CC BY
64
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ СТРОИТЕЛЬСТВА
METHODOLOGICAL APPROACHES AND INTERPRETATION OF MATHEMATICAL MODELS OF AN ESTIMATION OF ECOLOGICAL SAFETY OF BUILDING
А.Л. Большеротое A.L. Bolsherotov
МГСУ
В статье рассматриваются два подхода к описанию экологических процессов и интерпретируются возможные математические методы оценки экологической безопасности строительства, обеспечивающие устойчивость экосистем при техногенном воздействии строительства.
In article two approaches to the description of ecological processes are considered and possible mathematical methods of an estimation of ecological safety the buildings providing stability of ecosystems at technogenic influence of building are interpreted.
К описанию экологических процессов при оценке экологической безопасности строительства и функционированию системы ОЭБС имеется два подхода - детерминистский и стохастический.
При детерминистском подходе учитываем лишь основные черты моделируемых явлений, тенденцию их развития, взаимосвязи.
Стохастическое моделирование позволяет исследовать случайные флуктуации, накладывающиеся на эту тенденцию [1].
Преимущество детерминистического подхода заключается в том, что детерминистские модели удобнее и во многих случаях могут быть реализованы в виде систем дифференциальных уравнений, теория и методы исследования которых, хорошо разработаны. Особенно эффективны детерминистические модели при описании процессов воздействия строительства на естественные экосистемы. Например, детерминистская модель предсказывает периодические снижения численности одного или нескольких видов биоценоза естественной экосистемы при гомеостазе или периодическом (не фатальном) техногенном воздействии на экосистему.
Однако соответствующая стохастическая модель предскажет в этом случае некоторую положительную вероятность вымирания некоторых видов биоценоза.
В искусственной экосистеме детерминистская модель предскажет периодическое ухудшение здоровья населения, а стохастическая положительную вероятность заболеваемости.
Если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то соответствующая стохастическая модель предскажет вероятность длительного выживания экосистемы в условиях техногенного давления на неё.
ВЕСТНИК мгсу
1/2011
Если же детерминистская модель не выявляет равновесия или предсказывает лишь неустойчивое равновесие, то стохастическая модель предскажет высокую вероятность вымирания биоценоза естественной экосистемы.
Совмещение детерминистского и стохастического подходов при анализе и прогнозе экологических процессов позволяет экологическую парадигму превратить в комплексный универсальный инструмент моделирования и оценки экологической безопасности, в том числе и строительства (см. рис. 1.) [2, 3].
ОЦЕНКА ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
подходы
/ „ \ | Детерминистическим ] | Сттохаст инее вин
Область оценки
Инструмент
Флуктуации
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
(модельный эка Система дифференциальных уравнений
перимент)
Различный математический аппарат
Естественные Предмет Периодическое сни-оценкн жение численности биоценоза
Искусственные Периодическое ухудшение здоровья
Результат Устойчивое равновесие
Неустойчивое равновесие
экосистемы вероятность вымирания
экосистемы Вероятность заболевания
Вероятность длительного выживания
Вероятность выживания а ЕЭС
Вероятность заболевания в ИЭС
Рис. 1. Подходы к оценке экологического процесса
Оба подхода к формированию системы оценки экологической безопасности строительства используют соответствующие математические модели.
Математическую модель («модельный эксперимент») в оценке экологической безопасности строительства можно рассматривать как особый вид вычислительного эксперимента.
Модельный эксперимент позволяет изучать такие объекты, прямой эксперимент над которыми затруднён или экономически невыгоден, либо вообще невозможен из-за тех или иных причин [4].
Математическое моделирование является основным средством анализа и прогноза и в тех случаях, когда прямой эксперимент осуществим лишь один раз и его последствия необратимы [5].
Математическое моделирование представляет собой мощный инструмент для количественной и качественной оценки изменений характеристик окружающей среды под воз-
1/2011 ВЕСТНИК
_1/го12_мгсу
действием различных факторов [6]. В системе оценки экологической безопасности строительства используем его также для получения необходимой информации о воздействии (с отдалёнными последствиями) строительного объекта на окружающую среду.
Математические модели в оценке экологической безопасности строительства позволяют объяснить что-то непонятное или подсказывают новые эксперименты.
Метод детерминированной «планетарной модели» [7] в совокупности с математическим моделированием, позволяет проводить прогнозные расчёты воздействия строительных объектов на окружающую среду на длительную перспективу, что очень важно, имея в виду высокую длительность жизненного цикла строительных объектов.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений - одно из основных орудий математического естествознания и универсальный инструмент в системе оценки экологической безопасности строительства. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные детерминированные процессы, если весь их будущий ход и всё их прошлое однозначно определяется состоянием в настоящее время. Однако следует отметить, что вид дифференциальных уравнений, характеризующий эволюционный процесс, а также сам факт детерминированности того или иного процесса, можно установить лишь экспериментально, следовательно, только с некоторой степенью точности.
При моделировании развития процессов в экологических системах могут широко и плодотворно использоваться системы дифференциальных уравнений.
Решение у, = у, (г) (I = 1,2, ..., п) системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
? =М; У1,У2.....Уп) а = 1,2, ...,п), (1)
соответствующее начальным условиям у, (1а)= у,0, называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 можно найти такое д = д (г) > 0, что из системы неравенств \ х0- Ум \ < д будут следовать неравенства \ х(г) - у (г) \ < £ для всех г > г0, где х(г) - решение, определяемое начальными условиями х,(г) = х0. Здесь/ — известные функции своих аргументов, у1 = у(г) — неизвестные функции (I = 1, 2,..., п). Система п уравнений первого порядка вида (1) является нормальной системой п-го порядка. Это значит, что малое изменение начальных условий не может вызвать больших изменений решения. Другими словами, малое антропогенное воздействие / на экосистему не может вызвать необратимых изменений её у, элементов, пока удовлетворяются вышеописанные условия устойчивости [8].
Систему (1) можно записать в векторной форме, если ввести в рассмотрение векторы
У = ( УхУ2.....Уп) и / = (/1/2, .■;/п). (2)
Определив производную вектора у как вектор, у которого каждая составляющая есть производная соответствующей составляющей вектора у, можно переписать систему (1) в следующей векторной форме (3)
£ = /С*оО (3)
Наибольший интерес представляет частный случай системы (1), когда правые части не зависят явно от независимой переменной г
? =МУхУг.....Уп) ((= 1,2, ...,п), (4)
Такая система является динамической. При оценке экологической безопасности строительства используем один из видов динамической системы дифференциальных уравнений - стационарный или автономный.
Динамическая система в векторной форме записывается как
S = /00 (5)
Системы этого вида могут широко применяться в математическом моделировании экологических систем. Так как уравнениями (5) хорошо описывается большой класс систем, называемых репродуктивными. Такие системы слагаются из элементов, способных к росту и самовоспроизводству.
Типичным примером репродуктивной системы является биоценоз естественной экосистемы. Для описания динамики биоценозов системы уравнений (5) пригодны, если:
— биоценоз можно рассматривать приближенно как замкнутую систему относительно миграций особей, то есть как биоценоз определённого биотопа;
— отсутствует эндогенное возникновение видов за счёт эволюционных процессов;
— масштаб времени таков, что параметры биотической среды можно считать неизменными.
Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) состоит в нахождении совокупности п функций
У1 = yi(t), У2 = yi(t), • ■■ Уп = yn(t), (6)
определённых п непрерывно дифференцируемых на некотором интервале и обращающих все уравнения системы (1) в тождества. Совокупность всех этих п функций является решением системы (1). Кривая, определяемая в n-мерном пространстве уравнениями (6), является интегральной кривой системы дифференциальных уравнений (1).
Устойчивое решение y(t) является асимптотически устойчивым, если можно указать такое число r, что из неравенства | xi0 — у ¡о | < r будут следовать соотношения lim | xi(t) — yi(t) |= 0 (i = 1, 2,..., п). Асимптотически устойчивое решение является асимптотически устойчивым в целом, то есть вполне устойчивым, если r = да, то есть, если при любых начальных условиях xi0 решение х()— y(t) при t^w.
В частности, все решения устойчивой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами асимптотически устойчивы в целом (все корни характеристического уравнения такой системы имеют отрицательные действительные части).
Для автономной системы устойчивость положения равновесия по Ляпунову будет иметь следующее решение. Пусть
^ = Л(У1.У2.....Уп) (i = 1,2, :,п) (7)
- автономная система дифференциальных уравнений (все функции f не зависят от t)
И ( У1о,У2о,...,Упо) - какая-либо её точка покоя, то есть f ( у1оу2о.....Упо) =0
(i = 1,2, :,п).
Равновесное решениеyi (t) = yia (i = 1,2, •..,п), соответствующее данной точке покоя, является асимптотически устойчивым, если линеаризованная система (система первого приближения)
^ =SU (j£)(yk - yko) (i = 1,2, :,п) (8)
устойчива (все частные производные берутся в исследуемой точке покоя (
У1о,У2о,...,Упо). Это имеет место тогда, когда все корни s характеристического уравнения
det =0 (9)
имеют отрицательные действительные части. Решение будет неустойчивым, если уравнение (9) имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью;
1/2011 ВЕСТНИК _у2®"_мгсу
если нет корней с положительной действительной частью, но среди корней есть чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. В частности, для системы
% = Р(у, у); £ = а (у, у) (10)
2 (ОР асл /ар ас дР до \
5 - иг+ =0, (11)
характеристическое уравнение есть
"2 ■ I , ,„„ .
Кду ду) \ду ду- ду- ду .
где все частные производные берутся в точке покоя (у0, у0 ).
Для уравнения второго порядка у" = / (у, у) и точки покоя (у, у) (значит, /(у, у)= 0) характеристическое уравнение можно записать, не переходя к системе (11):
¿-т- =0. (12)
Точка покоя системы (10) есть - устойчивый или неустойчивый узел, если оба корня ^ и уравнения (11) действительны и соответственно отрицательны или положительны, седло, если ^ и действительны и имеют разные знаки, - устойчивый или неустойчивый фокус, если ^ и комплексно сопряжены и имеют соответственно отрицательную или положительную действительную часть.
Если корни уравнения (11) чисто мнимы, то для линеаризованной системы точка покоя является центром. Выяснение характера точки покоя данной нелинейной системы требует дополнительного исследования.
Для случаев периодического антропогенного воздействия на экосистему существует математический аппарат по Ляпунову [8] определения устойчивости периодических решений.
Устойчивость периодического неравенства у = ур(г) Ф 0, у = у'р(г) системы (10) зависит от устойчивости такого же решения линеаризованной системы ду
!Л8у дР дР .
8у + -—8у ,
41 ду ду (13)
а5у- до _ , ас _ . ^^
— = ^ +
которой удовлетворяют малые вариации ду, ду периодического решения. (Здесь все частные производные берутся в точке (у(), ур(г)).) Это - система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, имеющими тот же период Т, что и данное решение; уравнения (13) допускают два линейно независимых решения вида
ду = Ни (г), ду = Нл2 (г); ду =еХ1Н21(г), ду =еХ1Н22(1), (14)
где И - периодические функции, а
1 1У=ур(».У=УР(» аг (15)
Периодическое решение устойчиво при X < 0 и не устойчиво при X > 0; случай X
= 0 требует дополнительного исследования.
Таким образом, можно подвести итог, что если система дифференциальных уравнений (1) или (4) является математической моделью экологических процессов, в
которых переменные у], у2,...уп означают численности или плотности популяций различных видов биоценоза, то в каждой рассматриваемой модели биологический смысл,
как уже отмечалось, будут иметь лишь неотрицательные значения этих переменных.
Модели вида (1) и (4) могут использоваться как в задачах исследования динамики ис-
кусственно культивируемых популяций различных организмов и их сообществ, так и в
задачах, связанных с сохранением или эффективной эксплуатацией природных экоси-
стем при техногенном воздействии строительства.
Список литературы
1. Карлин С. Основы теории случайных процессов/ Карлин С. // - М.: Мир, 1971. - 536 с.
2. Гулякин В.Б. Компьютерное моделирование в экологии/ Гулякин В.Б., Полулях С.Н. // Учеб. пособие. Под ред. д. ф.-м. н., проф. Бержанского В.Н. - Симферополь: ТЭИ, 1999. - 30 с.
3. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии/ Джефферс Дж.//
- М.: Мир, 1981. - 256 с.
4. Бутусов О.Б. Математическое моделирование экологических процессов и систем в среде / О.Б. Бутусов // - М.: МГУИЭ Матлаб, 2006. - 126 с.
5. Коротаева Т.А. Математические методы в задачах охраны окружающей среды / Т.А.Коротаева// - М., 2004.
6. Роберте Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным биологическим и экологическим задачам / Ф. С. Роберте// - М.: Наука, 1986. - 495 с.
7. Большеротов А.Л. Система оценки экологической безопасности строительства [монография] /А.Л.Большеротов // -М., Изд-во АСВ, 2010. 216с. ISBN 978-5-93093-757
8. Ляпунов A.M. Собрание сочинений, т.2 / АМЛяпунов // - М. - Л.: Гостехтеориздат, 1952. - 132с.
The literature list
1. Karlin S.Osnovy of the theory of casual processes / Karlin С//- M: the World, 1971. - 536 p.
2. Guljakin V. B. Computer modelling in Guljakin V. B's ecology/, Semipole C.H.//Studies. The grant. Under the editorship of д. F. th. н., the prof. of Berzhansky Century H - Simferopol: TEI, 1999.
- 30 p.
3. Jefers J. Introduction in the system analysis: application in ecology / of Dzheffers Dzh.//- M: the World, 1981. - 256 p.
4. Butusov O. B. Mathematical modelling of ecological processes and systems in / circle O.B.Butusov//- M: MGUIE Matlab, 2006. - 126 p.
5. Korotayev T.A.mathematical methods in problems of preservation of the environment / T.A.Korotaeva//- M, 2004.
6. Roberts F.S.discrete mathematical models with appendices to social biological and ecological problems / F.S.Roberts//- M: the Science, 1986. - 495 p.
7. Bolsherotov A.L. System of an estimation of ecological safety buildings [monogra-phy]/A.L.Bolsherotov//- TH., Publishing house ASV, 2010. 216 p. ISBN 978-5-93093-757
8. Lyapunov A.M. Collected works, т.2 / AM. Lyapunov //- M - L: Gostehteorizdat, 1952. - 132 p.
Ключевые слова: подходы к оценке экологической безопасности строительства, экологическая устойчивости экосистемы, математическое моделирование, математическая модель.
Keywords: Approaches to an estimation of ecological safety of building, ecological stability of an ecosystem, mathematical modelling, mathematical model.
E-mail автора: [email protected]
Статья представлена Редакционным советом «Вестник МГСУ»
