CC BY
231
УДК 338 ББК 65
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Евгения Александровна Сандрюкова,
доцент кафедры информатики и математики Московского университета МВД России имени В.Я. Кикотя,
кандидат экономических наук E-mail: evgeni3008@rambler.ru; Екатерина Евгеньевна Дубинина,
курсант факультета подготовки сотрудников для подразделений экономической безопасности и противодействия коррупции
Московского университета МВД России имени В.Я. Кикотя E-mail: dubinina.28.96@mail.ru
Научная специальность 08.00.13 — математические и инструментальные методы экономики Citation-индекс в электронной библиотеке НИИОН
Аннотация. Изучаются возможности фрактального анализа для моделирования и исследования экономических процессов на примере динамики ценообразования индекса РТС и ММВБ за период 1997—2016 гг.
Ключевые слова: фракталы, фрактальный анализ, моделирование рыночных процессов, прогнозирование экономических процессов.
THE APPLICATION OF ELEMENTS OF THE THEORY OF FRACTALS IN THE STUDY OF ECONOMIC PROCESSES
Evgenia A. Sandryukova,
Associate Professor of the Department of Informatics and Mathematics of the Moscow University of the Ministry of the Interior of Russia named after V.Ya. Kikot,
Candidate of Economic Sciences; Ekaterina E. Dubinina,
cadet of the faculty for training employees for economic security and anti-corruption units of the Moscow University of the Ministry of the Interior ofRussia named after V.Ya. Kikot
Abstract. The article is devoted to the study of the possibilities of fractal analysis for modeling and research of economic processes on the example of the dynamics of pricing of the RTS index and the MICEX for the period 1997—2016. Keywords: fractals, fractal analysis, modeling of market processes, forecasting of economic processes.
Практически все процессы, в том числе экономические, имеют волнообразный характер, и подобная динамика значительно затрудняет возможность спрогнозировать развитие тех или иных направлений деятельности и, тем самым, усложняет управление и совершенствование этих процессов. Поэтому одним из самых эффективных видов анализов является фрактальный анализ, который по своему содержанию является методом, основанным на использовании принципа рекурсии. Он выходит из предположения о рекурсивной связи в динамическом ряду, описывающей динамику исследуемых процессов; позволяет выявить связь между эконо-
мическими объектами и явлениями, определяющими поведение исследуемой экономической системы. Фракталы выделяют основную структуру изменений социально-экономической среды и позволяют с достаточной точностью спрогнозировать возможные тенденции развития экономических систем, стремящихся к идеалу.
В условиях нестабильной экономической ситуации целесообразно разрабатывать и совершенствовать методы прогнозирования кризисных ситуаций как для рынка акций и ценных бумаг, так и в рамках конкретной отрасли и для отдельно взятых предприятий.
Использование математического аппарата теории фракталов открывает новые возможности в моделировании рыночных процессов. Ключевым моментом, способствующим этому, является саморазвитие фрактала. Данное свойство характеризует фрактал как математический объект, который наиболее соответствует системной природе экономических процессов, протекающих в условиях нелинейной динамики множества факторов внешней и внутренней сред [1].
С недавнего времени фракталы получили широкое применение в исследовании экономических процессов. В частности, такая характеристика временного ряда, как фрактальная размерность, позволяет определить момент, когда система становится нестабильной и готова перейти к новому состоянию. Современная наука широко применяет теорию фракталов для исследования временных рядов с целью повышения достоверности прогнозирования экономической динамики.
В реальном мире чистых, упорядоченных фракталов, как правило, не существует, и можно говорить лишь о фрактальных явлениях. Их надо рассматривать только как модели, которые приближенно являются фракталами в статистическом смысле. Однако грамотно построенная статистическая фрактальная модель позволяет получить достаточно точные и адекватные прогнозы [2].
Теория фракталов — качественно новый подход в моделировании экономики, который с трудом прокладывает дорогу к широкому применению в силу противоречивости классическим методам.
На сегодня существует много различных математических моделей фракталов, каждая из которых отличается от других определенной рекурсивной функцией, лежащей в ее основе. Среди них наиболее распространенные — это модель Мандельбро-та и модель Джулии. Между данными моделями существует следующее расхождение: если модель Мандельброта является статической (поскольку 2 первоначальное всегда равна нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. Существуют и другие модели, такие как ковер Серпин-ского, кривая Коха и другие, но их использование для моделирования экономических систем требует дальнейшего изучения.
Примером одного из наиболее эффективных применений теории фракталов является моделирование рыночных процессов и непосредственно фрактальная модель фондового рынка. Учитывая особенности функционирования рынка ценных бумаг, достаточно трудно спрогнозировать динамику цен на нем.
Существует большое количество рекомендаций и стратегий, однако лишь применение фракталов позволяет построить адекватную модель поведения фондового рынка[3]. В пользу эффективности применения такого подхода говорит то, что многие участники фондовых бирж тратят немалые средства на оплату услуг специалистов в данной области.
Остановимся подробнее на возможности применения для исследования и прогнозирования развития экономических систем математической теории фракталов.
При построении фракталов реализуются принципы нелинейности в процессе выбора развития системы, то есть фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития, и состояние системы определяется положением, в котором она находится сейчас — это попытка смоделировать хаотичное развитие. Фрактальная структура объекта предусматривает неизменность степени сложности его структуры с увеличением масштаба рассмотрения.
Динамические ряды данных, описывающие поведение экономических систем, в разных масштабах имеют примерно одинаковый вид. Для характеристики фрактальной структуры используют показатель фрактальности D, введенный Хаусдор-фом [4], численно определяющий размерность компактного множества в произвольном метрическом пространстве.
Для характеристики динамики рассматриваются такие свойства, как персистентность (трендо-стойкость), антиперсистентность («возвращение к среднему»), цикличность. Следовательно, показатель фрактальности важен в том смысле, что он тесно связан с показателем Херста [1], который определяет свойства динамики экономической системы или динамического ряда. Для большинства динамических процессов показатель Херста Н определяется как: Н = D - 2,
где D — показатель фрактальности.
350
Вестник экономической безопасности
№ 4/2017
Но на практике для определения параметра Херста по этой формуле используются хаотические ряды данных, содержащие до нескольких тысяч значений [2]. Уменьшение объема массива данных возможно путем использование метода нормированного размаха (R/S-анализ). Доказано, что показатель Херста связан с коэффициентом нормированного размаха (R/S).
Наряду с использованием показателя Хер-ста для анализа тенденции корреляционного отношения данную характеристику применяют для оценки автокорреляционного влияния предыдущих значений динамического ряда на его следующие значения и определения будущей тенденции. Для этого используется корреляционное соотношение [4]:
С = 2 2H - 1 - 1,
где С — мера корреляции, H — показатель Херста.
Современные консалтинговые компании применяют фрактальную статистику Херста для оценки доходности акций при анализе инвестиционно-финансовой привлекательности компании. По сути, основная задача показателя Херста — отличить случайный числовой ряд от неслучайного, при этом этот случайный ряд может не иметь нормального распределения [5].
Предположив, что изменение индексов доход-ностей протекает фрактально с показателем Херста Н, авторами был проведен анализ динамики ценообразования индекса РТС и ММВБ за период 1997— 2016 гг.
Расчеты оценки показателя Херста Н для индекса РТС были проведены с помощью метода Херста на основе ежемесячных цен закрытия [6], и составили 0,637.
Полученный показатель лежит в пределах между 0,5 и 1, что говорит о том, что динамика индекса РТС представляет собой процесс «черного шума», то есть является персистентным процессом, и, следовательно, имеет сильную зависимость от начальных условий.
Тем не менее, в более дальних перспективах инвестирования в поведении исследуемого индекса присутствуют признаки детерминированного хаоса; в десятимесячном интервале логарифмические доходности имеют конечную корреляционную раз-
мерность. На отметке около 8 наблюдается стабилизация тангенса угла наклона кривой корреляционного интеграла.
Можно сделать следующий вывод: на малых интервалах поведение рынка вложений во многом случайно и в большей степени зависит от многочисленных краткосрочных проектов. Тем не менее, в силу малоликвидности российского рынка, долгосрочные перспективы инвестирования крупных игроков носят стратегический характер и имеют черты детерминизма.
Расчет длины персистентного непериодического цикла составил приблизительно 14 месяцев, именно в этот период индекс подчиняется процессу «черного шума», а показатель Херста варьируется близко к 0,5.
Анализ динамики индекса ММВБ показал среднюю величину оценки показателя Херста Н, равную 0,523.
Таким образом, индекс ММВБ также подчиняется процессу «черного шума» для ближнесрочных инвестиционных вложений. Тем не менее, для индекса ММВБ (в отличие от индекса РТС) не выявлено конечной корреляционной размерности для 1,5-месячных логарифмических доходностей в связи с тем, что угол наклона кривой корреляционного интеграла продолжает расти.
В связи с выявленными различиями в анализе двух российских индексов можно сделать следующий вывод: так как индекс РТС в Российской Федерации рассчитывается в долларах США, то колебания курса рубля к доллару США влияют на поведение индекса.
Расчет непериодического персистентного цикла индекса ММВБ дал результат приблизительно в 8 месяцев, что говорит о антиперсистентности процесса и стремлении подчинятся процессу «розового шума». Это говорит о том, что динамика индекса ММВБ характеризуется возвратом к среднему и демонстрирует отсутствие четких тенденций. В этом случае инвестирование носит стохастических характер, и инвесторы могут поймать тенденцию, вкладывая свои средства на срок около 8 месяцев.
Таким образом, использование фрактального анализа для исследования динамики показателей деятельности рынка акций позволило смоделиро-
вать экономические процессы. Значительным преимуществом данного метода является также возможность распознавания нарушений динамики экономического процесса. Возможность классификации временных рядов по значениям показателей Херста позволяет повысить надежность прогнозирования поведения экономических систем, открывает широкие возможности для экономико-математического моделирования динамических рядов.
Литература
1. Любич М.Ю. Динамика рациональных преобразований: топологическая картина // Успехи
математических наук, т. 41, выпуск 4 (250), 1986 (июль—август).
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. / (пер. с англ.). М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.
3. МорозовА.Д. Введение в теорию фракталов // Москва — Ижевск, 2004. 160 с.
4. Турбин А.Ф., Працевитий Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения // К.: На-укова думка, 1992. 200 с.
5. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000.
6. http://moex.com/ru/index/stat/dailyhistory. aspx?code=RTSI
Magister
Аудит бизнеса
Учебник
Р.П. Булыга
Аудит бизнеса: учебник для студентов магистратуры, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика», «Финансы и кредит», «Государственный аудит», «Менеджмент» / Р.П. Булыга. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017. 263 с. (Серия «Magister»).
Учебник формирует комплексное представление о современном состоянии, трендах и перспективах развития аудита как вида профессиональной деятельности. Даны характеристика аудиторских стандартов, классификация и описание услуг, оказываемых аудиторскими фирмами. Рассмотрены модели регулирования аудиторской деятельности и системы контроля качества аудита в экономически развитых странах в посткризисный период. Анализируются Концепция дальнейшего развития аудиторской деятельности в РФ, а также перспективы и проблемы перехода Российской Федерации на прямое применение международных стандартов аудита. Предложена научно обоснованная концепция реформирования и новая парадигма аудита XXI в., на базе которой формулируется определение аудита бизнеса, а также инновационные направления деятельности аудиторов. Даны методические рекомендации по проведению аудита интеллектуального капитала, аудита эффективности бизнес-процессов, организации стратегического аудита и его отдельных направлений: инвестиционного и маркетингового аудита. Основной материал учебника дополнен приложениями, содержащими информацию методического, аналитического и справочного характера.
Для магистров, аспирантов, слушателей программ дополнительного профессионального образования, специализирующихся в области бухгалтерского учета и аудита, преподавателей, руководящего персонала аудиторских фирм и саморегулируемых организаций аудиторов. Представляет интерес для представителей исполнительной и законодательной ветвей власти, в круг обязанностей которых входят вопросы регулирования аудиторской деятельности.
352- - Вестник экономической безопасности - № 4 / 2017
