CC BY
64
УДК 629.7.017
О. Г. Бойко, Л. Г. Шаймарданов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СХЕМНОЙ НАДЕЖНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ САМОЛЕТОВ
Рассмотрены общепринятые методы расчета надежности отдельных агрегатов и сложных функциональных систем. Показана их неадекватность исходным предпосылкам расчета. Предложен метод расчета надежности сложных систем.
Теория надежности является хорошо разработанной областью знаний со сложившимися моделями и методами расчета. Конечный результат расчета схемной надежности сложных систем в теории надежности представляется в виде интегральной функции распределения отказа или безотказной работы от времени. В самолетостроении надежность систем нормируется нормами летной годности [ 1 ] как вероятность реализации в течении 1 ч полета отказа, приводящего к последствиям различной степени тяжести. Приведение интегральных функций распределения вероятности отказа, полученных по принятым в теории надежности методикам, к 1 ч полета часто дает результаты, не согласующиеся со здравым смыслом и с практикой эксплуатации авиационной техники.
Системы самолетов включают в свою структуру различные агрегаты, соединенные как последовательно, так и параллельно. В связи с этим рассмотрение проблемы расчета схемной надежности следует начать с моделирования безотказности агрегатов. Надежность агрегатов систем самолетов в практике гражданской авиации оценивается коэффициентом К1 000. Он представляет собой количество отказов отдельных агрегатов, систем и самолета в целом приходящееся на 1 000 ч налета. С другой стороны К1 000 однозначно определяет параметр потока отказов ю, равный среднему числу отказов за один час. Параметр потока отказов определяют как 1 деленную на среднюю наработку на 1 отказ будь то агрегат, система, либо самолет в целом. Отечественный и зарубежный опыт эксплуатации авиационной техники убедительно показывает независимость К1 000 и ю от времени при стационарном процессе эксплуатации. Параметр потока отказов применительно к авиационной технике принимается постоянным в учебной [2; 3], научной [4] литературе и отраслевом стандарте [5]. Его постоянство поддерживается работой инженерно-авиационных служб, осуществляющих техническое обслуживание.
В традиционных методах расчета надежности [2-5] интегральную функцию вероятности отказа д(г) агрегата (рис. 1) моделируют в виде экспоненциального распределения:
д(г) = 1 - е-юг. (1)
Вероятность отказа на 1ч полета определяется как тангенс угла наклона секущей на участке равном одному часу по оси г к кривой д(г). Поскольку для изделий авиационной техники время г измеряется тысячами и десятками тысяч часов, участок, равный 1 ч, является величиной третьего, четвертого порядка малости, и угол наклона секущей к этому участку может быть принят равным углу наклона касательной к точке на рассматриваемом
участке. Это означает возможность определения вероятности отказа на 1 ч в виде плотности вероятности. При этом вероятность отказа на 1ч полета (рис. 1) изменяется от некоторой величины до 0, при увеличении времени г. Этот результат никак не согласуется с исходной предпосылкой о независимости параметра потока отказов от времени. Представленная на рис. 1 зависимость, определяемая выражением (1), является интегральной функцией вероятности отказа. Она оценивает вероятность реализации отказа на участке времени от 0 до г. Эта вероятность зависит как от собственно свойства безотказности агрегата, так и от протяженности интервала времени (0, г).
Рис. 1. Экспоненциальная зависимость вероятности отказа от времени
Свойство безотказности агрегата по формуле (1) оценивается параметром потока отказа ю. Время в (1) не оценивает свойство безотказности агрегата. Его введение в выражение (1) определено способом вычисления интегральной вероятности для непрерывных (не дискретных) величин.
Единственным законом распределения случайной величины, удовлетворяющим этому требованию, является распределение с равномерной плотностью вероятности, при котором выражение (1) принимает вид
д(г) = ю г. (2)
Тогда вероятность отказа на 1 ч д1 будет
Чх = Ч!(г) = ю- (3)
Существует и другая не менее важная проблема расчета схемной надежности систем самолетов. Как известно, расчет схемной надежности основан на использовании теоремы умножения вероятностей. Вероятность безотказной работы последовательно соединенных элементов определяется как произведение вероятностей безотказной работы этих элементов, а вероятность отказа параллельно соединенных элементов - произведение вероятностей их отказов.
Рассмотрим тестовый пример системы, в которой параллельно включены 3 цепочки, содержащие по 3 последовательно соединенных элемента. Все элементы примем одинаковыми: ю = 0,1. При законе равномерной плотности вероятности отказа элементов математическая модель отказа такой системы имеет вид
в(г) = [1 - (1 - ю г)п]п, (4)
где п = 3 - число элементов в цепочке и число цепочек.
В соответствии с ней, при ю = 0,1 (рис. 2) ей соответствует вероятность отказа на 1 ч являющаяся функцией времени с явно выраженным максимумом в диапазоне г = 4...5 ч, т. е. вероятность отказа на 1 ч в начале чего возрастает до максимума, а затем уменьшается. Такой характер изменения вероятности отказа на 1ч не соответствует исходному постулату о неизменности по времени параметра потока отказов элементов системы. Кроме того, поскольку вероятность отказа элементов принята подчиняющейся закону равномерной плотности вероятности, неизменными по времени являются и их вероятности отказа на 1 ч.
Выражение (4) после его раскрытия содержит суммы вероятностей и суммы произведений вероятностей. В соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей распределение суммы независимых случайных величин сколь угодно близко сходится с нормальным распределением по мере увеличения числа членов суммы. Интегральная функция распределения вероятностей (рис. 2) схожа с соответствующей функцией нормального распределения. В [6] нами показано, что замена распределения равномерной плотности вероятностей элементов системы на экспоненциальное качественно не отличается от характера изменения интегральной функции распределения вероятностей системы от времени.
Рис. 2. Интегральная функция распределения вероятности отказа по времени
Рассмотрим отмеченную проблему более подробно. На рис. 3 и 4 приведены Интегральные функции распределения вероятностей отказа и безотказной работы для систем из последовательно (рис. 3) и параллельно (рис. 4) соединенных п одинаковых элементов, имеющих ю = 0,1, они построены по выражениям
Р = (1 - ю г)п; (5)
2 = юп гп. (6)
Вероятности безотказной работы первого, второго, третьего и четвертого последовательно соединенных элементов достигают нулевого значения при одной и той же наработке, равной 10 ч (рис. 3). Мы вправе ожидать, что система из 4-х последовательно соединенных элементов откажет существенно раньше, чем один из них.
Рис. 3. Интегральная функция распределения вероятности отказа по времени
Система из 3-х параллельно соединенных одинаковых элементов (рис. 4) откажет с вероятностью, равной 1, при одной и той же наработке, что и система, состоящая из одного элемента. Такое поведение так же не согласуется со здравым смыслом.
Рис. 4. Распределение вероятности безотказной для системы из п последовательно соединенных элементов
Здесь нам могут возразить, так как в тестовых примерах использовано распределение равномерной плотности вероятности.
Распределения вероятности безотказной работы последовательно соединенных элементов, вероятности которых имеют экспоненциальное распределение (рис 5) рассчитаны по выражению
Р(г) = е -пюг. (7)
Принципиальных отличий от поведения системы и распределения вероятности отказа элементов равномерной плотности нет. При г = 20 ч вероятности отказа вторых, третьих, и четвертых элементов в цепочке мало отличаются.
В теории вероятности [7] при рассмотрении доказательств теоремы умножения вероятностей и ее применимости к схемам последовательно и параллельно соединенных элементов, вероятности отказа и безотказной работы элементов не выражены в виде функций времени. Построение решений относительно вероятности отказа систем в теории надежности выполняется относительно интегральной функции распределения вероятности. При этом со временем выполняются все операции, свойственные математической модели надежности системы. Его складывают, перемножают, возводят в степени.
Рис. 5. Распределение вероятности безотказной работы при последовательном соединении экспоненциальном распределении вероятности элементов
Так, в отраслевом стандарте по расчету надежности функциональных систем самолетов [5] вероятность б^-го отказа системы определена в виде, характерном для параллельного соединения элементов:
во(^ О = Ч ' Чъ ' Чт ' Ч ' ^ (8)
где Чт - вероятность отказа т-го элемента за время ги; г - время одного полета, равное 1 ч.
Поскольку для высоконадежных элементов авиационной техники в стандарте предложено принять чт = “т • ї, предшествующее выражение переписано в виде
в0 О = “а • “в • “ • “р • “а • О (9)
Здесь время принято за характеристику свойства безотказности элементов системы, а вероятность отказа определена как парабола г-ой степени от времени. При этом вероятность отказа на 1ч полета будет круто возрастающей параболой (г - 1) степени времени. В то же время в выражении “ • гп параметр потока отказов “т принят независящим от времени. Кроме того, согласно закону равномерной плотности вероятности он равен вероятности отказа на 1 ч: 4.
Таким образом, вероятность в0 ($_,, ги) возникновения отказа системы, составленной из элементов, вероятность отказа которых на 1ч полета не зависит от времени, выражена в виде функции времени степени г. Но вероятность отказа системы на 1ч полета, составленной из элементов, вероятность отказа которых на 1ч не зависит от времени, также не зависит от времени. В этом случае в0 (5, г) является функцией времени, но не г-й, а первой степени. Время не является свойством элементов систе-
мы и системы в целом. Оно представляет внешний фактор, влияющий на интегральный показатель надежности, и нам представляется целесообразным с этим считаться. Такой учет можно без особого труда выполнить для систем вероятности отказов элементов, которые распределяются с равномерной плотностью вероятности. Для этого достаточно построить решение относительно вероятности отказа системы на 1 ч, а затем ввести время. В связи с изложенным представляется весьма оправданным нормирование в летной годности [1], надежности систем именно как свойства на единицу времени (1ч полета).
Для тестового примера системы с п элементами, соединенными в цепочки последовательно, и имеющую п параллельно соединенных цепочек (случай общего резервирования), решение строится следующим образом. Определяется вероятность безотказной работы цепочки за 1 ч.
Рц = (1 -ю)",
вероятность ее отказа за 1 ч:
2ц =1 -(1 -ю)п.
Вычисляется вероятность отказа системы за 1 ч:
2С = [2Ц = 1 - (1 - ю)п] п (10)
и, наконец, расчитывается интегральная функция распределения вероятности отказа:
2с(г) = [2ц = 1 - (1 - ю)п] п • г. (11)
Для системы с индивидуальным резервированием подобным же образом находим вероятность отказа системы за 1 ч:
2С = 1 - (1 - юп)п; (12)
интегральную функцию вероятности отказа:
2с(г) = [1 - (1 - юп)п] • г. (13)
Здесь следует отметить, что исходным условием расчета надежности тестовой системы явилась постулированная независимость параметров потока отказов элементов системы от времени, т. е. независимость физических свойств элементов системы от времени. Полученное решение следует этому постулату. Вероятности отказа на 1ч согласно формулам (10) и (12) отражают свойство системы, также независящее от времени. В заключение приведем интегральные функции вероятности отказа тестовой системы при общем и индивидуальном резервировании (рис. 6, 7).
Рис. 6. Интегральные функции вероятности отказа тестовой системы ри общем резервировании
В рассмотренном методе определения вероятности отказа на 1ч и интегральной функции вероятности отказа, параметр потока отказов ю и вероятность отказа на 1ч для агрегатов приняты независящими от времени. Часто при определении вероятности отказа сложных систем в выражение интегральной функции вероятности отказа либо безотказной работы прямо подставляются интегральные функции вероятности отказа либо безотказной работы агрегатов. Так, в [2; 3] и в других работах вероятность безотказной работы простейшей системы из n параллельно соединенных элементов рассчитывается по формуле
P (t) = 1 -[1 - P(t)]n , (14)
где P(t) - случайная функция времени.
Рис. 7. Интегральные функции вероятности отказа тестовой системы при индивидуальном резервировании
По выражению (14) строится зависимость Р от г.
Поскольку Р(г) - случайная величина, а Р (г) является функцией случайной величины, то решение (14) трудно признать корректным.
В теории вероятности хорошо описан раздел «Функции от случайных величин». В нем представлены методы определения плотности вероятности, математического ожидания и дисперсии функции от случайных величин.
Относительно стандартов в [8] отмечено, что «... из-за неграмотности разработчиков, государственные стандарты содержали многочисленные ошибки. Для анализа ситуации в 1985 г. была организована рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам. С целью исправления положения был организован Всесоюзный центр по статистическим методам. Центр работает в структуре МГТУ им. Н. Э. Баумана. В связи с обнаружением грубых ошибок в государственном стандарте по статистическим методам были отменены в 1986-87 гг.».
Библиографический список
1. АП-26. Авиационные правила. Нормы летной годности / Межгос. авиац. комитет. М., 1989.
2. Воробьев, В. Г. Надежность и эффективность авиационного оборудования / В. Г. Воробьев, В. Д. Константинов. М. : Транспорт, 1995.
3. Сугак, Е. В. Надежность технических систем / Е. В. Сугак, Н. В. Василенко, Г. Г. Назаров. Красноярск : МПГ «Раско». 2001.
4. Новожилов, Г. В. Безопасность полета самолета. Концепция и технология / Г. В. Новожилов, М. С. Ней-марк, Л. Г. Цесарский. М. : Машиностроение, 2003.
5. ОСТ 1 00132-84. Надежность изделий авиационной техники. Методы количественного анализа безотказности функциональных систем при проектировании самолетов и вертолетов. М. : Изд-во стандартов, 1984.
6. Зосимов, А. Г. Методы расчета надежности функциональных систем самолетов гражданской авиации / А. Г. Зосимов, О. Г. Бойко, Л. Г. Шаймарданов // Вест. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та. им. акад. М Ф. Решетнева. Красноярск. 2007. № 4 (17).
7. Венцель, Е. С. Теория вероятности / Е. С. Венцель. М. : Физмат, 1962. 563 с.
8. Орлов, А. И. Эконометрика / А. И. Орлов. М. : Экзамен, 2003.
O. G. Boyko, L. G. Shaimardanov
THE MATHEMATIC MODELS AND METHODS OF CALCULATION OF THE SCHEME RELIABILITY OF THE AIRCRAFTS FUNCTIONAL SYSTEMS
The common calculation methods of separate aggregates and complicated functional systems reliability are viewed. Theese are not adequate with the initial premises of calculation. The complicated systems reliability calculation method is proposed.
