я < 0,5, то мы имеем дело с антипер-систентным рядом. Такой ряд волатилен, т.е. более изменчив, чем ряд случайный. Он состоит из частых реверсов «спад-подъем». Среди финансовых данных было найдено мало подобных рядов.
Проверить обоснованность результата можно, вычислив постоянную Харста у хаотизированного временного ряда, т.е. ряда, в котором разрушена временная последовательность наблюдений (номера наблюдений перемешаны с помощью датчика случайных чисел). Если у хаотизированного ряда постоянная Харста станет близкой к 0,5, значит, исходный ряд имел «долговременную память», которая оказалась разрушенной в результате перемешивания. Если же постоянная Харста не изменяется после случайного перемешивания ряда, то ее величину определяет ряд с независимыми приращениями и «толстыми хвостами» в распределении вероятностей появления различных по величине значений ряда (дробное броуновское движение).
В результате расчета показателя Харста для некоторых финансовых рядов российского рынка была получена следующая таблица данных (табл. I).
Таблица 1
R/S - анализ финансовых рядов (расчет И)
Финансовый Исходные Хаотизированные
инструмент данные исходные данные
Рубль/евро 0,58 0,50
Рубль/доллар 0,60 0,49
Индекс РТС 0,57 0,59
РАО ЕЭС 0,59 0,53
Газпром 0,53 0,65
НорНикель 0,66 0,47
Лукойл 0,60 0,42
Ростелеком 0,72 0,48
Сбербанк 0,55 0,65
Сургутнефтегаз 0,66 0,53
Татнефть 0,70 0,58
Юкос 0,60 0,55
Так как показатель Харста измеряет степень зазубренности временного ряда, то чем ближе Н к 0,5, тем больше шума в системе и тем более ряд подобен случайному. В табл. 1 мы видим, что большие величины Я соответствуют финансовым рядам цен на акции таких компаний, как Сургутнефтегаз, Татнефть, Ростелеком, НорНикель. По мнению авторов, это означает, что работа с этими рядами означает меньший риск, потому что они соответствуют данным, содержащим меньше шума.
Основные положения теории динамического
хаоса. Эмпирическая оценка величины мультипликативного случайного компонента временного ряда
До начала 1960-х гг. в нелинейных диссипатив-ных динамических системах в стационарном режиме наблюдали только периодические и квазипери-
6
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ШОРЪЯ ъ -НТАХЖЪЪА
*$tcafro<4twca - млтелиипигеасае мл^емфа&гЯие
17 (50) - 2005
одические движения. Однако в 1963 г. в динамической системе Лоренцем [5] было обнаружено очень сложное движение, которое воспринималось как хаотическое. Для характеристики таких движений ввели понятие «динамический хаос». Слово «динамический» означает, что отсутствуют источники флуктуаций. Лоренц исследовал весьма упрощенную математическую модель конвективного движения в атмосфере — систему трех обыкновенных, но нелинейных дифференциальных уравнений. Они представляют собой динамические уравнения для макроскопических характеристик среды - компонент Фурье локальной скорости и температуры. Конвективное движение возникает благодаря совместному действию поля тяжести и градиента температуры. Решение уравнений может быть проведено лишь численно, с помощью компьютера. Проведенный анализ показал, что при достаточно больших значениях градиента температуры поведение решения является настолько сложным, что соответствующие движения воспринимаются как хаотические. Более того, было установлено, что малейшее изменение начальных условий радикально меняет характер движения. Тем самым движение оказывается динамически неустойчивым. Поскольку начальные условия могут быть заданы лишь с конечной точностью, то предсказание вида движения на долгий срок по заданным начальным условиям становится практически невозможным.
В статье Рюэля и Такенса [6], опубликованной в 1971 г., был введен новый математический образ динамического хаоса — странный аттрактор. Слово «странный» подчеркивает два свойства аттрактора. Это, во-первых, необычность его геометрической структуры. Размерность странного аттрактора является дробной (фрактальной). Во-вторых, странный аттрактор - это притягивающая область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы, что выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий.
Для характеристики аттракторов целесообразно ввести понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Введем определение фрактальной размерности /^произвольного аттрактора в я-мерном фазовом пространстве по Колмогорову — Хаусдорфу [7]:
Б г = Нш[1п М(г) / 1п(1 / в)],
где М(е) — минимальное число «-мерных кубиков с ребром е, необходимых для покрытия аттрактора. Применив это определение для вычисления размерности точки, линии и поверхности, легко убедиться в привычных значениях 0, 1 и 2 соответственно. Для нетривиальных множеств размерность Df может оказаться дробной.
Установлено, что фрактальная размерность странных аттракторов дробная. Заметим, что в формуле для вычисления фрактальной размерности одинаково важны все непустые кубики. Это представляет серьезный недостаток для странных аттракторов, так как они пространственно неоднородны, т.е. некоторые области аттрактора посещаются чаще других. Требуется знание очень длинной траектории, чтобы гарантировать посещение даже очень маловероятных кубиков. Поэтому каждый непустой кубик нужно взвешивать с помощью относительной частоты, с которой он посещается типичной траекторией. Размерности, определяемые с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют вероятностными.
Представителем класса вероятностных размерностей является корреляционная размерность Dc, определяемая соотношением [8]:
М( Е)
Dc =lim[ln(£^)/lne>
ы
где pj — вероятность того, что пара точек аттрактора принадлежит /'-му кубику. Корреляционную размерность можно представить в виде:
Dc = Нш[1пС(е)/1пе].
к-> ж '
1 т
С(е) = lim —у ]Гб(е - р(х! - х ))
, ч Í 1,а > О где функция Хевисайда 9(а) = х - точ-
[0,а<0, '
ки в фазовом пространстве; р - расстояние.
Таким образом, размерность /^определяется значением корреляционного интеграла С(е), характеризующим относительное число пар точек
х,х, удаленных на расстояния гу = р{x¡,xj) < г.
Чем ниже корреляционная размерность ряда, тем меньшее число параметров задействовано в описании системы. При изучении временных рядов будем различать те компоненты рядов, которые образуют странные аттракторы в некотором фазовом пространстве вложения конечной размер-
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЖВОРШ TI
7
'З'кххНсмшсо - мателигтигеасое
17 (50) - 2005
ности. Этот компонент имеет конечную корреляционную размерность, и будем его называть компонентом детерминированного хаоса. Другой компонент ряда, который является, по сути, случайным непредсказуемым шумом и имеет бесконечную корреляционную размерность, будем называть случайным компонентом, или случайным хаосом.
При росте размерности вложения и наличии случайного компонента следует ожидать рост корреляционной размерности. Оценка влияния аддитивного гауссова шума на рост корреляционной размерности и корреляционной энтропии проведена в работе Шрейберга и Кантца [9]. Важным результатом этой работы является вывод, что при наличии случайного шума корреляционная размерность заметно увеличивается с ростом размерности вложения, а именно при переходе от п к п+1.
Заметим, что шум не разрушает скейлинговые свойства корреляционного интеграла С(е,п) по п, но приводит к переоценке /)2. На этом свойстве шума и построена излагаемая основная гипотеза.
Далее мы представим результаты эмпирической оценки влияния мультипликативного присутствия случайного компонента ряда с дисперсией, равной дисперсии исходного ряда, на рост корреляционной размерности ряда.
Основная гипотеза, подлежащая проверке, состоит в том, что финансовые временные ряды обладают как детерминированным компонентом, так и случайным. Оказалось, что хотя корреляционная размерность рядов, содержащих случайный компонент, бесконечная, но степень роста корреляционного интеграла замедляется с возрастанием доли детерминированной компоненты в ряду.
Для эмпирической проверки этой гипотезы был изучен ряд известных детерминированных аттракторов:
генератор Ван дер Поля (Ш), [а = 1 ,Ь = 0,3]:
Г (¡х/л = у\
\с1у / сН = а(\-Ьх2)у-х\
генератор Ван дер Поля (2Б) [я = \,Ь — 0,3, В = 1,^=1,5]:
йх/Ж = у;
• (¡у/Ш = а(1-Ьх2)у-х-г,
отображение Хенона [а = 1,4,Ь = 0,3]:
и+1=1 -ах2к+Ьук; = >
отображение Икеды [а — 0,4, Ь = 6, с = 0,9]: ixM = 1 + с(хк. cos(ак) - ук sin(a*));
Ы+1 = с(хк sin<A)+у к cos («*));
ак =а-Ь/{ \ + хк +ук)-,
система Лоренца [а= 10, b = 8 / 3, г= 28]:
dx / dt --ах + сту; dy/dt - -xz + rx-y; dz / dt = xy - bz]
система Ресслера [а = 0,2, b = 0,2, с = 5]:
dx/dt = -y-z; <dy/dt-x + ay\ dz/dt-b + xz-cz\
уравнение Меки-Гласса [а = 0,1, b = 0,2, с = 10, т = 30]:
Гауссов шум — значения отсчетов — случайная величина с нормальным распределением, нулевым средним и стандартным отклонением а.
Для каждого из перечисленных детерминированных рядов йк (элементы которых обозначим й., /-1..А0 были созданы следующие, ряды, содержащие в разной пропорции случайный хаотический компонент:
— полностью хаотизированный ряд (полученный путем случайного перемешивания изначального ряда). Обозначим его как £ ряд, с элементами 5., /=1 .../V;
- ряды - ряды, имеющие а% (а=0,1; 0,2;...0,9) детерминированного хаоса и |3% ((3=0,1; 0,2;...0,9) случайного. Элементы рядов были получены по следующей формуле: /-1..-М а+(3=1.
Для всех рядов была найдена последовательность корреляционных размерностей, соответствующих размерностям вложений. Для каждого ряда найден коэффициент наклона прямой регрессии последовательности корреляционных размерностей. Построено уравнение линейной регрессии, где в качестве независимой переменной X взято значение коэффициента наклона прямой регрессии последовательности корреляционных размерностей, в качестве зависимой переменной У— доля (3% случайного хаоса. Получено следующее уравнение: Г=-1,13^+1,98*.
8
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ж20РШ -к тер^кжгсм
*Э(соНомико - матежат-игеасое инафелиравлНие.
17 (50) - 2005
Оценка качества построенной регрессии показала, что коэффициенты регрессии значимы, и сама регрессия адекватна эмпирическим данным. Оказывается, что просматривается четкая тенденция к увеличению наклона в регрессии корреляционных размерностей при возрастании случайной хаотической компоненты в ряду наблюдений.
Расчет основных фрактальных характеристик финансовых рядов
Были получены последовательности корреляционных размерностей для цепных индексов курсов валют Р/$ и Р/Е и коэффициенты наклона корреляционных размерностей к$ и кЕ для Р/$ и Р/Е соответственно. Подставив коэффициенты наклона корреляционных размерностей к$ и кЕ в полученное уравнение, получим, что значение ß% случайного хаоса в ряду руб./дол. =52,01, в ряду руб./ евро =33,09. Тем самым можно сделать вывод о большей перспективности работы трейдера на рынке Р/Е в сравнении с рынком Р/$.
Аналогичное исследование было проведено для обыкновенных акций российских эмитентов. Конкретно рассматривались цепные индексы цен закрытия основных «голубых фишек». По результатам расчета был получен следующий результат (табл. 2).
Таблица 2
Эмитент % случайного хаоса Эмитент % случайного
хаоса
РАО ЕЭС 64,2 Ростелеком 43,3
Газпром 65,4 Сбербанк 37,4
НорНикель 57,1 Сургутнефтегаз 56,0
Лукойл 77,1 Татнефть 28,3
Юкос 69,6
Полученный результат показывает, что в целом поведение цен акций на российском фондовом рынке характеризуется невысокой долей мультипликативного детерминированного хаоса, что говорит о сложности обнаружения долгосрочных закономерностей в значениях цен. Об этом же свидетельствует результат исследования индекса РТС (индекс показывает движение рынка акций в среднем), у которого р% случайного хаоса равно 60,36.
Следует отметить, что выявлена группа акций (Ростелеком, Сбербанк, Татнефть, Сургутнефтегаз, ГМК Норильский никель) с достаточно невысокой долей случайного хаоса. Для работы с этими акциями трейдерам можно рекомендовать системы технического анализа, построенные на следовании за трендом. Объединяя табл. 1 и табл. 2, получаем табл. 3.
Таблица 3
Финансовый инструмент % случайного хаоса Харст исходных данных Харст хаотических данных
Руб./евро 33,09 0,58 0,50
Руб./дол. 52,01 0,60 0,49
Индекс РТС 60,36 0,57 0,59
РАО ЕЭС 64,20 0,59 0,53
Газпром 65,40 0,53 0,65
НорНикель 57,10 0,66 0,47
Лукойл 77,10 0,60 0,42
Ростелеком 43,30 0,72 0,48
Сбербанк 37,40 0,55 0,65
Сургутнефтегаз 56,00 0,66 0,53
Татнефть 28,30 0,70 0,58
Юкос 69,60 0,60 0,55
Вывод: исследование числовых характеристик финансовых рядов позволяет выявить те финансовые инструменты, которые в той или иной степени детерминированы, и, следовательно, поведение которых может быть частично спрогнозировано методами технического анализа.
О ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРИИ ХАОСА К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ФИНАНСОВЫХ КРАХОВ
Алгоритм определения процента случайного хаоса был применен для рыночных индексов (Hang-Seng, S&P500, Nasdaq, РТС) на интервалах, предшествующих и последующих датам сильных финансовых кризисов. Оказалось, проценты детерминированного и случайного хаоса резко отличаются до и после финансовых кризисов. В результате проведенного исследования оказалось, что большинство рыночных кризисов можно разделить на два основных класса.
Гонконгские крахи 1994, 1997гг.
Как известно [10], Гонконг очень сильно ориентирован на свободный рынок, характеризуется незначительным числом ограничений для резидентов или нерезидентов, физических лиц или компаний относительно проведения операций, займов и репатриации прибыли и капитала. В связи с этим вполне можно ожидать, что спекулятивное поведение и стадный инстинкт будут проявляться здесь во всей своей полноте.
Рассмотрим крахи 1994 и 1997 гг. (на рис.1 обозначены I и II соответственно). Первый пузырь, лопнувший в начале 1994 г., закончился так называемым «медленным обвалом»: 4 февраля 1994 г.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ж80РШ ъ -НРЖЖЪЪ*
9
^tcafuMutca - мАмежлишгеасае, лю^ысфавлШе
17 (50) - 2005
индекс Hang-Seng при закрытии достигал отметки 12157,6, а месяц спустя, 3 марта 1994 г., он закрылся на уровне 9802, что составляет 19,4% общих потерь. В течение последующих двух месяцев индекс продолжал падать, опустившись до отметки 8421,7 при закрытии 9 мая 1994 г., что составляет 30,7% общих потерь по сравнению с уровнем, достигнутым 4 февраля.
Второй пузырь закончился в середине августа 1997 г. медленным, но непрерывным угасанием вплоть до 17 октября 1997 г., когда произошел резкий обвал: падение с 13601 на 17 октября до 9059 на 28 октября, что составляет 33,4% общих потерь.
Изменения индекса Hang-Seng по периодам представлены в табл. 4.
Кризисы США 1987, 1998, 2000 гг.
Кризис 1987 г. Крах на фондовом рынке 19 августа потряс профессионалов Уолл-Стрита, унич-
Индекс Hang-Seng
Рис. 1
Индекс S&.P500
2000 1500
1000
500
Рис.2
тожил около одного триллиона долларов стоимости фондового рынка. В черный понедельник индекс Доу-Джонс упал на 22,6% до отметки 1738,74. Это было самое крупное падение, произошедшее в течение одного дня как в количественном, так и в процентном соотношении за всю историю индекса «голубых фишек». Остальные рынки последовали за индексом Доу. Индекс S&P500 потерял более 20%, упав на 57,86 до уровня 224,84. Nasdaq опустился на 46,12 пунктов до отметки 360,21. Восстановление потерь заняло долгое время. Индекс Доу вернулся к своему докризисному уровню лишь в январе 1989 г., 15 мес спустя. Охватывающему большую часть рынка индексу S&P500 понадобился для этого 21 мес.
Кризис 1998 г. Достигнув своего максимума в середине июня 1998 г. американский фондовый индекс S&P500 (рис. 2) к началу сентября потерял 19%. Еще более впечатляет падение индекса высокотехнологичных компаний NASDAQ, который за два месяца потерял 25%. Этот медленный обвал и, в частности, аналогичное поведение фондовых рынков во всем мире, начавшееся в середине августа, как правило, приписывается падению на российских финансовых рынках, которое сопровождалось обесцениванием национальной валюты и отказом правительства платить по своим долговым обязательствам. Д. Сорнетте [9] выдвинул предположение, что события в России могли послужить толчком, но не фундаментальной причиной. Он считает, что на фондовом рынке был нестабильный пузырь, который достиг своей кульминации в середине 1998 года.
Кризис 2000 г. Индекс Nasdaq-композит (рис. 3) стремительно рухнул до от-
Год
Таблица 4
Период, годы 1987-1989 1989-1991 1991-1994 1994-1996 1996-1997 1997-1999 1999-2001
% случайного хаоса 50,21 44,41 28,40 52,92 20,08 33,52 45,03
10
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгорШ ъ КРЛКЖсМ
'ЭкаЯмшаа - матежатигеасое мафыирлблЯие
17 (50) - 2005
Индекс Nasdaq-композит
6000 <К>00
эооо 2000
1000
метки 3227 17 апреля 2000 г., что составило 37% потерь по сравнению с рекордным уровнем 5133, достигнутым 10 марта 2000 г. Nasdaq-композит состоит в основном из акций компаний, относящихся к так называемой новой экономике, т.е. к Интернету, программному обеспечению, компьютерному оборудованию, телекоммуникациям и так далее (табл. 5).
Крах РТС 1998 г.
В 1997 г. было большое падение индекса РТС. В 1998 г. падение продолжилось. В январе 1998 г. падение курсов (индекс РТС) составило около 28%. В качестве «внешних» причин обострения кризиса можно выделить быструю девальвацию валют Юго-Восточной Азии в начале 1998 г., снижение крупнейших азиатских фондовых индексов и, как следствие, ослабление финансовой устойчивости инвестиционных компаний данного региона, закрывавших свои позиции на Emerging Markets, в том числе в России. К тому же на движение курсов акций, выпущенных нефтяными компаниями, — акций, играющих столь важную роль на российском фондовом рынке, чрезвычайно неблагоприятно сказалось падение цены на нефть на мировых рынках. Особенно сильно, на 50-70%, упали акции
именно некоторых нефтяных компаний (Томскнефть, Сургутнефтегаз и др.). Среди внутренних причин (экономических и психологических) можно выделить существенные колебания на российском валютном рынке и рынке государственного долга.
В апреле политическая нестабильность (правительственный кризис вплоть до утверждения нового премьер-министра 24 апреля) и общая неблагоприятная конъюнктура привели к снижению индекса РТС-1 на 4%. В мае финансовый кризис фактически вступил в новую стадию, что связано как с внешними, так и с внутренними причинами.
Но основными причинами кризиса стали не- . доверие западных инвесторов к возможности Правительства РФ разрешить в ближайшей перспективе сложившиеся в России экономические проблемы, ожидание девальвации рубля и опасно высокая доля расходов на обслуживание государственного долга в общей сумме расходов бюджета, а также возникшие (особенно в случае с РАО " ЕЭС России") опасения в отношении гарантий прав акционеров. Все это стало причинами вывода западного капитала как с рынка государственных ценных бумаг, так и с рынка акций. Падение индекса РТС в мае 1998 г. составило 38,77%. За весь 1998 г. российский фондовый индекс снизился на 51,88%, а с 6 октября 1997 г. падение индекса превысило 66,5% (табл. 6).
Таблица 6
Период, годы % случайного хаоса
1995-1998 6,60
1998-2000 29,08
2000-2002 34,34
2002-2004 21,70
Таблица 5
S&P 500 Nasdaq-композит
Период, годы % случайного хаоса Период, годы % случайного хаоса
1983-1985 47,07 1994-1996 36,03
1985-1987 17,42 1996-1998 16,03
1987-1989 51,59 1998-2000 32,40
1989-1991 5,25 2000-2002 20,02
1991-1994 41,94 2002-2004 45,61
1994-1996 18,34
1196-1998 18,88
1998-2000 57,59
2000-2002 19,32
Год
Рис.3
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ж50РШ и прлтстск*
'D'tcofMvttutco - ^иХ(Иглигтигес(сое i4toqe*tufea(hzfute
17 (50) - 2005
Выводы. Проведенные исследования позволяют разделить финансовые крахи на два больших класса.
Первый, основной, класс характеризуется низким процентом случайного хаоса до краха и значительным процентом случайного хаоса после краха. На графике такая ситуация распознается по крутому подъему до краха и пологому «рассасыванию» финансового пузыря после краха. К этому типу крахов относятся Гонконгские крахи 1994 и 1997 гг., крах Российской товарной биржи 1998 г., крах на Уолл-Стри-те 19 августа 1987 г., коррекция американского рынка акций в 1991 г. и кризис 1998 г.
Редким примером кризисов второго класса является кризис индекса SP-500 в 2000 г. В то же время акции высокотехнологичных компаний (индекс NASDAQ) падали по обычной схеме.
Итак, тревожным симптомом скорого кризиса и резкого падения рынка акций может служить малый процент случайного хаоса на подъеме рынка акций. Такая ситуация обычно сигнализирует о большом непрекращающемся притоке спекулятивного капитала на финансовые рынки. Происходит резкий разрыв между спекулятивной стоимостью акций и фундаментальными показателями экономического развития, который заканчивается крахом. Если же такой разрыв происходит в одном из ведущих секторов рынка акций, например в секторе высоких Интернет-технологий, то обрушившийся сектор рынка влечет за собой и весь рынок. Но для всего рынка не было спекулятивного роста стоимости акций, следовательно, до краха процент случайного хаоса на всем рынке был значительным. Резкое падение после краха дало уменьшение процента случайного хаоса, что и привело к снижению случайного хаоса в индексе SP-500 в 2000 г. Аналогичной нам представляется коррекция рынка российских акций в 2004 г. в связи с известными событиями вокруг компании ЮКОС.
АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ФИНАНСОВОГО
РЫНКА НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЕГЕ - ИЗИНГА
Авторами была предпринята попытка описать состояние финансовых рынков с помощью нелинейной статистической модели Веге - Изинга. Предлагаемый алгоритм расчетов основных параметров модели применяется к описанию функции плотности вероятности однодневных доходностей индекса S&P500 за период с января 1998 г. по август 2004 г.
Описание гипотезы когерентного рынка
В отличие от вышеописанных однофакторных моделей мультифрактального рынка, в которых состояние рынка оценивалось с помощью одной переменной — фрактальной размерности, или показателя Харста, физическая модель Изинга включает три параметра: число кластеров, внутреннюю характеристику кластеров и внешнее воздействие. Каллан и Шапиро в 1974 г. применяли модель Изинга в социальных науках [11], а Веге в 1991 г. разработал модель Когерентного рынка (Coherent Market Hypothesis - СМН) [12].
Основное отличие модели СМН от однофакторных моделей в том, что вероятностное распре--деление изменений доходностей рынка во времени базируется не только на фундаментальных экономических условиях, но и на определенных настроениях, иначе говоря, «групповом сознании» рынка. А так как комбинации этих двух факторов изменчивы, то изменяется и само состояние рынка. Происходящие при изменении рынка фазовые переходы представляют собой изменение функции плотности вероятности доходностей рынка.
Различают несколько вероятностных состояний (фаз) рынка:
1) эффективный рынок, т.е. рынок, в котором финансовые инструменты ведут себя как случайный временной ряд и, следовательно, такой рынок не может быть прогнозируемым. В этом случае инвесторы действуют независимо друг от друга, и информация мгновенно отражается в ценах;
2) переходные состояния рынка. Возникают из-за возрастания «группового сознания», т.е. происходит некое смещение в настроениях инвесторов;
3) хаотические рынки. Рынок, на котором финансовые инструменты обладают «долгосрочной памятью». Настроения инвесторов в данном случае характеризуются тем, что быстро распространяются в «групповом сознании», а фундаментальные условия нейтральны или еще не определены;
4) когерентный рынок, в котором обозначены фундаментальные тенденции и, кроме того, как и в случае 3, присутствует «долговременная память». Это часто трендовые рынки с низким риском для получения прибыли.
В модели Изинга три основных параметра определяют состояние системы — число степеней свободы (число компонент системы), внутренняя кластеризация (корреляции между компонентами си-
12
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЖВбРШ и ЪР/ГКЖЪЫ
^tcafuMMtca - маи^матигескае лгоу&хирхблНие
17 (50) - 2005
стемы) и внешние силы, оказывающие влияние на эту кластеризацию. Веге [3] в качестве показателя внутренней кластеризации использовал термин «рыночное настроение», в качестве внешних сил он взял экономические окружающие условия.
Мы изменили функцию плотности вероятности прибыли, записанную Веге [12] таким образом, чтобы отразить в модели статистику изменения доходности индекса не на годовом, а на меньшем (двухмесячном) промежутке. В результате было получено следующее выражение:
«/10
/(<7) = с"'хе(<7/Ю)хехр(2* | (К(у)/0(у)ёуУ,
-1/2
ЛГ(<?) = 5Й(А:*<7 + й)-2*<7*сй(А:*<7 + /г);
0(?) = (1/ЛО*(сй(А:*<7 + Л)-2Ч + Й));
5 <//Ю
С= |е(<7/10)*ехр(2 | {К(у)/<2(у)с1у№,
-5 -1/2
(1)
где/(<7) - плотность вероятности ежедневной прибыли д.
Параметрами порядка системы (1) являются: N— число степеней свободы, или численность участников рынка; к — показатель поведения толпы. Свяжем данный показатель с показателем Харста Н[ 1] с помощью формулы: к = Н+ 1,3; И — фундаментальное смещение (результат влияния внешних экономических условий).
Изменение управляющих параметров изменяет форму функции вероятности (1). При й=0, Л=1,8 мы получаем истинное случайное блуждание (рис. 4), уравнение (1) преобразуется в нормальное распределение. Любая информация быстро обесценивается рынком.
/(<7)
-1-1
0.86-
071-
0.57- - -.....
0.43-
022;
/Ш4-1 1 Г 1 1 1 l\ 1 1
ft = 0 к = 2 N=220
-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 Ч
Рис. 5
Значение й=0 отражает отсутствие фундаментального смещения, в тот же момент высокое значение показателя поведения толпы А; дает нам очень неустойчивую систему (рис. 6), любая позитивная или негативная информация может привести к радикальным переменам, это и отражает функция плотности вероятности, образуя две впадины. За недостатком фундаментальной информации инвесторы отслеживают действия друг друга, поэтому любые слухи могут стать причиной паники.
1"
;.......т............ 0.86- •
; 0:71 - " ! 057- • /(Я) ■ 0.43"
ПОО--
■KI I I
й = О к =2,2 TV =220
-5-4-3-2-1 0 1
q
Рис. 6
I I IV "I
2 3 4 5
1- Т ' •
• • 0.86- i ,.....
1 1
0 71- _... ; !.....1---- 1 S ......
-0 57- - ; ■ ]..... ■
■ • 0.43; ■ч!
\ i !
, , 1 Г ......\ у ■] -i - ■> > 1 i—
й = 0 к= 1,8 N= 220
-5 -4 -3 -2 -1
Ol 2 3 4 5
q
Рис. 4
В случае небольшого возрастания к при неизменных фундаментальных условиях, й=0 получаем ситуацию «неустойчивого перехода» (рис. 5). Мы видим, что на рынке присутствует «долговременная память» (таким образом, информация не обесценена), имеются тренды, и они сохраняются, пока новая информация не изменит их.
Уменьшение h до -0,005 отражает то, что на рынке начинают циркулировать не очень хорошие экономические новости. Функция плотности вероятности смещается влево (рис. 7). Мы видим хаотический рынок с небольшой игрой на понижение.
№
OÄS- : ' t
..... 0.7Г • - - - ♦ -i
i »- , 0.57- .....
; . ... 0.43-
/ \P 29-
f' 044-
i S* 1— —1— _1—1—|S| 1
-5-4-3-2-1 О Ч
Рис.7
й = 0,005 к =2,2 N=220
1 2 3 4 5
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгоръя и ЪРЯКЮСК*
"Эка^иши/са - млт&матигеасое «иоу&мсрл^Кие
17 (50) - 2005
Уменьшение 1т до -0,03 приводит к когерентному медвежьему рынку (рис. 4). Функция плотности вероятности сильно скошена влево, но остается длинный положительный хвост, указывающий на то, что дни положительных доходностей рынка остаются возможными, даже если их вероятности очень малы. Положительная информация может иметь меньший эффект, чем отрицательная той же величины. Инвесторам можно рекомендовать совершать короткие продажи. Следующее состояние рынка — когерентный медвежий рынок (рис. 8).
№
............1-
0.86-
А 0.71- И = -0,003
Н 0.5?- к = 2,2
1 \ 0.43- N = 220
1 \0.29-
1 \и4-Н-Г 1 1 Р" 1 1 1 1
Н
-5 -4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 Я
Рис. 8
Далее представлен пример часто встречающейся ситуации — когерентный бычий рынок (рис. 9). На таком рынке риск потерь низок, и общая вола-тильность падает. Данные условия на рынке как нельзя более подходят для совершения покупок ценных бумаг.
Таким образом, являясь нелинейной статистической моделью, модель когерентного рынка предлагает богатую теоретическую схему для оценки рыночного риска и его изменений во времени в зависимости от факторов фундаментального и технического характеров.
Перейдем к рассмотрению способов расчета характеристик модели.
Легче всего вычислить показатель настроения толпы к, так как существует несколько надежных способов расчета показателя Харста [1,2,13].
Чтобы рассчитать число степеней свободы рынка и показатель фундаментального смещения И, использовались процентные приращения дневных значений индекса Б&Р500 за период январь 1998 г. по август 2004 г. Вся совокупность данных была разбита по 2-месячным интервалам, и в дальнейшем для каждого интервала по разработанной методике были найдены соответствующие значения параметров к, /г, N.
Л?)
- - -;-".; И ........ —..........
0.86-
0.71- .. ; -;. . , ...... .
: 0.57- ............
0,43-
0.29- • / \
• 0.14-11111"* —1—1—Л| 1
/г = 0,02 к = 2,1 N=220
-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5
q
Рис. 9
Для определения числа степеней свободы рынка был получен следующий график (рис. 10).
На основе минимизации ошибок системы (1) для расчета И предлагается следующее уравнение регрессии (табл. 7).
Как видно из результатов моделирования, все коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, значимо и само уравнение регрессии для вычисления фундаментальной постоянной И.
При более тщательном исследовании функции (1) применительно к индексу 8Р-500 оказалось, что найденный диапазон числа степеней свободы рынка 180-220 является усредненным по всем состояниям рынка. Более того, в зависимости от состояния рынка число степеней свободы сильно изменяется. Было получено следующее уравнение:
N = — 27666*к - 12560*шос1(/г) + 64278*1п(Л) +22381 /к. (2)
Все коэффициенты уравнения статистически значимы, значимо и само уравнение.
Вывод: с увеличением фундаментального дрейфа рынка и постоянной Харста уменьшается число степеней свободы рынка. Зависимость от фундаментальной составляющей линейная, а в зависимости от постоянной Харста присутствуют нелинейные эффекты, ослабляющие линейную зависимость.
Накопленная сумма ошибок минимальна, значение N=220
Рис. ю
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгоръя те ърлхжгсх*
"ЭкдЯсшшса - млтмиг&игеасое люфыи^а&гЯие
17 (50) - 2005
Таблица 7
Итоги регрессии для определения константы фундаментального сдвига А
R= ,35676209 RA2= ,73404128 Adjusted RA2= ,66016386
F(10,36)=9,9359 p<,00000 Std.Error of estimate: ,00293
Beta ! Std. Err. в Std. Err. t(36) p-level
N=46 i i of Beta ; of В
МО -17,14111 6,73938 -LI ,0UJUUU23648 0,000000 -2,54343 0,015416
си -26,3226 10,97135 -0,00166869318 0,000696 -2,39922 0,021732
Цеп. ин. PI 108,2923 15,90365 0,53930429832 0,079201 6,80927 0,000000
Цеп. ин. PPI -23,9421 10,58328 -0,11958131390 0,052859 -2,26226 0,029814
Цеп. ин. HS -6,0496 2,23887 -0,03021698679 0,011183 -2,70208 0,010444
UR*2 10,7162 5,14780 0,00000000025 0,000000 2;08170 0,044540
СР1Л2 -35,4460 13,23165 -0,00000576533 0,000002 -2,67888 0,011064
UR*MO 26,7427 6,38410 0,00000000187 0,000000 4,18895 0,000173
UR*IPI 24,9752 7,34690 0,00000000002 III ,000000 3,39943 0,001664
GDP*M2MS -61,4600 11 ,23506 -0,00000019373 0,000000 -5,47038 0,000004
МО- Manufacturers' New Orders: Durable Goods;
CU- Capacity Utilization; PI — Perconal Income (цепной индекс);
PPI — Producer Price Index: All Commodities (цепной индекс);
HS — Housing Starts: Total: New Privately Owned Housing Units Started (цепной индекс); UR — Unemployment Rate;
CPI — Consumer Price Index For All Urban Consumers: All Items;
IPI - Industrial Production Index;
GDP — Gross Domestic Product;
M2*MS — M2 Minus*M2 less small time deposit.
Полученные результаты говорят о перспективности использования гипотезы когерентного рынка для успешной работы трейдеров, портфельных менеджеров, управляющих паевых фондов. Формирование стратегий поведения трейдера и формирование портфеля акций паевого фонда должны учитывать текущее состояние рынка, степень предсказуемости и степень волатильности отдельных акций и всего рынка.
Литература
1. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. — М.: Мир. - 2000.
2. ГотовчиковИ.Ф. Оценка путей совершенствования стратегий поведения на российском валютном рынке //Финансовый менеджмент. - 2003. — №4.
3. Medio А. Discrete and continuous-time models of chaotic dynamics in economics, Structural Change and Economic Dynamics, 2,99-118 ( 1991a).
4. Medio A. Continuous-time models of chaotic dynamics in economics. Journal of Economic Behavior and Organization, 16, 115-151 (1991b).
5. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J.Atmos. Sci. 20, 130-141 (1963).
6. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 20, 167 (1971).
7. Колмогоров A. H. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. ДАН СССР, т.119, с.861-864, 1958.
8. Nerenberg М.А., Essex С. Correlation dimension and systematic geometric effects. Phys.Rev. A 42, 7605 (1986).
9. Schreiber Т., Kantz H. Noise in chaotic data: Diagnosis and treatment. Chaos 5, 133-142 (1995).
10. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в комплексных финансовых системах. - М.: Интернет-Трейдинг. - 2003. - 400 с.
11. Callan, Е. and Shapiro, D. "A Theory of Social Imitation. - Physics Today 27, 1974.
12. Vaga, T. The Coherent Market Hypothesis. -Financial Analysts Journal, December/Janurary 1991.
13. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование прогнозов урожая по технологии «ЗОНТ». - Воронеж: ВГАУ. - 2000.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгорш ъ ЪР/екЖкЪ*
