CC BY
17
I. ЕЛЕКТРОТЕХН1КА
УДК007:681.516.4
А. О. Лозинський1, Л. I. Демш2
1Д-р техн. наук, професор НУ «Льв1вська полтехшка» 2 Канд. ф!з.-мат. наук, старший викладач НУ «Льв1вська полтехнка»
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ВПЛИВУ ПАРАМЕТР1В ФУНКЦ1Й НАЛЕЖНОСТ1 НЕЧ1ТКОГО РЕГУЛЯТОРА З1 СФОРМОВАНОЮ НЕСТ1ЙКОЮ П1ДСИСТЕМОЮ НА ПРИКЛАД1 ДВОМАСОВО1 ЕЛЕКТРОМЕХАН1ЧНО1 СИСТЕМИ
Розглянуто динaмiчну систему, що складаеться з двох тдсистем, одна з яких нестшка. Достджено вплив вигляду функци належностi нечткого регулятора на функщонування електромехашчног системи. Визначено оптимальш значення nараметрiв функцш належностi.
Ключов1 слова: нечтка погта, функщя належностi, стандартш тншш форми, оптимальне керування, синтез регупяторiв.
ВСТУП
На практищ досить складно отримати точш матема-тичш моделi бшьшосп фiзичних систем через 1хню складшсть та iснування в них невизначеностей. Електро-механiчнi системи переважно за своею природою е не-лшшними. Вiдомi методи, що дозволяють перевiряти на стiйкiсть так1 системи, не дають можливост синтезувати 1х i навпаки. Нервдко при дослiдженнi стшкосп динамiч-них систем задача значною мiрою ускладнюеться через rромiздкiсть вае1 системи.
Застосування систем зi змшною структурою з вико-ристанням режиму ковзання надае системi новi пози-тивнi властивост так1 як нечутливють до змiни параметрiв системи, зовшшшх збурень та швидк1сно! динамiчноl поведшки системи (див. напр. роботи таких авторiв: В. I. Утк1н [1], J. Guldner [2], K. Astrom, B. Wittenmark [3], J. Slotin, W. Li [4]).
Застосування нечiткоl лопки дозволяе вирiшити ряд задач яш не можна було виршити засобами класично! теори керування. За допомогою такого тдходу можли-вим е плавний переход вiд одних налаштувань регулятора до iнших або навпъ до шшо1 структури регулятора в про-цесi роботи системи.
Дослщженню систем адаптивного керування з не-чiткою лоriкою присвячуються роботи, зокрема, C. Su, Y. Stepanenko [5], J. Spooner, K. Passino [6] та ш., а питан-ня синтезу оптимального керування системами з змшною структурою дослщжено, зокрема, в роботах [7, 8], проте в них не дослщжено питання багатокрш^ально1 оптимтци. В [9] дослвдження обмежене системами другого порядку, що суттево обмежуе коло використання результатiв, робота [10] присвячена алгоритмам визна-чення точок множини Парето. Одним з важливих питань при багатокрш^альнш отишзаци е питання визначен-ня вагових коефiцiентiв впливу кожного з критерпв. Ме-© А. О. Лозинський, Л. I. Демюв, 2012
тодика вибору таких коефщенпв запропонована, наприк-лад, в [11]. Але тут, так само як i в [9, 10] дослщження обмежусться випадком посгiйних вагових коефщенпв.
Для елекIромеханiчних систем у випадку керування за повним вектором стану системи застосовують принципи модального керування, а регулятор налаштовують так, щоб забезпечити одну з двох ввдомих стандартних форм. Найча-спше застосовують стандартну форму бiнома або Ботер-ворта. Покращення характеристик системи забезпечусться шляхом поеднання згаданих налаштувань регулятора м1ж собою в системах з нечгткими регуляторами, це дослвдже-но, зокрема в роботах Лозинського А. О. [12]. Подальший виграш можливий при використаннi на початковому етапi нестшко! системи. В багатьох випадках електромехатчну систему розглядають як двомасову, причому процеси в електромагттному конIурi не дослвджують [13].
Незважаючи на те, що в свгтовш науковiй лiтературi досить активно проводяться дослiдження стiйкостi дина-мiчних систем авторами не було виявлено жодних публ-iкацiй як1 б дослщжували системи з спецiально сформо-ваними неспйкими шдсистемами. Тобто даний тдхвд та пов'язанi з ним дослщження можуть започаткувати но-вий напрямок в синтезi динамiчних систем.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
Так само як i в [14], розглянемо нелiнiйну систему яку в загальному випадку можна описати за допомогою ди-ференщального рiвняння п-го порядку та застосовуючи техтку описану, зокрема в [15] можна одержати модель системи, що складаеться з кшькох незалежних тдсистем:
Х (') = / ( Х (*)) + 8 ( Х (*)) и (1 )+1 ( t) , (1)
де 4 (Г) - зовнiшнi збурюючi впливи, / (X (Г)) та 8 (X (Г)) -нелiнiйнi функци, описан в обласп робочих точок систе-
ми u (t) e Rn - вектор керуючих B^rniB. Використову-ючи техшку описану, наприклад, в [12, 16] можемо перейти вщ системи (1) до лшеаризовано! системи i сфор-мувати для всix точок вектор керуючих впливiв який виз-начаеться повним вектором стану або за допомогою модального регулятора.
Ax (t) = A* Ax (t) + B* Дм (t) ,
де Ax (t) = x (t)- x0 (t) ,Дм (t) = u (t)- U0 (t), x0 (t), м0 (t) -вектори в окот яких розкладаемо нeлiнiйнi функци в ряд Тейлора, A* =(ahJj = f, B* = (blJ)" , = . v J=1 Axj V hJ'i,j=1 AxJ
Модель системи можна побудувати використовую-чи стандартну систему вводу-виводу типу Такап-Суге-но [17]
R : IF x1 eM{ i x2 eM2 i... xn eM'n THEN X(t) = Aix(t) + Biu (t),
IF x1 e N i x2 e N2 i... xn e Nn THEN u (t) = K,x (t), i = 1,k,
де Ri - i-те правило, Mi, Nj, i = 1, k, J = 1, n - област роз-биття, A,,Bi,K, e Rnxn - матриш, що формують модель системи в окот певно! робочо! точки (локальна модель).
Використовуючи дeфазифiкацiю гравгтацшним методом отримаемо таку модель системи
i=1
x (t) = Z Vi (x) a, + Bi X цJ (x) KJ
J=1
де Vi = Vi (x) =
ПMj (xj (t)) n NJ (xj (t))
J-, Ц = Ц, (x) = J-
zn NJ (((t))
i=1 J=1
налeжностi x
(t)
до
zn MJ ( (t))
i=1 J=1
Mj (xj (t)), Nj (xj (t)) - функци
к к
вщповвдно! обласп Mj чи NJ, X V, = 1, X Ц, = 1. Тобто,
i=1 i=1 модель i-то! системи матиме вигляд
х (t) = (A, + BiKi) x (t).
Розглянемо класичну систему керування швидшстю за повним вектором стану (див. напр. [14]) та на li основi побудуемо модель двомасово! системи, що складаеться з двох шдсистем одна з яким нeстiйка. Для забезпечення плавного перемикання мiж тдсистемами та усунення ковзаючих рeжимiв при перемикант мiж пiдсистeмами застосовано функцш належносп як вагову функцш впли-ву кожно! з пiдсистeм на траекторп руху уае! системи.
Рис. 1. Схема системи модального регулювання швидюстю
Оскшьки мова йде про систему, що складаеться з лише двох шдсистем, то немае сенсу розглядати випадки внутршшх функци належносп (трапешевидно!, Гауса тощо). Тому проводячи дослiджeння було розглянуто лише випадки зовшшшх фyнцiй налeжностi, а саме L функци, агмо!дально! функци та функци запропонова-но! в статп J. Dombi [18] та дослщжено! в статтях P. Koprinkova [19, 20]. Розглянуто випадки коли в нечпгсо! щдсистеми е один та два кореш в правш швплощит.
Пд як1сними показниками фyнкцiонyвання системи тут розуштимемо значення iнтeгральниx показниюв якост
I1 = J e2 (t) dt; I2 = J te2 (t) dt;
0
T
I3 = J |e (t )| dt; I4 = J t|e (t) dt, 0 0
e (t) = ^ад - x (t)
(2)
де Т - час виходу на усталений режим тобто, фактично, завданням статтi е знаходження значення парамeтрiв функци налeжностi при яких показники (2) набувають мiнiмальниx значень, але оск1льки цi показники можуть набувати мiнiмальниx значень при рiзниx налаштуваннях регулятора, то для того щоб оцiнити як1сть функцюнуван-ня системи на основi багатокрт^ально! оптишзаци об-числимо узагальнений iнтeгральний показник якост
I = Z Y JIJ,
J=1
(3)
де коефщенти У у можна визначити або методом Паре-то-оптимальних рiшень або експертним чином. Покла-
демо у у = 0,25, ] = 1..4 .
Для проведення дослщження в 81шиИпк побудована модель системи, що зображена на рис. 2
Загальний вигляд характеристичного многочлена кожно! з шдсистем е добре вщомий (див. напр. [14])
H (р) = Р3 + Р2
LM1
1
TCTM 2
k12 +1
TCTM1
k11 + k13
TCTM1TM 2,
Рис. 2. Модель системи в 81ши1тк
У випадку налаштування щдсистеми на бiномiальну форму коефщенти кц, к^, кювизначаються за формулами (4)
кц = 3<в0Т]|
0 м 1,
к12 =| 3ю0--
ТСТМ 2
ТСТМ1 -1,
(4)
к13 = ТсТм 1ТМ2Ю0 - 3ТМ 1<0,
якщо ж тдсистем нестшка та мае лише один коршь у правш швплощиш то ц коефiцiенти приймають значення
к11 = ТМ 1<в0,
к12 = I -<2 -
ТСТМ 2
ТСТМ1 - 1,
(5)
к13 = -<^ТСТМ 1ТМ2 -ТМ 1<0,
де Ю0 = 4 - значення середньогеометричного кореня, Тм 1, Тм 2, Тс - сталi часу першо!, друго! мас та стала часу пружного елементу вщповвдно, що характеризують систему та описаш в [14].
Для уникнення ефекту гiперперемикання мiж шдсистемами було застосовано апарат нечто логiки. Перехiд мiж керуючими впливами шдсистем реалiзовано завдя-ки досладжуваним функдiям належностi, а саме:
1. Функшя належностi типу Ь (див. напр. [21])
Ь (х; а, в ) =
1, х < а,
(х - в)/(а - в), а < х < в, 0, х > в.
(6)
Параметри а та в визначають границ полярних зна-чень похибки, що вiдповiдають випадкам функщонування лише стшко! чи неспйко! пiдсистем ввдповвдно 2. Лiва агмо!дальна функцiя (див. напр. [22])
ц(х;а,в) =
е-а(х-в)
1 + е"а(х-в).
(7)
Параметр Ь визначае значення похибки при якому значення функци належностi дорiвнюе 0,5, а параметр а задае стутнь нахилу графiка функци належностi в точщ
^ (х; а,в ) = 0,5.
3. Параметризована функщя належносп (див. [18-20])
^ (х;а,в) =
0, х < с,
(1 - в)а-1 (Ь - х)а
(1 - в)а-1 (Ь - х)а + ва-1 (х - с)а 1, х < Ь.
(8)
Тут параметри с та Ь ввдповщають границ полярних значень похибки, параметер а задае стетнь нахилу гра-фта функци, а в - точка перегину криво! (див. [20]). Змша параметрiв та приводить не лише до зсуву чи масштабу-вання графiка функци належностi, а й до змiни 11 форми. Зокрема, при отримаемо частковий випадок функци (6).
Сформуемо оптимальну траекторш системи таким чином, що коли похибка велика працюе лише нестшка тдсистема, а коли мала - стшка. У всiх випадках дефази-фiкацiю проводитимемо однаково - спрощеним гравь тацiйним методом.
Дослвдимо вплив значень парамегрiв а та р на штег-ральт показники якосп (3).
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ У ВИ-ПАДКУ ОДНОГО КОРЕНЯ В ПРАВ1Й П1ВПЛОЩИН1
Було проведено моделювання повед1нки системи, що складасться з двох щдсистем з кожною з наведених функц1й належносп (6)-(8) при рiзних значениях параметрiв цих функцiй. Значення узагальненого iитегрального показни-ка якосп (3) у випадку функци Ь (6) зображено на рис. 3, а. При моделюванш значення входного сигналу було покла-дене рiвним одинищ. Для функци Ь дослвдження проводилось для а е[0,1], в е [а,1], що змiиюються з кроком 0,01 для кожного з пaрaметрiв незалежно.
Крiм того залежно вiд значень пaрaметрiв функци належносп змiнюeться також значення максимального перерегулювання. Цю зaлежнiсть проiлюстровaно на рис. 3, б. Бачимо, що характер змши величин, зображених на рис. 1 е подiбним. Такий же характер змши е i у показ-ник1в якосп з (2).
З проведених обчислень випливае, що система пра-цюе оптимально при значеннях а = 0,87; в = 0,88, при цьому ввдносне максимальне перерегулювання дорiвнюе 1,026, час входження в 5 % зону - 1,987 с., час першого досягнення заданого рiвня функцiонувaння - 0,879 с. На рис. 4, а, наведено, зокрема, траекторп руху системи у випадку налаштування на стандартну форму Батервор-
та, бшом та дослщжувану систему з оптимальними параметрами.
При цьому зм^ значення вихщного сигналу регулятора для випадку використання оптимальних пaрaметрiв функци нaлежностi
3
"опт (*) = Ек,х, (*), г=1
к, = Х°пт (() кЬт +(1 - Х°пт (()) кЬа(
стандартно! форми Батерворта та бшома зображено на рис. 4, б.
Шдабне моделювання поведiнки системи було проведено i у випадку лiво! агмо!дально! функцi! належносп (див. рис. 5). Для ще! функци було покладено а е[0,5; 5,0] з кроком 0,05, в е[0,0;1,0] з кроком 0,01.
Бачимо, що незважаючи на те, що система в цшому е стшкою, не при вах значеннях пaрaметрiв функцi! належносп вдаеться досягнути виходу на заданий рiвень
а)
и<0 1 / ,,-3 ......А.............................................................................................................]...........................
/ 1 / & :
у у 4 ■
V/ ■ ч\ 1 --—_
1, С
Рис. 3. Залежност величин вщ параметр1в функцй належност : а - узагальненого функцюнала якост системи; б - значення максимального перерегулювання
б)
Рис. 4. Результати моделювання: а - вихщш сигнали системи у випадку налаштування на
1 - форму Батерворта, 2 - бшом, 3 - Ь (и;0,87;0,88) (оптимальна траектор1я); б - вихщш сигнали регулятор1в 1 -
"Батерворт (^), 2 - "бшом (^3 - "опт )
Рис. 5. Результата моделювання системи при використанш лiвоi сигмощально! функци з рiзними параметрами:
1 - а = 0,7; в = 0,1; 2 - а = 1,0; в = 0,3;
3 - а = 4,0; в = 0,3; 4 - а = 3,0; в = 0,9; 5 - стандартна
форма Батерворта; 6 - бшом
функцюнування. Тобто, не при вах значеннях функци на-лежносп можна обчислювати значення штегральних по-казнишв якостi за описаною вище методикою. Проте, (рис. 6, а) для деяких значень таки вдаеться досягти виходу системи на задане значення вихвдного сигналу. Це пов'я-зано з тим, що коли похибка дорiвнюе нулю, значення ко-ренiв характеристичного многочлена залежить вiд значень параметрiв лiвоi сигмо!дально! функци (рис. 7), а не строго дорiвнюють -Ю0 як у випадку функцiй (6) та (8). Роз-подiл коретв показуе, що останнiй член характеристичного полшому не дорiвнюе <3, а визначаеться як ю^ • <01, де Ю01 - це коршь, який перемiстився з право! частини. Ввдповщно, значення сигналу в усталеному режимi буде
визначатися не як К/ ю3, а як Ку/ (<ою01) i буде бшьшим нiж отримане при стандартному налаштуванш системи. Таким чином, використання сигмо!дальних функцiй не завжди е доцшьним i тому необхiдним е формування функцiй перемикань в яких при похибках близьких до нуля керуючий вплив при одному з корешв який пере-бувае у правш пiвплощинi був рiвним нулевг
Значення лiво! сигмо!дально! функцi! належносп ц (0; а, в) не дорiвнюе одиницi, а залежить ввд параметрiв цiе! функци. Детальний вплив цих параметрiв на стшкють системи буде предметом подальших дослiджень.
Серед тих пар параметрiв функци належностi, що за-безпечують вихiд системи на заданий рiвень функцюну-вання, система працюе оптимально при а = 5,0; в = 1,0 (рис. 6, а). При цьому вщносне максимальне перерегулю-вання дорiвнюе 1,034, час входження в 5 % зону - 0,939 с., час першого досягнення заданого рiвня функцюнуван-ня - 1,01 с.
Значення вихвдних сигналiв регуляторiв для випадку оптимальних парамет^в функцi! належностi та налаш-тування на стандартну форму Батерворта i бiном зобра-жено на рис. 6, б.
а)
Рис. 6. Результати моделювання: а - вихщш сигнали системи у випадку налаштування на 1 - форму Батерворта, 2 - бшом, 3 - застосування лiвоi' сигмо!дально! функцй з параметрами а = 5,0; в = 1,0 (опт. трaекторiя), 4 - а = 3,5; в = 1,0, 5 - а = 5,0; в = 0,9, 6 - а = 5,0; в = 0,7; б - вихщш сигнали регуляторiв
1 - мБатерворт ) , 2 - Mбiном 3 - "опт (1)
Дослiдимо тепер вплив пaрaметрiв параметризовано! функцi! нaлежностi на яшсш показники функцiону-вання системи при цьому а е [0,5; 5,0] та змiнюеться з кроком 00,5, в е [0,1;0,9] та змшюеться з кроком 0,01.
Для визначення оптимальних значень функци належ-ностi обчислено значення тегрального показника якостi, див. рис. 8, а.
Величину ввдносного максимального перерегулюван-ня зображено на рис. 8, б. Бачимо, що характер змши значення вщносного максимального перерегулювання такий же як i в iнгегрaльних покaзникiв якостi.
З проведеного aнaлiзу випливае, що оптимальне фун-кцiонувaння системи вiдбувaеться при а = 5,0; в = 0,1 (рис. 9, а). При цьому значення вщносного максимального перерегулювання дорiвнюе 1,045, час входження в 5 % зону дорiвнюе 1,471 с., час першого досягнення задано! обласп функцюнування - 0,812 с. Значення вихвд-ного сигналу регулятора зображено на рис. 9, б.
Рис. 7. Розподш корешв характеристичного многочлена системи при застосуванш л!во'1 сигмощально'1 функци для випадку
x=0 при piзних значеннях паpамeтpiв
а)
б)
Рис. 8. Залежносп значень вщ паpамeтpiв функцй' налeжнoстi (8): а - штегрального показника якост (3) системи, б - максимального перерегулювання
На тдсташ проведених розрахунюв визначет кшьюст переваги використання дослщжуваних функцш належносп (див. табл.1) та пор1вняно застосування дослщжу-ваних функци з ввдповвдними оптимальними параметрами з випадком коли система налаштована лише на бшо-м1альний фшьтр або лише на фшьтр Батерворта.
У останшх шести стовпчиках таблиц обчислено час-тки величин, що позначен! в перших п'яти стовпцях. З табл. 1 бачимо, що функщя L (6) належносп забезпе-чуе виграш в пор1вняння з налаштуванням на бшом та на ф1льтр Батерворта. Проте у не! найб1льше серед трьох дослвджуваних функцш (6)-(8) ввдносне максимальне перерегулювання та час входження в 5 % зону майже вдв1ч б1льший за час першого досягнення заданого р1вня функцюнування. З шшого боку, л1ва сигмощальна функщя належносп мае найменше, з трьох дослвджуваних функцш (6)-(8), вщносне максимальне перерегулювання ( можна сказати, що воно зовам вщсутне, адже його величина менша за 5 %). Оптимальною з точки зору узагальнено-го 1нтегрального показника якосп е параметрична функщя, оск1льки за значениям узагальненого штегрального показника якосп вона практично не в1др1зняеться в1д функци L та забезпечуе значний виграш в пор1внянш з л1вою сигмо!дальною функщею належносп, адже ïï уза-гальнений штегральний показник якосп е меншим. При цьому вщносне максимальне перерегулювання в ще1 функцй' теж не виходить за меж 5 % зони.
а) б)
Рис. 9. Результати моделювання: а - вихщш сигнали системи у випадку налаштування на 1 - форму Батерворта, 2 - бшом, 3 - застосування параметризовано! функци з параметрами а = 5,0; в = 0,1 (опт. траекл^я);
б - вихщш сигнали регуляторiв 1 - «Ватерворт ^), 2 - «бшом (1), 3 - «опт (1)
Таблиця 1. Порiвняння кiлькiсного ефекту використання дослщжуваних функцiй належностi при вщповщних оптимальних
параметрах
3 я © Л1ва сигмо1дальна (Л) Параметризована (П) 1? s о (В м Багерворг (Баг) (В м ь-1 (В м ч (В м С L/Бат Л / Бат П / Бат
I\ 0,339 0,399 0,336 0,522 0,419 0,649 0,764 0,644 0,809 0,952 0,802
12 0,069 0,098 0,068 0,176 0,106 0,392 0,557 0,386 0,651 0,925 0,642
I3 0,478 0,589 0,483 0,789 0,604 0,606 0,747 0,612 0,791 0,975 0,800
14 0,165 0,300 0,161 0,465 0,299 0,355 0,645 0,346 0,552 1,003 0,538
I 0,263 0,346 0,262 0,488 0,357 0,539 0,709 0,537 0,737 0,969 0,734
t, с 0,879 1,010 0,812 1,662 0,915 0,529 0,608 0,489 0,961 1,104 0,887
t5% > C 1,987 0,939 1,471 1,662 1,420 1,196 0,565 0,885 1,399 0,661 1,036
max 1,026 1,034 1,045 0,988 1,069 1,038 1,047 1,058 0,960 0,967 0,978
ВИСНОВОК
Дослщження показали, що у випадку одного кореня у правш швплощиш краще застосовувати у неч1ткому регулятор1 параметричну функцш належносп . Проведен! розрахунки показують, що застосування запропо-нованого тдходу дозволяе забезпечити при пуску виг-раш у значент штегральних показниюв якосп до 1,86 раав при практично ввдсутньому перерегулюванш в по-р1внянн1 з налаштуванням на бшом та до 1,12 раз1в в по-р1внянн1 з налаштуванням лише на стандартну форму Батерворта, а для часткових критерив ц значення можуть бути ще бшьшими.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Utkin, V I. Sliding mode control design principles and applications to electrical drives / V. I. Utkin // IEEE Trans. on Industrial Electronics. - 1993. - V 40, No. 1. -P. 23-36.
2. Guldner, J. The chattering problem in sliding mode systems. / J. Guldner, V I. Utkin // Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and systems, MTNS2000. - 2000. - P. 346-350.
3. Astrom, K. J. Adaptive control / K. J. Astrom, B. Wittenmark. - Addison-Wesley, 1989. - 580 p.
4. Slotin, J. J. Applied nonlinear control / J. J. Slotin, W. Li. - Prenstine Hall, USA, 1998. - 461 p.
5. Su, Chun-Yi. Adaptive control of a class of nonlinear systems with fuzzy logic / Chun-Yi Su, Yury Stepanenko // IEEE Trans. on Fuzzy systems. - 1994. - V. 2. No. 4. -P. 285-294.
6. Spooner, J. T. Stable adaptive control using fuzzy system and neural networks / J. T. Spooner, K. M. Passino // IEEE Trans. on Fuzzy systems. - 1996. - V. 4. No. 3. -P. 339-359.
7. Буякас, В. И. Оптимальное управление системами с переменной структурой / В. И. Буякас // Автоматика и телемеханика. - 1966. - № 4.- C. 57-68.
8. Габасов, Р. Прямой точный метод оптимизации линейной динамической системы со многими входами / Р. Габасов, Ф. М. Кирилова, О. И. Костюкова // Автоматика и телемеханика. - 1986. - № 2.- C. 6-13.
9. Хабаров, В. С. Об одной задаче оптимального управления системами с переменной структурой /
B. С. Хабаров // Автоматика и телемеханика. - 1969. -№ 10. - C. 68-74.
10. Генкин, М. Д. Об одном подходе к многокритериальным задачам оптимизации / М. Д. Генкин, А. Я. Крей-нин // Автоматика и телемеханика. - 1988. - № 8.-
C. 146-155.
11. Александрова, И. Е. К решению многокритериальной задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов / И. Е. Александрова, Т. Е. Александрова // Проблеми автоматизованого електроп-риводу. Теорiя i практика. - 2001. -№ 10.- C. 168-170.
12. Лозинський, А. О. Дослщження стшкосп систем з регулятором Такап-Сугено-Канп / А. О. Лозинський, Л. I. Демшв // Проблемы автоматизированного электропровода. - 2008. - T. 30. - C. 89-90.
13. Лозинський, О. Ю. Синтез двомасових i тримасових систем автоматичного регулювання положення елек-тродiв при врахуванш випадкового характеру збу-рень. / О. Ю. Лозинський, Я. Ю. Марущак,
Я. С. Паранчук, Н. Ю. Попова // Львiвська полгтехт-ка. - 1997. - № 288. - C. 77-85.
14. Марущак, Я. Ю. Синтез електромехатчних систем з послвдовним та паралельним коригуванням / Я. Ю. Марущак. - Львiв : Львiвська полгтехнжа, 2005. -207 c.
15. Лозинський, А. О. Дослщження стшкосп систем з неспйкою тдсистемою (частина 1) / А. О. Лозинський, Л. I. Демюв // Електромехатка та електроенер-гетика. - 2010. -№ 1.- C. 19-29.
16. Лозинський, А. О. Аналiз стшкосп систем з регулятором Такап-Сугено / А. О. Лозинський, Л. I. Демюв. -Донецьк : 1П1111 МОН i НАН Украши «Наука i освгта», 2008. - T. 4. - C. 545-549.
17. Takagi, T. Fuzzy identificationof systems and its application to modeling and control / T. Takagi, M. Sugeno // IEEE Trans. ono Syst. - 1985. - V. SMC-15. No. 1. - P. 116-132.
18. Dombi, J. Membership function as an evaluation / J. Dombi // Fuzzy Sets and Systems. - 1990. - V. 75. -P. 1-21.
19. Koprinkova, P. Membership function shape and its influence on the stability of fuzzy control systems / P. Koprinkova // Cybernetics and Systems : An International Journal. - 2000. - V 31. - P. 353-371.
20. Koprinkova, P. Membership function shape and its influence on the dynamical behavior of fuzzy logic controller / P. Koprinkova // Cybernetics and Systems: An International Journal. - 2000. - No. 31. - P. 161-173.
21. Driankov, D. Wprowadzenie do sterowania rozmytego / D. Driankov, H. Hellendoorn, M. Reinfrank. - Warszawa : «Wydawnictwa Naukowo-Techniczne», 1996. - 320 p.
22. Piegat, A. Modelowanie i sterowanie rozmyte / A. Piegat -Warszawa: «Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT», 2003. - 678 р.
Стаття надiйшла до редакцп 27.04.2012.
Шсля доробки 09.09.2012.
А. О. Лозинский, Л. И. Дэмкив
Исследование влияния параметров функций принадлежности нечеткого регулятора со сформированной неустойчивой подсистемой на примере двухмассовой электромеханической системы
Рассмотрено динамическую систему, состоящую из двух подсистем, одна из которых неустойчива. Исследовано влияние вида функции принадлежности нечеткого регулятора на функционирование электромеханической системы. Определены оптимальные значения параметров функций принадлежности.
Ключевые слова: нечеткая логика, функция принадлежности, стандартная линейная форма, оптимальное управление, синтез регуляторов.
A. Lozynskiy, L. Demkiv
The influence of membership function's parameters of fuzzy controller with formed unstable subsystem on example of two-mass electromechanical system
A dynamic system consisted of two subsystems, one of which is unstable is considered. The influence of fuzzy regulator's membership function type on the electromechanical system is investigated. The optimum values of membership functions parameters are found.
Key words: fuzzy logic, membership function, standard linear form, optimal control, controller synthesis.
