МЕТОДЫ АНАЛИЗА РАДИОУСТРОЙСТВ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.396

МЕТОДЫ АНАЛИЗА РАДИОУСТРОЙСТВ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

^ \ Курилов Игорь Александрович

кандидат технических наук, доцент, профессор Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Ромашов Владимир Викторович доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Жиганова Елена Александровна

кандидат технических наук, доцент, доцент Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Романов Дмитрий Николаевич

кандидат технических наук, доцент, доцент Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Васильев Глеб Сергеевич

аспирант кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Харчук Светлана Михайловна

старший преподаватель кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Суржик Дмитрий Игоревич

аспирант кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». Адрес: 602264 Муром, Владимирская обл., ул. Орловская, д. 23.

Аннотация: Рассматриваются методы аппроксимации нелинейных характеристик радиоустройств на основе полиэкспоненциальной и непрерывных кусочных функций. Получены основные соотношения для расчета коэффициентов аппроксимации полиэкспоненциальных функций, анализа интермодуляционных колебаний в узкой полосе частот, приведены примеры спектрального анализа сигналов на выходе нелинейных усилителей. Приводятся классификация предложенных непрерывных кусочных функций, применение этих функций для аппроксимации характеристик нелинейных, в том числе гистерезисных, устройств, спектрального анализа, анализа радиоустройств в статическом и динамическом режимах.

Ключевые слова: полиэкспоненциальная аппроксимация, непрерывные кусочные функции, спектральный анализ, нелинейные характеристики, интермодуляционные колебания, динамические характеристики, устойчивость.

Введение

Известные аналитические методы расчета нелинейных инерционных радиотехнических устройств (РТУ) высокого порядка часто обладают низкой точностью или достаточно ограниченной областью применения (методы линеаризации на основе ряда Тейлора и гармонического баланса, операторный и его обобщение для кусочно-линейных систем, спектральные). Применение численных методов, например, цифрового моделирования, снижает общность решений.

Обобщение известных методов для аналитического исследования режимов нелинейных устройств, а также для различных возмущений требует применения аппроксимаций характеристик нелинейных, инерционных звеньев РТУ и воздействующих сигналов. Известные способы аппроксимации имеют ряд существенных недостатков. В частности, ограниченная область применения, сложность реализации, сложность получения аналитических решений при существенной нелинейности и (или) высоком порядке инерционности звеньев и др.

Предлагаемые авторами методы аппроксимации нелинейных характеристик обладают достаточной точностью, простой аналитической формой записи, возможностью получения частных решений на основе обобщенных.

1. Полиэкспоненциальная аппроксимация 1.1. Основные виды полиэкспоненциальной аппроксимации

При анализе радиотехнических устройств с нелинейными характеристиками (НХ), выбор способа аппроксимации определяется следующими критериями: алгоритмичностью, точностью аппроксимации в точке приближения к НХ, удобством и точностью спектрального анализа.

Полиэкспонециальные аппроксимации в наибольшей степени соответствует виду законов, отражающих сущность физических процессов, происходящих в полупроводниковых приборах и микросхемах, что позволяет использовать табулированные функции Бесселя. Полиэкспоненциальная аппроксимация в общем виде представляется

м

г(и ) = £

ame

„Ьти

(1)

m=1

где ат, Ьт - коэффициенты аппроксимации, подлежащие определению при решении системы алгебраических уравнений степени М.

При высокой степени нелинейности характеристики нелинейного элемента (НЭ) необходимо брать большое количество коэффициентов ат и Ьт. Кроме того, коэффициенты алгебраических уравнений могут получиться комплексными.

Используемая полиэкспоненциальная аппроксимация с чередующимися знаками показателей степени (ПЭА ЧЗ) вида

M

г(и )=Е'

(2)

m=0

по сравнению с аппроксимацией степенным полиномом (1) обладает алгоритмичностью и повышенной точностью вычислений, особенно при сложной форме характеристики нелинейного элемента. Однако при ее применении возникает трудность вычисления коэффициентов аппроксимации ат, заключающаяся в составлении и решении системы (М+1) уравнений. Задача существенно упрощается при использовании прикладной программы Mathcad и представлением системы в матричной форме [1,2].

Неизвестные коэффициенты ат определяются из условия минимума среднеквадратиче-ской ошибки (СКО)

2

1

K i

= Y2X ik "X ame

K k=1 V m=0

M

("1)m

2

, (3)

где К - число точек НХ, 4, ик - значения тока и напряжения в к - ой точке.

При = 0 из (3) находим систему

8ат

т

(М + 1) линейных уравнений

M

X amS1m+ p = G1p ,

(4)

m=0

где

= V

m+p

(-1)m muk +(-1)P Puk

k =1

G1p =XJike(-lfpUk ,p=0,...,K

k=1

номер текущего

уравнения, р - номер гармонической составляющей.

k

Система уравнений в матричной форме примет вид

[С1] = [Л]-[^], (5)

где для функции вида (4) имеем матрицы

[S1] =

K

Ye'-1'1Ut

k=1

SJ>Ut + (-l'11ut

e

;(-l'11Ut t = 1

,(-l'11ut +(-l'11ut

,(-l'"Muk

Ye°Uk + (-l'KKut Ye(-l'11Uk + (-l'KKUl

Y>

k=1

K

Y

K

Y^

k=1

,(-ifMuk + (-1'1 MUk

[G1] =

i,re

Y

k=1

Y4e(-1;11u<

k=1 K

Yhe{-XfKUk

[A] =

к=1

Недостатком (2) является повышенная СКО при уменьшении количества точек аппроксимации.

Уменьшить этот недостаток предлагается путем использования полиэкспоненциальной аппроксимации с положительными знаками показателей степени (ПЭА ПЗ)

M

i(u '=Y<

(6)

m=0

Элементы матриц для определения коэффициентов ат запишутся следующим образом

K , A K

s2m+p =Ye(m+РК ' G2p =YikepUk k=1 k =1

Тогда для ПЭА ПЗ матрицы [52] и [G2] можно представить

[S2] =

K K K

Ye"1 YeUk • .. YeMUt

k=1 k=1 k=1

K K K

YeUk Ye2Uk • Ye

k=1 k=1 k=1

K K K

YeMUk Ye(M+1'Ut YeM+KU

k=1 k=1 k=1

[G 2] =

Y

k=1 K

Y

k=1

K

i.e

i,e

i,e

k =1

Матрицы [5"1] и [52] содержат (K+1) элементов, многие из которых имеют равные значения. Однако для матрицы [51] необходимо рассчитать 3K элементов матрицы, а для [52] - (2K+1). Поэтому вычисление коэффициентов для ПЭА ПЗ менее трудоемкое, чем для ПЭА ЧЗ.

Сравнительный анализ аппроксимаций вида (2) и (6) показал, что при одинаковом числе точек среднеквадратическая ошибка ПЭА ПЗ в среднем на порядок меньше, чем при ПЭА ЧЗ. 1.2. Метод анализа интермодуляционных колебаний в узкой полосе частот входного сигнала

Как правило, на выходе нелинейных элементов в радиоустройствах ставят фильтры, настроенные на определенную полосу частот относительно интересующей составляющей выходного сигнала. Применение ПЭА НХ позволяет существенно упростить выражение для определенной, относительно узкой полосы частот выходного сигнала.

При воздействии на вход нелинейного устройства сигнала вида

u(t ) = U (t )сов(Ф(0), (6)

где U(t) - амплитуда входного сигнала, Ф(t) = c0t + cp(t) - полная фаза входного сигнала, p(t) - фаза входного сигнала, c0 - несущая частота, выходной ток НЭ с использованием ПЭА ПЗ вида (6) будет иметь вид

M

i(t )=£ amemU (t )cos 0{t )emUo =

m=0

M

= Y am {l o(mU (t ))■

m=0

2Y[In(mU(О)^(пФШ YIn(mUo), (7)

n=1

где и0 - напряжение смещения, IX(y) - модифицированная функция Бесселя, п - целое число.

Выражение (7) содержит все гармоники выходного сигнала [3]. Упрощая выражение (7) исключением постоянной составляющей, составляющих второго и более высоких порядков гармоник основного сигнала при п=1, имеем

M Г ш

/■(0 = 2СО8(ф(0Щ aJl(mU(г)) £4(mU0)l (9)

m=0 I

e

k=1

k=1

(-1M MUk +(-1'KKUk

a

0

a

a

m

mu

k

k

Как видно, выражение (11) позволяет рассчитать составляющие выходного сигнала по комплексной огибающей входного [5].

Например, при воздействии на НЭ бигар-монического сигнала вида

U1cosa>1t + U2cosrn2t на нелинейное безинер-ционное устройство, проходная характеристика которого описана ПЭА ПЗ, выражения для амплитуд соответствующих интермодуляционных колебаний, полученные из (11), сведены в таблицу 1. Они позволяют рассчитать амплитуду любой интермодуляционной составляющей в полосе основного сигнала. 1.3. Спектральный анализ сигналов усилителей мощности на основе ПЭА Рассмотрим алгоритм расчета уровней интермодуляционных составляющих в выходном сигнале НЭ при воздействии на него полигармонического сигнала и использовании двух видов аппроксимации: ПЭА ПЗ и ПЭА ЧЗ.

Пусть на нелинейный элемент действует полигармонический сигнала вида к

u(t) = Z Uk cos(ka6t + (Pk ),

k=0

Таблица 1.

Порядок ИМК Амплитуда ИМК

ИМК-3 2ю2 - ®1 M ад 2 £ anl2(mU2)lx(mUx) £ In (mUo), m=0 n=-ад

2w1 - a>2 M ад 2 £ anI2(mUx)Ix(mU2) £ In (mUo), m=0 n=-ад

ИМК-5 3ю2 - 2Ö1 M ад 2 £ aJ3(mU2)I2(mUi) £ In (mUo), m=0 n=-ад

3Ö1 - 2a2 M ад 2 £ aJ3(mUi)I2(mU2) £ In (mU0), m = 0 n = -ад

ИМК-7 4ю2 - 3Ö1 M ад 2 £ aJ^mU^mU;) £ In (m^), m=0 n=-ад

4ю1 - 3ю2 M ад 2 £ anI,(mUx)I3>(mU2) £ In (mU0), m=0 n=-ад

составляющие воздействующих сигналов w1 M ад 2 £ aj0(mU2Vi(mUi) £ In (mU0), m=0 n=-ад

e>2 M ад 2 £ anI0(mUi)Ii(mU2) £ In (m^) m = 0 n = -ад

Выражение (9) описывает выходной сигнал нелинейного безинерционного устройства, причем содержит информацию только о первой гармонике и спектре вокруг нее. Ширина спектра основного сигнала определяется только нечетными разностными порядками интермодуляции.

При воздействии на НЭ многочастотного сигнала на выходе его появляются интермодуляционные составляющие, причем если разность частот сигналов существенно меньше частоты основного сигнала, то интермодуляционные колебания попадают в полосу основного сигнала. Поэтому такой сигнал можно считать узкополосным и для анализа применить метод комплексной огибающей.

Представив комплексную огибающую входного сигнала НЭ в виде

'и^ ) = и ^ )ехр{/^ )}, (10) для комплексной огибающей выходного тока получим выражение [4]

. M

I(t) = 2еж') •£

m=0

amIl(mU(t)) £In(mUо)

n v

я=-ад

(11)

где (Об - базовая частота, определяемая как наибольший общий делитель частот действующих колебаний, Uk, q - амплитуда и начальная фаза k - ой гармонической составляющей.

Значение комплексной амплитуды тока «-ой гармоники аб для ПЭА ЧЗ выражается функцией вида

M ад / \

К = 1 ^ IIVt((-l)mmU0)х

m=0 v0=-ад

K ад / \

хП IV ((- l)mmUk }1VkqkI K (0), (12)

k=2 vk=-ад n-I kvk

k=2

где vk - порядок функции Бесселя для k-го сигнала.

Для ПЭА ПЗ в выражении комплексной амплитуды тока будет отсутствовать множитель (-1)m, тогда

M ад

In = I am I Iv0 (mU0 )х

m=0 V0 =-ад

K ад

хП IV (mUk}]VkqkI K (0). (13)

k=2 vk =-ад n-I kvk

k k=2

Проведем спектральный анализ выходного сигнала усилителя мощности на биполярном транзисторе с использованием аппроксимаций ПЭА ЧЗ и ПЭА ПЗ при воздействии на него двухчастотного сигнала вида [6,7]

U (t) = u1hopm COs ( + U2норм COs ( ,

где первое слагаемое в сумме - основной сигнал (полезный) с параметрами U\HopM, (, второе слагаемое - помеховый сигнал с параметрами U2HopM, (2, причем помеховый сигнал по амплитуде много меньше амплитуды входного сигнала, а по частоте близок к его частоте

(и1норм/и2норм=10, ®2/®1=0,9).

Вычисление ИМК по (13) заключается в решении уравнения

п -fJkVk = 0, (14)

k=2

т.е. нахождения тех порядков Vk функции Бесселя, при которых в дальнейшем будут вычисляться суммы в произведении. Тогда (14) примет вид

n-klVl-k2V2 =0,

где а>б =ю1-ю2- базовая частота ^ = —,

аб

k2 = ^ ®б

Значения уровней интермодуляционных колебаний в выходном сигнале нелинейного элемента, рассчитанные по выражениям (12) и (13), приведены в таблице 2.

Полученные результаты, сведенные в таблицу 2, сравнивались с экспериментальными данными. Эксперимент был проведен при воздействии двухчастотного сигнала с параметрами, примененными при расчете, на усилитель, собранный по схеме с общим эмиттером на биполярном транзисторе КТ 920Б. Измерение уровней интермодуляционных составляющих производилось селективным вольтметром.

Видно, что спектральный анализ на основе полиэкспоненциальной аппроксимации с положительными знаками показателей степени является более точным, т.к. рассчитанные значения уровней интермодуляционных колебаний отличаются от экспериментальных на

Таблица 2.

Гармоника базовой частоты - п Порядок ИМК Уровень ИМК относительно со\, дБ

ПЭА ЧЗ ПЭА ПЗ Эксперимент

10 СО\ 0 0 0

9 CÜ2 -21 -19,6 -19

11 2&>i - о2 ИМК-3 -40,8 -39,2 -38

8 2а2 - со\ ИМК-3 -59 -58,9 -57

12 3&>i - 2а2 ИМК-5 -78,6 -83,9 -85

7 3ю2 - 2oI ИМК-5 -98,7 -103,7 -106

13 4&>i - 3®2 ИМК-7 -87,7 -131,8

6 4о2 - 3&>i ИМК-7 -147,3 -152,8

0,6...2,3 дБ. В то время, как при спектральном анализе на основе ПЭА ЧЗ эта разница больше и составляет - 1,2.7,3 дБ. 1.4. Применение разработанной аппроксимации и метода анализа в узкой полосе частот для исследования квадратурного усилителя мощности

В качестве усилителей мощности радиосистем широко применяются квадратурные усилители мощности КУМ, в которых за счет векторного сложения сигналов происходит уменьшение внеполосного и внутриполосного излучений, вызванных воздействием помеховых сигналов, нелинейностью устройств, асимметрией плеч устройства и многим другим.

Пусть на вход квадратурного усилителя мощности воздействует сигнал вида U1 cos coxt, а на усилители мощности, входящие в схему КУМ, поступает помеха вида U2cosrn2t. Нелинейные проходные характеристики УМ1 и УМ2 опишем ПЭА ПЗ [8].

Тогда выходной сигнал квадратурного усилителя мощности с учетом сдвига фаз на л/2 в одном плече запишется как

'КУМ

M

(t )=Z

ml Ui cosi о^М— I+U2 cos |+mU0

ame 2j J +

M

M<

m=0

m=0

m(Ui cos &1+U2 cos )+mUo

(15)

При использовании таблиц сумм и функций выражение (15) примет вид

M

I0(mU1) + 2Z In (mU1)cos n^it + 2

'КУМ (t) = Z"m

m=0

I0(mU2) + 2Z In (mU2)cos(na2t)

n=1

ад

10 (mU1) + 2 Y In (mU1) cos(n®1t)

Z In (mUo)[ +

M

+ Z a

I0(mU2) + 2Z In (mU2)cos(n®2t)

ZIn(mUo)k (16)

Выделив из выражения (15) составляющие с частотами нечетных разностных порядков интермодуляции, получим выражения для амплитуд соответствующих ИМК, приведенные в таблице 3.

На рис. 1 приведен спектр выходного сигнала КУМ при воздействии гармонического сигнала на вход устройства и подаче гармонической помехи на нелинейные усилительные элементы в его плечах.

X

X

X

X

X

n=1

Таблица 3.

Порядок ИМК Амплитуда ИМК

ИМК-3 2Ю2 - ®1 M ад 2^2 £amI2(mU2)I1(mU1) £I„(mU0), m=0 п=-ад

2ю1 - 02 компенсируется

ИМК-5 3ю2 - 2ю1 компенсируется

3ю1 - 2Ю2 M ад 2V2 £ aj3>(mU;)I2(mU2) £ In (mU0), m=0 n=-ад

ИМК-7 4ю2 - 3ю1 M ад 2^2 £ aml4(mU2)l3(mU!) £ In (mU0), m=0 n=-ад

4ю1 - 3ю2 M ад 242 £ anI,(mUx)I3>(mU2) £ In (mU0), m=0 n=-ад

составляющие воздействующих сигналов Сй1 M ад 242 £ amI{)(mU2)Il(mUl) £ In (mU0), m=0 n =-ад

со2 M ад 242 £ aJ^mU^mU^ £ In (mU0). m=0 n=-ад

А, дБ -

-50 —

ИМК5 ИМК7

-100-

-150—

ИМК3

ИМК7

®1 ®2

Рис. 1. Спектр выходного сигнала КУМ при подаче на его вход бигармонического сигнала

2. Аппроксимация на основе непрерывных

кусочных функций (НКФ) 2.1. Основные варианты НКФ Обобщенная НКЛФ с компактной формой записи. Представляет собой сумму модулей линейных функций. В частном случае эти модули сдвинуты относительно друг друга на фиксированную величину А [9]

N

F(х) = ^ kп ■ |х - п • Д|,

п=0

где х - переменная,

К =(л - 2 • Уп+1 + Уп+ 2 )/2 - коэффициент аппроксимации, уп - значения функции в узлах аппроксимации п = 0.^ - порядковый номер модуля линейной функции.

Для увеличения точности аппроксимации применяют НКЛФ с адаптивным шагом аппроксимации. Далее символами п и N будем обозначать текущий и максимальный номера узлов аппроксимации. Тогда

N

F (х) = Х Kn

х - х„

(17)

где

п=1

шаг

аппроксимации,

K = Уп-1 + Уп + Уп + Уп+1

С помощью обобщенной НКЛФ удобно описывать прямоугольные, треугольные или пилообразные импульсные последовательности, а также сигналы с фазовой манипуляцией, ЛЧМ сигналы и др.

Переключающая НКЛФ. В ряде случаев позволяет сократить количество вычислений за счет изменения алгоритма формирования ап-

проксимирующей функции[10]. НКЛФ может принимать два значения 0 или 1. Переход от значения 0 к значению 1 осуществляется в точке хп, (п = 0..^). Один из вариантов данной функции имеет вид

Яп (х) = К ^х - Х0 - п •Д^1-

x - x - п -Ar -

J_

1

+ —, 2

где КЯ - крутизна перехода от 0 к 1; х0 - значение х в точке п = 0 ; Дх = хп+1 - хп - шаг аппроксимации.

В каждом узле аппроксимации переключающие НКЛФ обеспечивают ступенчатое приращение крутизны £(х) и коэффициента Ь(х) линейной аппроксимирующей функции у(х) = £ (х )х + Ь(х).

Выражение для крутизны аппроксимирующей функции имеет вид

Дх '

k (x) =

N-1

У1 - У0 + К(Уп-1 - 2 • Уп + Уп+1 )• Чп(x)

п=1

Включающая НКЛФ. Получена вычитанием двух переключающих НКЛФ (рис. 2)

1 1

Q (ö) = Ka ££(-1)

Л+г

Л=0/=0

3-3j - yA1 -

Л

2K

где 1 - номер НКЛФ, , Зм - значение аргумента в начале и конце наклонного участка, Д; = 51+1 - 51 - длина наклонного участка, Ка -крутизна боковых составляющих, Л и у- целые числа, При большом значении крутизны Ка включающая линейная НКФ принимает значение 1 в интервале [ ; Зм ] и 0 - вне интервала. Чтобы аппроксимировать участок нелинейной характеристики, достаточно перемножить включающую НКЛФ на линейную функцию, соответствующую данному участку. Сумма произведений N линейных НКФ и N линейных функций позволяет аппроксимировать характеристику по N участкам [11]. Применение включающей НКЛФ позволяет линеаризовать дифференциальное уравнение РТУ; понизить произвольный порядок уравнения до первого и получить его аналитическое решение.

W

X

п

Троичная НЛКФ. Имеет вид функции треугольной формы [12]

Qi (ö)=^ ZK- гК|.

1 1

2Д

Я=0у=0

Ее применение позволяет в два раза сократить число аппроксимирующих функций по сравнению с переключающей НКЛФ. В отличие от включающей, для троичной НКЛФ дополнительное умножение на линейную функцию не требуется.

Квадратичная НКФ. Представляет собой сумму квадратичных полиномов (рис. 3), заданных в отдельных интервалах. Благодаря своей гладкости квадратичная НКФ обеспечивает более высокую точность аппроксимации по сравнению с линейными функциями. Включение каждой параболы в текущем интервале аппроксимации выполнено умножением на включающую функцию [13]

§¿3) = (~32 - + ~Ш3), где ~1, Ъ1, ~ - коэффициенты 7-й параболы.

Разработанные НКФ позволяют проводить аппроксимацию и с нефиксированным шагом. Получены выражения для расчета координат узлов аппроксимации по экспоненциальному и оптимальному закону. Показано, что экспо-

ненциальное расположение узлов целесообразно применять при аппроксимации частотных характеристик, которые быстро изменяются при малых значениях частоты и медленно - при больших. Оптимальные узлы рассчитаны из условия минимума среднеквадратиче-ской ошибки аппроксимации НКФ в исследуемом диапазоне.

2.2. Аппроксимация характеристик гистере-зисных устройств

Применение НКЛФ позволяет описывать характеристики гистерезисных устройств - триггеров, радиоустройств с режимами «схватывания - удержания» [14] -автокомпенсаторов фазовых (амплитудных) помех, систем фазовой и частотной автоподстройки, синтезаторов частот и т.п. Триггер имеет два устойчивых состояния (0 и 1). Модель триггерной характеристики можно представить в виде

и =- 1

2Д|х-qНPUT -а| - х-qНPUт + Д-а| + Д| где Х7уд и Х7сх - значения х в узлах удержания и

схватывания, и*т - значение ит на предыдущем шаге расчета, дН - НКЛФ начальной установки. Постоянные а и /3 позволяют исключить уход в ноль, при переходе характеристики из одного устойчивого состояния в другое.

Применение предложенной модели триггера позволяет исключить неустойчивый участок и однозначно аппроксимировать состояние радиоустройств с гистерезисными характеристиками. Триггер осуществляет поочередное включение каждого из устойчивых участков характеристики Ф^х) при возрастании и Ф2(х) при убывании х. После суммирования обоих участков выражение для регулировочной характеристики радиоустройства (рис.4) имеет вид

у = Ф,(х)ит +Ф2(х)(1 - ит). 2.3. Применение НКЛФ для спектрального анализа

В [15] получены выражения для вычисления спектра импульсных сигналов произвольной формы, аппроксимированных НКЛФ. Для комплексного ряда Фурье коэффициенты имеют вид:

eJ 2 +

= 72Ь • Kn-((k • T2 + j + tn • k)•

k [n=0

+ (k • Ti + j + tn • k)•j)]-2]T[Kn • e^]}

n=0 J

где Т и Т2- начало и конец импульса, k - номер спектральной составляющей, у - мнимая единица. Для получения любой спектральной компоненты требуется фиксированное количество вычислительных операций. Оно зависит от первоначального количества отсчетов - для прямоугольных импульсов 5-6, для треугольных и пилообразных - 3-4.

У

i

/

Xir)

Ж[уд

Рис. 4.

Применение НКЛФ при анализе систем преобразования частоты позволяет получить общее аналитическое выражение для любой спектральной составляющей выходного колебания при сложном входном сигнале и произвольном виде нелинейной характеристики. Пример сигнала на выходе нелинейного элемента с квадратичной характеристикой при входном в виде суммы двух синусоид, представленный с помощью обобщенной НКЛФ с компактной формой записи вида (1), приведен на рис. 5. Шаг аппроксимации Д = 0.5 . Сред-неквадратическая ошибка аппроксимации при построении спектра для Д = 0.5 составляет 1,354 10-3.

2.4. Анализ радиоустройств с использованием НКФ

Применение обобщенной схемы амплитудно-фазового преобразователя сигналов (АФП) [16] и НКФ позволяет проводить аппроксимацию устройств на уровне их структуры и получить выражения искомых характеристик на основе характеристик обобщенного преобразователя. Исследование устойчивости РТУ. На основе частотного критерия Найквиста с применением НКЛФ в [17] получены обобщенные соотношения, позволяющие на основе АФП исследовать устойчивые значения коэффициента передачи цепи обратной связи РТУ с фильтрами

высокого порядка. Нижнее N2, и верхнее N2, граничные значения коэффициента соответствуют границам устойчивости исследуемого устройства в линейном режиме

NН = max{N2k [1 - q( N2k)J,

N2 = min N2kq(N2k)}, где N2k =-1/M 2 (jak), M 2( jrnk) - коэффициент передачи фильтра в цепи обратной связи, cok - критическая частота. Критические частоты можно определить из условия f (ök) = Im[M2 (jG)k)] = 0 . Для этого левая часть уравнения аппроксимирована включающей НКЛФ (Qn), что позволило получить обобщенное выражение критической частоты для различных порядков фильтра АФП

®k n =(®я - f(an )/K n )• Qn (®n - f К )/K n ) , где (on, Kn - значение частоты и коэффициента аппроксимации в текущем узле п.

F(t) ЗОп

27"

24" 21" 18"

Ii" 12" 9" — — —

б"

3* t

0 s is Рис. 5. 0 1 2

Пример расчета граничных значений устойчивости для устройств АФП с фильтрами ФНЧ, верхних частот (ФВЧ), полосовым (ПФ для порядков фильтров I = 1...10, приведен на рис.6.

Анализ устойчивости системы ФАПЧ при произвольной конфигурации и порядке фильтра системы рассмотрены в [18]. Динамические характеристики радиоустройств в линейном режиме. Применение НКЛФ и спектрального метода позволяет проводить анализ переходных режимов устройств произвольного порядка в общем виде [19,20].

При сложной форме входного сигнала получить аналитическое выражение для его спектра Sвх(ую) затруднительно или невозможно. Кусочно-линейная аппроксимация сигнала

позволяет получить компактное обобщенное выражение спектра

а

e ja(ti +Дi) _ e~ jati

(18)

i=0

где 1 - номер текущего узла аппроксимации, ^ - время в текущем узле, Аг- - шаг аппроксимации по времени, А. = х((. +Аг.)- х((.) - разность значений амплитуды сигнала в моменты времени ^ + А1 и

Л

2

50

■50

\ \ V. 1 . Щ для ПФ ^^

\ ч. 10 Л' ,ä для ФН1 1 и ФВЧ

N1 л ля ПФ

4 6

Рис. 6.

Спектр отклика устройства в линейном режиме записывается через его передаточную функцию Н(]&), как 5(]о) = Явх(]&) ■ Н(]&). Выражение для выходного сигнала во временной форме получено обратным преобразованием Фурье. Аппроксимация вещественной части

5£(ю) спектра позволяет получить искомую динамическую характеристику решением интеграла Фурье в аналитическом виде

уй (?) = х(0-Я(0)+-£ ^ [ЯМ - , (19)

™ 1=0 А1

где а* = (со1)-Я*к(с1+1) - коэффициент 1-й

переключающей НКЛФ, I - номер текущего узла аппроксимации частотной характеристики, Ь - максимальный номер узла аппроксимации, Ая = Л1+1 - Л1 - шаг аппроксимации, Л = 1пс, Я1(си+1?) - интегральный синус.

Выражение (3) совместно с (2) позволяет исследовать переходные процессы при различных вариантах построения устройства, различных типах и порядках фильтров и при любых детерминированных воздействиях [21]. На примере АФП с комбинированным регулированием показано, что экспоненциальное расположение координат узлов позволяет повысить точность представления вещественного спектра и уменьшить среднеквадратическую

погрешность расчета переходной характеристики РТУ: по сравнению с аппроксимацией НКЛФ с фиксированным шагом в 16 раз, а по сравнению с алгоритмом цифровой фильтрации на основе дискретного преобразования Фурье - в 3 раза, при числе отсчетов N=8, и в 115 раз и 128 раз, соответственно, при числе отсчетов N=1024.

Передаточные характеристики РТУ в нелинейном режиме. В АФП нелинейными характеристиками обладают управляющее устройство УУ и детекторы управляющих трактов УТ. Дифференциальное уравнение такого радиоустройства с комбинированным регулированием на основе аппроксимированных НКЛФ передаточных характеристик является кусочно-линейным и имеет вид [22]

у = К х + К ух + Кх ух + Куе - G, (20)

ху хг 1у Г1 хГ 2 у Г 2 еу ' у '

где Кар = р/а - передаточные характеристики,

а и р - воздействие и отклик устройства соответственно, е - дестабилизирующий фактор, х, у - параметры основных входного и выходного сигнала, х_п,2 - параметры сигналов эквивалентных опорных генераторов детекторов УТ12 (для АФП). Так

К = 1 - пМ (р)Мт

^ 1 + П2М2 (рN2т

\2M1,2 (Р)N1

1,2mn

ХГ1,2 y

1 + П2М2 (РКпп ' где - пь п2 - коэффициенты весового распределителя, М1,2(р) - коэффициенты передачи фильтров УТи; М1ив КпК^Ж,

т б

М2 пп =ЕЕ КпК 2nQnQ2 п - аппроксимирован-

т п

ные коэффициенты регулирования ветвей по возмущению и отклонению; п, 5, п - текущие номера узлов аппроксимации нелинейных характеристик УУ, детекторов УТ1,2 соответственно, Кп, К15, К2п - коэффициенты аппроксимации, Qп, Q1s, Q2 п - включающие

НКЛФ для УУ, детектора УТ и детектора УТ2.

Выражение (20) полностью описывает статический и динамический режим нелинейного инерционного радиоустройства с прямой и обратной связью.

На основе передаточных характеристик в [23] получены выражения и выполнен расчет статического режима АФП (М1,2(0) =1). Графи-

ки статических характеристик при изменении Хг2 представлены на рис. 7. Они обладают гистерезисом, что характерно для режимов схватывания - удержания. Применение НКЛФ позволяет исключить неустойчивые участки и получать однозначные выражения статических характеристик, справедливые как при увеличении, так и при уменьшении воздействия.

17; = 2

и-=0.5 /

0 1 2 4 5

Рис. 7.

Динамические режимы нелинейных РТУ.

Уравнения и характеристики динамических режимов АФП с регулированием по отклонению рассмотрены в [24] Обобщенное уравнение для динамического режима нелинейного инерционного устройства с комбинированным регулированием и тремя нелинейными характеристиками УУ и детекторов получено в [25] на основе (20) и передаточных характеристик АФП. Отклонение выходного параметра устройства ук(0 на текущих участках аппроксимированных нелинейных характеристик тк, sk, пк, описывается линейным дифференциальным уравнением. Для аппроксимации вещественного выходного спектра с высокой точностью выбрана переключающая НКЛФ от логарифмической частоты, для представления характеристик нелинейных звеньев - включающая НКЛФ с оптимальными узлами, рассчитанными по критерию минимума среднеквад-ратической ошибки, что позволяет в общем виде исследовать переходные процессы устройств при различных типах и порядках фильтров и для любого характера нелинейности его звеньев. Общее решение у(0 получено суммированием К частных решений ук(0 с учетом их временного сдвига ^

К-1 ~

У^) =Е Ук^ - ~ ,

к=0

где Qmk, Qsk, Qnk - включающие НКЛФ для

трех нелинейностей на к-м участке общего решения. Характеристики линейных устройств являются частным случаем выражения при К=1.

Графики переходного процесса нелинейного устройства автоматической регулировки уровня с комбинированным регулированием, с ПИФ 1-4-го порядков и детекторами с треугольными характеристиками, при воздействии сложной, произвольно заданной формы (рис. 8), представлены на рис. 9 [26]. Полученные соотношения позволяют исследовать переходные процессы при различных параметрах звеньев и выбирать коэффициенты передачи отдельных блоков для минимизации динамических искажений.

Рис. 8

Рис. 9

2.5. Синтез радиоустройств на основе НКЛФ

Спецвычислители получили большее распространение и являются основой устройств для вычисления спектра сигнала, калибраторов фазы с цифровым управлением, датчиков перемещений, преобразователей координат и т.д. Реализация нелинейных функций с помощью степенных интерполяционных полиномов требует больших вычислительных затрат, либо

используется табулирование функций, требующее большое количество памяти. Цифровые вычислители, синтезированные на основе НКЛФ [27], позволяют уменьшить время вычислений за счет уменьшения количества операций и объем требуемой памяти. Модуль линейной функции формируется путем введения в знаковый разряд нуля, что соответствует положительному числу. Отсутствие в алгоритмах сложных нелинейных функций обеспечивает высокую скорость вычислений.

Заключение

Разработанный математический аппарат и обобщенные соотношения на основе полиэкспоненциальных и непрерывных кусочных функций позволяют проводить аппроксимацию характеристик, спектральный анализ сигналов, выполнять анализ устойчивости, статических и динамических режимов линейных и нелинейных радиоустройств произвольного порядка, с различным числом и типом прямых и обратных связей, звеньями с произвольной нелинейностью и частотной избирательностью, при любой форме и величине внешних и внутренних возмущений, что существенно упрощает анализ РТУ.

Литература

1. Мошнина Е.Н., Ромашов В.В., Шуненкова Е.А. (Жиганова ЕА.), Перцева О.В. Методы аппроксимации нелинейных характеристик радиоустройств // Радиотехника, телевидение и связь. Межвузовский сборник научных трудов, посвященный 110-летию В.К. Зворыкина. - Муром: МИ ВлГУ, 1999. - С.77 - 80.

2. Попов П.А., Мошнина Е.Н. Метод анализа комбинационных колебаний нелинейной системы преобразования спектра // Радиотехника. 1984, №1.-С. 48 - 49.

3. Ромашов В.В., Шуненкова Е.А. (Жиганова Е.А. ) Метод анализа интермодуляционных колебаний в усилителях мощности в узкой полосе частот/ Деп. в ВИНИТИ 27.11.01 , № 2474-В2001.

4. Ромашов В.В., Мошнина Е.Н., Шуненкова Е.А. (Жиганова Е.А.) Использование полиэкспоненциальной аппроксимации для анализа комплексной огибающей выходного сигнала нелинейного бе-зинерционного устройства // Методы и устройства передачи и обработки информации: Межвузовский сборник научных трудов / Под ред. В.В. Ромашова. - Гидрометеоиздат, С.-Петербург. 2001. - С.40-41.

5. Ромашов В.В., Жиганова Е.А. Метод анализа интермодуляционных колебаний в нелинейных бе-

зинерционных устройствах в узкой полосе частот // Радиотехника. 2004, №11. - С. 80-83.

6. Ромашов В.В., Жиганова Е.А. Метод комплексной огибающей в спектральном анализе нелинейного устройства // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2011, №1. - С. 25-28.

7. Жиганова Е.А. Особенности использования функций Бесселя при спектральном анализе выходного сигнала нелинейного устройства // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2012, № 3. - С. 12-15.

8. Ромашов В.В, Шуненкова Е.А. (Жиганова Е.А.) Нелинейное уравнение квадратурного усилителя мощности с автокомпенсацией интермодуляционных колебаний // Методы и устройства передачи и обработки информации. 2002, № 2. - С. 181-186.

9. Романов Д.Н. Спектральный анализ радиосигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Радиопромышленность. 2012. №2. - С. 26-31.

10. Курилов ИА, Романов Д.Н., Харчук С.М. Аппроксимация характеристик и сигналов на основе включающих непрерывных кусочно-линейных функций // Методы и устройства передачи и обработки информации: Межвуз. сб. науч. тр./ Под. Ред. В.В. Ромашова - М: Радиотехника, 2007, Вып.8. - С 7-11.

11. Курилов И.А., Васильев Г.С., Харчук С.М. Моделирование преобразователя сигналов с комбинированным регулированием на основе передаточных характеристик // Проектирование и технология электронных средств. 2011, №1. - С. 14-19.

12. Курилов И.А., Романов Д.Н. Динамические характеристики амплитудно-фазовых преобразователей на основе троичных непрерывных кусочно линейных функций. XV Международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ 2009»: сб. тез. докл./НГТУ им. Р.Е.Алексеева, 17 апреля 2009 г. -Н.Новгород, 2009. - С. 26-27

13. Курилов И.А., Васильев Г.С., Харчук С.М. Динамические характеристики амплитудно-фазового преобразователя на основе непрерывных кусочно-квадратичных функций // Радиотехнические и телекоммуникационные системы и устройства. 2011, №3. - С. 21-24.

14. Курилов И.А., Ромашов В.В., Васильев Г.С. Статические характеристики гистерезисных амплитудно-фазовых преобразователей сигналов // Радиотехника. 2009, № 11. - С. 86-88.

15. Курилов И.А., Романов Д.Н. Цифровая реализация преобразования Фурье на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Методы и устройства передачи и обработки информации. 2010, №12. - С. 12-15.

16. Курилов И.А. Анализ устройств амплитудно-фазового преобразования сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Радиотехника. 2006, №11. - С. 55-60.

17. Курилов И.А., Васильев Г.С, Харчук С.М, Суржик Д.И. Исследование устойчивости преобразователя сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2012, №1. - С. 4-7.

18. Курилов И.А., Суржик Д.И., Васильев Г.С., Харчук С.М. Исследование устойчивости системы ФАПЧ на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Методы и устройства передачи и обработки информации. 2012, №1(14). - С. 11-14.

19. Курилов И.А., Ромашов В.В. Переходные режимы амплитудно-фазового преобразователя четвертого порядка // Радиотехника. 2008, №9. - С. 94-98.

20. Васильев Г.С., Курилов И.А., Харчук С.М., Суржик Д. И. / Динамические процессы преобразователей на основе адаптивной функции // Радиопромышленность. - М.: ОАО ЦНИИ «Электроника», 2012, Вып. 2. - С. 9-14.

21. Курилов И.А., Васильев Г.С., Харчук С.М. Анализ динамических характеристик преобразователей сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Научно-технический вестник Поволжья. 2010, №1. - С. 100-104.

22. Курилов ИА., Васильев Г.С., Харчук С.М. Моделирование преобразователя сигналов с комбинированным регулированием на основе передаточных характеристик // Проектирование и технология элек-

Поступила 09 декабря 2013 г.

тронных средств. - Владимир, 2011, №1. - С. 34-38.

23. Курилов И.А., Васильев Г.С., Харчук С.М. Исследование статических режимов преобразователей сигналов при внутренних возмущениях // Вопросы радиоэлектроники. Серия ОТ, 2010, вып. 1. - С. 75-79.

24. Курилов И.А., Васильев Г.С. Динамические характеристики нелинейного амплитудно-фазового преобразователя с регулированием по отклонению // Радиотехника. 2009, №11. - С. 81-85.

25. Курилов ИА, Васильев Г.С, Харчук С.М. Моделирование динамических процессов преобразователя сигналов с нелинейным детектором и произвольным фильтром // Проектирование и технология электронных средств. - Владимир, 2010, № 1. - С. 81 - 85.

26. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. Analysis of dynamic characteristics of the nonlinear amplitude-phase converter at difficult entrance influence / International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON)/ Proceedings. - Krasnoyarsk: Siberian Federal University. Russia, Krasnoyarsk, September 12-13, 2013. - р. 30 - 33.

27. Курилов И.А., Романов Д.Н. Цифровые вычислители функций на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Вопросы радиоэлектроники. 2010, №1. - С. 85-90.

English

Methods of Radio Devices Analysis on the Basis of Functional Approximation

Kurilov Igor Aleksandrovich - Candidate of Engineering, Associate Professor Murom Institute (branch) "Vladimir State University named after Alexander and Nickolay Stoletov".

Romashov Vladimir Viktorovich - Doctor of Engineering, Professor, Head of the Department of Radio Engineering Murom Institute (branch) "Vladimir State University named after Alexander and Nickolay Stoletov".

Zhiganova Elena Aleksandrovna - Candidate of Engineering, Associate Professor Murom Institute (branch) "Vladimir State University named after Alexander and Nickolay Stoletov".

Romanov Dmitry Nikolaevich - Candidate of Engineering, Associate Professor Murom Institute (branch) "Vladimir State University named after Alexander and Nickolay Stoletov".

Vasilyev Gleb Sergeyevich - post-graduate student Department of Radio Engineering Murom Institute (branch) "Vladimir State University named after Alexander and Nickolay Stoletov".

Kharchuk Svetlana Mikhailovna - Senior Lecturer Murom Institute (branch) "Vladimir State University named after Alexander and Nickolay Stoletov".

Surzhik Dmitry Igorevich- post-graduate student Department of Radio Engineering Murom Institute (branch) "Vladimir State University named after Alexander and Nickolay Stoletov".

Address: Orlovskaya st., 23. Vladimir region, Murom, 602264, Russia.

E-mail: romashovmurom@mail.ru.

Abstract: Known methods of approximation of nonlinear device performance have a number of essential disadvantages: a limited application field, complex implementation, and difficulty of obtaining analytical solutions at essential nonlinearity or the high level of components inertia. The suggested methods of approximation of nonlinear characteristics possess adequate accuracy, a simple analytic recording form, and the possibility of obtaining specific solutions on the basis of generalized ones. Methods of nonlinear characteristic approximation of radio units are considered on the basis of polyexponential approximation. Fundamental relations for coefficients calculation of polyexponential functions were obtained with the usage of the matrix approach of simulta-

neous equations solution. As for the output signal analysis of non-linear inertialess devices the spectrum breadth of base signal is determined only by the odd difference orders of intermodulation. The usage of a complex envelope of a signal is suggested for intermodulation oscillations are obtained in a narrow band of frequencies. The expressions for amplitudes of intermodulation components in the frequency band of a base signal. Examples of spectrum analysis of intermodulation oscillations in the output of nonlinear power amplifiers and quadrature power amplifier are given. Variants of both linear(generalized with compact written form, switching, including, ternary) and nonlinear (quadratic) functions are suggested for approximation of performances by continuous piecewise functions (CPF). Continuous piecewise linear functions (CPLF) approximates the performances of non-linear functions including hysteresis, devices, and carry out spectral analysis of pulse signals with the capability of obtaining analytical expressions for any spectral component of an output oscillation when the input signal is aggregate and a nonlinear characteristic is of arbitrary type. Application of CPF allows analysis the radio devices stability, and dynamic performances in linear and non-linear modes. The digital calculators synthesized on the basis of CPLF, shortencalculation time at the expense of reducing the number of operations and required memory capacity.

Key words: polyexponential approximation, continuous piecewise functions, spectral analysis, nonlinear characteristics, intermodulation oscillations, dynamic performances, stability.

References

1. Moshnina E.N, Romashov V. V., Shunenkova E.A. (Zhiganova EA.), Pertseva O. V. Approximation Methods of Nonlinear Characteristics of Radio Devices. Radiotehnika, televidenie i svjaz. Mezhvuzovskij sbornik nauchnyh trudov, posvjashhennyj 110-letiju V.K. Zvorykina. Murom: MI VlGU, 1999. P.77 - 80.

2. Popov P.A., Moshnina E.N. The Method of Analysis of Combination Oscillations of Nonlinear System of Spectrum Conversion. Radiotehnika. 1984, №1. P. 48-49.

3. Romashov V. V., Shunenkova E.A. (Zhiganova E.A.) The Method of Ansalysis of Intermodulation Oscillations in Power Amplifiers in Narrow Band of Frequencies. Dep. v VINITI 27.11.01, № 2474-B2001.

4. Romashov V. V, Moshnina E.N., Shunenkova E.A. (Zhiganova E.A.) The Usage of Polyexponential Approximation for the Analysis of a Complex Envelope of the Output Signal of a Non-linear Inertialess Device. Metody i ustrojstva peredachi i obrabotki informacii: Mezhvuzovskij sbornik nauchnyh trudov. Pod red. V.V. Romashova. Gidrometeoizdat, S.-Peterburg. 2001. P.40-41.

5. Romashov V. V., Zhiganova E.A. The Method of Analysis of Intermodulation Oscillations in Non-linear Inertialess Devices in a Narrow Band of Frequencies. Radiotehnika. 2004, №11. P. 80-83.

6. Romashov V. V., Zhiganova E.A. The Method of a Complex Envelope in the Spectrum Analysis of a Nonlinear Device. Radiotehnicheskie i telekommunikacionnye sistemy. 2011, №1. P. 25-28.

7. Zhiganova E.A. The Usage Peculiarities of Bessel Functions at the Spectrum Analysis of the Output Signal of a Non-linear Device. Radiotehnicheskie i telekommunikacionnye sistemy. 2012, № 3. P. 12-15.

8. Romashov V. V., ShunenkovaE.A. (ZhiganovaE.A.) The Non-linear Equation of the Quadrature Power Amplifier with Intermodulation Oscillations Self-compensation. Metody i ustrojstva peredachi i obrabotki infor-macii.2002, № 2. P. 181-186.

9. Romanov D.N. The Spectrum Analysis of Radio Signals on the basis of the Continuous Piecewise Linear Functions. Radiopromyshlennost. 2012. №2, P. 26-31.

10. Kurilov I.A., Romanov D.N., Kharchuk S.M. Approximation of Performances and Signals on the Basis of Comprising Continuous Piecewise Linear Functions. Metody i ustrojstva peredachi i obrabotki informacii: Mezhvuz. sb. nauch. tr. Pod. Red. V. V. Romashova M: Radiotehnika, 2007, Vyp.8. P 7-11.

11. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Harchuk S.M. The Simulation of Signal Converter with Combined Adjustment on the basis of Transmitting Performances. Proektirovanie i tehnologija jelektronnyh sredstv. 2011, №1. P. 14-19.

12. Kurilov I.A., Romanov D.N. Dynamic Behavior of Amplitude-phase Transformers on the basis of Ternary Continuous Piecewise Linear Functions. XV Mezhdunarodnaja nauchno-tehnicheskaja konferencija «Infor-macionnye sistemy i tehnologii IST 2009»: sb. tez. dokl. NGTU im. R.E.Alekseeva, April 17, 2009 - N.Novgorod, 2009. P. 26-27

13. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. Dynamic Performances of the Amplitude-Phase Transformer on the basis of the Continuous Piecewise Quadratic Functions. Radiotehnicheskie i telekommunikacionnye sistemy i ustrojstva. 2011, №3. P. 21-24.

14. Kurilov I.A., Romashov V. V., Vasilyev G.S. The Static Characteristics of Hysteresis Amplitude-Phase Signal Converters Radiotehnika. 2009, №11. P. 86-88.

15. Kurilov I.A., Romanov D.N. Digital Implementation of Fourier Transform on the Basis of the Continuous Piecewise Linear Functions. Metody i ustrojstva peredachi i obrabotki informacii. 2010, №12. P. 12-15.

16. Kurilov I.A. The Analysis of Devices of Amplitude-Phase Signal Conditioning on the basis of the Continu-

ous Piecewise Linear Functions. Radiotehnika. 2006, №11. P. 55-60.

17. KurilovI.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M., SurzhikD.I. The Investigation of Stability of Signal Converter on the basis of the Continuous Piecewise Linear Functions. Radiotehnicheskie i telekommunikacionnye sistemy.2012, №1. P. 4-7.

18. Kurilov I.A., Surzhik D.I, Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. The Investigation of Stability of DLL system on the Basis of Continuous Piecewise Linear Functions. Metody i ustrojstva peredachi i obrabotki informacii. 2012, №1 (14). P. 11-14.

19. Kurilov I.A., Romashov V. V. Transient Modes of the Amplitude-Phase Transformer of the Fourth Order. Ra-diotehnika. 2008, №9. P. 94-98.

20. Vasilyev G.S., Kurilov of I.A., Kharchuk S.M, Surzhik D.I. Dynamic Processes of Transformers on the basis of the Adaptive Function. Radiopromyshlennost'. - M.: OAO CNII «Jelektronika», 2012, Vyp. 2. P. 9-14.

21. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. The Analisis of Dynamic Performances of Signal Converters on the Basis of the Continuous Piecewise Linear Functions. Nauchno-tehnicheskij vestnik Povolzhja. 2010, №1. P. 100-104.

22. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. The Simulation of Signal Converter with Combined Adjustment on the basis of Transmitting Performances. Proektirovanie i tehnologija jelektronnyh sredstv. - Vladimir, 2011, №1. P. 34-38.

23. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. The Investigation of Static Modes of Signal Converters at Internal Disturbance. Voprosy radiojelektroniki. Serija OT, 2010, vyp. 1. P. 75-79.

24. Kurilov I.A., Vasilyev G.S. Dynamic performances of Non-linear Amplitude-phase Transformer with Error-Closing Control. Radiotehnika. 2009, №11. P. 81-85.

25. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. Simulation of Dynamic Processes of Signal Converter with the Non-Linear Detector and the Arbitrary Filter. Proektirovanie i tehnologija jelektronnyh sredstv. Vladimir, 2010, № 1. P. 81-85.

26. Kurilov I.A., Vasilyev G.S., Kharchuk S.M. Analysis of Dynamic Characteristics of the Nonlinear AmplitudePhase Converter at Difficult Entrance Influence / International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON)/Proceedings. Krasnoyarsk: Siberian Federal University. Russia, Krasnoyarsk, September 12-13, 2013. p. 30-33.

27. Kurilov I.A., Romanov D.N. Digital Calculators of Functions on the basis of the Continuous Piecewise Linear Functions. Voprosy radiojelektroniki. 2010, №1. P. 85-90.