Методика решения обратной кинематической задачи грузоподъемного крана Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.87; 681.5

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ГРУЗОПОДЪЕМНОГО КРАНА

В.С. Щербаков, М.С. Корытов, С.В. Котькин

Аннотация. Статья посвящена вопросу определения значений управляемых координат грузоподъемного крана при заданных координатах точки подвеса груза. Ключевые слова: грузоподъемный кран, алгоритм, обратная кинематическая задача.

Введение. Задача определения управляемых координат грузоподъемного крана по координатам рабочего органа, или обратная задача кинематики, является актуальной. Решение обратной задачи кинематики является неотъемлемой частью прикладных задач более высокого иерархического уровня, таких, как синтез и оптимизация конструктивных параметров машины, технологических параметров рабочего процесса и др. Прямое аналитическое решение этой задачи во многих случаях затруднено, хотя является наиболее предпочтительным по причине его максимальной точности.

Для грузоподъемного крана решение обратной задачи кинематики необходимо при планировании траектории в пространстве конфигураций машины. Определенную сложность при этом создает кинематическая избыточность механической системы крана, которая приводит к неоднозначности решения задачи и требует поэтапного решения с наложением дополнительных ограничений.

При математическом описании механизма грузоподъемного крана были приняты 13 обобщенных координат (рисунок 1): перемещение базового шасси вдоль оси Х0 ^); перемещение базового шасси вдоль оси Y0 ^2); перемещение базового шасси вдоль оси Z0 ^3); поворот базового шасси вокруг

оси Х1 ^4); поворот базового шасси вокруг

оси Z1 ^5); поворот базового шасси вокруг

оси Y1 ^6); поворот поворотной платформы

вокруг оси Y2 (97); поворот стрелы вокруг оси Z3 (98); выдвижение телескопического звена вдоль оси Х4 (99); перемещение груза вдоль оси Y5 (910); поворот груза вокруг оси Z5 (9и); поворот груза вокруг оси Х5 (912); поворот груза вокруг оси Y5 (913). В случае обеспечения горизонтального положения опорной платформы при помощи систем автоматического горизонтирования [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], может использоваться методика определения значений управляемых координат грузоподъемного крана по известным координатам груза, которая заключается в описанной ниже последовательности шагов. Предполагаются известными декартовы координаты точки подвеса груза [хгр; угр; zгр], заданные в неподвижной системе координат O0ХoYoZo, а также координаты точки 01 начала системы координат О1Х^^1, связанной с базовым шасси автокрана: [91 q2; qз; 0; 0; q6].

Алгоритм определения значений управляемых координат

Определяются координаты груза в полярной системе координат, связанной с базовым шасси (значение координаты угла поворота q7 и вылета р). Используется схема, приведенная на рисунке 1, а, и зависимости для перевода декартовых координат в полярные на плоскости [9]:

Р = уЦхёб -9-)2 +(*ав -9з)2 ; (1)

аг^

аг^

при {хгр - ^ )> 0;

+ ж при (хгр - ^ )< 0, (ггр - Уз )> 0

(х - 91 )< 0, (і - Уз )

П при1х

< 0;

пРи (хгр - ?1 )= 0■ (ггр - Уз )> 0

гр

при \Хгр - #1 / = 0>\2гр ~ $3 ) < 0

(2)

гр

Отсюда, при известном значении 9б:

97 = 96,7 - 96.(3)

2. Определяются максимальные и минимальные значения диапазонов управляемых координат грузоподъемного крана [98В 98Н]; [99В 99Н].

2.1. Для этого определяются значения вылета стрелы р, соответствующие четырем возможным сочетаниям максимальных и минимальных допустимых конструкцией грузоподъемного крана значений координат 98 и 99 (точки 1, 2, 3, 4 положения оголовка стрелы, рисунок 2):

Точка 1 (р=р1): 98 = 98тах; 99 = 99т|п ;(4)

Точка 2 (Р=Р2): 98 = 98тах ; 99 = 99тах ;(5)

Точка 3 (р=рз): 98 = 98тіп ; 99 = 99тіп ;(6)

Точка 4 (Р=Р4): 98 = 98тіп ; 99 = 99тах .(7)

Для каждого сочетания значений q8 и q9 используется последовательность вычислений:

9 8,1 = аг^д

К2,5 "\/(х 3,33 + 99 ) +

V

V 3,33

У 4,43

+ 9 9

л

(8)

Р = К 2

у 4,43 ;

98,2 = 98 - 98,1 ; сов(98,2 - Х12 ) (9)

По (8) - (9) определяются последовательно 4 постоянных значения: р1, р2, р3, р4.

2.2. По заданному текущему значению р определяются граничные значения диапазонов управляемых координат [98В 98Н]; [99В

99Н].

При р1<р<р2:

(

98В = 98тах; 98Н = arCtg

Л

Х 3,33 + 9 9

+ агссов

99Н 99тіп ; 99В =

V '3,33

(х1,2 + р- у 4,43 • віп(98тах )) СОв(99тах )- Х3,33 '

Х1,2 +Р

уіУ4,43 + (х3,33 + 99тіп )

(10)

При Р2<Р<Р3:

99В = 9этах; 9бВ = аГСЪ

4,43

9 9Н = 9эт.; 9 8Н = агс*д

V Х3,33 + 9этах у Л

+ агссов

Х1,2 + Р

(

4,43

V Х3,33 + 9этт у

+ агссов

К-\У4,43 + (х3,33 + 9этах )

____________Х1,2 +Р_______________

Vу4,43 + (х3,33 + 99тіп )

(11)

4,43

При рз<р<р4

(

q8B = агсід

\

у

V 3,33

+q 9

+ arccos

*9тах у

q8Н = q8тіп ; q9В = q9тах ; q 9Н

Х-2 + р

лі У 4,43 + (х 3,33

+q 9

(хі,2 +Р- У 4,43 • sin(q 8тіп ))

(12)

(13)

щ 8 - агсід

У 4

Х3,33 + Щ9

(Р + Х„ ) .(14)

Согласно схеме рисунок 1, б

Чі0 = У5,7 - У6,7 = У5,7 - ІУгр - У0, 7 ) =

= У5,7 -(Угр -(Ч2 + Уі, 2 )) =

Ґ

(

\

о - со 5ч У 4,43 і

V ч ^3,33 + Ч9 уу

= &

Х(Р + Хі,2 )-(? -(Ч2 + У 1,2 ))

(15)

Щіон = д Овн - агсід\

У 4,

О™ = д| Щвв - агсід

Х3,33 + Щ9/

Х3,33 + Щ9/

•(Р + Х1,2 Ь(Ур -(Щ2 + У 1,2 ))

•(Р + Х1,2 Ь(Угр (Щ2 + У 1,2 ))

(16)

(щ10в < Щ10тіп ) >

(17)

cos

(щ8тіп )-

Х

В случае если значение вылета стрелы р находится вне интервала конструктивно допустимых значений:

делается вывод о невозможности обеспечить требуемые координаты груза при текущем положении базового шасси автокрана, алгоритм завершает свою работу.

2.3. По текущему значению р и граничным значениям координат [д8В щ8Н]; [щ9В щ9Н] определяются граничные значения диапазона управляемой координаты [д10В щ10Н].

Уре[р 1; р4 ], используя (8), вычисляется:

делается вывод о невозможности обеспечить требуемые координаты груза, алгоритм завершает свою работу.

Если выполняется условие

(я 10В — Я10тт )л(Я10Н < Я10тт ) , (18)

где Л - знак логического умножения (конъюнкции), т.е. точка подвеса груза расположена внутри пространства возможных положений оголовка стрелы, д10Н корректируется:

Щ10Н Щ1

(19)

После этого также последовательно корректируются значения щ9Н и щ8Н по (22) и (21) с подстановкой значения щ10Н.

3. По значению одной из управляемых координат (щ8, щ9, д10), заданному внутри соответствующего диапазона Щзв О8н], [09в О9н], [Щ10В Щ10Н], определяются значения двух оставшихся управляемых координат.

Задана координата Оя

Щ9 = (Х1,2 +Р- У 4,43 • sin(q8 )) ; (20)

cos

(щ 8 )-

Х

щ10 определяется по (15). Задана координата о9

где у443 х333 х12 у12 - постоянные конструктивные значения.

Соответственно, значения Я10В д10Н]

определятся по формулам:

О 8 = агсід

у

V 3,33

+ О'

+arccos

9 У

Х1,2 +Р

VУ 4,43 2 +(х

щ10 определяется по (15). Задана координата о 10

О9 = ^ У4,432 +(л/(Щ10 + Ур - О 2 - У 1,2 )2 +(Х1,2 + Р^ ^

+ О 9 )2 (21)

- Х3,

(22)

2.4. В случае если полученное по (16) значение д10В меньше минимальной конструктивно возможной длины грузовой лебедки от оголовка стрелы:

щ8 определяется по (21).

Блок-схема алгоритма определения значений управляемых координат грузоподъемного крана при нулевых углах наклона шасси приведена на рисунке 3.

4,43

)

2

У

4,43

У

443

Рис. 1. Схема для определения управляемых координат грузоподъемного крана

Рис. 2. Диапазон вылета стрелы грузоподъемного крана

Рис. 3. Блок-схема алгоритма определения значений управляемых координат грузоподъемного крана

Заключение. Рассмотренный алгоритм позволяет вычислять управляемые координаты грузоподъемного крана для заданного положения груза при нулевых углах наклона шасси. Позволяет в автоматизированном режиме решать обратную задачу кинематики грузоподъемного крана. Алгоритм может использоваться при планировании траекторий перемещения груза, при решении задач кинематического анализа и синтеза конструктивных параметров грузоподъемного крана и технологических параметров его рабочего процесса.

Библиографический список

1. Щербаков В.С. Система автоматического выравнивания опорной платформы строительной машины в горизонтальной плоскости / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, М.Г. Григорьев // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2010. - Т.6. - № 2. - С. 88-92.

2. Щербаков В.С. Алгоритм работы системы автоматического горизонтирования опорной платформы строительной машины / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, М.Г. Григорьев // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2010. - Т.6. - № 3. - С. 88-91.

3. Щербаков В.С. Метод автоматического подъема, выравнивания опорной платформы строительной машины в горизонтальной плоскости и контроля отрыва выносных опор от грунта / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, М.Г. Григорьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 1. - С. 146154.

4. Щербаков В.С. Синтез алгоритма автоматического подъема и горизонтирования опорной платформы строительной машины / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, М.Г. Григорьев // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2010. - № 7. - С. 5663.

5. Информационный ресурс «Алгоритм автоматического выравнивания опорной платформы строительной машины в горизонтальной плоскости и контроля отрыва выносных опор от грунта»: свидетельство о регистрации электронного ресурса ОФЕРНИО № 15275 / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, М.Г. Григорьев. Инв.номер ВНТИЦ № 50201000260; заявл. 27.01.2010; опубл. 24.02.2010. Алгоритмы и программы № 1, 1 с.

6. Пат. 94220 РФ, МПК В 66 С 23/80, В 66 С 5/00. Устройство автоматического выравнивания опорной платформы в горизонтальной плоскости /

Щербаков В.С., Корытов М.С., Григорьев М.Г.; заявитель и патентообладатель ГОУ «СибАДИ». - № 2009147434/22; заявл. 21.12.09; опубл. 20.05.10, Бюл. № 14. - 3 с.

7. Пат. 2196893 Российская Федерация, МПК Е 21 В 44/00, Е 21 В 7/02. Способ автоматического горизонтирования несущей платформы с буровым агрегатом и устройство для его реализации / Сидоров И.А., Чухлебов В.Н. N 2001111382/03; заявл. 24.04.01; опубл. 20.01.03, Бюл. N 2. 2 с.

8. Пат. 2342310 Российская Федерация, МПК В 66 С 5/00, В 66 С 23/78. Устройство автоматического выравнивания опорной платформы / Великанов А.В., Иванищев П.И., Танчук П.В., Нилов В.А. N 2007115362/11; заявл. 23.04.07; опубл. 27.12.08, Бюл. N 36. 5 с.

9. Гельфанд, И.М. Метод координат / И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, А.А. Кириллов. - М.: Наука, 1973. - 88 с.

TECHNIQUE OF SOLVING INVERSE KINEMATICS PROBLEM FOR THE LIFTING CRANE

V.S Sherbakov, M.S. Korytov, S.V. Kotkin

Article is devoted a question of definition of values of operated coordinates of the lifting crane at the given coordinates of cargo.

Щербаков Виталий Сергеевич - д.т.н., профессор, декан факультета «Нефтегазовая и строительная техника» ГОУ ВПО «СибАДИ». Основное направление научных исследований -совершенствование систем управления строительных и дорожных машин. Общее количество публикаций - более 200.

E-mail: sherbakov_vs@sibadi. org.

Корытов Михаил Сергеевич - к.т.н., доцент, докторант ГОУ ВПО «СибАДИ». Основное направление научных исследований - автоматизация рабочих процессов мобильных грузоподъемных машин. Общее количество публикаций - более 90. E-mail: kms142@mail.ru.

Котькин Станислав Вячеславович - аспирант кафедры «Автоматизация производственных процессов и электротехника» ГОУ ВПО «СибА-ДИ». Область научных интересов - автоматизация рабочих процессов мобильных грузоподъемных машин. Имеет 7 публикаций.

E-mail: kotkin.s@gmail.com.