Методология моделирования напряженно-деформированного состояния элементов опоры шарошечного долота Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ УРАЛЬСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ГОРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКОЙ АКАДЕМИИ

СЕРИЯ: ГОРНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА Вып.16

НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ГОРНОЙ ТЕХНИКИ

УДК 622.24.(039)

Д. И. Симнсинов, Г. А. Боярских, М. Л. Хазин

МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОПОРЫ ШАРОШЕЧНОГО ДОЛОТА

Статистическая оценка работы шарошечных долот на горнорудных предприятиях показывает, что до 80 % ресурс долота определяйся отказом опоры. Преждевременный отказ опоры вызван протеканием различных процессов изнашивания при воздействии ряда неблагоприятных факторов, связанных с условиями ее работы. Отказ часто сопровождается потерей кинематических связей и разрушением элементов подшипниковой опоры, что характерно для большинства горных машин [1].

Наличие посадочных зазоров в опоре даже нового долота приводит к перекосу осей цапфы и шарошки и неравномерному нагружению подшипников. С увеличением зазоров по мере износа уменьшается угол зоны нагружения и число работающих роликов, что вызывает увеличение контактных напряжений в элементах подшипника и, следовательно, снижение их долговечности при усталостном, контактном изнашивании.

Структурная схема причинно-следственной связи разрушения элементов опоры в результате превышения предела прочности материала контактными напряжениями представлена на рис. 1.

Работоспособность узлов трения существенно зависит от свойств контактирующих поверхностей (2]. Традиционные методы исследования, например теизометрирования. не позволяют получить достаточную картину объемного напряженно-деформируемого состояния. Применение поляризационно-оптического метода исследования напряжений с применением технологии «замораживания» (фиксирования) напряженно-деформированного состояния модели опоры, представляющего информацию для отдельных точек, позволяет при действии различных нагрузок пол>-чить общую картину распределения напряжений на поверхности и внутри объема модели, определить направления и величины напрчжений для всех точек. Поляризационно-омтический метод достаточно широко применяется при исследовании напряженного состояния опоры долота [3, 4]. Однако этот метод дает скорее качественную оценку распределения напряжений. Основной недостаток метода - отсутствие учета физико-механических свойств материала и их распределения по сечению подшипника.

Рис. 1. Причинно-следственная связь разрушения элементов опоры

Решим поставленную задачу методом математического моделирования. Для этого рассмотрим схему нагружения опоры {рис. 2). На цапфу действуют радиальные реакции Fri. F,Fry и осевая составляющая в замковом подшипнике - Fa2. При перекосе осей цапфы и шарошки харак-

нагружения

Первоначально рассмотрим внешнее тепловое воздействие. В условиях конвективного теплообмена с окружающей средой определение температурных полей сводится к решению известного дифференциального уравнения [5]:

<ИУ01до — (1)

а д

при следующих начальных и граничных условиях:

Т = 7*0(г) при/ = /0.

X. = — = у(Т 9) на поверхности Г1, (2)

(Ь

где 7*0 - начальная температура тела в момент времени /0; Э - температура окружающей среды; п - внешняя нормаль к поверхности тела П: г - радиус-вектор точки тела.

Примем, что коэффициент теплоотдачи и температура окружающей среды могут быть функциями координат и времени, а коэффициенты теплопроводности и температуропроводности могут зависеть от текущей температуры. Тогда, если уравнение теплопроводности (1) и граничные условия (2) умножить на вариацию температуры 67*, проинтегрировать первое уравнение по всему объему тела V, а второе - по поверхности П и сложить их. то с учетом формулы Остроградского-Гаусса получим следующее соотношение:

+ + \у{Т - 9)6Т • ¿п = 0.

(3)

где УГ = охадТ.

Допустим, что в какой-то фиксированный момент времени коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи являются известными функциями радиус-вектора. Тогда выражение (3) можно преобразовать в вариационное уравнение теплопроводности [6]

где

7 = 0.5/

8/ = 0,

'ад

(IV + 0,5 \у(т-2ву сй\.

(4) (4 а)

Данное уравнение эквивалентно уравнениям теплопроводности (1) и граничным условиям (2), и для тела вращения в условиях осесимметричного нагрева в цилиндрических координатах может быть преобразовано к виду

/=»1

(§НЯ

+ 2'(— — ¿Г 1а а

г4гсЬ + л\у(Т-2в)ГпК,

(5)

если интегрирование проводить по площади меридионального сечения /"и его контуру 5.

С учетом условий симметрии достаточно рассмотреть четверть меридионального сечения цилиндра, как и в случае статической модели. Область ч1еридионального сечения разбивали N узловыми точками на М треугольных элементов (см. рис. 3), а вариационные уравнения решали методом конечных элементов [7].

Приняли, что в пределах каждого элемента температура изменяется линейно:

Г-С, + С2г + Суг. (6)

Для произвольного треугольного элемента с вер пинами к коэффициенты С\... Сз выражали через значения температу ры и координат его вершин следующим образом [5, 6]

С, [{гк -г/гк+ (г1гк-гк2,У, + (г,г, -глх,)гк\

С, =

2Ь\

[(о ~гкУ,+(г* +(г/ ~г)Ук\

(7)

где 2/^ = 2,(г, - гО + 2/гк - г) + 2к(п ' Г) .

За основные неизвестные приняли значения температуры в вершинах треугольных элементов, а интегрирование по площади и контуру меридионального сечения заменили суммой интегралов по треугольным элементам и их сторонам. Тогда выражение для функционала (5) можно представить в следующем виде:

М+А'-^.м) . («)

/2 =л£ |у(Г-2())7>^/5.

Неизвестные значения температуры в вершинах треугольных элементов, согласно (4). определяли из условия минимума функционала

м

дт 2-

-о,

/ = 1.2.3...N .

(9)

Лит

Рассмотрим произвольный треугольный элемент, имеющий вершины с номерами /. у. А:. Подставляя выражение для темг.ературы (6), с учетом соотношения для коэффициентов (7), в интеграл по площади треугольного элемента и дифференцируя, получим

= 2л д« (¿с, дСу

[л; дг, дг,

+ (¿с. дСу дСъ

"аг.Иг* !г, Ж ^

аг, ¿гк аг, /

Т>]\пЫг

дГ.

л,:

(10)

р= Г Г 'гЬКагХлл.

¿Ц-91 )

Предположим, что сторона у рассматриваемого лреугольного элемента совпадает с границей тела. В точках / и у значения коэффициентов теплоотдачи а, и а„ а также температуры среды £), и считали известными. Изменения параметров между углами аппроксимировали линейной функцией. Тогда производная от контурного интеграла по температуре /-го узла примет вид (5)

Ох яг.

= ^^ч/ф, -е.)(а,(2,;+г /2)+а>, /2 + г, /3)]+

V ' / Дт

+ (7,,-0|)х[а1(г|/2 + г//з)+а/(г(/3 + г;/2|

(П)

где /,, - длина стороны /у треугольного элемента.

Если с границей тела совпадают две стороны // и /Аг треугольного элемента, то производная от контурного интеграла по температуре принимает вид

-в.Ьлфг, +Г,/2)+/,(2г, + г, /2)) +

л, ; „ 5

+а, -/„(г,/2 + г(/з)+а4 -(/-, /2 + г, /3)] + (г, -6,»,(г, /2 + г, /з)+ (II и) + а>, /3+г, /г)| + (Г, -9, У Л/, (г, /2 + г, /3)+ а, (г, /3 + г, /2)]}.

то

В случае, если ни одна из сторон элемента не лежит на границе меридионального сечения.

ей

сТ.

»/

Дя»

Если соотношения (10) и (11) записать для момента времени / + Л/, то получим систему алгебраических уравнении Л'-го порядка относительно неизвестных значений температуры в узловых точках:

XI £)<ж) + - //<(") + А1т)(/ - Л/) + аЬм)(/ + Д/) 7;(->(/ + д/)+ »1-1 I - '

т-1 [

+[д!т) + 4ж)('+дОк?"^+д0+[д^ + +д/)]г4м('+д/)}=

(12)

= №(' + *)+ 4Я)(< + *))>. (/ + А/)+ + + А/)};

/' = 1,2,3..7?.

Решение системы уравнений (12) показывает распределение температуры в теле для момента времени / + А/ (при известном ее распределении в момент времени /). Процесс вычисления температурного поля будет устойчивым при соблюдении условия [5. 6]

После того, как распределение температуры в системе стало известно, перейдем к рассмотрению распределения полей напряжений и деформаций. Принимаем следующие допущения:

- температуры на границе контакта элементов опоры одинаковы;

- при работе опоры имеет место осесимметричный нагрев цапфы;

- упругие свойства композитного материала основы вычисляли методами осреднения [8]. т. е. .микронеоднородный материал при расчетах заменяли однородными с усредненными характеристиками.

Находящаяся в естественном ненапряженном состоянии цапфа подвергается действию неравномерного вдоль радиуса и по длине осесимметричного температурного поля. Определение напряженно-деформационного состояния элементов опоры проводили мри фмксироиамных моментах времени и соответствующих значениях температуры. При этом напряженное и деформационное состояние в каждой точке системы характеризовали компонентами тензоров напряжений ®гг, ст„, ст.„ деформаций е-, ет е„, е.Л и перемещениями и и и\

В теории малых упруго-пластических деформаций при активных процессах нагружения связь между компонентами напряжений и деформаций определяется известными соотношениями [9]

Символ (г, г, /) означает, что остальные соотношения получаются путем перестановки этих обозначений. Здесь а,„ £,* £„ - среднее нормальное напряжение, средняя деформация и чисто тепловая деформация соответственно

А1 й тт

•; / = 1,2...Л" .

(13)

сг,. - Оо = 1/Ц1 (е- - е„). (г. г. 0 ; о:г = Му Е,г; ст0 = Н (е„ - е„).

(И)

6Г =аг(Т-Т0\

где И - модуль объемной упругости; у„ = у„ (Т) - коэффициент линейного термического расширения. 7*0- температура элемента тела в ненапряженном состоянии; ц/ - функция пластичности, определяемая соотношением [9]

= (16)

где 5 и Г - интенсивности напряжений и деформаций соответст венно, которые выражаются через напряжения и деформации следующим образом [9]:

(17)

При этом полагаем, что скалярные свойства напряжений определяются выражением

5 Т. 0, (18)

которое не зависит от вида напряженного состояния и определяется экспериментально по кривым растяжения образцов при постоянной температуре. Зависимость интенсивности напряжений от времени определяется величинами температуры и внешней нагрузки, а также продолжительностью работы опоры в данных условиях эксплуатации. При простом растяжении

Л '

(19)

где

. 1 о

ц =0,5--7-г—.

40(\ + и) 8

Для решения поставленной задачи воспользуемся вариационным уравнением Лагранжа [5, 6], которое для рассматриваемого случая нагружения принимает вид

5Э = 6

]||Яе2+2|1г</Г-3//£(А

о ^

^ =0 .

(20)

Данное уравнение выражает принцип минимума потенциальной энергии Э тела, что эквивалентно уравнениям равновесия и статическим граничным условиям. Функция пластичности у нелинейно зависит от интенсивности деформаций, поэтому вариационное уравнение (20) нелинейное. Для его линеаризации воспользуемся методом переменных параметров упругости. Тогда линеаризованное выражение для потенциальной энергии Э тела в п приближении запишем в виде

Э<") = I + ч-е!;1,)+ + ¿{"'»(фМ + «ЬУ? + е<")е(;>)+

^ у

+ В^ + в£} + е<гл))]с/К - \{рк*{п) + рпги(,,))с/п-¡{иУ"} + Н^и^У -Э, -Э„

где

Минимум выражения (21) находим методом конечных элементов [7]. для чего, как и в случае решения задачи теплопроводности, разбиваем область сечения узловыми окружностями на М кольцевых элементов треугольного поперечного сечения. При этом разбиение системы на элементы осуществляли таким образом, чтобы каждый элемент состоял из одного материала.

Предположим также, что в пределах каждого компонента тела компоненты вектора перемещения изменяются линейно:

и- = С а + С*2 + О ;

и = С7 + С«2 - С> . (22)

За основные неизвестные примем значения перемещений и координат вершин треугольных элементов. Из решения уравнений определяем коэффициенты С

Знак зависит от направления обхода треугольного элемента, при обходе против часовой стрелки эта величина всегда положительна и равна площади элемента.

С4 = тг^г [(% - г,гк К + (гЛ - 2,Гк V,. + (г 2,-г,2) К }

¿- 1

6

[(^-г К + КК}

С7 = Т7- V, + (гА - 2/, )/, + {г,2, -2 Г, )<к } С9 = — [(гк - 2, К + (2,-2к )и1 + (г, - }

(23)

где

р* =4Мг<~г*)+г>(г* -г.)+г*(г.-г.)]

Из условия минимума (20) получаем систему IV алгебраических уравнений для каждого значения перемещений в узловых точках:

Л.^.О-

¿4 ' А., " ' (24)

где /=1, 2 ... Л'.

В результате решения системы уравнений определяем компоненты узловых перемещений, постоянные С4... С? и, следовательно, компоненты тензоров деформаций [8]

£

ги = —+ С8 - + С9; е.. = С5; г г

£гг =0,5(С6+СД Г.„ =С9

и напряжений

2+Ну

Зу е _ = 2 + Ну

2 +Ну 8 Х-***

ЗУ " 2 +Ну

_ 2 + Ну - _1-Ну,

ЗУ», С" 2 + Ну

1

Функцию пластичности ц/ вычисляли по известному деформированному состоянию (25) в теле и диаграмме напряжений а~е для соответствующей температуры. В качестве критерия сходимости процесса последовательных приближений выбрали условие (7) процесс последовательных приближений прекращался, если в двух последующих приближениях относительнее изменение интенсивности деформации (13) не превышало во всех точках принятого разбиения заданного числа.

Изложенная методика позволяет определить полную картину напряженно-деформированного состояния и распределения температурных полей в элементах опоры. Методика состоит из следующих элементов:

- пространственного положения элементов подшипниковой опоры, задаваемого величиной зазоров в подшипниках, соответствующих закономерностям изнашивания долота:

- зависимости распределения физико-механических свойств материала в поверхностном слое и объеме, формируемой технологическим воздействием при изготовлении:

- зависимости напряженно-деформированного состояния опоры, определяемого режимом работы долота.

Полученная информация позволит:

- принять конструктивные решения по минимизации влияния контактных напряжений;

- сформулировать технологические требования к свойствам поверхностного слоя грибо-сопряжений опоры и технологические методы их формирования;

- определить предельное состояние долота по критерию максимальной величины контактных напряжений в подшипниках опор.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боярских Г. А., Кук.шн Л. Г. Теория старения машин. Екатеринбург: Изд-во УГГГА, 1998.

191 с.

2. Гаркунов Д. Н. Триботехника. М.: Машиностроение. 1988. 424 с.

3. Пяльченков В. А. Повышение работоспособности шарошечных долот путем рационального распределения нагрузок по элементам вооружения: Автореф. дис.... канд. техн. наук. М.: МИНХиГП, 1983.

4. Торгашов А. В., Пугач В. В., Морозкнн В. А. Исследование объемного напряженного состояния долота с целью снижения металлоемкости и оптимизации использования проката черных металлов: Отчет ВНИИнефтемаш. НИР 0251-88-127. М., 1989.

5. Лыков А. В. Теплообмен: Справочник. 2-е изд., пеосраб. и доп. М.: Энергия. 1978 479 с.

6. Решение осеснмметрнчной залами термопласт и мности лля тонкостенных и толстостенных тел вращения на ЕС ЭВМ / Ю. Н. Шевченко, М. Е. Бабешко и др. // Киев: Наукова думка. 1980. 196 с.

7. Одси Дне. Конечные элементы о нелинейной механике сплошных сред: Пер с англ. М.: Мир. 1976.

487 С.

8. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеодноролных сред. М.: Наука. 1977. 399 с.

9. Малинии Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. 2-е изд., перераб. 'Л доп. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.