CC BY
9
ТЕОР1Я I МЕТОДИ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛ1ННЯ
TEOPiH i МЕТОДИ АВТОМАТИЧНОГО УПPABЛiHHЯ
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
THEORY AND METHODS OF AUTOMATED CONTROL
УДК 621.036.6
C.B. Галько
МЕТ0Д0Л0Г1ЧН1 АСПЕКТИ МОДЕЛЮВАННЯ СКЛАДНИХ ДИНАМ1ЧНИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦП' НА 0СН0В1 ОРТОГОНАЛЬНИХ РЯД1В В1НЕРА-В0ЛЬТЕРРА
В po6omi розглядаеться методолог1чний nidxid матема-тичного моделювання складных (багаmoмiрнux) стацюнар-них нелiнiйнux систем автоматизацп з кiнцевoю пам'яттю на базi вiдoмux меmoдiв iденmuфiкацi'i дuнамiчнux oб'eкmiв. На oснoвi маmемаmuчнoгo апарату рядiв Втера-Вольтерра omрuманo математтну модель опшу дuнамiчнux xаракmе-рuсmuк нелiнiйнux систем об'емноЧ (прошарковоЧ) oбрoбкu iнфoрмацi'i.
При виршенш задач тдвищення якост динам1чного функцюнування систем автоматизацп та електрифжацп технолопчних процеив важливе м1сце займають задачу що пов'язаш з тдвищенням ефективност автоматизова-них систем управлшня, автоматизащею проектно-кон-структорських робгг i метод1в контролю якоси та шш. Реал1зац1я вказаних задач потребуе рiшення низки проблем, серед яких видтяються дослiдження функ-цiонування складних систем (в т. ч. i людино-машинних комплексiв) як при безпосереднш експлуатацп, так i на етат розробки (проектування). Вирiшення вказаних задач незалежно вщ фiзичноi сутi об'екту дослiдження або проектування визначаються можливостями формаль зованого 1'х уявлення, тобто ршенням задач iденти-фiкацil та моделювання системи, що розглядаеться.
Аналiз традицшних методiв iдентифiкацil та моделювання, що використовуються, показуе, що вони: розро-бленi стосовно до окремих, досить вузьких клаив систем, машин, пристро'1'в; часто не забезпечують необхщно! точностi, особливо у випадку, коли 1х використовують до класу явно нелшшних систем; не мають властивостей
ушверсальносп, в т.ч. й по вщношенню до математич-них i фiзичних засобiв виршення задачi в цiлому; як правило, потребують апрюрних знань про структуру i параметри системи. Особливо важливе значення задачi iдентифiкацi1' i моделювання мають при розглядi складних динамiчних об'eктiв, апрiорнi вiдомостi про яю е незначними або недостатшми, або данi про 1х структуру носять емтричний характер.
Математичнi методи, що засноваш на розкладi у функцюнальш ряди вихiдних сигналiв (вихщно! iнфор-мацй) при завданнi вiдомих вхiдних (керуючих, збурю-ючих i т.i.) впливiв мають унiверсальнiсть и статистичну об'ектившсть описання системи, що дослщжуеться.
1з вiдомих на цей час методiв iдентифiкацi1' Л. фон Берталанф^ Р.Л. Акофа, М.Д. Месаровича, П. Ейкхоффа, Н. Райбмана та шш. [1, 2], що дозволя-ють будувати адекватш математичнi моделi з наперед заданою точнiстю для великого класу об'екпв, якi мають кшцеву пам'ять, найбiльш унiверсальним й шформатив-ним е метод, запропонований Н. Вшером [3] для аналiзу i синтезу нелiнiйних систем. Метод е теоретикоекспери-ментальним, включаючи, власш випадки, в якому широко використовуеться теорiя лiнеаризованих систем. Вш дозволяе проводити дослiдження безпосередньо об'екта, що розглядаеться, та по знайденим динамiчним характеристикам (ядрам Вшера) будувати його адекватну мате-матичну модель. Основа тдходу, що використовуеться, полягае в тому, що вихщний сигнал нелiнiйно1' системи з кшцевою пам'яттю при впливi на i'i' вхiд сигналу типа
118
ISSN 1607-3274 "Радтелектронжа. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2003
С.В. Галъко: МЕТОДОЛОГ1ЧН1 АСПЕКТИ МОДЕЛЮВАННЯ СКЛАДНИХ ДИНАМ1ЧНИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦ11 НА ОСНОВ1 ОРТОГОНАЛЬНИХ РЯД1В В1НЕРА-ВОЛЬТЕРРА
"б1лого" гаусовського процесу однозначно представля-еться у вигляд1 ряду, що складаеться з ортогональних функцюнал1в. При цьому система повшстю описуеться в1дпов1дним 1Й набором ядер Вшера, а и модель складаеться з амейства нелшшних перетворювач1в (ортогональних функцюнал1в), юльюсть яких залежить в1д об'екта дослщження та в1д необх1дно1' точност1 моделювання.
У вщповщносп з цим тдходом, вихщний сигнал у(г) е функцюналом 5 з величинами, що залежать в1д вх1д-ного сигналу ы'з(г) , який надходив до даного моменту часу £,
у(г) = я{ы'з(г) ,
п = 00 0
1 = 1
Розклад (3) представляеться бшьш простим, якщо вико-ристати розклад Стильтьеса вигляду
(1)
у(г) = К0 + ^ (т)ы3(г - т)*ы3 + | |к2(х1,х2)х 2 0 „ 0 0 х П ы3(г - т1)*т1 + И |к3(т1'т2'т3)х (6)
1 = 1 0 0 0
3
х П Ы3(г - т1)+ -, 1 = 1
де К0, К^т), ^(т^ Х2), К3(т 1, Т2, Т3) - ядра Вольтерра системи, як1 представляють собою симетричш функцп.
Таким чином, запропонований Н. Вшером тдхщ до побудови моделей нелшшних систем забезпечуе 1'х реал1-защю на основ1 ядер Вольтерра операторним методом
де ы' 3( г) - обмежена функщя, що дор1внюе значенню ве-личини Ы3 на момент часу г - т
ы'3(г) = ы3(г - т) . (2)
Вихщний сигнал представляеться полшом1альним рядом, при цьому вираз 8 = ^ ФпЫ3 е рядом Тейлора.
п = 0
Для подальшого анал1зу 1 синтезу системи, наприклад, якост1 електродно! продукци в металургп, обмежеш однорщш полшом1альш функцюнали степеш п пре-дставляються символ1чним штегральним представленням Вольтерра [4]
8 + и3 х К ^ У,
(7)
де К - множина, елементами котро! е набори ядер; множина вх1дних вплив1в; У - множина вих1дних вплив1в. Кр1м того, розклад (6) показуе, що вш дае можлив1сть визначити ядра Вольтерра незалежно один в1д одного.
У нашому випадку, система е багатом1рною, а тому по Н. Вшеру сигнал Ы3(г) е прошарково-ор1ентованим 1 його можна единим способом представити у вигляд1 каношчного розкладу по функцюналам в1д випадкових функцш. Таким чином, вих1дний сигнал у(г) стацюнар-но! нелшшно1 системи з кшцевою пам'яттю представляеться ортогональним розкладом виду
фпЫ3 = |-|Кп( )П Ы3(т?) dтf, (3)
0 0 1 = 1
у(г) = £ ОпЫп, Ь(г)]
п = 0
(8)
при цьому символ1чний штегральний розклад Тейлора приймае вигляд
8ы3 =1 |-К( г,т1,...,тп )П Ы3(т) *тг, (4)
де Ь(г) - випадковий сигнал, отриманий у вигляд1 реакци на збурення стацюнарного лшшного сигналу виду Ы3(г) ; {gn} - наб1р ядер Вшера; Оп - множина ортогональних функцюнал1в, п = 0, 1, 2, ....
Ортогональна властив1сть С-функцюнал1в виража-еться в тому, що 1'х математичне оч1кування
М[ Оп [gn, Ь (г)] От Ь (г)]] = 0,
(9)
для будь-яких т Ф п .
Загальний вигляд ортогонального функцюналу п-о! степеш мае вигляд [5]
~ г г
8Ы3 = ^ ¡-^п(г,т1'.'тп)*Ы3(т1Ы(тп) . (5)
п = 00 0
У зв'язку з цим, зв'язок м1ж вх1дним сигналом Ы3(г) та реакщею у (г) стацюнарно!', анал1тично1', нел1н1йно! системи з кшцевою пам'яттю, можливо задати сшввщноше-нням виду
Оп[gn, ь(г)] = I- ]>п(т1,-Лп)*Ь(т1)-*Ь(тп) -
[п] , 0 0
-I
V = 1
(п - IV)!2^1
Оп 2 V х
^п(т1, -, тп - V, °1> °1' О2, °2' -, Оv' Ov)dOl-
.0 0
.dov;ы3( г)], (10)
г г
п
~ г г
п
х
TEOPIß I METOДИ ABTOMATÈ4HOrO УПPABЛIHHЯ
дe
n
npu ^napM-Guy;
ння iнфopмaцiï кoтpиx визнaчaeтьcя cпiввiднoшeнням
2
( n - 1 )/ 2 npu n-нenapнGмy. M
Пepшi чoтиpи Gn -фyнкцioнaлa y вiдпoвiднocтi з (10) I2(u3'У) = I2(x'У) =Z(-1 )p + 1p 4gp(x'У'Xp' Yp)x
мaють вигляд
p = 1 E2p
n
G0 [g0' b ( t)] = go; (11) хД I2 ( X1 j' y1j ) dx 1 j' dy 1j
G1[g1' b(t)] = "g (t)db(T) ; (12)
j = 1 (17)
дe
gp( •••) = JHHЧ(x-x2'У-У2)nHBЧ(x2-x 1 у'У2—У1 j)dx2dy2
^ ^ ^ E2p j = 1
G2[ g2, b ( t)] = J Jg2 (Tj'T2 )db (Tj ) db(T2 )- g2 (т1'Т2 )dT,;(13) - яДPo P-гo пoPяДкУ PBB;
0 0 0 Xp = {x11' x12' ■ • •' X1 pYp = {У11'У12'-' У1 p},
»»» H h Ч' HB ч - фyнкцiï cпoтвopeнь низькoï тa виcoкoï чac-
G3[g3'b(t)] =Ц Jg3(T1'T2' T3)db(T1)db(T2)db(T3) - тoти вiдпoвiднo; I^, I2 - мacиви iнфopмaцiï.
0 0 0 (14) Bизнaчaeмo ro (16) oпepaтop p-гo пopядкy y виглядi -3 J Jg3(Tj, T2, T3)db(T1 )db(T,) •
00 Iop( X' У ) = Jgp( •••)]! I1(X1j' Уу ) dX1jdy1j . (18)
Лi тa Шeтцeнoм мeтoдoм взaeмнoï кopeляцiï зaпpoпo- E2p j = 1
нoвaнo мoдифiкoвaний poзклaд [1]. Суть fore в тoмy,
Toдi виpaз, щo oпиcye динaмiчнi xapaKrep^rnM
щo вoни ввeли в poзгляд yзaгaльнeнy пoxiднy вiд OTraa-лу b(t), якa бyдe являтиcя "бтим" гaycoвcьким пpoцe- (ДX), пpиймe вигляд
coм, тoбтo u3 = Gdb-(t- . Пpи тaкoмy пpeдcтaвлeннi M
. „ dt I2(x,У) =Y (-1 )p + 1p-1Iop(x,y) . (19)
виxiдний cигнaл cиcтeми oпиcyeтьcя poзклaдoм виду 2 op
p = 1
У(t) = yi g [h u (t)] , (15) ^и викopиcтaннi ceпapaбeльниx фтм^в тa вxiдниx
¿~¡ n n 3 впливiв виpaз ДХ визнaчaeтьcя y виглядi cyми мнoжин
n=0
тaким чинoм зaгaльний poзклaд для opтoгoнaльнoгo фyнкцioнaлa n-oï cтeпeнi пpиймae нacтyпний виpaз ^(x,У) (-1 )p + 1p1Iop(x)Iop(y) , (20)
p = 1
M
Gn [ hn, u3( t)] = \...\hn {Tv...,Tn )П u3( t - Tl ) dTl X Дe Iop(x ) Iop(y ) - oДнoмipнi КОМПОШЖШ oпepaтopa
0 0 l = 1 Iop(x, У) = Vx)Iop(y) .
[j] Hexaй в якocтi вxiдниx мacивiв викopиcтoвyютьcя
n! Nv ceпapaбeльнi cигнaли cинycoïдaльнoгo виду низькoï чac-
X S ( n - 2v)! 2vvGn- 2v X (16) тoти, як y cffine^i aнaлiзy якocтi eлeктpoднoï пpoдyкцiï,
v = 1 poзpoблeнa aвтopoм цieï cтaттi [6,7]. Toдi то виpaз,
кoт-pий oпиcye динaмiчнi xapaктepиcтики, мae вигляд
I1(x,y)=IвX(X'У) = uxuy(1 +mxsinœxx)(1 +mysin®yc), (21)
J... Jhn(T1, ■ .., Tn -2v, G1,°1, G2, °2, ■,Gv, °v)d° 1
.0 0
■ ••dOv;u3(t)], aбo пpи eкcпoнeнцiaльнo-cинycoïдaльнiй фopмi вxiднoгo
мacивy
дe N - iнтeнcивнicть "бiлoгo" шуму.
Taким чинoм, нa ocнoвi мaтeмaтичнoгo aпapaтa pядiв N1 N2
Biнepa-Boльтeppa (PBB) пpeдcтaвляeтьcя мйжливим ^X^x,У) J] uxkuynexp(Yk + Yyny)■YXy =
визнaчaти динaмiчнi xapaктepиcтики нeлiнiйниx cиcтeм к = 1 n = 1
oб'eмнoï (пpoшapкoвoï) oбpoбки iнфopмaцiï. _ . _ <—— (22)
Poзглянeмo xapaктepиcтики cиcтeм, виxiднe зoбpaжe- xy jexy; j * •
n
120
ISSN 1607-3274 "Paдioeлeктpoнiкa. Iнфopмaтикa• Упpaвлiння" № 2, 2003
С.А. Дубовик: ВЕРОЯТНОСТНО-АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОМПОЗИЦИОННОГО СИНТЕЗА В СООТНОШЕНИИ С ПРОЦЕДУРОЙ РОБАСТНОГО - УПРАВЛЕНИЯ
Реакщя фшьтра низьких частот (ФНЧ), що вщокре-млюе шформативний сигнал, розраховуеться за допомо-гою двом1рно! згортки
I1(x, y) = ¡HH4 (x, y, x1; y1 )Iea(x1, y1) dx1 dy1, (23)
E2p
де E2 - двом1рний прошарок; Hhц(x,y, xi, yi) - функ-
щя спотворень ФНЧ (двом1рна 1мпульсна характеристика).
Пристрш логарифмування формуе ампл1тудну характеристику виду I2(x, y, Ii) = ln [ 1 + Ii (x, y)] , яка апроксимуеться усченим рядом Тейлора
M
I2(x,y)=£ (-1 )p + 1p-1 Ip(x,y^ p = 1
(24)
при цьому под1бне розкладення може використовуватися i при шшш амплггуднш характеристик в блощ нелшш-ность Шдставляючи спiввiдношення (21) у (22) i розра-ховуючи двомiрну згортку з Ie% , визначаемо
M
Ьих(x. y) = £ (-1 )p + 1p-1\gp(x, y, XP, Yp)x
p = 1 E2p
n
X П HH 4 (x2 - xj y2 - y1j) dx2 dУ2, j = 1
(25)
де gp(x,y, Xp, Yp) - ядро РВВ р-го порядку.
Отриману модель можна використовувати при побу-довi систем контролю складних динамiчних багатомiр-них об'екпв автоматизацi'i i контролю якосп промисло-во'1' продукцИ, особливо на основi графiту. На базi роз-роблених моделей сепарабельних фiльтрiв (17), (20),
(25), автором статп запропоновано двi структури фiль-трiв низько'' i високо'' частот у виглядi розподiльних структур та кругових фтк^в, мова про якi пiде у наступних роботах.
ПЕРЕЛ1 К ПОСИЛАНЬ
1. Современные методы идентификации систем / П. Эйкхофф, А. Ванечек, Е. Савараги, Т. Соэда и др.; Под ред. П. Эйкхоффа.-М.: Мир.-1983.-400с.
2. Исследование по общей теории систем / Сб. перев. с англ. и польск. А. М. Микиши, Б. В. Плесского, Г. Л. Смолина, Б. А. Старостина, Б. Г. Юдина, Н. С. Юлиной; Под общ. ред. В. Н. Садовского, Э. Г. Юдина.-М.: Прогресс, 1969.-520 с.
3. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов.-М.: Иностранная литература.-1961.-324с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Пер. со второго американского перераб. изд. Под общ. ред. И. Г. Арамановича.-М.: Наука.-1974.-832с.
5. Анго А. Математика для электо- и радиоинженеров.-М.: Наука.-1967.-780 с.
6. Галько С. В. Системотехшчш основи побудови вим1рювач1в немагштних матер1ал1в // Труды ТГАТА.-Мелитополь.-1999.-с.64-71.
7. Галько С. В. Математичш основи побудови структури електромагштних вим1рювач1в немагштних матер1ал1в // Труды ТГАТА.-Мелитополь.-1999.-с. 72-76.
Надiйшла 15.09.2003 Пiсля доробки 15.10.2003
В работе рассматривается методологический подход математического моделирования сложных (многомерных) стационарных нелинейных систем автоматизации с конечной памятью на базе известных методов идентификации динамических объектов. На основе математического аппарата рядов Винера-Вольтерра получена математическая модель описания динамических характеристик нелинейных систем объемной (пространственной) обработки информации.
In operation the methodological approach of mathematical simulation of multivariate stationary nonlinear systems of automation with final memory on the basis of known methods of identification of dynamic plants is considered. The mathematical sample piece of exposition of dynamic responses of nonlinear systems of a volumetric information is obtained on a base of a mathematical means of series (lines) of Wiener-Wol-terra.
УДК 681.5
С.А. Дубовик
ВЕРОЯТНОСТНО-АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОМПОЗИЦИОННОГО СИНТЕЗА В СООТНОШЕНИИ С ПРОЦЕДУРОЙ
РОБАСТНОГО Н00 - УПРАВЛЕНИЯ
Рассматривается задача стабилизации одного из состояний равновесия нелинейного слабо возмущенного объекта в условиях полной информации о векторе состояния. Для решения задачи предлагается вероятностно-асимптотический метод, основанный на функционале действия. Данный подход сравнивается с гарантированным управлением, являющимся решением задачи робастного H0
синтеза.
ВВЕДЕНИЕ
В задачах управления движением типичной является ситуация, когда объект описывается нелинейным слабо возмущенным уравнением. Нормальное функционирование системы в такого рода случаях связывается с одним
