CC BY
21NONLINEAR STATIONARY PROBLEM OF TRANSPORT THEORY IN THE DIFFUSION APPROXIMATION
A. A. Busalov
Lobaehevsky State University of Xizhny Novgorod, 603022, Xizhny Novgorod, Russia
DOI: 10.24412/2073-0667-2021-2-6-14
One of the most effective mathematical approximations for describing the processes of transfer of X-ray radiation is the multi-group diffusion approximation. The equations of the one-group diffusion approximation are a system of two differential equations for two unknown functions: density and radiation flux.
The article considers a nonlinear problem of the theory of radiation transfer in the diffusion approximation; formulates a linearizing iterative algorithm for solving the nonlinear problem. In addition, the possibility of applicability of the corresponding linearizing iterative algorithm for a nonlinear system of integro-differential equations of radiation transfer and statistical equilibrium for a two-level atom model are investigated. It should be noted that the model of a two-level atom reflects the important meaningful problems. Also it can be considered as an integral part of the study of more complex problems of a multi-level atom. A linearizing iterative solution algorithm is proposed and numerically investigated for solving the arising system of equations. The results of a numerical analysis of the proposed iterative algorithm are presented. They confirm the possibility of its application. The properties of the used difference scheme are discussed.
Key words: radiation transfer, diffusion approximation, stationaritv equations, nonlinear system of equations of the theory of transfer, iterative methods.
References
1. Miehalas D. Star atmospheres. M.: Mir, 1982.
2. Ivanov V. V. Radiation transfer and spectra of celestial bodies. M.: Science. 1969.
3. Germogenova T. A. Local properties of solutions of the transport equation. M.: Science. Ch. ed. physical -mat. lit., 1986.
4. Vladimirov V. S. Mathematical problems in the one-velocity theory of particle transport. Tr. MIAN SSSR, 61, Publishing house of the Academy of Sciences of the USSR, Moscow, 1961.
5. Sushkevich T. A. Mathematical models of radiation transfer. M.: BIXOM. Knowledge Laboratory, 2006.
6. Gol'din V. Ya. A quasidiffuse method for solving a kinetic equation. /7 Zh. Vyehisl. mat. and mat. fiz. 1964. V. 4. X 6. P. 1078 1087.
7. Bell D., Glesston S. Theory of nuclear reactors. M.: Atomizdat. 1974.
8. Kalinin A. V., Morozov S.F. On a nonlinear boundary value problem in the theory of radiation transfer /7 Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1990. T. 30, S. 1071 1080.
9. Kalitkin X.X. Numerical methods M.: Xauka, 1978.
10. Frisch, S. E. Optical spectra of atoms / S. E. Frisch. M.; L.: State, publishing house physical-mat. lit. 1963.
11. Elvashevich, M. A. Atomic and Molecular Spectroscopy. M.: State, publishing house physical-mat. lit., 1962.
НЕЛИНЕЙНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА В ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
А. А. Бусадов
Нижегородский государственный университет им, Н, И, Лобачевского, 603022, г. Нижний Новгород, Россия
УДК 519.633.2
Б01: 10.24412/2073-0667-2021-2-6-14
Одним из наиболее эффективных математических приближений для описания процессов переноса рен'1теновеко1'о излучения является мшнхирушювое диффузионное приближение. Уравнения одно1'рунново1'о диффузионших) приближения представляют собой систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций: плотности и потока излучения.
В работе рассматривается нелинейная задача теории переноса излучения в диффузионном приближении, формулируется линеаризующий итерационный а.;п'оритм решения нелинейной задачи. Кроме тохх), исследуется возможность применимости соответствующехх) линеаризующих) итерационнохх) а.;пх)ритма для нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений переноса излучения и статиетичеекхих) равновесия для модели двухуровневохх) атома. Следует отметить, что модель двухуровневохх) атома отражает важные содержательные задачи, а также может рассматриваться как составная часть исследования более сложных задач мно1Х)уровне1Х) атома. Для решения возникающей системы уравнений предлагается и численно исследуется линеаризующий итерационный а.;пх)ритм решения. Приводятся результаты чис-леннохх) анализа предлагаемохх) итерационнохх) а;пх)ритма, подтверждающие возможность ехх) применения. Обсуждаются свойства используемой разностной схемы.
Ключевые слова: перенос излучения, диффузионное приближение, уравнения стационарности, нелинейная система уравнений теории переноса, итерационные методы.
Введение. Вопросы физического, математического и численного моделирования процессов переноса излучения обсуждаются в работах 11—51. Более полная информация о возможных приложениях и современных подходах к теоретическому и численному исследованию теории переноса содержится в |5, 6|,
Одним из наиболее эффективных математических приближений дня описания процессов переноса рентгеновского излучения является многогрушювое диффузионное приближение |1|, Уравнения одногрушювого диффузионного приближения представляют собой систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций: плотности и потока излучения |7|, Условием применимости диффузионного приближения является малость градиента плотности излучения |1, 5, 7| на расстоянии пробега излучения 1. Отметим, что вблизи границы диффузионное приближение может приводить к заметным ошибкам, однако в случае оптически толстых (плотных) тел градиенты плотности малы и диффузионное приближение оправдано.
В работе |8| изучалась нелинейная стационарная система, включающая в себя кинетическое уравнение переноса излучения и уравнения статистического равновесия, возника-
© А. А. Бусалов, 2021
ющая при исследовании модели двухуровиего атома в рамках предположения о полном перераспределении излучения по частоте, В этой работе были получены строгие результаты о существовании и единственности решения краевой задачи для рассматриваемой системы, и был предложен и обоснован линеаризующий итерационный алгоритм решения,
В настоящей работе исследуется возможность применимости соответствующего линеаризующего итерационного алгоритма для нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений переноса излучения и статистического равновесия для модели двухуровневого атома, в которой перенос излучения описывается диффузионным приближением. Следует отметить, что модель двухуровневого атома [1] отражает важные содержательные задачи, а также может рассматриваться как составная часть исследования более сложных задач многоуровнего атома. Для решения возникающей системы уравнений предлагается и численно исследуется линеаризующий итерационный алгоритм решения. Приводятся результаты численного анализа предлагаемого итерационного алгоритма, подтверждающие возможность его применения. Обсуждаются свойства используемой разностной схемы,
1. Постановка задачи. Система уравнений переноса излучения и статистического равновесия записывается в виде [1, 8]:
+ ^12[В12С1(ж) - В21С2(ж)]ф(ж,М = ^12^^^(ж) (1) Г Г хЫ)
[С12Пе(ж) + В12 / =
I П
[А21 + С21Пе(ж) + В21 У У Х(П)Ф(Ж,М^^]С2(Ж) (2)
I П
С1(ж) + ед = / (ж) (3)
с граничными условиями ф(ж^,ш) = 0, ж € дС, (ш,п(ж)) < 0.
Здесь ж = |ж1,ж2,жз| € С С Я3, С—выпуклое открытое множество с гладкой границей дС и диаметром й > 0, п(ж) — единичный вектор нормали к дС в точке ж € С ш = {^1,Ш2,Шз} € П = (ш € Я3 : + + = 1}; V € I = [0, Л,,
^ А21, В12, В21, С12, С21 — заданные положительные числа, удовлетворяющие условию В12С21 — В21С12 ^ 0,
Для построения диффузионного приближения в представлении интенсивности излучения ф(ж^,ш) в виде ряда по сферическим функциям ограничиваемся двумя членами разложения:
оо к
ф(ж,^ш) = + 1) ^ фк,г(ж^)УкАи)
к=0 г=-к
ф(ж^,ш) « [фо(ж^) + 3шф1(ж^)], (4)
4п
где ф0(ж^) = / ф^ж^) = / Обратим внимание на физический
ПП
смысл функций ф0(ж^) и ф^ж^), Первая есть плотность потока фотонов, а вторая представляет собой векторный поток фотонов. Для получения уравнений, связывающих функ-ф0 ф1
направлениям. Из полученных в результате соотношений для фо и ф1 следует уравнение для плотности потока в диффузионном приближении ^"-приближении),
)Уфо(ж,^)) + х'фо(ж,^) = Р, (5)
где х'(х,^) = 4П [В12С1 (ж) - В21 С^ж)], Р(ж,^) = й^х^)А21 С^ж), фо(ж,^) = / ф^ш
п
Д—коэффициент диффузии, Д(фо,ж,^) = [43х(^)[В12С1(ж) — Б21С2(ж)]]-1.
Уравнения статистического равновесия (2), (3) при конструировании диффузионного приближения будут иметь вид:
[С12Пе(ж) + Б12 ^ хМФо(ж,^)^]С1 (ж) = [А21 + С21Пе(ж) + х(^)Фо(ж,^^^(ж); (6)
I I
С (ж) + С2(ж) = / (ж)
В работе рассматривается один из вариантов возможных граничных условий, соответствующих отсутствию входящего из вне потока излучения [7],
(фо(ж,^) + 2Д фо( , ) ) = 0.
дп
2. Итерационный линеаризующий алгоритм. Для решения возникающей системы уравнений предлагается и численно исследуется линеаризующий итерационный алгоритм решения. Введем следующие обозначения:
к12(фо,ж) = С12Пе(ж) + Б12 У х(^)фо(ж,^)<^,
I
к21(фо,ж) = А21 + С21Пе(ж) + Б2^ хМфо(ж,^)^
I
Тогда имеем:
^ / ч «21 (фо,ж) ,, ч ~ , ч «12 (фо,ж) ,, ч
С1(ж) = --—-т-:-—-г / (ж), С2(ж) = --7--г-:--г / (ж).
«21 (фо ,ж) + «12 (фо ,ж) «21 (фо ,ж) + «12 (фо,ж)
Подставляя значения для С1(ж) и С1(ж) в уравнение переноса (5), получим следующий итерационный алгоритм (где 5—номер итерации):
_«21 (фо ,ж) + «12 (фо ,ж)_)/(ж)уф^+1(ж,^) +
4П ^^12х(^)(Б12«12(фо,ж) — Б21 «21 (фо,ж)) о '
1 . Б12«12(фо,ж) — Б21«21(фо,жК ,в+1/ ч +(4ПЛ^12х<^» к21(фо.ж) — Ыфо.ж) )фо ^ =
= ^«М . ч А21/(ж),
«21 (фо ,ж) + «12 (фо ,ж)
или, используя введенные выше обозначения:
Рис. 1. Шаблон пространственной сотки
й^(£(ф0,ж^)Уф0+1 (ж^)) + х' (ф0,ж^)ф0+1(ж^) = ^ (ф0,ж^).
(7)
3. Численное исследование алгоритма в одномерном случае. В соответствии с алгоритмом, описанным в предыдущем параграфе, на каждой итерации должна решаться линейная краевая задача третьего рода дня эллиптического уравнения в дивергентной форме. В одномерном случае соответствующая задача имеет вид:
дж (О(фо,ж,£) ^ж0) + Хф0 = / (фо,ж,£) в области С = [0 ^ ж ^ а], удовлетворяющей граничным условиям:
(фо(ж^) — 2О---)х=0 = 0, (фо(ж^) + 2О---)л=0
дж
дж
0.
(8)
При этом предполагается, что О ^ 0. Решение этой задачи может быть получено как решение при £ ^ то соответствующей начально-краевой задачи для уравнения параболического типа в области С = [0 ^ ж ^ а] х [0 ^ £ ^ Т]:
^ + дж (О(ф0,ж,£) )+Хф0 = / (ф0^
(9)
удовлетворяющей условиям:
ф(ж,0) = ^(ж), 0 ^ ж ^ а,
(л ( \ №дф0(ж>уК п ,, ( \ . опдфо(ж^К п
(фо(ж^) — 2О---)х=о = 0, (фо (ж^) + 2О---)х=а = 0
дж
дж
Выберем в области С, гДе отыскивается решение уравнения (9), равномерную сетку с шагами ^ и т по переменным ж,£. На этой сетке запишем разностную схему для первой краевой задачи, используя шеститочечный шаблон:
1(фт+1—о = 1 (ат+1/2(фт++\—фГ1)—ат-1/2(фт+1—Ф^Л))+/т, 1 ^ т ^ м — 1. (10)
Здесь ап вычисляются с помощью значений фп следующим образом:
am+l/2 = 2 + D(xm+1$m+1,tn)í).
Граничные условия аппроксимируются следующим образом: (фт+1(х,^) ±
2am+i/2)m=i,m=M-1 = 0, значение /т+1/2 = / (x„„í"+1/2).
Это линейная система с трехдиагональной матрицей. При этом матрица имеет диагональное преобладание. Следовательно, она невырожденная, и решение системы (10) существует и единственно. Оно может быть найдено прогонкой, условия устойчивости которой выполнены.
Выясним порядок аппроксимации схемы (10), Для этого разложим решение в узлах шаблона, выбрав за точку, в которой производится разложение, (жт,£га + т/2)
~ - -2 Ъ2
1 ,т д , д , с , , т , , , т2 , r^ h2
С+1 = P1!(2dt + hdX)PФ = Ф + 2ф + ^ + "8фй + + Тфхх + 48фш+
P=0 '
r3h, rh2 h3. т ' r3^ r2h2 rh3^
~~~фих + г- фьхх + тг фххх + хтт фтг + 77 фшх + 77" фахх + 77 фгххх + . . . ' (11)
8 4 6 384 48 16 12
где все производные отнесены к точке (xm,ín + т/2) Разложение для фт-\ получается из (11) заменой h ^ — h разложение для фт+1 заменой т ^ —т и т.д. Подставляя эти разложения в (10), для компоненты невязки фт [9], обусловленной погрешностью уравнения (10), получим порядок аппроксимации 0(т + h2).
Исследуем устойчивость схемы (10) по начальным данным, используя метод разделения переменных. Полагая в (10) /т+1/2 = 0 и фт = р^вщхт для множителя роста pq найдем, учитывая, что
1 , , • 1 , iqh —iqh,^ 4SZ¿ qh -
^ (фт+1 — 2фт+фт-1) = рп ^ ^ (е ^ —е " )2 = —рп -¡¿т2-еЩхт
_ 1 Pq = 1 + 5гп2 qh.
Очевидно, что pq ^ 1, Это неравенство является условием равномерной устойчивости схемы (10) по начальным данным в ||-||l2.
Для коэффициентов {ak+m} схемы (10) при {ф^1} имеем
М — V = 1.
т
k=0
Поэтому, в силу [9], схема будет устойчивой и по правой части. Следовательно, выбранная разностная схема будет безусловно устойчивой.
Для проверки работоспособности предложенного итерационного алгоритма решения была посчитана модельная задача распространения излучения в диффузионном приближении, В области П = {0 ^ x ^ 1} решается уравнение переноса с нулевыми граничными условиями. Начальное значение полного количества частиц в системе ф0 = 0,00001,
Коэффициент Эйнштейна для спонтанного испускания A21 ~ 107-1, Энергия при переходе с одного уровень на другой задавалась следующим значением hv12 = 3,2,
Значения коэффициентов B12,B21,C12,C21 были взяты из [10, 11], В качестве резуль-
ф0
Итерационный процесс повторяется до условия достижения заданной точности (е0 = 10-4,е1 = 10-16) по критерню: |Ф0+1 — Ф01 ^ £оФ0+1 + £ъ £0,£1 — заданные константы.
На рис, 2 показаны профили скалярного потока па первой, третьей, пятой и девятой итерациях соответственно.
Как видно из графика, наблюдается сходимость итерационного процесса. Итерационный процесс сошелся за 9 итераций.
Заключение. В работе рассмотрена нелинейная стационарная задача для системы уравнений переноса излучения в диффузионном приближении и статистического равновесия, соответствующая модели двухуровневого атома в рамках предположения о полном перераспределении излучения но частоте. Дня решения возникающей системы уравнений предложен и численно исследован линеаризующий итерационный алгоритм решения, В работе описывается разностная схема дня аппроксимации сеточных уравнений диффузионного тина. Проведенные численные исследования подтверждают работоспособность предложенных алгоритмов. Автор выражает благодарность за постановку задачи и обсуждение результатов научному руководителю проф. А, В, Калинину,
Список литературы
1. Михалае Д. Звездные атмосферы. М.: Мир, 1982.
2. Иванов В. В. Перенос излучения и снектры небесных тел. М.: Наука. 1969.
3. Гсрмогснова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
4. Владимиров В. С. Математические задачи одноекороетной теории переноса частиц, Тр. МИЛИ СССГ, 61, Изд-во АН СССГ, М., 1961.
5. Сушкевич Т. А. Математические модели переноса излучения. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
6. Го ль дин В. Я. Квазидиффузный метод решения кинетического уравнения //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4. № 6. С. 1078-1087.
7. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. М.: Атомиздат. 1974.
8. Калинин А. В., Морозов С. Ф. Об одной нелинейной краевой задаче теории переноса излучения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30, С. 1071-1080.
9. Калиткин H.H. Численные методы М.: Наука, 1978.
10. Фриш, С. Э. Оптические спектры атомов / С.Э. Фриш. М.; J1. Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963.
11. Ельяшевич М. А. Атомная и молекулярная спектроскопия. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962.
Бусалов Алексей Алексеевич — e-mail: busalov89@ gmail.com. Закончил кафедру прикладной математики НИ-ЯУ МИФИ. Аспирант первого курса аспирантуры ННГУ. Специальность в аспирантуре альные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Научные интересы включают численное моделирование задач механики сплошной среды и теп-ломассопереноса, а также разработку и создание параллельных алгоритмов для вышеупомянутых задач.
Busalov Alexey Alekseevich — Graduated from the Department of Applied Mathematics, National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute). First year postgraduate student of the UNN. (National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod). Specialty in graduate school is differential equations, dynamical systems and optimal control. Research interests include numerical modeling of problems in continuum mechanics and heat and mass transfer as well as the development and creation of parallel algorithms for the above tasks.
Дата поступления — 06.03.2021
