Методика введения производной на основе метода обобщения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ART 170076 УДК 372.851

Гилев Валерий Георгиевич,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, информа тики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Ишимский государствен ный педагогический институт им. П. П. Ершова», г. Долгопрудный Gilev.valerv@gmail.com

Методика введения производной на основе метода обобщения

Аннотация. Рассматриваются задачи, приводящие к понятию производной: касательная к кривой и мгновенная скорость изменения функции. Вводится функция обобщения, которая является производной, но определяется без использования теории пределов. Способ, с помощью которого определяется функция обобщения, называется методом обобщения.

Ключевые слова: функция, касательная, мгновенная скорость, производная, функция обобщения, дифференцирование.

Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Если некоторое выражение М(х) = 0 при х = х0, то М(х) можно представить в виде произведения: М(х) = (х - х0) • Л(х). При х = х0: (х - х0) = 0; Л(х) Ф 0, если х0 -однократный корень.

Для функции у = /(х) разность Д(х1; х2) = /(х2) - /(х1) также представима в виде произведения:

Д(х1;х2) = /(х2) - /(х1) = 5(х1;х2) • Л(х1; х2) с условием, что при х1 = х2

5(х1;х2) = 0,л(х1;х2) Ф 0 . Обозначим точку х1 через х0: х1 = х0. Точку х2 обозначим через х: х2 = х. Тогда предыдущее равенство перепишется:

Д(х0;х) = /(х) - /(х0) = 5(х0;х) • Л(х0;х) причем 5(х0; х) = 0, Л(х0; х) Ф 0 при х0 = х. Для рациональных функций множитель 5(х0;х) = х - х0, поэтому

Д(Х0; х) = /(х) - /(Х0) = (х - Х0) • Л(Х0; х). Имеем: /(х) - /(х0) = (х - х0) • Л(х0;х) или у - у0 = (х - х0) • Л(х0;х). Обобщение, путем замены х0 на х в выражении Л(х0;х), определяет функцию обобщения 5(х) = Л(х). В статье показывается, что функция обобщения совпадает с производной: 5(ж) = / (ж).

Конкретизация - замена х на х0 в выражении Л(х0;х), определяет значение функции обобщения в точке х0: 5(ж0) = /'(*о).

Метод, при помощи которого находится функция 5(х), называется методом обобщения [1].

В статье приводятся примеры нахождения производных элементарных основных функций без использования теории пределов путем нахождения функции обобщения. На наглядно интуитивном уровне вводятся основные понятия математического анализа. С использованием функции обобщения доказываются первый и второй замечательные пределы.

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

научно-методический электронный журнал

Приращение аргумента и приращение функции

Разность х — хо называется приращением аргумента и обозначается Дх:

Дх = х — х0.

Разность у — уо называется приращением функции и обозначается Ду:

Ду = У — Уо.

Так как у = /(х), уо = /(хо), то Ду = Д(хо;х) = /(х) — /(хо); Ду = /(х) — /(хо).

Если величины х и у связаны функциональной зависимостью у = /(х), то приращение функции Ду, соответствующее приращению аргумента Дх, называют разностью Ду = /(х + Дх) - /(х).

Касательная. Понятие предела

Пусть дан график функции у = /(х) (рис. 1).

Зафиксируем на графике точку М0 с абсциссой х0. Точку М с абсциссой х (текущей координатой) сделаем свободной. Точка М0(х0; у0) фиксированная, точка М(х;у) свободная.

Тогда Дх = х — х0, Ду = у — у0.

Определение 1. Касательной к кривой в точке М0 называется прямая К0М0, которая является предельным положением секущей КМ, когда точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0.

Выделим на кривой у = /(х) точки М0(х0; у0) и М(х;у). Через точку М0 проведем касательную К0М0 и секущую КМ.

Угол касательной с осью Ох обозначим через а = ¿М0К0М0. Угол секущей с осью Ох обозначим (3 = ¿МКМ = zММ0Е.

Рис 1

Имеем уравнение касательной К0М0: у = уравнение секущей КМ: у = приращение аргумента: х — х0 = Дх; приращение функции: /( х) — /(х0) = Ду; тангенс

угла наклона секущей: ^ = = тангенс угла наклона касательной: г^а =

Заметим, что к — угловой коэффициент касательной К0М0, к' — угловой коэффициент секущей КМ.

Предположим, что точка М0 остается неподвижной, а точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М0. Тогда:

- секущая КМ поворачивается вокруг точки М0, стремясь занять положение касательной К0М0;

- точка х стремится к точке х0, следовательно, Дх = х — х0 стремится к 0;

- соответственно, Ду = у — у0 стремится к 0;

- угол р стремится к углу а;

научно-методический электронный журнал

„ MW ^ MoWo ,

- = — стремится к toa = = fc;

- к стремится к fc.

В математическом анализе слово «стремится» заменяют символом —, а результат такого стремления обозначают символом Zim. В нашем случае будем иметь:

—

- КМ — К0М0, lim КМ = К0М0;

м—м0

- X ^ Хо, Zí^^ X = Хо/

х — х0

- Дх = (х — х0) — 0, Ит Дх = Ит (х — х0) = 0;

х —^ Хо х —^ Хо

- Ду = (у — уо) — 0, Ит Ду = Ит (у — уо) = 0

х —^ Хо ^ —^ Хо

- ^ — a, lim ^ = а;

X — х0

Ду

- tg^ — tga = k, Zim tg^ = Zim — = tga = fc;

P —а Дх—0

- k — k, Zim k = k.

Дх—0

Из имеющихся равенств выделим: к =

Угловой коэффициент касательной

Угловой коэффициент касательной определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

k = Zim —.

Дх—о Дх

Угловой коэффициент касательной в точке х есть число, которое зависит от выбора точки х, но не зависит от выбора Дх (к тому же Дх может принимать как положительные, так и отрицательные значения). Если рассматривать угловой коэффициент касательной в различных точках х, то мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, угловой коэффициент касательной есть функция переменной х, определенная на множестве, совпадающем либо с областью определения данной функции /(х), либо с некоторой ее частью (см. Замечание).

Замечание. Возможно, что не ко всем точкам области определения функции можно провести касательную (рис. 2). Из рисунка видно, что к точкам Л, В и С нельзя провести единственную касательную.

научно-методический электронный журнал

Понятие скорости изменения функции. Скорость изменения функции

в точке (мгновенная скорость)

На рис. 3 и 4 представлены графики возрастающих функций. Для точек, принадлежащих графикам этих функций, приращения аргументов одинаковы. Но соответствующие приращения функций различны: приращение функции на рис. 3 меньше, чем приращение функции на рис. 4. В этом случае говорят, что скорость изменения второй функции больше, чем скорость изменения первой.

Скоростью изменения функции называется отношение приращения функции к

тг Ду

приращению аргумента: V =

На графике функции у = /(х) (рис. 5, 6) выберем произвольную точку М0(х0; у0) и зададим приращение аргумента Дх. На рис. 5 Дх > 0, на рис. 6 Дх < 0. В результате получим соответствующую точку М(х0 + Дх; у0 + Ду). Теперь начнем приближать по графику функции точку М к точке М0 таким образом, что Дх ^ 0.

В этом случае отношение приращения функции к приращению аргумента называется скоростью изменения функции в точке х0, или мгновенной скоростью изме-

Ду

I Дх^ 0 = Д-.

нения функции: КМГН. = - 0 Д-^-0 ДХ.

Мгновенная скорость изменения функции /(х) в точке х0 есть число, которое зависит от выбора точки х0, но не зависит от выбора Дх. Если рассматривать мгновенную скорость функции /(х) в различных точках х, то мы будем получать, вообще го-

научно-методический электронный журнал

воря, различные значения. Таким образом, мгновенная скорость есть функция переменной х, определенная на множестве, совпадающем либо с областью определения данной функции /(х), либо с некоторой ее частью (см. Замечание).

Замечание. Возможно, что функция f(x) имеет мгновенную скорость не во всех точках своей области определения. Например, для функции у = f(x) (рис. 7) мгновенная скорость в точках А, В и С неопределенная. На самом деле: видим, что слева от точки а скорость изменения функции больше, чем справа; слева от точки b скорость изменения функции положительная, а справа - отрицательная; слева от точки с скорость изменения функции отрицательная, а справа - положительная. Сказать, какова скорость изменения функции в самих точках, невозможно.

.. Ду Ду

цию переменной х: lim — = —

Дх^0 Дх Дх

Понятие производной

Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости изменения функции, по существу, выполняется одна и та же операция, задающая функ-

Эта функция называется производной функции

/(х) в точке х и обозначается /'(х) или у .

Определение 2. Производной функции у = f(x) в данной точке х называется предел отношения приращения функции Ду к соответствующему приращению аргумента Дх при Дх ^ 0, если этот предел существует:

f (х) = lim —; у' = lim —.

Дх^0 Дх Дх^0 Дх

Так как производная функции сама является функцией, то пишут: у = / (х).

К понятию производной мы пришли двумя различными способами, рассматривая значение производной в точке как тангенс угла наклона касательной к этой точке (угловой коэффициент касательной) и как мгновенную скорость изменения функции в этой точке. В курсе математического анализа рассматриваются и другие задачи, приводящие к понятию производной.

Таким образом, производная является универсальным понятием, которое используется в различных областях науки. Поэтому в курсе математического анализа разрабатываются способы отыскания производных различных функций. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Исходя из определения производной, выводятся правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Полученный математический аппарат позволяет исследовать функции, описывающие реальные процессы.

научно-методический электронный журнал

Для нас представляет интерес тот факт, что производные мы уже находили, когда исследовали функции на монотонность методом обобщения. Оказывается, функция обобщения 5(х) = Л(х) - это и есть производная /'(х). Об этом речь ниже. Их отличие заключается в том, что 5(х) получается методом обобщения, а /'(х) - с использованием теории пределов, с которой начинается разработка математического аппарата, составляющего содержание курса математического анализа. Для исследования элементарных основных функций вполне достаточно функции обобщения.

Функция обобщения является производной: 5(ж) = /'(*)

Теорема 1. Для рациональных функций функция обобщения 5(х) совпадает с производной /'(х).

Доказательство

На самом деле, пусть дана функция у = /(х) (рис. 8).

Тогда Ду = /(х) - /(х0) = 5(х0;х) • л(х0;х), где 5(х0;х) > 0,Л(х0;х) Ф 0.

Имеем:

у = /(х), Х0,х GDf; Дх = х - Х0; Ду = /(х) -/"( Х0); Ду = ß^x) • Л^х).

Если функция у = /(х) рациональная, то /(х) - /(х0) = (х - х0) • Л(х0;х); х хо = Дх; /(х) - /(Хо) = Ду.

Ду

Таким образом, Ду = Дх • Л(х0;х). Значит, = Л(х0;х). Получаем:

/'(х0) = ~ = /¿шЛ(х0;х) = Л(х0) = 5(х0). Откуда /'(х0) = 5(х0).

Обобщая, заменив х0 на х, получим: /'(х) = 5(х). Вывод: /'(х) = 5(х) по определению.

Теорема 2. Для трансцендентных функций значение функции обобщения 5(х0) совпадает со значением производной функции в точке касания /'(х0). Доказательство

Пусть у = /(х) - трансцендентная функция.

В разложении: Д(х0;х) = /(х) - /(х0) = 5(х0;х) • Л(х0;х), 5(х0;х) Ф х - х0.

Тогда Ду = /(х) - /(Х0) = 5(х0; х) • Л(х0; х).

Имеем:

5(х0; х)

Ду = 5(х0; х) • Л(х0; х) = Дх---х);

х - х0

5(х0;х) Ду 5(х0;х)

Ду = Дх---х); — ---х).

х - х0 Дх х - х0

научно-методический электронный журнал

Получаем:

f '(х0) = lim — = Um^^l^ UmA(x0;x) = цт ^^^ • A(x0) = lim ^^ S(x0).

Ах^0 Ах Х^Х0 х-х0 Х^х0 х^х0 х-х0 х^х0 х-х0

Откуда f'(х0) = lim в(х<0,х) • 5(х0).

Х^Х0 Х-Хо

При условии, что касательная к графику функции в точке х0 (или мгновенная скорость изменения функции в точке х0) одна, то f (х0) = 3(х0). Обобщая, заменив х0 на х, получим f'(х) = S(x).

Из теорем 1 и 2 делаем вывод, что функция обобщения является производной [2].

Метод обобщения появился более 20 лет назад в результате решения проблемы исследования функций на монотонность без использования производной [3, 4]. За прошедшие годы мною были написаны и изданы книги по данной проблеме, опубликован ряд статей и выступлений на конференциях.

Не возражая в принципе против метода обобщения, мои оппоненты высказывают мнение о невозможности использования данного метода в школе. В статье я пытаюсь показать, что функция обобщения, являясь по сути производной, позволяет эффективно ввести элементы математического анализа, опираясь на интуитивные представления учащихся о пределах.

Функция обобщения выступает в качестве связующего звена элементарного исследования функций и применения теории пределов, с помощью которой создан мощнейший математический аппарат. Более того, появляется возможность исследовать функцию на выпуклость графика [5].

Ведение в школьный курс математики метода обобщения при исследовании функций избавляет школьников от изучения теории пределов. Зато в вузе появляется возможность легко «оттолкнуться» от функции обобщения, отметив, что это производная, но ее практически невозможно получить для функций, которые будут изучаться в курсе математического анализа. Появляется мотивация для изучения «с чистого листа» довольно сложного учебного материала о пределах готовыми для этой работы студентами [6].

Ссылки на источники

1. Гилев В. Г. Исследование функций на монотонность // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 7 (июль). - С. 95-104.

2. Гилев В. Г. Первый замечательный предел // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - Т. 17. - URL: http://e-koncept.ru/2016/46253.htm.

3. Дворянинов С. В., Розов Н. Х. Некоторые замечания об изучении функций в школе // Математика в школе. - 1994. - № 5.

4. Гилев В. Г. Об одном методе нахождения промежутков монотонности рациональных функций // Математика в школе. - 1996. - № 2.

5. Гилев В. Г. Методика исследования функций на выпуклость графика // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август).

6. Гилев В. Г. Программа элективного курса по математике «Исследование функций на монотонность в 9 классе» // Математика в школе. - 2016. - Диск-приложение к № 9-10.

Valery Gilev,

Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor at the chair of Mathematics, Informatics and Methods of Teaching them; Ishim State Pedagogical Institute after P.P.Ershov, Dolgoprudny Gilev.valery@gmail.com

The method of introducing the derivative on the basis of the generalization method Abstract. The paper deals with the problems that lead to the concept of a derivative: the tangent to the curve and the instantaneous rate of change of the function. A generalization function is introduced, which is a derivative, but it is determined without using the theory of limits. The method by which the generalization function is defined is called the generalization method.

Key words: function, tangent, instantaneous velocity, derivative, function of generalization, differentiation.

References

1. Gilev, V. G. (2016). "Issledovanie funkcij na monotonnost'", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 7 (ijul'), pp. 95-104 (in Russian).

2. Gilev, V. G. (2016). "Pervyj zamechatel'nyj predel", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", t. 17. Available at: http://e-koncept.ru/2016/46253.htm (in Russian).

3. Dvorjaninov, S. V. & Rozov, N. H. (1994). "Nekotorye zamechanija ob izuchenii funkcij v shkole", Ma-tematika v shkole, № 5 (in Russian).

4. Gilev, V. G. (1996). "Ob odnom metode nahozhdenija promezhutkov monotonnosti racional'nyh funkcij", Matematika vshkole, № 2 (in Russian).

5. Gilev, V. G. (2016). "Metodika issledovanija funkcij na vypuklost' grafika", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 8 (avgust) (in Russian).

6. Gilev, V. G. (2016). "Programma jelektivnogo kursa po matematike "Issledovanie funkcij na monotonnost' v 9 klasse", Matematika v shkole. Disk-prilozhenie k № 9-10 (in Russian) (in Russian).

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 18.01.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 27.01.17

Принята к публикации Accepted for publication 27.01.17 Опубликована Published 29.04.17

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Гилев В. Г., 2017

www.e-koncept.ru