МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

БОТ: 10.18698/2309-3684-2021-1-91109

Методы численного решения дифференциального уравнения смешанного типа в неограниченной области

© М.П. Галанин1'2, Д.Л. Сорокин1'2, А.Р. Ухова2

1ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 125047, Россия 2МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Разработаны методы численного решения задачи для уравнения смешанного типа в неограниченной области в случае, когда решение удовлетворяет уравнению теплопроводности в ограниченной области и уравнению Лапласа в оставшейся части пространства. Предложен способ задания искусственных граничных условий, позволяющий проводить расчёты в ограниченной области. Построен итерационный алгоритм нахождения численного решения в ограниченной области, такой что численное решение сходится к проекции точного решения на ограниченную область. Исследована скорость сходимости итерационного алгоритма. Задача решена в одномерном плоском, в цилиндрически и сферически симметричных случаях. Приведены примеры решений.

Ключевые слова: уравнения смешанного типа, неограниченная область, итерационный алгоритм

Введение. Часто при решении реальных задач математическую модель необходимо строить в неограниченной области, например, при моделировании квазистационарного электромагнитного поля в электродинамическом ускорителе рельсового типа. Такие задачи характеризуются тем, что внутри некоторой области процесс описывается параболическим уравнением, а вне — эллиптическим.

Для численного решения задач в неограниченной области разработано множество методов, например, метод замены переменных, метод граничных интегральных уравнений, метод разностных потенциалов [1-3], метод введения бесконечных элементов совместно с конечными элементами [4-5], использование квазиравномерных сеток [6], однако данные методы не всегда позволяют эффективный вычислительный алгоритм.

Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения смешанного типа во всем пространстве. А именно, искомое решение в некоторой ограниченной области в является решением нестационарного уравнения теплопроводности, а вне области в решение удовлетворяет уравнению Лапласа. На границе области в имеют место условия непрерывности решения и потоков. Чтобы обеспечить единственность, наложим на искомую функцию и условие регулярности на бесконечности [7-8]. В итоге решаемая задача имеет вид:

и( = Ад/,

Аи = 0,

| и |<

ди

:Д :Д

г е

\д

(1)

[и] = 0,

дп

= 0 на дБ.

Требуется построить метод нахождения численного решения задачи в ограниченной области, точное решение которой совпадает с проекцией решения исходной задачи в бесконечном пространстве на эту область.

Необходимо рассмотреть задачу в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат в одномерном случае.

Граничное условие. Рассмотрим двумерный случай Пусть область Д ■ Д с Д (рис.1). Для нахождения решения задачи вида (1) в этой области необходимо поставить граничное условие на границе Д [3, 9, 10]. Форма области Д может быть сложной, что не позволяет задать функции Грина решаемых уравнений. Поэтому в [11] рассмотрена дополнительная граница дБ1 в области Д \ I), представляющая собой окружность радиуса г . Решение внешней краевой задачи для уравнения Лапласа вне круга известно и задается интегралом Пуассона [7-8, 12]. В двумерном случае он имеет вид:

и(г, р) = Ри = — | и(г,щ)

2 2 г - гх

- 2гг соз(р - щ) -

г > г.

Если решение на дД известно, то вычислением интеграла Пуассона можно получить значения искомой функции, например, на границе области Д.

7

Тогда исходная задача в части уравнения Лапласа примет вид:

Аи = 0, г е D2\D,

^ 2л

u Ц = ^ i u(riW)

r22 -2rr cos(^- щ) + r2

-dщ.

(2)

Здесь точка (r2, ф) edDr

Одномерный плоский случай. В одномерном случае в декартовых координатах задача (1) имеет вид (3). Во всех рассмотренных далее одномерных плоских задачах считаем y/(t) = const, u0 (0) = const.

U = ux.

U |t=0 = U0(x) ,= w(t),

u |

Uxx = 0 | u |<

0 < x < L, t > 0, 0 < x < L,

L < x <

(3)

u |x=L-0 = u |x=L+0 ,

ux |x=L-0 ux |x=L+0

Решение будем искать на отрезке [0,Ц ], Ь < Ц < Ц. Условие на границе Ц в одномерном случае представляет собой равенство значений искомой функции в Ц и в Ь :

и |1=Ц - и |1=Ь .

Оно является следствием постоянства регулярного решения уравнения Лапласа в данном случае.

Точное решение задачи разыскивается обычным способом в виде разложения по собственным функциям, соответствующим собственным числам

л лп

А, =--1--,яе/.

2L L

(4)

Для численного решения введем сетку в области О^/^Г} по переменным х иг: со^={х^И\,

1=0, I,..., N^-1, \ = Ы(1Чи -1)} — равномерная сетка с шагом \ на

отрезке

OCx^L,

N —

количество узлов сетки,

= = А + А } = \ ■ • ■, \ -1, К = (4 - ц / (Мкг -1)} — равномерная сетка с шагом \ на отрезке I. й х , в итоге сетка по

0

<

пространству содержит (N + N -1) точек,

а>т = {(к=кт, к-О, 1,..., Ыт, т = ТШт)— равномерная сетка с шагом т на отрезке 0 ^ I ^ Т.

Запишем неявную разностную схему для уравнения теплопроводности [13]:

'ук - Ук 1 У+ - 2Ук + уи

г =1.....N - 2,

г К ' ' И ' (5)

[у0 =и0(хгX у0 =у(^).

Здесь и далее используем обозначение у для численного аналога точного решения и .

Далее запишем разностную схему для уравнения Лапласа:

у\ - 2 ук + ук

^+1-^—^ = о г = N N + N - 3

Аппроксимируем условия сопряжения интегро-интерполяцион-ным способом. Для этого проинтегрируем уравнение теплопроводности (3) на отрезке [Ь -\ /2, Ь], проинтегрируем уравнение Лапласа на отрезке [Ь, Ь + к2 /2] и приравняем потоки слева и справа от границы.

Далее заменим производные разностными, а интеграл — квадратурой и получим уравнение [13-14]:

с , . .л

1 ук И ^-2

К 1 1

1—I—

ук1-1 + к2уы1 =- 27^-1. (6)

V2г И К у

2 , 1 2

имеет порядок аппроксимации 0( И + К + г) .

Полученную систему линейных алгебраических уравнений можно решить, например, методом Гаусса с частичным выбором главного элемента [13]. Более рационально использовать специально созданный вариант метода прогонки [13], поскольку матрица решаемой системы уравнений отличается от трехдиагональной лишь одной последней строкой. Те же алгоритмы можно будет применять при решении других систем алгебраических уравнений, которые возникнут далее в данной работе.

Пример 1. Задача (3) с и0 (х) = 1 - х. Ее точным решением является функция:

и(х, Г) = 1 + —X 2 вт(Аих)в~я"', 0 < х < Ь.

Ь п=0 А2

Здесь и далее для случаев плоской и цилиндрической геометрий и(х, ?) = и(Ь, ?) при х > Ь . В случае плоской геометрии для нахождения ошибки в качестве точного решения взята частичная сумма ряда до 3 члена. Ошибка вычислена в равномерной норме.

Расчеты произведены при значениях Ь = 1, Ь2 = 2, Т = 1. В таблице 1 приведены результаты вычислений.

Таблица 1

Сравнение численного решения с точным при различных соотношениях

шагов сетки в плоском случае при — 1,75 для примера 1

Количество узлов Ошибка Отношение ошибок

Nhi = N2 = 21, NT= 21 1,00271-10-2 —

Nh= Nh2 = 41, NT = 84 2,51836-10-3 3,982

Nh1= Nh2= 81, NT = 336 6,30219-10-4 3,996

Nh,= Nh2= 161, NT = 1344 1,57592 -10-4 3,999

Отметим, что при различных положениях дополнительной границы L ошибки остаются одинаковыми.

На рис. 2 показано решение в различные моменты времени.

u 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 .......•.*-—---- , . ,

0,0 0,5 1,0 1,5 х

Рис. 2. Эволюция во времени решения из примера 1

Пример 2. Задача (3) с щ (х) = cos x. Ее точным решением при 0 < х < L является функция:

1 ^ 2 u( х, t) = 1 + — ^ sin( A x)e~At

L n=0

В табл. 2 приведены результаты вычислений.

— t = 0,00 — t = 0,06 — t = 0,12

— t = 0,24

— t = 0,48 t = 1,00

A" (-1)" (1 - sin L) - A (-1)" (1 + sin L) + 2

A (Л2 -1)

Таблица 2

Сравнение численного решения с точным при различных соотношениях шагов сетки в плоском случае при Ьх =1,5 для примера 1

Количество узлов Ошибка Отношение ошибок

= N ^ = 21, Нт = 21 3,47402 -10-3 —

Нк = Н^ = 41, Нт= 84 8,72007 -10-4 3,984

N к= N 81, Нт= 336 2,18188-10-4 3,997

Нкг= 161, Нт= 1344 5,45582 -10-5 3,999

На рис. 3 показано решение в различные моменты времени.

и 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0, 0 0,0

г = 0,00 г = 0,12 г = 0,24 г = 0,48 г = 1, 00

0,5 1,0 1,5 х

Рис. 3. Эволюция во времени решения из примера 2

Одномерный цилиндрический случай. Исходная задача в цилиндрических координатах имеет следующий вид:

и =

и рдр{ др;

и \г=0 = и0(рХ

0<р<я, г>0, 0 < р < я,

1 д

р

ди

РдРУ дР) \ и \<

и \р=я-0 и \р=я+0, ир \р=я-0 = ир \р=я+0

= 0, р> я,

(7)

Решение будем искать на отрезке [0, Я ]. Условие на внешней границе Я2 такое же, как и в плоском случае:

и\р=кг = и\р=к1 .

Обоснование аналогично таковому для плоского случая. Точным решением задачи в области 0 < р < Я, является функция

со ^ ^

«(аО = Е Р2РЛ(Л,рГи0(р)Л(Л,/5)№р.

п=О Л Л (Л^) 0

Здесь собственные числа 1п являются корнями уравнения:

ЛМЛпЯ) = 0,

следующего из граничного условия при р = Я, /0, — функции Бесселя.

Воспользуемся введенной ранее сеткой на Ог . Оператор Лапласа аппроксимируем интегро-интерполяционным методом [14]. Для этого проинтегрируем Аи = Ди по ячейке размером И с весом р . Получим

для разностного ператора АИ:

КЛ,У = ^^ Р+1/2 - ^^ А-1/2 , (8)

И И

где = 1(р!2+1/2 -р;-1/2) — объем ячейки.

В итоге имеем разностную схему для уравнения теплопроводности:

У -У*-' = 1 / у": -Ук п Ук -Ук-1)

г рИ (р+1/2 И И ), (9)

,У° = и0(р ).

Для аппроксимации условия в нуле проинтегрируем уравнение по ячейке [0, \ /2] с весом р, заменим производные разностными, а интеграл — квадратурой, получим:

уЬуГ =А Ук - Урр _

г ИИ

Далее запишем разностную схему для уравнения Лапласа:

1 -.Л -.Л л л

1- У1 -р У1_-Ук) = 0

, \рг+1/2 , р-1/2 , /

ргИ2 И2 И2

Аппроксимируем условие сопряжения аналогично плоскому случаю. Для этого проинтегрируем уравнение теплопроводности (7) на

отрезке [Я - к /2, Я] и уравнение Лапласа на отрезке [Я, Я + к2 /2] с весом р. Учтем равенство потоков, заменим производные разностными, интеграл — квадратурой и получим:

2Я - к к

УМц-2

2к

Я -А) + ^

+

2Я + к 2 к

К (4Я - К ) 8 т

2Я + к 2К

/-1 Уык

\

к

(10)

Описанная схема имеет порядок аппроксимации 0(К + к\ + т) . Пример 3. Задача (7) с и0 (р) = р2. Для нахождения ошибки в качестве точного решения взята частичная сумма ряда до 20 члена. Ошибка вычислена в равномерной норме.

Расчеты произведены при значениях Я = 5, Я = 7,5, Я2 = 10 , Т = 10 . В таблице 3 приведены результаты.

Таблица 3

Сравнение численного решения с точным при различных соотношениях шагов сетки в цилиндрическом случае для примера 3

Количество узлов Ошибка Отношение ошибок

= N^ = 21, Нт= 21 3,5508 -10-2 —

НК= Nhг = 41, 84 8,17853-10-3 4,342

\ = N К= 81, ^= 336 2,00052 -10-3 4,088

\ = Nh2= 161, ^= 1344 4,97371-Ю-4 4,022

На рис. 4 изображено изменение решения с течением времени.

25 20 15 10 5 0

— I = 0,0

— (= 0,6 — (= 1,2

— (= 2,4

— (= 4,8

— (= 10,0

2 4 6 8 х

Рис. 4. Эволюция во времени решения из примера 3

и

0

Пример 4. Задача (7) с щ (р) = 1 -р3/2. В таблице 4 приведены результаты.

Таблица 4

Сравнение численного решения с точным при различных соотношениях шагов сетки в цилиндрическом случае для примера 4

Количество узлов Ошибка Отношение ошибок

= N ^ = 21, НТ = 21 1,65663 -10-2 —

Нк = = 41, Нт= 84 3,4009 -10-3 4,871

N к= N 81, Нт= 336 8,03357-10-4 4,233

N к= Н2= 161, Нт= 1344 1,97908 -10-4 4,059

На рис. 5 изображено изменение решения с течением времени.

2 0 -2 -4 -6 -8 -10

г = 0,0 г = 0,6 г = 1,2 г = 2,4 г = 4,8 г = 10,0

и

Рис. 5. Эволюция во времени решения из примера 4

Одномерный сферический случай. Исходная задача имеет вид:

1 д ( 2 ди\ Л л щ — (г2—), 0 < г < Я, г > 0, г дг дг

и 1=о = Щ (г), 0 < г < Я,

1 д / 2 ди\

——(г2—)=а г>^

г дг дг

| и |< +ГО,

и

0,

и 1 г =Я-0 и 1 г =Я+0,

иг |г=Я-0 иг |г=Я+0 •

(11)

Решение будем искать на отрезке [0, Я2 ]. Условие на границе Я2 в данном случае отличается от плоского и цилиндрического:

<

I I

11 1*=й2 Г) ^ •

Я2

Оно следует из (2) для данного случая.

Точным решением задачи при 0 < г < Я является функция:

2 °° 2 ^ Яг и=0 ^

Собственные значения 1П аналогичны таковым для плоского случая.

с

Решением уравнения Лапласа является функция и = —1, где

г

С = С ). Функцию с ) определим из условия сопряжения

и 'г-=- !■

Аппроксимируем оператор Лапласа так же, как и в (8), с соответствующими изменениями:

V А У = У'+1 - У' г2 - У' - У'-1 г2 (12)

УН,'АН,'У = , г+1/2 , 4-112' (12)

Н Н

где К' = 1( Г'+1/2 Г'—1/2 ) — объем ячейки.

В случае уравнения теплопроводности разностная схема для введенной ранее сетки примет вид:

ук-ук-1 _

3

Н3(3'2 +1/4)

-к _ к Ак У'+1 -У' Л- , 1 / У-У-1

( +1/2)2Н2- У' У-1 ('-1/2)2Н2

Н Н

Для уравнения Лапласа получим схему: 3

Н3(3/2 +1/4)

У'+1 у{ (■ . 1 1г\2и2 у{ у'-1

('' +1/2)2 Н2- ('-1/2)2 Н2 Н Н

= 0.

Чтобы аппроксимировать условие в нуле, проинтегрируем уравнение по ячейке [0, Н /2] с весом г2, заменим производные разностными, интеграл — квадратурой. Получим:

-.Л Л-1 /с -.Л -.Л

Уо-Уо =6 У1 -Уо ^

т н Н

т

Аппроксимируем условие сопряжения иг |г=д_0 = иг |г=д+0, проинтегрировав уравнения на соответствующих отрезках с весом г2 и учтя в результатах равенство потоков. Заменим производные разностными, интеграл — квадратурой, получим:

(2Д--Ш\+ц)+<2^—1+

+

4\

(2R + h2)

V

2Л (2R + h)2 k _ h(!2R2 -6Rh+

(14)

4h2 у

k (2r + п2) к _ »iuv'i; k- i

^-i + 4h2 ^ 24г -i •

Пример 5. Задача (11) с щ (r) = (ж—?! sin ?HL

ж r 2R

Для нахождения ошибки в качестве точного решения взята частичная сумма ряда до 3 члена. Ошибка вычислена в равномерной норме.

Расчеты произведены при значениях R = i, R = i, 5, R = 2, T = 2. В таблице 5 приведены результаты.

Таблица 5

Сравнение численного решения с точным при различных соотношениях шагов сетки в сферическом случае для примера 5

Количество узлов Ошибка Отношение ошибок

Na = Nh = 2i, NT= 21 4,32566 -10-3 —

Nh¡ = Nhi = 41, NT = 84 9,93134-10-4 4,358

Nh= Nh= 81, NT = 336 2,42449 -10-4 4,097

Nh= NA2= 1 6 1, NT = 1 344 6,02426 -10-5 4,025

На рис. 6 изображено изменение решения с течением времени.

Рис. 6. Эволюция во времени решения из примера 5

Пример 6. Задача (11) с щ (г) = г2. В таблице 6 приведены результаты.

Таблица 6

Сравнение численного решения с точным при различных соотношениях шагов сетки в сферическом случае для примера 6

Количество узлов Ошибка Отношение ошибок

Nhl = ^ = 21, Нт= 21 3,38884 -10-3 —

Ык= Мкг = 41, Мт= 84 7,77695 -10-4 4,356

\= Nь= 81, Мт= 336 1,89834 -10-4 4,096

Nhl = ^ = 161, Мт= 1344 4,71678-10-5 4,024

На рис. 7 приведено решение в различные моменты времени.

и 0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0 0,5 1,0 1,5 х

Рис. 7. Эволюция во времени решения из примера 6

Итерационный метод. Для численного решения задачи можно построить итерационный алгоритм [11, 15], в котором на каждой новой итерации решается задача с известным граничным условием. При этом происходит пересчет условия на внешней границе. На каждой новой ^ - ой итерации граничное условие будет вычисляться через значения на предыдущей (* -1)- ой, все остальные величины — неизвестные. В двумерном случае вместо (2) получим следующую задачу во внешней области:

'Аи'= 0, геД\А ^ , 21 2 2

I и' \д02 = — | и-1 (г, V) 2 , Г2 7-2 = Ри*-1.

2 2^1 г2 - 2г г со - V) + Г

Данный процесс будем применять для нахождения решения на каждом новом временном слое с использованием уже построенных

г = 0,05 г = 0,12 г = 0,24 г = 0,48 г = 0,95 г = 2,00

разностных схем. При таком способе система алгебраических уравнений принимает трехдиагональный вид, ее можно решить методом прогонки [13, 14]. Целью разработки метода является создание алгоритма для решения многомерных задач.

Рассмотрим сходимость [11] итерационного процесса. Ограничимся одномерным случаем. В нём Pu = u для плоской и цилиндрической геометрий, Pu = — u для сферического случая.

Я2

Утверждение 1. В одномерном случае итерационный процесс

сходится со скоростью геометрической прогрессии с показателем

~ -¿I— ~ Я, — Я

= —- — в плоском случае, = —-— в сферическом случае,

— Я^ — Я

1п Я - 1п Я

% =-1-— в цилиндрическом случае.

1п Я - 1п Я

Плоский случай. Изменения разностной схемы для расчета решения на новом к-ом временном слое являются очевидными. При этом у искомого решения добавляется индекс 5 — номер текущей итерации. Приведем условие на границе Ц. Оно примет вид:

•Ч + Ккг - 2 = Уш ,

где ш — номер узла, попадающего на Ц .

На рис. 2 приведено решение в различные моменты времени задачи (3) с щ (х) = 1 - х.

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Ц

Рис. 8. Зависимость числа итераций от положения границы Ц : — — результат проведения серии вычислительных экспериментов; — — теоретическая оценка

Рассмотрим влияние параметров задачи на сходимость итерационного процесса. Исследуем влияние положения дополнительной границы. Для этого зафиксируем границы Ь, Ь2, будем менять положение дополнительной границы Ь . Пусть Ь = 1, Ь2 = 2, Т = 0,05. На рис. 8 приведены результаты расчетов.

Чем ближе дополнительная граница к границе исходной области Б, тем быстрее сходится итерационный процесс.

Согласно утверждению 1 должна наблюдаться сходимость со скоростью геометрической прогрессии с коэффициентом q = Ь Ь

Ь2-Ь

Тогда число итераций можно оценить по формуле

1п е

п > —, (15)

1п q

где е — относительная ошибка. На рис. 8 приведены два графика. Красным цветом построен график зависимости априорной оценки необходимого числа итераций до сходимости по формуле (15), а синим — результат вычислительных экспериментов. Видим, что качественно и количественно графики близки.

Цилиндрический случай. Изменения разностной схемы для расчета решения на новом к - ом временном слое являются очевидными. Они вполне аналогичны плоскому случаю.

На рис. 9 показано решение в различные моменты времени задачи (7) с щ (р) = р1.

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

Рис. 9. Зависимость числа итераций от положения границы

в цилиндрическом случае: — результат проведения серии вычислительных экспериментов, — — теоретическая оценка

Проведем такое же исследование, как и в плоском случае. Зафиксируем границы Я , Я , будем менять положение дополнительной границы Я. Пусть Я = 1, Я = 2, Т = 0,05. На рис. 9 приведены

результаты расчетов.

Так же, как и в плоском случае, итерационный процесс сходится быстрее, если дополнительная граница ближе к границе области Б .

По формуле из утверждения 1 получена оценка скорости убывания ошибки. График зависимости оценки числа итераций от положения границы изображён на рис. 9 красным цветом. Видно, что результаты априорной оценки хорошо совпадают с результатами расчётов.

Сферический случай. Отличие итерационного процесса данного случая от двух рассмотренных состоит в уравнении, аппроксимирующем условие на границе Ц . Оно примет вид:

к,5 _ к,5 -1

+Мк2 -2 = „ Уш , Я2

где ш — номер узла, попадающего на Я .

Решение задачи (11) с щ (г) = г2 приведено на рис. 7.

Зафиксируем границы Я , Я , будем менять положение дополнительной границы Я. Пусть Я = 1, Я = 2, Т = 0,05 . На рис. 10 приведены результаты расчетов.

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Я

Рис. 10. Зависимость числа итераций от положения границы Я в сферическом случае: — — результат проведения серии вычислительных экспериментов; — — теоретическая оценка

По результатам расчётов (рис. 10) можно сделать вывод о хорошем совпадении ожидаемой и наблюдаемой в экспериментах скорости сходимости разработанного алгоритма.

Заключение. В работе построены и реализованы численные алгоритмы решения уравнения смешанного типа в неограниченной области. Рассмотрен одномерный случай в декартовой, в цилиндрической и в сферической системах координат. Алгоритм построен методом конечных разностей. Приведены примеры решения. Показано, что численное решение сходится к проекции точного решения на ограниченную область.

Исследована зависимость решения от положения дополнительной границы. Результаты расчетов показали, что такой зависимости нет.

Построен итерационный алгоритм численного решения задачи в неограниченной области. Проведено исследование зависимости скорости сходимости итерационного процесса от положения дополнительной границы. Получено, что чем ближе эта граница к границе исходной области D, тем меньше итераций требуется для получения решения с заданной точностью. Предложенный итерационный процесс может быть легко обобщён для решения многомерных задач.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Koleva M.N. Numerical solution of the heat equation in unbounded domains using quasi-uniform grids. Lecture Notes in Computer Science, 2006, vol. 3743, pp. 509-517.

[2] Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. Москва, Наука, 1987, 391 с.

[3] Брушлинский К.В., Рябенький В.С., Тузова Н.Б. Перенос граничного условия через вакуум в осесимметричных задачах. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1992, т. 32, № 12, с. 1929-1939.

[4] Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнитной гидродинамики. Москва, БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009, 200 с.

[5] Bettess P. Infinite Elements. Paris, Penshaw Press., 1992, 264 p.

[6] Zienkiewicz O.C., Emson C., Bettess P. A novel boundary infinite element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1983, vol. 83, no. 3, pp. 393-404.

[7] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1972, 735 с.

[8] Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. Москва, Изд-во МГУ, 1993, 352 с.

[9] Галанин М.П., Сорокин Д.Л. Разработка и применение численных методов решения задач в неограниченной области на основе третьей формулы Грина. Препринты ИПМим. М.В. Келдыша, 2018, № 246, с. 1-24.

[10] Галанин М.П., Низкая Т.В. Разработка и применение численного метода линейных эллиптических уравнений в неограниченной области. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2005, № 2, c. 1-29.

[11] Галанин М.П., Сорокин Д.Л. О решении внешних краевых задач для уравнения Лапласа. Дифференциальные уравнения, 2020, т. 56, № 7, с. 918-926.

[12] Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996, 228 с.

[13] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010, 591 с.

[14] Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. Москва, Наука, 1971, 552 с.

[15] Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Численное решение внешней задачи Неймана. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1987, т. 27, № 4, с. 536-543.

[16] Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. Москва, Изд-во МЭИ, 2008, 670 с.

Статья поступила в редакцию 12.01.2021

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Галанин М.П., Сорокин Д.Л., Ухова А.Р. Методы численного решения дифференциального уравнения смешанного типа в неограниченной области. Математическое моделирование и численные методы, 2021, № 1, с. 91-109.

Галанин Михаил Павлович — д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, и.о. заведующего отделом ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, профессор кафедры «Прикладная математика МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: galan@keldysh.ru

Сорокин Дмитрий Леонидович — младший научный сотрудник ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, ассистент «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: sorokin.dmitr@yandex.ru

Ухова Анна Романовна — студентка кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: anna.r.ukhova@gmail.com

Methods for numerical solution of a mixed type differential equation in an unbounded domain

© M.P. Galanin1,2, D.L. Sorokin1,2, A.R. Ukhova2

1Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, 125047, Russia 2Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

Methods are developed for the numerical solution of the problem for a mixed-type equation in an unbounded domain in the case when the solution satisfies the heat equation in a bounded domain and the Laplace equation in the rest of the space. A method for set-ting artificial boundary conditions is proposed, which makes it possible to carry out calculations in a limited area. An iterative algorithm for finding a numerical solution in a bounded domain is constructed, such that the numerical solution converges to a projection of the exact solution onto a bounded domain. The rate of convergence of the iterative algorithm is investigated. The problem is solved in one-dimensional plane, in cylindrically and spherically symmetric cases. Examples of ssolutions are given.

Keywords: mixed type equations, unbounded domain, iterative algorithm.

M.n. ranamH, ff.fl. CopoKUH, A.P. yxoea

REFERENCES

[1] Koleva M.N. Numerical solution of the heat equation in unbounded domains using quasi-uniform grids. Lecture Notes in Computer Science, 2006, vol. 3743, pp. 509-517.

[2] Ryabenky V.S. Metod raznostnyh potencialov dlya nekotoryh zadach mekhaniki sploshnyh sred [The method of difference potentials for some problems of continuum mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 391 p.

[3] Brushlinskii, K.V., Ryaben'kii, V.S., Tuzova, N.B. The transfer of boundary conditions across a vacuum in axisymmetric problems. Computational Mathematics andMathematical Physics, 1992, vol. 32, no. 12, pp. 1757-1767.

[4] Brushlinsky K.V. Matematicheskie i vychislitel'nye zadachi magnitnoj gidro-dinamiki [Mathematical and computational problems of magnetic hydrodynamics]. Moscow, BINOM. Laboratory of Knowledge Publ., 2009, 200 p.

[5] Bettess P. Infinite Elements. Paris, Penshaw Press., 1992, 264 p.

[6] Zienkiewicz O.C., Emson C., Bettess P. A novel boundary infinite element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1983, vol. 83, no. 3, pp. 393-404.

[7] Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Uravneniya matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1972, 735 p.

[8] Sveshnikov A.G., Bogolyubov A.N., Kravtsov V.V. Lekcii po matematicheskoj fizike [Lectures on mathematical physics]. Moscow, MSU Publ., 1993, 352 p.

[9] Galanin M.P., Sorokin D.L. Development and application of numerical methods for solving tasks in unlimited regions based on the third green formula. Keldysh Institute Preprints, 2018, no. 246, pp. 1-24.

[10] Galanin M.P., Nizkaya T.V. Development and application of a numerical method for solution of linear elliptic equations in unbounded region. Keldysh Institute Preprints, 2005, no. 2, pp. 1-29.

[11] Galanin M.P., Sorokin D.L. Solving exterior boundary value problems for the Laplace equation. Differential Equations, 2020, vol. 56, no. 7, pp. 890-899.

[12] Martinson L.K., Malov Yu.I. Differencial'nye uravneniya matematicheskoj fiziki [Differential equations of mathematical physics]. Moscow, BMSTU Publ., 1996, 228 p.

[13] Galanin M.P., Savenkov E.B. Metody chislennogo analiza matematicheskih mod-elej [Methods of numerical analysis of mathematical models]. Moscow, BMSTU Publ., 2010, 591 p.

[14] Samarskiy A.A. Vvedenie v teoriyu raznostnyh skhem [Introduction to the theory of difference schemes]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 552 p.

[15] Vavishchevich P.N., Pulatov P.A. Numerical solution of the Neumann exterior problem. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1987, vol. 27, iss. 2, pp. 141-146.

[16] Amosov A.A., Dubinsky Yu.A., Kopchenova N.V. Vychislitel'nye metody dlya inzhenerov [Computational methods for engineers]. Moscow, MEI Publ., 2008, 670 p.

Galanin M.P., Dr. Sci. (Phys. — Math.), Chief Researcher, Acting Head of the Department of the Keldysh Institute of Applied Mathematics, Professor of Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: galan@keldysh.ru

Sorokin D.L., Junior researcher of the of the Keldysh Institute of Applied Mathematics, assistant of Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: sorokin.dmitr@yandex.ru

Ukhova A.R., student of Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: anna.r.ukhova@gmail.com