CC BY
63
2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 4
ИНФОРМАТИКА
УДК 519.6 В. В. Алцыбеев
ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПЛОТНОСТИ ТОКА ЭМИССИИ*
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
В настоящее время задача изучения параметров импульсных источников, генерирующих электронные пучки, вызывает большой интерес. Например, такие источники могут использоваться для облучения мишеней и обработки поверхностей. Ток эмиссии в импульсных источниках, как правило, ограничен пространственным зарядом. Итерационный метод является наиболее эффективным инструментом при расчете динамики пучков в импульсных источниках. По сравнению с наиболее широко используемым методом частиц в ячейках итерационный метод значительно быстрее и экономичнее, поскольку требует существенно меньшего числа макрочастиц при расчетах. Для решения задачи ограничения тока пространственным зарядом существует несколько методов, которые можно объединить в две основные группы. Методы первой группы основаны на применении одномерных аналитических решений Чайлда или Ленгмюра для плоской, цилиндрической или сферической геометрий. Эти методы широко распространены в силу их простоты и низкой вычислительной сложности. Однако в случае криволинейности эмиттирующей поверхности применение данных методов может привести к существенным ошибкам. Методы другой группы основаны на достижении условия равенства нулю нормальной компоненты электрического поля на эмиттере. Такие методы позволяют решать задачи с криволинейными областями эмиссии, но требуют значительного объема вычислений. В настоящей работе предлагается модификация одного метода из второй группы, позволяющая значительно снизить объем требуемых вычислений в двумерном и двумерном осесимметричном случаях. Задача нахождения тока, ограниченного пространственным зарядом, формализуется как задача многомерной оптимизации. Для ее решения предлагается подход, основанный на аппроксимации функции плотности тока эмиссии с помощью полинома и применения многомерного модифицированного метода Ньютона. Библиогр. 15 назв. Ил. 11. Табл. 1.
Ключевые слова: итерационный метод в электростатике, ток, ограниченный пространственным зарядом, многомерная оптимизация, многомерный метод Ньютона.
V. V. Altsybeyev
AN OPTIMIZATION ALGORITHM FOR EMISSION CURRENT DENSITY CALCULATION
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
Nowadays studying of parameters of pulsed sources which produced electron beams is of great interest. For example these sources are used for target irradiation and surfaces treatment.
Алцыбеев Владислав Владимирович — аспирант; e-mail: [email protected]
Altsybeyev Vladislav Vladimirovich — post-graduated student; e-mail: [email protected]
* Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (грант № 9.38.673.2013).
Electron emission currents of pulsed sources are often space-charge limited. An iterative particle tracking method with so-called gun iteration is the most effective tool for simulations of beam dynamics for pulsed sources. Compared with the most popular particle-in-cell method, iterative method is more fast because of number of the required macroparticles for the particle-in-cell is significantly larger than the number of the macroparticles required for the iterative method. There are two main groups of methods for solving of the space charge limited emission problem which are usually use with iterative method. The methods of the first group based on application of Child or Langmuir one dimensional analitical solutions for planar, cylindrical and spherical cases. These methods are most commonly used because of its simplicity and low computations required. However, in the case of the curvilinear geometry of the emission surface application of these methods can lead to significant errors. The other group of methods for calculation the current density is based on the condition of vanishing the electric field at the emitter. This approaches allow us to solve the problem with the curvilinear shape of emission surface, but all methods of the second group required large amount of computations as compared with the first group methods. In this paper we propose a modification of the one method of this group, which allow us to reduce the amount of required computations for two-dimensional and axisymmetric problems. The space charge limited emission problem is formalized as the problem of multidimensional optimization. To solve this problem we propose an approach based on an approximation of the current density function as a polinomial fit and use the multidimensional modified Newton method. Refs 15. Figs 11. Table 1.
Keywords: particle tracking method, space-charge limited current, multidimesional opimiza-tion, multidimensional Newton method.
Введение. В настоящее время наиболее широко используемым инструментом моделирования динамики пучков и плазмы является метод частиц в ячейках (PIC) [1]. Он естественным образом моделирует процесс движения частиц в электромагнитных полях с учетом их собственного влияния друг на друга. Однако во многих задачах, связанных с определением рабочих параметров источников заряженных частиц, интерес представляет лишь стационарная стадия процесса движения пучка, которая достигается спустя некоторое время после начала развития процесса эмиссии частиц в источнике. Стационарная стадия характеризуется отсутствием зависимости от времени распределений электрических полей и траекторий эмиттируемых частиц. При этом другим способом исследования параметров стационарного состояния пучка частиц, более экономичным по сравнению с PIC методом, является итерационный метод с моделью трубок тока [2, 3], основанный на итерационном повторении процесса расчета лишь одного поколения эмиттируемых частиц (в отличие от метода PIC, требующего инжекции частиц в расчетную область на каждом временном шаге), расчета пространственного заряда и корректировки полей, создаваемых частицами. Соответственно требуемое число модельных частиц для итерационного метода значительно меньше (до нескольких порядков), чем для метода PIC, моделирующего естественную эволюцию пучка, что делает итерационный метод привлекательным для изучения стационарных состояний пучков.
При этом большую важность среди задач о стационарном состоянии пучка имеют те, в которых ток эмиссии ограничен пространственным зарядом. При их решении итерационным методом используются способы определения плотности тока эмиссии, относящиеся к двум основным группам [4].
К первой из них относятся методы, основанные на аналитических решениях Чайлда и Ленгмюра для плоского, цилиндрического и сферического случаев [2-5]. Данные методы наиболее широко применяются в силу простоты реализации и быстроты. Однако в случае криволинейной геометрии эмиттера их применение может привести к существенным ошибкам [6, 7].
В другую группу входят методы нахождения плотности тока из условия равенства нулю напряженности электрического поля на катоде [6, 7]. Такой подход позволяет решать задачи с эмиссионной поверхностью сложной (криволинейной) формы, но при этом явным недостатком всей второй группы методов является необходимость проведения большого объема вычислений по сравнению с первой группой. В настоящей работе предлагается модификация одного метода из второй группы, рассматриваемого в [7], позволяющая снизить объем вычислений для двумерных и двумерных осесимметричных задач.
Постановка задачи. Рассмотрим двумерную расчетную область И = И и Г, где Г = Г1 и Г2 — граница расчетной области. Предположение о независимости электрического поля от времени позволяет использовать уравнение Пуассона для расчета электрического потенциала и и напряженности электрического поля Е:
AU(г) = -— при г G П,
E(r) = -gradU (г), U(г) = g(r) при г € Г1, dU (г)
(1)
dn
0 при г € Г2.
Здесь г — вектор фазовых координат (в случае осесимметричной задачи г = {r, z}, в случае плоской задачи г = {x,y}), р(г) — распределение плотности пространственного заряда, д(г) — некоторая функция, описывающая потенциалы электродов, ea — диэлектрическая проницаемость материала расчетной области, n — вектор нормали к границе Г2. Плотность пространственного заряда р(г) вносится потоками заряженных частиц, движение которых в релятивистском случае описывается следующими уравнениями:
dpi _ qE(rj) dr moc2 ' dvj _ Pi dr 7j' гi(0) € Ге,
(2)
p i(0)= p 0
фактор Лоренца, c
скорости частиц, p
0
скорость света, т = ct, начальные импульсы
В (2) г = 1,..., N1 — номера частиц, ^ Pi = Чг^г/с — импульсы частиц, — частиц, г г — положения частиц, то — масса частиц, ц — заряды частиц, Ге — кривая, с которой происходит эмиссия. Для плотности тока частиц Л выполняется уравнение неразрывности
ё1уЛ = 0, Л = р(г)уа„ (г), (3)
где чау (г) — средняя скорость частиц. При этом плотность тока частиц на эмиттере — заданная величина и также зависит от их начальной скорости:
Л(г)
Jem (г, v)dv при г € Ге
(4)
Здесь Лет(г, V) — распределение тока эмиссии на поверхности Ге. Зависимость Лет от V будет считаться заданной. В дальнейшем в обозначениях будем использовать распределение модуля плотности тока т(г) = Лет(г, v)dv| вдоль эмиттера.
В случае, когда ток эмиссии задан (например, определяется свойствами катода), ■1ет (г) является известной функцией. Когда ток эмиссии ограничен пространственным зарядом, функция Jem(r) подлежит определению из условия равенства нулю нормальной компоненты напряженности электрического поля Еп на эмиттере:
Еп(г) = 0 при г € Ге. (5)
На практике при выполнении численных расчетов выполнение непрерывного условия (5) сведем к набору дискретных условий, каждое из которых будет представлять
среднее значение Еп(г) на отдельном участке эмиттера Г§, %> = 1,..., Мр, У Г§ = Ге.
р
Кроме того, достаточно строгое выполнение условия (5) при численных расчетах невозможно из-за неустойчивого характера стационарного состояния пучка. Малые изменения в начальных данных пучка приводят к существенным изменениям распределения электрического поля, что может привести к возникновению замедляющего поля на эмиттере, запиранию траекторий и расходимости решения. Соответственно значение Еп(г) на эмиттере должно быть ускоряющим, но достаточно малым, так, чтобы малое изменение тока эмиссии уже приводило к изменению знака Еп(г). Таким образом, представим задачу выполнения условия (5) как задачу минимизации вектор-функции
Еау (Г0)
0.
(6)
Здесь Еау (Г^Гр) — среднее значение нормальной компоненты электрического поля на кривой . Требуется найти стационарное решение задачи (1)-(4), (6): распределение электростатического поля, траектории частиц и плотность тока эмиссии.
Уравнения в двумерном осесимметричном случае. В дальнейшем будем рассматривать двумерные задачи с учетом осевой симметрии в цилиндрических координатах (г, г). Приведем вид уравнений электрического поля (1), применяемых в данном случае:
1 д ( 2ди{г,г)\ д2и(г,г)
г дг V дг / дг2
Ег (г, г ) = -Ех (г, г ) = -
811 (г, х)
дг 811 (г, х) дг
P(г, г)
при г € О,
(7)
Для описания движения частиц будем использовать приведенные импульсы рг,рг,р^ в цилиндрических координатах рг = уг7/0, рг = гох7/0, р^ = гу^7/0. В таком случае векторные уравнения движения (2) примут вид
¿г ¿т
Рг_
7 '
£
а
Рг еЕг
¿Т то с2
¿г Рг
¿Т 7 ,
Рг еЕг
¿Т то с2
0,
¿Т
1 = \
I А.
-Г о 1 Г3^
Итерационный метод для известного тока эмиссии. Концепция итерационного метода решения задачи (1)—(4) с известной плотностью тока эмиссии подробно изложена в [2]. Пусть на область С1 наложена некоторая расчетная сетка, ри — значения плотности заряда в узлах сетки. Тогда стационарная задача (1)-(4) эквивалентна уравнению
Ри = I с(ри), (9)
в котором функция Iс представляет собой последовательность следующих операций:
1) решение уравнения поля (1) с использованием распределения заряда ри;
2) расчет уравнений движения пучка (2);
3) вычисление распределения пространственного заряда в соответствии с (3), (4). В том случае, если оператор Iс является сжимающим, для решения уравнения
(9) можно применять метод простой итерации:
рп = Iс (р!-1), (10)
где п — номер итерации. Функция Iс при этом определяется с некоторой погрешностью, т. е. ее реальное значение будет равно
I сЫ= I (ри )(1 + е(ри)). (11)
Здесь е(ри) — относительная погрешность вычисления точного значения I(ри). При расчете рП, согласно (10), значение I(рь)^(рь) будет вносить свой вклад в величины Рп, что может привести к существенным колебаниям решения. Для подавления вклада погрешности I(ри)с(ри) в решение можно использовать такой подход: уравнение (9) будет эквивалентно следующему:
Ри = Iс(ри) + (1 - ш) (ри - IсЫ) = (1 - ш)ри + шIс(ри), (12)
где ш € (0,1] — вещественное число. Для решения уравнения (12) используется метод простой итерации
рп = (1 - ш)рп-1 + шI с(рп-1). (13)
Учитывая (11), уравнение (13) перепишется как
РП = (1 - ш)р1-1 + шI(рп-1) + е(риШ(рп-1). (14)
Уменьшая коэффициент ш, можно понизить вклад погрешности e(pи)шI(рП-1)
в вычисление РП, при этом замедляя сходимость. Для остановки итерационного процесса (14) применяется критерий
тах
рП
рп-1
РП
< £Иет.
число
Здесь рП — плотность заряда на п итерации в в узле расчетной сетки, N узлов сетки, £цег — заранее определенная точность.
Для расчета пространственного заряда, вносимого пучком в пространство, можно использовать модель токовых трубок. Вся поверхность эмиттера разбивается на площадки Дй. При необходимости также интервал начальных скоростей разбивается на подынтервалы Ду. Для каждого такого интервала в расчетную область вводится траектория, в соответствие которой ставится ток
Зет(г,
АБ Ау
Согласно уравнению для дивергенции плотности тока (3) ток I вдоль каждой траектории будет сохраняться. При этом пространственный заряд, вносимый каждой траекторией в расчетную область, может быть вычислен и просуммирован [7]. Таким образом, основное преимущество данной модели по сравнению с методом частиц в ячейках проявляется в меньшем числе модельных частиц, поскольку не требуется проведения дискретизации потока по временному шагу.
Ток, ограниченный пространственным зарядом. Метод виртуального катода. Аналитические решения для тока, ограниченного пространственным зарядом, были получены Чайлдом [8] для одномерного диода и Ленгмюром с Блоджетт для одномерного цилиндрического [9] и сферического диодов [10].
1. Плоский случай
4е0 Г2дУ3/2 9 V то ¿2
2. Цилиндрический случай
(15)
3. Сферический случай
.
.
4е0 9
V 3/2
то гаге в2 (7)'
4е0 Г2д V3'2 9 V то а2(7)г2
(16)
(17)
Здесь V — напряжение между электродами диода, £о — диэлектрическая постоянная, ге — радиус катода, га — радиус анода, й — расстояние между катодом и анодом, 7 = log(rе/ra) функции в и а вычисляются следующим образом:
в(7) = 7 - 0.472 + 0.09166773 - 0.01424274 + 0.00167975,
а(7) = 7 - 0.З72 + 0.07573 - 0.01431874 + 0.00216175.
Наиболее широко используемым способом описания эмиссии в двумерных или трехмерных случаях с помощью итерационного метода является использование этих аналитических решений [2-5, 7]. Следуя данному подходу, необходимо выбрать параметр
d (в цилиндрическом (16) и сферическом (17) случаях параметр ra) и множество точек, принадлежащих эмиссионной поверхности. Таким образом, вблизи эмиттера будет выделено множество виртуальных диодов. На каждой итерации метода применяется одно из выражений (15)—(17) для каждого виртуального диода с целью пересчета плотности тока после каждого пересчета электрического поля. При этом геометрическая форма границы эмиссии определяет выбор используемого закона. Так, в плоской геометрии очевидным будет выбор закона (15), а в случае цилиндрического диода — закона (16). Однако в случае сложной геометрии эмиттера ни один из приведенных трех аналитических законов может не дать приемлемого результата (например, случай эллиптического эмиттера, который будет приведен ниже). Также следует отметить, что выражения (15)—(17) нужно модифицировать при необходимости учета начальной энергии частиц и при наличии начального разброса пучка по скоростям [9].
Метод виртуального катода также может применяться для описания эмиссии в методе PIC [11, 12]. В таком случае заряд новых частиц, входящих в расчетную область на каждом шаге интегрирования, вычисляется с помощью одного из выражений (15)—(17).
Ток, ограниченный пространственным зарядом. Оптимизационный алгоритм. Основная идея другой группы методов заключается в прямом нахождении функции плотности тока эмиссии из условия равенства нулю электрического поля на катоде [6, 7]. В предложенном в работе [7] подходе предлагается аппроксимировать плотность тока эмиссии с помощью кусочно-постоянной функции, заданной с помощью набора значений в точках старта траекторий с последующим применением многомерного метода Ньютона. При этом задача определения тока, ограниченного пространственным зарядом, сводится к набору задач с известным током эмиссии. Такой подход позволяет получить решение широкого круга задач, но требует значительного объема вычислений — в общем случае для расчета производных необходимо решить число задач с известным током эмиссии, равное числу точек, задающих функцию распределения плотности тока.
Однако объем вычислений, требующийся в данном методе, можно существенно сократить с помощью следующего подхода. Для двумерных и осесимметричных задач в случае эмиттера, представляющего собой некоторую кривую, представим плотность тока в виде полинома [13]
В (18) I — длина кривой эмиттера от некоторой начальной точки до точки на эмиттере, в которой определяется плотность тока, е\,..., — параметры, подлежащие определению. В таком случае напряженность электрического поля на эмиттере будет являться функцией от параметров а\,..., и условие (6) будет эквивалентно задаче минимизации вектор-функции
Тогда для нахождения параметров а\,..., , определяющих распределение тока эмиссии, будем использовать модифицированный метод Ньютона [14]
(18)
p=0
,ck-1\ 1 1,4-1
dF (c
11 ' NP' \ T?i k— 1 k— 1\ fnn\
k-ii \-di- I (l '•••'слг»)- (20)
Np
k-1 k-1
--de-I Г(Г
Здесь a G (0,1). Для остановки итераций метода Ньютона можно использовать следующий критерий:
тк _ гk-1
—— <**> (21)
где Iк — ток эмиссии на к-й итерации; £i — заранее определенная точность. Выбор метода решения обусловливается тем, что для вычисления производной функции (19) требуется большой объем вычислений, при этом модифицированный метод Ньютона позволяет использовать только производную, рассчитанную на первом шаге.
В соответствии с вышесказанным приведем оптимизационный алгоритм нахождения тока эмиссии:
1. Выбирается равномерное начальное распределение плотности тока эмиссии, итерационным методом решается задача (1)—(4).
2. Вычисляется матрица Якоби функции (19) c использованием каких-либо методов численного дифференцирования.
3. Определяется новое приближение тока эмиссии с помощью (20).
4. Решается задача (1)-(4).
5. Пункты 3, 4 повторяются до достижения выполнения условия (21).
Характеристика используемых методов. Для решения уравнения Пуассона
(7) применяется метод конечных разностей на прямоугольной сетке с использованием пятиточечного шаблона. В случае криволейной границы ищется пересечение границы с сеткой и уравнения для приграничных узлов модифицируются в соответствии с реальными расстояниями до границы [15]. Для интегрирования уравнений движения
(8) используется стандартный метод с перешагиванием с постоянным шагом [7]. Шаг интегратора уравнений движения по времени выбирается исходя из условия прохождения частицами не более одной ячейки расчетной сетки за шаг. Для раздачи заряда по узлам сетки и интерполяции поля взята схема облака в ячейке [1]. Дополнительно для сравнения проводились расчеты с помощью метода PIC в электростатическом приближении. PIC и итерационный решатели реализованы с использованием C+—h (Intel C++ Compiler). Величина тока эмиссии в методе PIC определялась методом виртуального катода, основанным на решении (16). Основные С+—h функции решателей (интегратор уравнений движения, решатель уравнения поля, вычислитель весовых функций, интерполятор поля и т. д.) имеют единую реализацию для обоих решателей.
Тестирование оптимизационного алгоритма. Цилиндрический диод.
Для тестирования оптимизационного подхода расчета тока эмиссии будем рассматривать задачу моделирования динамики пучка в цилиндрическом диоде с внешним эмиттером электронов. Длина диода L = 0.11 м с радиусом катода Rc = 0.03 м и радиусом анода Ra = 0.01 м. Электроны эмиттируются с поверхности длиной Lem = 0.03 м. Напряжение Ua = 12 000 В приложено к аноду с заземленным катодом. В силу наличия аксиальной и центральной симметрии, можно рассмотреть двумерную геометрию в RZ координатах на половине диода (рис. 1). С торцевых концов диода при Z = 0 ми Z = 0.055 м используются граничные условия Неймана.
ck
1
ck
Np
2, м
Для расчетов применялась прямоугольная сетка с различными шагами (результаты представлены в таблице). Начальная энергия электронов — 10 эВ, дискретизация потока по начальным скоростям не проводилась. Для данной задачи применялись параметры оптимизационного алгоритма £т = 0.005, а = 0.15, £цег = 0.0001.
Результаты сравнения для прямоугольной сетки
Параметры Время расчета, с Ток эмиссии, А
ОПТ Р1С ОПТ Р1С
Н2 = 0, 5 мм, Нг = 0, 4 мм, ЛЬ = 0, 004, N = 200 90 35 12.57 12.45
Н2 = 0, 5 мм, /V =0,2 мм, ЛЬ = 0, 002, N = 200 155 110 12.48 12.08
= 0, 25 мм, Нг = 0, 2 мм, М = 0, 002, N = 400 240 290 12.58 12.17
Примечание. ОПТ — обозначение итерационного решателя с оптимизационным методом нахождения тока эмиссии, Н2 и Нг — величины шагов расчетной сетки по координатам г и г соответственно, ЛЬ — шаг интегратора уравнений движений по времени, N — число инжектируемых в область частиц вдоль эмиттера.
Распределения плотности тока эмиссии, определенные с использованием полиномов 5-7-й степеней, представлены на рис. 2. Полученные значения токов можно считать удовлетворительными, поскольку дальнейшее увеличение тока эмиссии на 3-5% ведет к изменению знака нормальной компоненты напряженности поля на эмиттере. Полиномы ниже 5-й степени дают достаточно грубую аппроксимацию плотности тока. Для полиномов выше 7-й степени добиться сходимости не удалось. Результаты
сравнения плотностей тока, найденных с помощью итерационного и PIC решателей, иллюстрирует рис. 3. Траектории частиц показаны на рис. 4. График сходимости итераций для полинома 7-й степени приведен на рис. 5.
У, А/м 2
Рис. 2. Распределения плотности тока вдоль половины эмиттера 1 — результат для полинома 5-й степени, I = 12.62 A; 2 — результат для полинома 6-й степени, I = 12.58 A; 3 — результат для полинома 7-й степени, I = 12.57 A.
У,А/м2
Рис. 3. Сравнение двух методов определения распределения плотности тока эмиссии
1 — результат, полученный оптимизационным методом с использованием полинома 7-й степени, I = 12.57 A; 2 — результат, полученный методом частиц в ячейках, I = 12.46 A.
Время работы итерационного решателя с оптимизационным алгоритмом становится меньше времени расчета решателем PIC при сгущении сетки и уменьшении шага интегрирования, поскольку в данных условиях рассчитываемое число частиц
0.005 -
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
Рис. 4- Траектории частиц в цилиндрическом диоде
Z, м
Ток эмиссии, А
0 500 1000 1500 2000 Номер итерации
Рис. 5. Сходимость итерационного метода по току эмиссии
в методе PIC растет, как и время, требуемое на пересчет электрического поля на каждом шаге интегрирования.
Тестовая задача. Диод с эллиптическим эмиттером. Также будем рассматривать задачу моделирования динамики пучка в диоде с эмиттером в виде полуэллипсоида. Осевое сечение геометрии диода представлено на рис. 6. Малая и большая
полуоси эллипсоида Ь = 0.01 м, а = 0.02 м, полуширина диода с! = 0.15 м, расстояние Ь = 0.07 м, высота цилиндрического основания эмиттера Н = 0.02 м. Напряжение иа = 10 000 В приложено к аноду с заземленным катодом. В силу наличия аксиальной и центральной симметрии, задачу можно решать в двумерной геометрии в RZ координатах на половине диода. С торцевых концов диода при Z = 0 ми Z = 0.15 м используются граничные условия Неймана. Расчет проводился на прямоугольной сетке с шагами Нг = 1 мм и Нг = 1 мм, шаг интегратора уравнений движений по времени 0.01 нс. Начальная энергия электронов — 10 эВ, дискретизация потока по начальным скоростям не проводилась. Число расчитываемых частиц — 500. Решались задачи с двумя вариантами эмиссии (рис. 7, а, б).
Ось
симметрии
а
п
Ъ А
Рис. 6. Геометрия тестовой задачи с эллиптическим эмиттером
Рис. 7. Расчетные модели диода с эллиптическим эмиттером а — задача 1, эмиссия с части эллипсоида раствором ±30°; б — задача 2, эмитеия с полуэллипсоида.
Тестирование метода виртуального катода. Диод с эллиптическим эмиттером. Проводилось тестирование метода виртуального катода для задач 1, 2 с эллиптическим эмиттером. Как было отмечено ранее, геометрическая форма границы эмиссии определяет выбор используемого закона эмиссии в методе виртуaльного катода. Таким образом, в данном случае наиболее адекватным будет выбор закона Ленгмюра для сферического диода (17). Для задачи 1 сходимость была достигнута (рис. 8, а), однако распределение плотности тока эмиссии имеет негладкую форму (рис. 8, б), а это может означать, что применяемый метод дает недостаточно точный результат. Для задачи 2 сходимость с помощью такого подхода получить не удалось, это может объяеняться тем, что в данном случае форма эмиттера значительно
далека от сферической. Возможно, сходимости метода виртуального диода в задаче 2 можно добиться с помощью комбинации законов Ленгмюра для цилиндрического и сферического диодов на разных участках эмиттера.
I, А 14
12
10
8 6,
50
100 150
Номер итерации
./,А/м2 4гХ 104
3
2
0.005 0.01 0.015
Длина кривой, м
Рис. 8. Метод виртуального диода: сходимость задачи 1 (а) и плотность тока эмиссии в задаче 1 (б)
Тестирование оптимизационного алгоритма. Диод с эллиптическим эмиттером. Для задач 1, 2 с эллиптическим эмиттером использовались параметры оптимизационного алгоритма £1 = 0.005, а = 0.05, £цег = 0.0001, степень аппроксимирующего полинома Мр = 7. Распределения плотностей токов эмиссии для задач 1 и 2 представлены на рис. 9, а, б соответственно. Для задачи 2 также представлены траектории частиц на рис. 10 и изменение среднего значения нормальной компоненты электрического поля на эмиттере на рис. 11. Это значение уменьшилось в 9.4 раза по сравнению с вакуумным полем (рис. 11). Как и ожидалось, плотность тока эмиссии значительно возрастает в районе «острия» эмиттера, где напряженность внешнего поля максимальна, однако в случае задачи 2 пик плотности тока аппроксимируется не так точно, как в задаче 1.
°0 0.005 0.01 0.015 °0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
Длина кривой, м
Рис. 9. Оптимизационный метод: плотности тока эмиссии в задаче 1 (а) и задаче 2 (б)
м
0.065 0.055 0.045 0.035 0.025 0.015 0.005
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Д, м
Рис. 10. Траектории частиц в плоскости RZ в задаче 2
Номер итерации
Рис. 11. Изменение среднего значения нормальной компоненты электрического поля на эмиттере в задаче 2
Заключение. В настоящей работе для решения электростатической задачи с ограничением тока эмиссии пространственным зарядом итерационным методом предлагается подход, основанный на аппроксимации функции плотности тока эмиссии полиномом и применения многомерного модифицированного метода Ньютона. Данный подход применим в случае криволинейной эмиттирующей поверхности. Результаты моделирования цилиндрического диода с помощью итерационного метода и метода частиц в ячейках достаточно точно согласуются. Выигрыш во времени расчета по сравнению с методом частиц в ячейках проявляется при достаточном сгущении расчетной сетки.
Литература
1. Hockney R., Eastwood J. Computer Simulation Using Particles. Francis: IOP Publ. Ltd., 1988. 540 p.
2. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. 336 с.
3. CST Particle Studio. Computer Simulation Technologies. [Online]. URL: https://www.cst.com/ Products/CSTPS (дата обращения: 15.05.2015).
4. Головин Г. Т. О точности и эффективности различных методов решения стационарных самосогласованных задач // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1985. Т. 25, № 8. С. 163—172.
5. Свешников В. М. Решение самосогласованных задач электронной оптики методом итераций по подобластям без налегания и смены типа граничного условия // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, № 5. С. 77-91.
6. Головин Г. Т. Комбинированный метод решения двумерных стационарных самосогласованных задач // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1987. Т. 27, № 5. С. 700-710.
7. Свешников В. М. Численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц: Дис. на соискание ученой степени докт. физ.-мат. наук: 05.13.18. Новосибирск: Ин-т вычисл. математики и матем. геофизики СО РАН, 2006. 314 c.
8. Child C. D. Discharge From Hot CaO // Phys. Rev. Series I. 1911. Vol. 32, N 5. P. 255-282.
9. Langmuir I., Blodgett K. B. Currents Limited by Space Charge between Coaxial Cylinders // Phys. Rev. 1923. Vol. 22. P. 347-356.
10. Langmuir I., Blodgett K. B. Currents Limited by Space Charge between Concentric Spheres // Phys. Rev. 1924. Vol. 24. P. 49-59.
11. Stanley H. Jr. Numerical Modeling of SpaceCharge-Limited Charged-Particle Emission on a Conformal Triangular Mesh // Journal of Computational Physics. 1996. Vol. 125. P. 488-497.
12. Mudiganti J. C. An Emission Model for the Particle-in-Cell Method: Ph. D. Dissertation. Darmstadt: TU Darmstadt, 2006. 123 p.
13. Altsybeyev V., Ovsyannikov A., Ovsyannikov D., et al. Numerical simulations of the radial electron flow formation for the triode type source // 10th Intern. Vacuum Electron Sources Conference, IVESC 2014 and 2nd Intern. Conference on Emission Electronics, ICEE 2014 — Proceedings, 2014. P. 13.
14. Канторович Л. В., Акилов Г. Т. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 c.
15. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 5-е изд. М.: Наука, 1977. 735 c.
References
1. Hockney R., Eastwood J. Computer ¡Simulation Using Particles. Francies, IOP Publ. Ltd., 1988, 540 p.
2. Iliyn V. P. Chislennie metody reshenia zadach electrophisiki [Numerical methods for solution of problems of Electrophysics]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 336 p. (In Russian)
3. CST Particle Studio. Computer ¡Simulation Technologies. [Online]. URL: https://www.cst.com/ Products/CSTPS (accessed 15.05.2015).
4. Golovin G. T. O tochnosti i effectivnosti razlichnikh metodov reshenia statsionarnykh samosoglasovannykh zadach [Accuracy and effectiveness of different methods for solving stationary self-consistent problems]. Zhurn. vychisl. matematiki i matem. fiziki [USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1985, vol. 25, no. 8, pp. 163-172. (In Russian)
5. Sveshnikov V. M. Reshenie samosoglasovannykh zadach electronnoi opiki metodom iteratsii po podoblastiam bez nalegania i smeny tipa granichnogo uslovia [Solution of self-consistent problems of electronic optic using iteration method in the subdomains without intersections and without change of type of the boundary condition]. Vychislitel'nye tekhnologii [Computational technologies], 2006, vol. 11, no. 5, pp. 77-91. (In Russian)
6. Golovin G. T. Kombinirovannyi metod reshenia dvumernykh statsionarnykh samosoglasovannykh zadach [A composite method of solving two-dimensional stationary sell-consistent problems]. Zhurn. vychisl. matematiki i matem. fiziki [USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1987, vol. 27, issue 3, pp. 38-43. (In Russian)
7. Sveshnikov V. M. Chislennoe modelirovanie inensivnykh puchkov zariazennykh chastits. Doctoral dissertation: 05.13.18 [Numerical simulations of charged particles intense beam dynamic]. Novosibirsk, Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 2006, 314 p. (In Russian)
8. Child C. D. Discharge From Hot CaO. Phys. Rev. Series I, 1911, vol. 32, no. 5, pp. 255-282.
9. Langmuir I., Blodgett K. B. Currents Limited by Space Charge between Coaxial Cylinder. Phys. Rev., 1923, vol. 22, pp. 347-356.
10. Langmuir I., Blodgett K. B. Currents Limited by Space Charge between Concentric Spheres. Phys. Rev., 1923, vol. 24, pp. 49-59.
11. Stanley H. Jr. Numerical Modeling of SpaceCharge-Limited Charged-Particle Emission on a Conformai Triangular Mesh. Journal of Computational Physics, 1996, vol. 125, pp. 488-497.
12. Mudiganti J. C. An Emission Model for the Particle-in-Cell Method. Ph.D. Dissertation. Darmstadt, TU Darmstadt, 2006, 123 p.
13. Altsybeyev V., Ovsyannikov A., Ovsyannikov D., en al. Numerical simulations of the radial electron flow formation for the triode type source. 10th Intern. Vacuum Electron ¡Sources Conference, IVESC 2014 and 2nd International Conference on Emission Electronics, ICEE 2014 — Proceedings, 2014, p 13.
14. Kantorovich L. V., Akilov G. T. Functsionalni analiz [Functional analyzis]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 752 p. (In Russian)
15. Tikhonov S. N., Samarskiy A. A. Uravnenia matematicheskoi phisiki [Mathematical physics equations]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 735 p. (In Russian)
Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья поступила в редакцию 10 сентября 2015 г.
