CC BY
6
С. П. Гулт: ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТР1В АДАПТИВНО! МОДЕЛ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ КОМПОНЕНТ1В НА ОСНОВ1 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
УДК 621.382.3.72
С. П. Гулш
ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРА АДАПТИВНО! М0ДЕЛ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ К0МП0НЕНТ1В НА 0СН0В1 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Запропоновано метод визначення параметр1в адап-тивноЧ модел1, яка представлена анал1тичною трансцен-дентною функщею, на основ1 експериментальних характеристик двох- та багатополюсних нелтшних еле-мент1в. Отримат результати забезпечують задану точтсть моделювання широкого класу електронних ком-понент1в та пристроЧв в режимах малих та великих сиг-нал1в.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ!
Спектральний метод анализу е найб1льш поширеним методом досл1дження властивостей лшшних 1 нел1-ншних систем з неведомою або частково неведомою структурою [1, 2]. Його ефектившсть багато в чому за-лежить в1д способу апроксимацп характеристик нелшшних елемент1в, що утворюють модель об'екту досл1дження.
Об'ектами досл1дження можуть служити як окрем1 компоненти, так 1 пристро'1': параметричш, непара-метричш 1 операцшш тдсилювач1, помножувач1 частоти, ампл1тудш обмежувач1, кероваш атенюатори, детектори, перетворювач1 частоти, активна ф1льтри, компресори, ек-спандери 1 конвертери разного роду сигналов.
Для моделювання режим1в роботи таких при-стро'в, застосовуються математичн1 модели з викорис-танням р1зноман1тних функций: пол1гональних [3], степеневих [3-4], експоненцшних [5, 6], пол1-ном1альних [1-4, 7-10], тригонометричних [1, 2, 11], гиперболичного тангенса [2, 3], помилки [12, 13], комбшованих [14, 15], трансцендентних [15], тран-сцендентних пол1ном1в [16]. Перел1чен1 функц1' дають можлив1сть моделювати режими роботи нел1-ншних пристро'в 1з р1зною точн1стю, але не мають достатньо' гнучкост1 для зм1ни свое! форми у в1дпов1дност1 до зм1ни поведшки !'х системних функций.
З метою узагальнення 1 ун1ф1кац1' моделей функ-ц1ональних пристро!в разного призначення в [17] була запропонована трансцендентна функц1я виду:
р -1 / 8 „ ч У = У0 + А •[ 1 + (В/X )р ] , (1)
де х - аргумент; Уо, А, В, 8, р - параметри, В * 0.
З [17] випливае, що функция (1) мае наступи влас-тивост1:
- е л1н1йною для малого сигналу;
- асимптотично прямуе до деякого регульованого р1вня насичення;
- мае зручну анал1тичну форму для комп'ютерно! реал1зацп;
- дозволяе змшювати крутизну нахилу лшшно1 д1лянки функц1' 1 кривизну д1лянки переходу в1д малосигнального режиму до режиму великого сигналу;
- забезпечуе можлив1сть перем1щення графика функц1' по напрямку кожно' координатно' в1с1 1 проти вказаних напрямк1в;
- за допомогою вар1ацп и параметров забезпечуе не-обх1дну точность апроксимаци у межах вс1е! области зм1ни аргументу.
Кр1м того, анал1тична форма запропоновано' функ-цп дозволяе змшу 11 структури, вар1ац1ю полярности складових 11 частин, дае можлив1сть використання комплексних 1 векторних параметров 1 коеф1ц1ент1в. Результати досл1дження таких можли-востей 1 прак-тичне 1'х застосування е предметом подальших публ1кац1й.
Для широкого застосування запропоновано! функцп необх1дно розробити методику визначення 11 параметров, яка забезпечуе необх1дну точность моделювання електронних компонентов 1 пристро1в. Р1шенню сформульовано1 задача 1 присвячена дшсна робота.
Р1ШЕННЯ
В1домо ряд тдход1в до вир1шення задача визначен-ня параметр1в математично1 модел1 електронних компонент або пристро1в. Найб1льший практичний интерес представляють т1 з них, як1 базуються на метод1 «чорного ящика», тобто на вим1р1 системних функций. При такому п1дход1 параметри математично1 модел1 визначають на основ1 результат1в натурних ек-сперимент1в. При цьому можлив1 два р1зних варианта реал1зацп експерименту.
У першому вар1ант1 застосовують метод прямих вим1р1в [1, 2], коли для визначення кожного парамет-
ра ставиться незалежний експеримент. П1д час реал1зацп метода прямих вим1р1в виникають серйозш методолопчш погрешности обумовлеш не узагаль-нешстю експеримент1в по кожному з параметров.
У другому - застосовуються методи апроксимацп зовшшшх (вх1дних, прох1дних 1 вих1дних) характеристик [2] по результатам единого комплексного ек-сперименту, коли за допомогою обчислювальних ал-горитм1в 1 процедур вс1 параметри математично! модели компонента або пристрою визначаються в единому цикл1. При цьому вдаеться суттево зменшити погрешность визначення параметров модели [1, 2, 18].
Сутшсть апроксимацшного тдходу стосовно поставлено'! задача полягае в реал1зацп алгоритму апроксимацп експериментально знято! характеристики У(х) за допомогою анал1тично! залежност1 У[^, х], де
п = {82, ...8п} - вектор параметров, що визначаються. Як в1домо [6, 19], поставлена задача може бути сформульована як задача м1шм1заци норми функционала помилки апроксимацп
4) критерию близькост1 Чебишева
у [, х] - у [х;
Утах[ х ]
= тт,
(2)
де Утах[ х ] - максимальне значення, яке вщповщае области змши аргументу таблично-задано! функци, при урахування додаткових умов:
1) нульового в1дхилення залежност1 (1) в1д експериментально! в точках з координатами [Х;, у;], число яких гтах дор1внюе числу параметр1в. В цьому випадку параметри модел1 визначаються з умови ствпадання вказаних залежностей у цих точках, тобто
У [ 8^, Х;] - У[Х;] = 0, 1 = 1, П.
(3)
Такий метод апроксимацп, як в1домо [18], називають штерполящею;
2) нульово!' суми в1дносних в1дхилень при умов1 к > п у к точках
к
I
1 = 1
У [ 8^, Х] - У [ Х;]
Утах[ Х1]
= 0,
(4)
де вектор параметр1в 8^ = {81, 82, ...8п} визначаеться на основ1 методу середшх [18];
3) середньоквадратичного критер1ю м1шм1заци фун-кц1онала (2)
к
I
; = 1
У[ 8^, Х; ] - У [ Х; ]
Утах[ х]
(5)
У[8т, Х;] - У[ХЬ
Утах[
= т1п, ! = 1, к, (6)
який м1н1м1зуе (2) за умови м1тм1зацп максимальних в1дносних в1дхилень.
3 (1) випливае, що Уо - значення функц1! при переход1 через нуль аргументу вольт-амперно! або ампл1тудно! характеристики (ВАХ або АХ, в1дпов1дно) нел1н1йного елемента, а константа А - р1вень !! на-сичення при Х — <ю. Вказаш значення легко визначаються експериментально [1, 2]. В подальшому вважае-мо величини А 1 У о - в1домими.
При викладенш методики визначення параметров функци (1) будемо вважати, що характеристики не-л1н1йного елемента задан1 множиною пар значень ек-спериментально! залежност1 {f (Х;)} 1 аргументу {Х;}: х е [а, Ь]; х; = {х;, I = 0, п - 1}, а = Х0 < х1 < ... <
< хп - 1 = Хтах = Ь.
Для визначення параметров функци (1): В, р, 8, функционал помилки Е[У (х);В, р, 8], що вгдповгдае мг-н1мальному значенню середньоквадратичного в1дхи-лення, запишемо у виглядг:
п - 1 2
Е[УМ(х);В, р, 8] = тш I [Ум(Х;, В, р, 8)] - Х;)2,
Х, В, р, э —^ 0
; = 0
(7)
на основг метода найменших квадратгв [19];
де У^Х;, В, р, 8) г fN(Х;) - нормоваш значення аналг-тично! 1 таблично-задано! функц1! в1дносно значень
fmax( х).
Мгшмгзащю функцюнала (7) можна здгйснити за допомогою метод1в багатовим1рно! оптим1зац1! [18, 19]. Однак вони не мають достатньо! узагальненостг, доволг складнг 1 потребують суттевих затрат машинного часу.
Виршення задача м1н1м1зац1! функционала помилки (7) в рамках поставлено! задача, пропонуеться розд1-лити на два етапи.
На першому етат м1н1м1зуемо вклад, обумовлений даними експерименту - {fN(Х;), Х;}. На другому -виршимо саму задачу м1н1м1зац1! функционала помилки (7) з урахуванням анал1тично! форми функц1! (1) 1 результатов, отриманих на попередньому етат.
М1н1м1зац1я вкладу право! частини (7), обумовлено-го експериментальними даними вим1ру системних функц1й нел1н1йного елемента, може бути зд1йснена р1зними способами [3-16]. Однак оптимальна стра-тег1я м1н1м1зац1! помилки цього вкладу лежить в основ1 методу з використанням пол1ном1в Чебишева, який дозволяе:
тах
1, п
1, п
2
1, п
С. П. Гулт: ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТР1В АДАПТИВНО! МОДЕЛ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ КОМПОНЕНТ1В НА ОСНОВ1 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
- по-перше, реал1зувати середне квадратичне набли-ження функцп у вигляд1 обмежених сум одного 1 того ж ряду, який швидко зб1гаеться;
- по-друге, при обраному порядку полшома забез-печуе найбшьшу точшсть, в пор1внянш з т1ею, яку дае розкладення по шшим ультрасферичним полшомам [9, 10, 19].
При апроксимаци полшомами Чебишева таблично-задано! функцп використовуеться два тдходи. Перший з них [10, 18], заснований на виршенш задача штерполяци по р1внов1ддаленим точкам, мае суттевий недол1к, обумовлений значним зростанням погршносп апроксимаци поблизу границь штервалу змши аргументу.
При другому тдход1 використовуеться метод ш-терполяцп таблично-задано'! функцп полшомами Чебишева по нер1внов1ддаленим точкам штервалу х е [ а, Ь] [9, 19]. При цьому для зменшення погрешности на краях штервалу множина {Х;} обираеться таким чином, щоби крок штерполяци зменшувався по краях штервалу [а, Ь].
Для формал1зацп алгоритму визначення параметров функцп (1) - В, р, 5 подамо и 1 таблично-задану сис-темну функщю нелшшного елемента у вигляд1 функци
1 (х; - х0 ,)
у = Р(4) безрозм1рного аргументу ^ = 2- • —д ^ ,
0 < 4 < 1, де ДХj - максимальне в1дхилення аргументу в1д значення Хо у; ^о у - середне значення аргументу у-го в1др1зку змши аргументу, причому тд у-м в1др1зком розум1ють область [ ;хта^ ] з урахуванням нер1в-
ностей хт1д] < хтт(] + 1); Хтах] < Хтах(] + 1).
Оск1льки системш функци 1 характеристики реаль-них нелшшних компонентов е достатньо гладкими не-перервними функциями, то характеристику Р(4) можна представити у вигляд1 неск1нченного ряду ортогональ-них пол1ном1в Чебишева, який зб1гаеться у кожн1й точц1 [а; Ь]:
р(4) = 2 • ао + I ак • Тк(а
(8)
к = 1
де Тк(^) = ео8 [п • агеео8^] - пол1ном Чебишева 1-го
р°ду.
Обмежуючись першими п членами розкладення (8), отримуемо приближення нелшшно! характеристики Р(4) досл1джуваного об'екту рядом
п - 1
р(4) = I ак • Тк(4)
к = о
(9)
з помилкою 1нтерполяцп, яка визначаеться залишком
Дп(4) = I ак • Тк(4).
к = п
На практиц1 помилку 1нтерполяц1' (10) звичайно оцшюють приблизною р1вн1стю Дп(4) = ап • Тп(4). Як-що така оцшка зб1жност1 ряду е прийнятною, то задача визначення коефщ1ент1в ак розкладення зводиться до штерполяци Р(4) полиномом (п- 1 )-го степеня. При цьому вузли штерполяци обираються в нулях першого в1дкинутого полинома, тобто штерполящя зд1йснюеться по нер1внов1ддаленим точкам.
Виб1р нер1внов1ддалених точок, зг1дно [9, 19], за-безпечуеться переносом операци штерполяци з площи-ни на цилшдр: на цил1ндр1 вузли штерполяци розта-шоваш р1вном1рно, що найкращим чином задовольняе алгоритму тригонометрично! штерполяци.
Для безрозм1рного аргументу 4 операция тригоно-метрично' 1нтерполяц1' на цил1ндр1 р1вносильна роз-кладенню в ряд Фур'е парно! функци Р(4) = Р (со8 а) на штервалу [-1, 1]. При цьому коефщ1енти розкла-дення ак визначаються виразом:
ак = 22 • "Г р[4а]• Т[4а]
а = о
П^Т р[4а ]• То8[ ^ 2 а + 1)],
а = о
к • п
(11)
точки 1н-
де а = о, (п - 1); 4а = с»[^ • (2а + 1 )] терполяци; Р(4а) - значення таблично-задано!' системно' функц1' нел1н1йного елемента у точц1 4а.
Зг1дно [19], при такому вибор1 точок 1нтерполяц1' ко-ефЩенти штерполяцшно! формули визначаються значно простше, н1ж в штерполяцшнш формула Лагранжа або штерполяцшнш формула Ю. Б. Кобзарева [Ю].
В матричной форм1 операцию 1нтерполяц1!' по не-р1внов1ддаленим точкам можна подати виразом
а0 То, о То, 1
а1 = 2 • То, 1 Т1,1
п
ап - 1 Т( п - 1), о Т(п - 1), 1
... Т, ... Т
0, (п -1)
1,(п - 1)
. Т(
^(4о) Р(41)
Р(4п -1)
(12)
або в скороченш форм1 запису [а] = - • [Т] • [Р(4)], де
П
Тк, а = <™[ •(2а + 1)].
П1сля обчислення коеф1ц1ент1в ак ряду (12) присту-паемо до другого етапу виршення поставлено! задача -визначення параметров функци (1), що залишились.
х
X
Для тpьox тoчoк iнтepпoляцiï, oбpaниx зa yмoви визнaчeнocтi cиcтeми piвнянь вiдпoвiднo тpьoм знaчeн-ням нopмoвaнoгo apгyмeнтy o, мoжнa зaпиcaти вeк-тopнe cпiввiднoшeння для мiнiмiзaцiï фyнкцioнaлa пo-милки:
Ocкiльки Çj i > 0, i = 1, n; j = 0, (n - 3) i B > 0, то cпiввiднoшeння (B/xs)p > 0 пpи дoвiльнoмy дiйcнoмy p. З ypaxyвaнням цьoгo cпpaвeдливa нepiвнicть
[ l + ( b/4j, i )p ] = Z > o,
(19)
E[Y(ij i);B, p, s] =
min
x, B, p, S — ад
n -1
У [Y(4o,i, B, p, s) -f(4o,¿Г
i=0
n - l
У [Y(4l, i, B, p, s) - f(4l, i)]z
i=0
n -l
(13)
у [Y(42ii, b, p, s) -f(42ii)]2 i=0
Iз (13) yмoвa мiнiмiзaцiï вeктopнoгo фyнкцioнaлa пoмилки визнaчитьcя з piшeння cиcтeми piвнянь:
n n - 1 _
Y(4j, i, B, p, s) = jnA- У Aj, i • ai, j = 1, 3, (14) i = o
дoзвoляe нaм cкopиcтaтиcь cпiввiднoшeнням 1.512.2 [20]:
in z = 2^Ç l (2ЛГ1) •[
(2k -1 )
(20)
Пiдcтaвляючи (20) в (18), для пepшoгo piвняння cиcтeми (18) oтpимyeмo:
in
l
(B/4l i)
p(2k -1 )
"0, i •У 2 • k - 1 • p ( 2k - 1)
к = l2 k 1 [2 + (B/4l i)p]( J
= in a ; •
1 i У 2k - 1 p (2k - 1)
k = l2k 1 [ 2 + ( B/4oi )p Г J
l
( B/4o, i)
p(2k -1)
. (21)
Piвнicть (21) cпpавeдлива пpи piвнocтi члeнiв pядy дe Aj i = (-1 )i j • ßj i ; А - визначник мaтpицi [T]; Aj i oднoгo пopядкa для o6ox йoгo чacтин. Для k = 1 - aлгeбpaïчнe дoпoвнeння eлeмeнтa Tj i.
Bpaxoвyючи (1), cffin^a piвнянь (14) пpиймae вид:
oтpимyeмo:
Yo + A •[1 + (B/4j, i)p Г17S = ^'У' Bj , i • ai,
n - 1
i=o
j = 1,3. (15)
Шаля нecклaдниx пepeтвopeнь (15) oтpимyeмo:
(B/4l i)p
in «o, i--:—p = in al, i •
2 + (B/4l i)p
( B / 4 o, i ) p 2 + (в/4o i)p
;. (22)
Bикoнyючи нeoбxiднi пepeтвopeння в (22), виз-нaчaeмo пapaмeтp В:
s • in aj i = in
1+|Д
4j, i
, j = 1,3, (1б)
B
2 •
ina l,i • 4 p i - inao, i • 4 p,i'
in(aoi/«l i)
(23)
«j. i = j^Y; ^i = 2ГД-У A i ^ ai.
З пepшoгo piвняння (1б) визнaчaeмo пapaмeтp 5:
s=
in a
in
o, 1
l+
pi
Bикopиcтoвyючи (1Т), виключЕемс пapaмeтp s з cиcтeми piвнянь (1б):
in ao i • in
1+|Д
4j,
= in aj i • in
l+
j = 1, 2.
Для визначeння пapaмeтpy p пiдcтaвляeмo (23) в oc-теннё piвняння cиcтeми (18):
in «2 i • in
= in ao i • in
l + 2 • ( in a l, i • 4 p i - in a0, i • 4 S, i )
4'i, iin (ao, i/al, i) 2 inal, i •4p, i- inao, i •4n, i)
l+
^ iin (ao, i/al, i)
. (24)
Bpаxoвyючи знак пapaмeтpa В i лoгapифмa in (ao i/al i), мoжна ^казати, щo виpaз в квaдpaтниx дyжкax пpaвoï i лiвoï частин (1б) тaкoж зaдoвoльняe yмoвi (19). ^му, cкopиcтaвшиcь (20) для poзклaдeння (18) в pяд in(o) пpaвoï i лiвoï чacтин (24), oтpимyeмo:
l
С. П. Гулт: ВИ3НАЧЕННЯ ПАРАМЕТР1В АДАПТИВНО! МОДЕЛ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ КОМПОНЕНТ1В НА ОСНОВ1 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
1п а
2,г
= 1п с
-0, г
ю л
'I к •
к = 1
ю Л
I к'
к=1
1п а1, г '41,
"-0, г
42,
40, г • 1п(а0, г/а1, г)
1 +
1п а1, г '41,
1п а0, г
40, г • 1п (а0, г/а1, г)
' 1п а 1, г • 41, г - 1п а0, г ' 40, ■ 42, г' 1п (а0, г/а1, г)
1+
1п с
'1, г' 41,
1п а0, г' 40,
42, г' 1п (а0, г/а1, г)
(25)
Вираз (25) е справедливим при р1вност1 член1в ряду одного порядка для обох його частин. Обираючи к = 1 1 виконуючи необх1дн1 перетворення, отримуемо к1нце-ве р1вняння для визначення останнього параметра функц1! (1) - р:
40,; • 1п40,; • 1п(а1, г/а2, г) + 41, Г 1п41,; ' 1п(а2, г/а0, г) +
+ 4р,; • 1п42,; • 1пК, г/а^ г) = 0. (26)
Даний вираз е справедливим для вс1х наборов трьох точок з координатами {4],;;У^;}, 4] (; -1} < 4],; < < 4] (, + 1), 3 = 0, (п - 3), що розташован1 на графику функц1! (1) 1 мають координати (Х;, У;}.
Для спрощення алгоритму 1 зменшення помилки визначення параметра р доц1льно скористатись нор-мал1зованою шкалою значень аргументу в1дносно зна-чень - 40 р в1дпов1дного середин1 /-го в1др1зку його зм1н. Найб1льш п1дходящою для цього е шкала на-туральних логарифм1в.
3аф1ксуемо поточне середне значення обраного /-го в1др1зка зм1ни аргументу 401 ; = 41 ; 1 в якост1 нормо-ваних значень аргументу обираемо три посл1довних степеня е, наприклад:
-1 0 40, iN = е , 40, Ш = е = 1, 42, iN = е.
П1сля визначення усередненого параметра рср роз-рахунок величин В 1 5 здшснюеться зворотним порядком у в1дпов1дност1 до формул (23) 1 (17).
Можлив1 1 1нш1 вар1анти вибору трьох посл1довних точок таблично-задано! функц1! з координатами
{4],;; Уч;), 4], (; -1)<4],; <4],(; + 1), ] = Од-
нак при цьому сл1д враховувати, що виб1р 1нтервалу м1ж двома сус1дн1ми нормованими значеннями 4] ; 1 4] (; + 1) необх1дно зд1йснювати таким чином, щоб степ1нь експоненти в результуючому р1внянн1 (26) не перевищувала 4, оск1льки це суттево ускладнюе алгоритм визначення параметра р. Покажемо це на прик-лад1 наступного вар1анта вибору трьох посл1довних нормованих значень аргументу 4] ¡:
40, Ш = е , 41, iN = е, 42, iN = е .
П1сля !х п1дстановки в (26) 1 необх1дних перетворень отримуемо р1вняння:
32
г + а • г + с = 0,
(29)
р
де г = е ,
а = 0, 5 •
с=-
1п ( а 2, ; /а0; ;); 1п (а0,;/а1,;); 1п(а1 ;/а2 ;)
2 • 1п (а0,;/а1,;)' П1дстановкою г = у - а/3 р1вняння (29) приводиться до «неповного» вигляду
де р
у + р • у + Ч = 0,
а2 _ 1п (а2,;/а0,;)
(30)
12•1п (а0 ;/а1 ;)
П1сля п1дстановки цих значень в (26) 1 виконання не-обх1дних перетворень отримуемо вираз для розрахунку /-го значення параметру р/:
р] = 0, 5 • ехр [ 1п(а1 ;/а2 ;)/ 1п(а0 ;/а1 ;)]. (27)
Ч = 2 •
с=
1п3(а2 ;/а0 ;) - 54 • 1п2(а0 ;/а ;) • 1п(а1 ;/а2 ;) 108 • 1п3(а0 ;/а1 ;)
Використовуючи (27), розраховуемо масив значень {р]} для вс1х значень 1ндексу /.
К1нцеве значення параметра р визначаеться по методу середн1х [18]:
1 п - 3
рср = 2 • (п - 3) • I ехР[ 1п (а1,;/а2,;)Х 1п(а0,;/а1,;)]. к=0
3г1дно [21], р1вняння (27) може мати три вар1анта р1шення в залежност1 в1д знака 1 величини Э = 3 2 3
= (а) + (з^) , де р = -а2; Ч = 2 {а) +с. В залеж-
ност1 в1д значень коеф1ц1ент1в р 1 ч величина П може приймати позитивне, нульове або в1д'емне значення. При цьому р1вняння (30) буде мати або один д1йсний кор1нь 1 два комплексно спряжених кореня, або три
к
к
дшсних кореня, по крайнш м1р1, два з яких р1вн1, або три р1зних дшсних кореня [21].
Досл1дження можливих р1шень 1 кшцевий виб1р дшсного кореня р1вняння (30) мае зиск лише для конкретного варианта таблично-задано'1' функцп. Однак приведений вариант вибору точок нормованого значен-ня аргументу показуе, що алгоритм визначення параметра р при зб1льшенш степеня р1вняння (26) мо-же невиправдано 1 суттево ускладнитись.
На основа запропонованого методу розроблена програма розрахунку параметров моделей к1лькох електронних компонентов 1 пристрой з використанням функци (1) на С++. Результати и застосування на прикладах моделювання характеристик ряду електронних пристро'в наведена в наступному роздШ.
МОДЕЛЮВАННЯ ХАРАКТЕРИСТИК ЕЛЕКТРОННИХ КОМПОНЕНТ1В
В якост1 першого прикладу розглянемо задачу виз-начення параметр1в функц1' (1) при моделюванн1 фа-зоампл1тудних характеристик (ФАХ) регенеративного двочастотного параметричного п1дсилювача (РДПП), нел1н1йна модель якого [23, 24] наведена на рисунку 1.
Рисунок 1 — Eквiвaлeнmнa схема РДПП:
ен — напруги сигнально!' частоти 1 частоти накачки; К;, С;, Ц елементи контур1в частот сигналу, накачки 1 навантаження, вщповщно, ; = 1,3
В [22] в1дм1чаеться, що приблизний вираз ФАХ РДПП дозволяе розраховувати з невеликою погр1ш-шстю ампл1тудно-залежш фазов1 зсуви, як1 не переви-щують 25-30 градусов. Однак розрахунок самих ФАХ в кожному випадку являе собою посл1довн1сть громоздких операций, як1 займають значний час, тод1 як на практищ необх1дна швидка оценка фазоамплггуд-них спотворень, що оч1куються при робот1 РДПП в за-даному режима.
Використання номограм при розрахунку ФАХ, зпдно [22], в б1льш широкому д1апазон1 вим1р1в ам-
пл1тудно-залежних зсув1в робить процес пошуку необ-х1дного ршення або неефективним, або неможливим.
В поданш робот розрахунок ФАХ РДПП зд1й-снювався на основ1 анал1тично' функц1' (1) 1 запропо-нованого методу визначення и параметров. На рисунку 2 приведет експериментальш (сущльш лши) 1 апроксимацшн1 (1з заданою погр1шн1стю 1,5 %-точков1) на основа функцИ (1) графики ФАХ РДПП з р-п переходом, який вщкриваеться, при слабому зв'яз-ку м1ж коливальними контурами, що в1дпов1дае умов1: Со » [С;], де Со — значення емноси р-п переходу, яка в1дпов1дае робочш точц1 по сталому струму.
Уб(х) У5(х) У4(х) У3(х) У2{х) У1(х)
<10 г
30 -
20"
10--
0 0.01 0.02 0 03 0.04 0 - 05 0. 06 0.07
Рисунок 2 — амейство ФАХ РДПУ р-п переходом, що вiдкривaemься
Параметри функций апроксимацИ У1(х) - У6(х) отриманих на основ1 анал1тично' функц1' (1), виз-начен1 за допомогою запропонованого метода 1 мають наступн1 значення: А1 = 27, р1 = 2, 81 = 3, В1 = 3; А2 = 32, р2 = 2, 2, 82 = 3, В2 = 1; р3 = 3, 83 = 5, В3 = 10; А4 = 262, р4 = 1, 5, 84 = 2, В4 = 2,8; А5 = 130, р5 = 1, 5, 85 = 2, 8, Ь5 = 1; А6 = 155, р6 = 1, 5, 86 = 2,8, В6 = 1.
Пор1внюючи дан1 роботи [23] (рис. 11.21, с. 193) 1з характеристиками, що приведен1 на рисунку 2, можна зробити висновок, що адаптивн1 властивост1 функц1' (1) дозволяють моделювати змши форми ФАХ, не змшюючи математично! форми и опису.
В якост1 другого прикладу розглянемо с1мейства ек-спериментальних 1 апроксимованих ВАХ сучасного по-тужного польового транзистора 1з статичною шдукщею (С1Т) [25] КП 938, наведених на рисунку 3.
Для апроксимацИ ВАХ С1Т в наведенш робота про-понуеться використати вираз
У =
У0 • х + А • [ 1
(В / х)р ]
-1 / 8
е
с
С. П. Гулт: ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТР1В АДАПТИВНО! МОДЕЛ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ КОМПОНЕНТ1В НА OCHOBI ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Рисунок 3 - Buxidni ВАХ С1Т КП 938
що складаеться з двох частин. Параметри функцп (32) на основ1 експериментальних даних [25] визначеш за допомогою запропонованого методу i3 заданою погрш-шстю 0,8 % i мають наступнi значення: В = 0,5, p = = 1,51, s = 2, А = 3,3; 6,6; 9,6, 12.
Пopiвняння експериментальних [25] (сущльш кри-Bi) i апроксимованих ВАХ (тoчкoвi кривО по всiй об-ластi змши аргументу пiдтвеpджуe високу тoчнiсть мо-делювання.
В якост останнього прикладу використаемо поси-лання на результати [17] застосування розробленого методу при моделювання G - функцп узагальненого нелшшного тдсилювального каскаду, де апpoксимацiя G - функцп здшснювалась чотирма piзними методами: складною лoгаpифмiчнoю функцieю - у2(х); ал-гебра'чною сумою експонент - y3(x); експoненцiйним бiнoмoм - y5(x) i трансцендентною функцieю (1). Параметри функцп (1) визначались на oснoвi експериментальних даних вiдpiзка змши нормованого аргументу [-2; 16] i мають наступш значення (графж у4 [17]): У0 = 0,1; А = 2,1; B =18; x0 = 1,9; p = 2,3; 5 = 3. При цьому величини паpаметpiв визначались на oснoвi кpитеpiю (6) мШмуму функцioнала помилки i методу середшх при заданiй пoгpiшнoстi 0,3 %.
ВИСНОВКИ
Запропоновано метод визначення паpаметpiв ана-л^ично!' трансцендентно'' функцй для моделювання характеристик дво- i багатополюсних нелшшних еле-ментiв. Застосування даного методу i функцй' дозво-ляють:
а) ушфжувати форму математичних моделей piзнo-манiтних функцioнальних пристрой, що працюють в широкому динамiчнoму дiапазoнi;
б) здiйснювати кiлькiсне i яюсне пopiвняння характеристик пристро'1'в, що проектуються, належать од-
нойменному класу i пpизначенi для pеалiзацil задано! функцп перетворення вхщного сигналу, з метою вияв-лення оптимального схемотехшчного piшення на ос-нoвi обраних критерпв;
в) моделювати режими, як окремих компоненив, так i широкого класу електронних пристро'в: тдси-лювачiв, пoмнoжувачiв частоти, амплiтудних обмежу-вачiв, керованих атенюатopiв, детектopiв, перемножу-вачiв, активних фiльтpiв, пеpетвopювачiв частоти, кoмпpесopiв, експандеpiв i кoнвеpтеpiв piзнoгo роду сигналiв;
г) розробити бiблioтеку адаптивних моделей дво- i багатополюсних нелшшних елеменпв i на цiй oснoвi пiдвищити тoчнiсть моделювання електронних компо-нентiв i вузлiв схем;
д) використати розроблеш мoделi в сучасних про-грамах машинного аналiзу електронних схем i системах символьно!' математики.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Носов Ю. Р., Петросянц К. О., Шилин В. А. Математические модели элементов интегральной электроники. -М.: Сов. радио, 1976. - 304 с.
2. Чахмахсазян Е. А., Мозговой Г. П., Силин В. Ä. Математическое моделирование и макромоделирование биполярных элементов электронных схем. М.: «Радио и связь», 1985. - 144 с.: ил.
3. Бруевич А. Н., Евтянов С. И. Аппроксимация нелинейных характеристик и спектры при гармоническом воздействии. - М.: «Советское радио», 1965. - 248 с.
4. J. G. Laning and R. H. Battin, Random processes in Automatic Control. McGraw-Hill: 1956. - 171 р.
5. Хазанкина Н. П. Аппроксимация статических ВАХ нелинейных компонент электрических цепей. Теоретическая электротехника, Республиканский межвузовский научно-технический сб., 1966, вып. 2, с. 133-166.
6. Бобин В. В., Романов В. В. Использование чебышев-ского критерия в задачах автоматизированного схемотехнического проектирования. - Автоматизация проектирования в электронике. - 1980, вып. 21, с. 11-17.
7. Савин С. К. Об аппроксимации характеристик нелинейных элементов с помощью степенных полиномов. Радиотехника, 1969, Т. 24, № 3, с. 46-53.
8. Волков И. С., Соловьев И. Ä. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов рядом Эджворта. Радиотехника, 1971, Т. 26, № 12, с. 56-64.
9. Сохина Л. Н. О полиномиальной аппроксимации характеристик нелинейных элементов. Теоретическая электротехника, 1974, № 11, с. 48-51.
10. Кобзарев Ю. Б. О представлении характеристики лампы степенным рядом. ЖТФ, т. III, № 6, 1933, с. 24-28.
11. Van VleckJ. H. and Middleton D, «The spectrum of clipped noise», Proc. IEEE, Jan. 1966, pp. 2 - 19.
12. Baum R. F. «The correlation function of smoothly limited Gaussian noise», IRE Trans. Inform. Theory, vol. 1T-3, September, 1957, pp. 193 - 197.
13. Galejs J. «Signal-to-noise ratios in smooth limiters», IRE Trans Inform. Theory, vol. IT-5, June 1959, pp. 79-85.
14. Бобков А. М., Яковлев Н. Н. Аппроксимация характеристики нелинейного безынерционного элемента. «Радиотехника», 1986, № 5, с. 25-26.
15. Малышев И. В. Аппроксимация статических выходных характеристик активных трехэлектродных приборов, работающих в нелинейном режиме. «Радиотехника», 1987, № 8, с. 84-85.
16. Верлань А. Ф., Горошко И. О., Гушель Т. П. Аппроксимация экспериментальных зависимостей полиномами с дробным показателем степени. «Электронное моделирование», 2002, Т. 24, № 3, с. 101-106.
17. Гулин С. П. Анализ спектра отклика нелинейности, представленной аналитической трансцендентной функцией, на многочастотное воздействие большой нормы. Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня, Запор1жжя, ЗНТУ, 2004, № 1(11)', 2004, с. 21-28.
18. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967. - 368 с.
19. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Физматгиз, 1961. - 328 с.
20. Градштейн И. С. и Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. -1108 с.
21. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: «Наука», 1978. - 832 с.: ил.
22. Амплитудно-фазовая конверсия. / Под ред. Крылова Г. М. - М.: Связь, 1979. - 256 с.
23. Манохин В. М., Струков И. А., Эткин В. С. Исследование насыщения регенеративного полупроводникового параметрического усилителя в токовом режиме. -Радиотехника и электроника. 1970, № 15, с. 10681076.
24. Левков Б. Ю. Удвоитель частоты на варакторе с произвольной вольт-кулоновой характеристикой и открывающимся р-п-переходом. - Труды НИИР. - М., 1972, № 2, с. 95-100.
25. Каталог по применению полевых транзисторов. Под ред. Н. М. Тугова и С. Д. Федорова. - Донецк: «Синапс», 1992. - 150 с.
Надшшла 2.09.04 Шсля доробки 11.04.05
Предложен метод определения параметров адаптивной модели, представленной аналитической трансцендентной функцией, на основе экспериментальных характеристик двух- и многополюсных нелинейных элементов. Полученные результаты обеспечивают заданную точность моделирования широкого класса электронных компонентов и устройств в режимах малых и больших сигналов.
The method for determining of the parameters of the adaptive model, which presentation of the analytic transcendental function, on the base experimental nonlinear two-and multiports component behavior is proposed. The results, which was reseived, are permitting to modeling of wiled class of the arrangements in the regimes of the small and large signals.
УДК 621.372.852.001.11
Л. М. Карпуков, Р. Д. Пулов, А. Ю. Фарафонов
НАЗНАЧЕНИЕ ДОПУСКОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ МИКРОПОЛОСКОВЫХ ПОЛОСОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА СВЯЗАННЫХ ЛИНИЯХ С ОТВЕРСТИЯМИ В ЭКРАНИРУЮЩЕМ СЛОЕ
Проведено исследование влияния допусков на параметры микрополосковых полосовых фильтров на связанных линиях с отверстиями в экранирующем слое, обеспечивающими выравнивание постоянных распространения четной и нечетной волн. Выполнен анализ в квазистатическом приближении топологии связанных линий с учетом отверстий в экранирующем слое. Осуществлен синтез фильтров на основе прототипов нижних частот. Показаны преимущества рассмотренной конструкции фильтра в сравнении с классической топологией на связанных линиях без отверстий в экранирующем слое.
ВВЕДЕНИЕ
Фильтры СВЧ на основе микрополосковых линий передачи находят широкое применение в системах радиолокации, радионавигации и телекоммуникации благодаря простоте конструкции, малым габаритам и массе, высокой надежности и низкой себестоимости. Однако микрополосковым фильтрам СВЧ характерна высокая сложность расчета и жесткие требования к точности изготовления при их массовом производстве. Поэтому актуальной и важной проблемой является определение допусков при проектировании микропо-лосковых фильтров и выбор оптимальных конструк-
ций фильтров, сочетающих простоту и технологичность реализации с высокой повторяемостью характеристик.
Вопросы снижения требований к точности изготовления и подавления паразитных полос пропускания в микрополосковых фильтрах, а также упрощения процедур их синтеза привели к большому количеству публикаций и появлению новых топологий микропо-лосковых частотно-избирательных устройств [1-5]. Наиболее удачным решением по критерию простоты реализации топологии и номинальных размеров, применительно к микрополосковым полоснопропус-кающим фильтрам (ППФ), представляется конструкция фильтров, описанная в [1]. В этой конструкции в качестве звеньев фильтров использованы отрезки одинаковых связанных микрополосковых линий с отверстиями в экранирующим слое для выравнивания постоянных распространения четной и нечетной волн. Анализ данной конструкции фильтров показал существенное улучшение их электрических характеристик [1]. Однако вопросы технологичности изготовления рассмотренной конструкции не исследовались.
