Методологические особенности расчетов надежности функциональных систем самолетов гражданской авиации Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. ДОК 9642-АК/941. Руководство по сохранению летной годности. Международная организация гражданской авиации. 1995 г.

4. Венцель, Е. С. Теория вероятности / Е. С. Венцель. М. : Изд-во Физикоматематической литературы, 1962. 564 с.

5. ОСТ 1 00132-84. Надежность изделий авиационной техники. Методы количественного анализа безотказности функциональных систем при проектировании самолетов и вертолетов.

A. G. Zosimov, O. G. Boyko, L. G. Shaimardanov

THE RELIABILITY CALCULATION METHOD OF THE CIVIL AVIATION AIRPLANES FUNCTIONAL SYSTEMS BY THE STATISTIC MATERIALS OF EXPLOITER

The possibility calculation method of the functional systems breakdown for an hour flight by the statistic materials of exploiter is developed.

УДК 629.7.017

О. Г. Бойко, Л. Г. Шаймарданов

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТОВ НАДЕЖНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ САМОЛЕТОВ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Рассмотрены методические противоречия в расчетах надежности сложных систем, обусловленные проявлением центральной предельной теоремы теории вероятностей, приводящим к реализации нормального распределения вероятности отказа в системах со стационарными параметрами потока отказов агрегатов.

Функциональные системы самолетов осуществляют выполнение многих операций, обеспечивающих безопасность полетов. Они представляют собой сложные разветвленные системы, в которых использовано как общее, так и индивидуальное резервирование. Так, гидросистема самолета Ту-154 М содержит 79 агрегатов, имеет трехкратное общее резервирование и 6-кратное резервирование по гидронасосам. В гидросистеме самолетов Ил-86 и Ил-96-300 применено 4-кратное общее резервирование и 8-кратное резервирование насосных агрегатов. Не менее сложными являются системы управления и механизации планера, топливные системы, системы кондиционирования и др.

Показатели надежности самолетов в целом и их функциональных систем задаются государственными и международными требованиями, отраженными в Нормах летной годности самолетов (НЛГС) [1; 2]. В НЛГС требования к надежности определены в виде допустимых на 1ч полета значений вероятностей отказов систем, приводящих к возникновению в полете неблагоприятных ситуаций, классифицированных как сложная, аварийная и катастрофическая ситуация.

В эксплуатационных подразделениях надежность агрегатов и систем контролируется по косвенным показателям, таким как налет часов на 1 отказ по самолету вце-лом, по системам, по агрегатам; налет на отказ, приводящий к определенным неблагоприятным последствиям (инцидент, серьезный инцидент, авиационное происшествие); количество отказов на 1 000 ч налета (К1 000) и др. Надежность агрегатов и систем самолетов иностранного производства в эксплуатации оценивается в косвенных показателях, не имеющих принципиальных отличий от используемых в гражданской авиации России.

Косвенные показатели оценки надежности задаются головными разработчиками типов самолетов и должны отражать требования НЛГС и облегчить эксплуатантам процедуры контроля надежности.

Крупные авиакомпании, эксплуатирующие десятки однотипных самолетов, принципиально имеют право разрабатывать свои программы технического обслуживания самолетов, направленные на уменьшение эксплуатационных расходов и обеспечивающие поддержание надежности на уровне установленных требований. Разработка таких программ сопряжена с высокой степенью ответственности и должна базироваться на анализе надежности агрегатов и систем выполненном в прямых показателях определяемых НЛГС.

Теория надежности является развитым научным направлением, в рамках которого разработаны методики расчета надежности агрегатов и сложных систем в целом. Вместе с этим следует отметить, что предлагаемые методики не доводятся до расчетов надежности на коротком интервале времени, например на 1ч полета, нормируемой в НЛГС.

При анализе надежности агрегатов и систем в пределах малого интервала выявлен ряд некорректностей, присущих принятым методикам, которые никак себя не проявляют при расчете функций распределения вероятности отказов либо безотказной работы. Обсуждению этих некорректностей и посвящена данная работа.

Рассматривается простой случай, когда интенсивность отказов X либо параметр потока отказов ю являются постоянными величинами, не зависящими от времени I наработки агрегата. Это предположение подтверждается опытом эксплуатации агрегатов, систем и самолетов в

целом независимостью от времени их наработок на 1 отказ зафиксированных в ежегодных отраслевых [3] и полугодовых региональных [4] анализах надежности авиационной техники. Анализ надежности агрегатов и систем самолетов фирмы Боинг [5] предусматривает построение зависимостей числа отказов систем и самолета в целом помесячно за текущий год и нарастающим итогом по средним значениям за одноименные месяцы предшествующих лет эксплуатации. Эти анализы также убедительно показывают устойчивость значений наработок на отказ по налету часов.

Постоянство X и ю по налету часов поддерживается выполнением инженерными службами работ по техническому обслуживанию, которые включают:

- замену агрегатов по отработке ресурсов;

- восстановление либо замену агрегатов, имеющих неисправности;

- диагностирование для выявления неисправностей на ранних стадиях;

- контроль параметров функционирования и недопущение их выхода за предотказные допуски;

- контроль надежности и тенденций ее изменения с целью выполнения работ по недопущению ее уменьшения ниже уровня установленного косвенными показателями.

В принятых методиках анализа надежности [6-9] используются интенсивность отказов X и параметр потока отказов ю. При постоянстве X и ю для расчетов вероятности безотказной работы используется экспоненциальный закон распределения вероятностей

Р = е-'х', (1)

где г - текущее значение времени.

В ряде случаев [8] экспоненциальное распределение признается основным в расчетах надежности агрегатов. Функция распределения вероятности отказа при экспоненциальном распределении (рис. 1) монотонно возрастает от 0и стремится к 1 при неограниченном увеличении времени г. При этом вероятность отказа за некоторый промежуток времени т, например за 1 ч, уменьшается от некоторой величины в начальный момент до нуля при неограниченном увеличении времени.

Рис. 1. Функция распределения вероятности отказа

^— экспоненциальное распределение — — — распределение равномерной плотности вероятности

В работе [7] утверждается, что вероятность отказа на участке т, при экспоненциальном распределении зависит только от величины участка т, но не зависит от координаты его начала.

Экспоненциальное распределение может быть получено из распределения Пуассона

Р = № е-' , т!

(2)

как вероятность попадания на участок протяженностью I ровно т точек при т = 0:

Ро = е-и . (3)

При построении распределения Пуассона на распределение точек на оси наложен ряд ограничений. В частности, предполагается, что вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок I зависит только от длины отрезка, но не зависит от его положения на оси.

Применительно к вероятности безотказной работы это ограничение предопределяет независимость вероятности отказа от положения финансированного отрезка времени на оси времени и ее зависимость только от протяженности этого отрезка. С другой стороны, вероятность отказа на отрезке, например времени т, является приращением функции распределения вероятности на этом отрезке. Характер протекания этой функции при экспоненциальном распределении (рис. 1) наглядно показывает неравенство приращений

А<21 ■ А<22 при г = г1 и г = г2.

Плотность распределения вероятности при экспоненциальном законе имеет вид (рис. 2)

I ) = Хе-х‘. (4)

Очевидно, что значение приращения функции распределения на участке т и в этом случае интегрирования по длине участка зависит не только от его протяженности, но и от положения по оси г.

В работе [9] доказывается характеристическое свойство экспоненциального закона надежности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени длительностью г не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала г (при заданной интенсивности отказа X).

экспоненциальное распределение распределение равномерной плотности вероятности

Вводятся обозначения событий: А - безотказная работа элемента в интервале (0, г0) длительностью г0; В - безотказная работа элемента в интервале (г0, г0+ г) длительностью г; АВ - безотказная работа в интервале (0, г 0 + г) длительностью г0 + г.

Далее находятся вероятности этих событий:

Р(А) = е-1'" ,

Р (В ) = е-1,

ны параллельно. Расчетные выражения для вероятностей отказа этих систем имеют вид

P (AB ) = е-М'° + >= е-н

Определяется условная вероятность того, что элемент будет работать безотказно в интервале (г0, г0 + г) при условии, что он уже проработал безотказно в предшествующем интервале (0, г0):

Р (АВ) е-н • е-1' _и

(В ) =

Q = 1 -( 1 - 1-Ю-16 • t4 )4,

Q = [1 -(1 -110-4 • t)4] 4.

(11)

(12)

(5)

(6) (7)

(8)

Р (А) г-1'"

Полагается, что поскольку в формуле не содержится г0, а содержится только г, то это означает, что время работы в предшествующем интервале не влияет на величину вероятности безотказной работы на последующем интервале, которая зависит только протяженности интервала г.

Здесь следует отметить, что в форме записи выражения (6) и в числителе выражения (8) интервал протяженностью г представлен начинающимся в начале координат, т. е. от 0до г. В постановочной же части задачи интервал определен как (г0, г0 + г), т.е. от г0 до г0 + г, что далеко не одно и то же.

Уменьшение вероятности отказа на единицу времени (1 ч полета) с увеличением времени и тем более ее стремлению к нулю нельзя признать адекватно отвечающим стационарности потока отказов реализуемой при эксплуатации агрегатов функциональных систем самолетов. При постоянстве

(9)

Тср

где Тср - средняя наработка на отказ, естественно было бы считать вероятность отказа на 1ч полета независящей от налета часов. Единственным законом распределения вероятности (рис. 1, 2), удовлетворяющим этому условию, является закон равномерной плотности вероятности, при котором функция распределения вероятности отказа имеет вид

Q = 1 • г либо Q = ю • г. (10)

В отраслевой методике [10] использован именно этот закон, но в предположении малости 1. Очевидно, что при малых 1 (10-5; 10-6) и при наработках свойственных агрегатам самолетов закон равномерной плотности вероятности и экспоненциальный не расходятся сколь либо существенно.

Приняв для описания вероятности отказа агрегатов закон равномерной плотности, рассмотрим характер изменения во времени вероятности отказа системы из 16-ти одинаковых агрегатов, имеющих 1 = 1 • 10-4соеди-ненных последовательно и параллельно. Рассмотрим две схемы резервирования. Индивидуальную, когда 4 блока из 4-х параллельно соединенных агрегатов включены последовательно и общего резервирования, когда 4 цепочки из 4-х последовательно включенных агрегатов соедине-

Искомые функции распределения вероятности отказа приведены на (рис. 3).

В обоих случаях вероятности отказа систем представляют собой S-образные кривые, свойственные нормальному распределению. Для вероятности отказа систем такие кривые известны в трудах по теории надежности [8] и претензий к ним не возникало. Но только до той поры пока не перешли к анализу вероятности отказа на 1 ч. Для рассматриваемых систем эти зависимости приведены на (рис. 4). Поскольку они являются производными от S-образных кривых (рис. 3), то естественным образом их форма, а в существенной степени и содержание, соответствуют плотности вероятности нормального распределения. Производные от выражений (11) и (12) равны нулю при t = 1 • 10-4, поскольку в примере принято распределение с равномерной плотностью вероятности с Ю = 10-4. Вместе с этим уменьшение вероятности отказа на 1ч полета и тем более ее равенство нулю при увеличении времени налета никак не адекватно неизменности числа отказов в системах самолета на единицу времени. С другой стороны, при расчете вероятности отказа системы, в качестве исходной принята предпосылка о Ю = const и о реализации для каждого агрегата закона равномерной плотности вероятности, при котором вероятность отказа на 1ч полета не зависит от времени. В этих условиях мы вправе ожидать, что и вероятность отказа системы на час полета также не будет зависеть от времени.

Штрихпунктирной линией представлены зависимости вероятности отказа и вероятности отказа на 1ч полета для рассматриваемого примера (рис. 3 и 4), но при экс-

Q

0,8

0,6

0,4

0,2

Г У £ . -■ *

/ / f * / /

Й # / > / / /

/ / // / / /

4 ¿С*' /V (X

0

2000 4000 6000 8000

t

Рис. 3. Вероятность отказа системы

общее резервирование _ __ _ индивидуальное резервирование

_ . — . . общее резервирование при

экспоненциальном распределении

поненциальном законе распределения вероятности и только для случая общего резервирования. Принципиальных различий в характере протекания процессов изменения надежности системы при использовании различных законов распределения вероятностей нет.

Центральная предельная теорема устанавливает нормальный закон распределения вероятности для суммы большого числа одинаково распределенных случайных величин. Нормальный закон описывает распределение вероятностей совокупности случайных величин, у которой за пределами интервала ±3 среднеквадратических отклонения практически отсутствуют реализации.

Рассматриваемые нами системы состоят из агрегатов с одинаковым распределением вероятностей отказа. Развернутые выражения для вероятности отказа этих систем содержат не только суммы вероятностей отказов агрегатов, но и их произведения и суммы произведений. Строго говоря, у нас нет корректных доказательств того, что вероятность отказа таких систем может быть представлена нормальным распределением, но зависимости, приведенные на рис. 3 и 4, подталкивают именно к такому выводу. Здесь следует иметь в виду, что плотность вероятности^) определяется формулой

О)

а вероятность отказа на 1ч полета в виде

дад

А ґ ’

при этом Аг - на практике величина 4-го порядка малости сравнительно с диапазоном изменения г и определения (9) и (10) весьма близки друг другу. Тогда становится понятным, что ниспадающая ветвь вероятности отказа на 1ч полета обусловлена уменьшением числа реализаций событий, а ее стремление к нулю их практически пол-

ї (ґ ) =

а (ґ )=■

(13)

(14)

Рис.

4. Вероятность отказа системы на 1 час полета общее резервирование _ _ _ индивидуальное резервирование , _ . _ общее резервирование при

экспоненциальном распределении

ным отсутствием за пределами 3-х среднеквадратичных отклонений свойственным нормальному распределению.

В практике эксплуатации функциональных систем самолетов условие отсутствия реализации при увеличении времени не выполняется. Поток событий стационарен и непрерывен. Возникла на наш взгляд парадоксальная ситуация. С одной стороны, методика расчета вероятности отказа систем, принятая в теории надежности, не вызывает сомнений. С другой - в соответствии с ней вероятность отказа сложных систем описывается 5-образной кривой, свойственной нормальному распределению. При этом вероятность отказа на малом интервале времени стремится к нулю с увеличением времени, что совсем не согласуется со стационарностью потока отказов. В этих условиях вероятность отказа достоверно как свойство системы может быть определена на малом (1ч) отрезке времени, примыкающем к началу координат.

Существует и другой аспект оценки надежности функциональных систем в стационарном процессе эксплуатации, обуславливающий оправданность ее оценки только по значению в начале координат. Рассмотрим его.

С точки зрения эксплуатации парка однотипных самолетов, например в авиакомпании, любой момент времени выполнения анализа надежности можно считать произвольным г.. В этот момент осуществляется сбор и обработка статистической информации, расчет 1 или ю агрегатов и функции распределения вероятности отказа системы. Пусть 5-образной нет. В любой другой момент времени г. + Аг. операции повторяются, интенсивности отказов или параметры потока отказов останутся прежними, и будет рассчитана функция распределения вероятности отказа, эквидистантная первой и отстающая от нее на Аг.. В конечном счете может быть построено поле таких функций распределения (рис. 5). Любому произвольному времени Т будет соответствовать бесконечное множество значений вероятности отказа в интервале от 0 до 1 в зависимости от времени г. начала работ по ее оценке. Из этого множества только одно значение не зависит от момента г.. Это значение вероятности отказа на 1ч полета, примыкающее к началу координат.

В НЛГС [1] в расчетах надежности систем рассматривается только участок времени, примыкающий к началу координат, т. е. от г = 0 до г = 1ч полета либо до г = гп -продолжительности типового полета. Для рассматриваемого примера при общем резервировании, чаще используемом в системах самолетов гражданской авиации, в диапазоне времени от 0 до 1ч вероятность отказа составляет

0,256 • 10-13. Среднее же значение вероятности отказа на 1 ч по диапазону от 0 до 1 000 ч определяется как 0,14 • 10-4.

С позиции эксплуатации агрегатов в составе функциональных систем 1 000 ч - это небольшая наработка, составляющая 10 % межремонтного ресурса малонадежных агрегатов. В связи с этим определение безотказности систем по первому часу либо по первому полету принятое в ОСТ [10], трудно признать оправданным.

В связи с этим представляется заманчивым определить вероятность отказа на 1ч полета по ее максимальному значению. Для рассматриваемого примера оно равно 0,18 • 10-3 и достигается при наработке 3 500 ч.

Высоконадежные функциональные системы самолетов содержат агрегаты с параметрами потока отказов 10-5 10-6, при этом максимум вероятности отказа системы достигается при 60 000.. .80 000 ч, т. е. за пределами ресурса самолета в целом.

отказа системы

Библиографический список

1. АП-25. Авиационные правила. Нормы летной годности самолетов. М. : МАК, 1994.

2. Летная годность воздушных судов. Прил. 8 к Конвекции о гражданской авиации. ИКАО, 1983.

3. Анализ влияния надежности авиационной техники на безопасность полетов за 2003 г. Минтранс России. М., 2004. 102 с.

4. Анализ инженерно-авиационного обеспечения безопасности полетов в авиапредприятиях Красноярского МТУ ВТ МТ РФ за 2003 г. Красноярск, 2004. 24 с.

5. Doc 9642-AN/9441. Руководство по сохранению летной годности. Международная организация гражданской авиации, 1995.

6. Новожилов, Г. В. Безопасность полета самолета. Концепция и технология / Г. В. Новожилов, М. С. Неймарк, Л. Г. Цесарский. М. : Машиностроение, 2003. 143 с.

7. Воробьев, В. Г. Надежность и эффективность авиационного оборудования / В. Г. Воробьев, В. Д. Константинов. М. : Транспорт, 1995. 143 с.

8. Сугак, Е. В. Надежность технических систем / Е. В. Сугак, Н. В. Василенко, Г. Г. Назаров, А. Б. Паньшинч. Красноярск : МПГ «Раско», 2001. 608 с.

9. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике /

В. Е. Гмурман. М. : Высш. шк. 1979. 400 с.

10. ОСТ 1 00132-84. Надежность изделий авиационной техники. Методы количественного анализа безотказности функциональных систем при проектировании самолетов и вертолетов.

O. G. Boyko, L. G. Shaimardanov

THE METHODIC SPECIALTIES OF THE FUNCTIONAL SYSTEMS RELIABILITY OF THE CIVIL AVIATION AIRPLANES

The methodic contradictions in the reliability calculations of complicated systems are considered. These contradictions appear because of revealing of the theory of possibilities center limited theorem which lead to realization of normal distribution of the breakdown possibility in the systems with stationary units breakdown streams.