Методика распределения средств при неаддитивном показателе эффективности и связанных системах ограничений Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И 4^ ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ ^

УДК 621.396.96

МЕТОДИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ ПРИ НЕАДДИТИВНОМ ПОКАЗАТЕЛЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ И СВЯЗАННЫХ СИСТЕМАХ ОГРАНИЧЕНИЙ

КОВАЛЕНКО А.И., ПИСКУНОВ С.Н., РЕШЕТНИК В.М., ЦАПКОВ И. Ф.

Рассматривается методика распределения разнотипных ресурсов, расширяющая область использования метода максимального элемента, при неаддитивном показателе эффективности и связанных системах нелинейных и линейных ограничений на целочисленные параметры плана распределения.

Введение

Актуальность статьи заключается в том, что многие важные для практики задачи при формализации сводятся к рассматриваемой. Однако к настоящему времени в литературе отсутствуют удобные для реализации методики решения таких задач при нелинейных показателях эффективности и ограничениях на параметры плана распределения.

Цель исследования — разработка методики, позволяющей найти опорный план распределения разноэффективных ресурсов в целочисленных задачах нелинейного программирования с неаддитивным показателем эффективности и связанными системами линейных и нелинейных ограничений на распределяемые ресурсы.

Постановка задачи

Многие практические задачи распределения ресурсов после формализации относят к задачам линейного и нелинейного программирования [ 1 - 3]. В [2] задача распределения сформулирована следующим образом: найти план распределения x;j, i = ,

j = 1,2,...,n , который максимизирует показатель эффективности (целевую функцию (ЦФ)):

M(x) =ZCj[1 -n(l - Р ;j)x;j] (і)

j=l ;=1

и удовлетворяет системам ограничений

n

Z x;j ^ аь j=1 ; = 1,2,...,m. (2)

m

Zx;j <Bj, ;=1 ] = 1,2,...,n • J 7 7 7 , (3)

j* IV о целые. (4)

Смысл величин в формулах (1)-(3) зависит от физической сущности решаемой задачи. Например, если решается задача распределения каких-либо материальных средств между объектами, то с j — важность j-го объекта, j = 1,2,...,n , характеризующая его значимость, для стороны которой он принадлежит; P;j — вероятность обслуживания j-го объекта одним средством i-го класса, i = 1,2,..., m ; x;j — число средств i-го класса, которые выделены на обслуживание j-го объекта.

Тогда ограничения (2) естественны. Они отображают тот факт, что распределению подлежат а; средств i-го класса, Ї = 1,2,...,m . Смысл ограничений (4) очевиден. Неравенства (3) ограничивают сосредоточения средств по обслуживанию каждого из объектов. Так как средства разнотипные и вероятности Р;j, Ї = 1,2,..., m для каждого из объектов j в общем случае имеют разные значения, то нельзя однозначно указать в (3) величины в j, обеспечивающие обслуживание j-го объекта с требуемой вероятностью.

Условимся, что j-й объект считается обслуженным (при обслуживании объекта его важность уменьшается), если величина обслуженной его важности Собс.j достигает порогового значения Cnop.j , j = 1,2,..., n . Величина cnop.j выбирается с учетом исходной важности объекта с j (1):

Cnop.j = кjcj , (5)

где к j — коэффициент, характеризующий часть важности объекта, при обслуживании которой объект считается полностью удовлетворенным и исключается из дальнейшего обслуживания.

Следовательно, j-й объект считается обслуженным и исключается из процесса распределения, если впервые выполнено условие

Co6c.j — Cnop.j; ; = !-,2,...,п . (6)

Параметры x;j дополнительно к (2), (4) должны удовлетворять системе нелинейных ограничений m x--

Cj[1 -П (1 - P;j);j] < Cnop.j, j = 1,2,...,n . (7)

;=1

План распределения считается найденным, если для всех классов средств выполнено условие

n

Zx;j = аь ; = 1,2,...,m, (8)

т.е.

а;]} = 1

(9)

либо для всех объектов значение обслуженной важности достигло пороговой величины (6):

n

j^1{[co6c.j — c nop.j]} = 1, (10)

где л — знак логического умножения.

64

РИ, 2004, № 3

Математическая постановка задачи

Необходимо найти набор элементов x;j, i = ,

j = 1,2,..., n, который максимизирует показатель эффективности (1), удовлетворяет системам линейных (2) и нелинейных (7) ограничений.

Так как ЦФ (1) нелинейная, ограничения (7)

нелинейные, а параметры x;j целочисленные, то

сформулированная задача относится к задачам нелинейного целочисленного программирования.

Решение задачи

Для решения нелинейных целочисленных оптимизационных задач часто используют простой в реализации метод последовательного распределения ресурсов, который в литературе [1, 2, 4] иногда называют методом максимального элемента (ММЭ). Использование ММЭ позволяет найти оптимальный план распределения средств, если выполнены следующие условия: ЦФ монотонна, выпукла (вогнута), аддитивна, система ограничений не связана [2]. ММЭ является основой для развития других методов.

В сформулированной задаче ЦФ (1) монотонна относительно любой из переменных X;j , выпукла, но она не аддитивна, ограничения (2), (7) связаны. Поэтому план распределения, найденный с исполь -зованием предложенного метода, не будет оптимальным. Следует заметить, что величины P;j, Cj в (1) являются не точными и субъективными, а коэффициенты Kj в (5) носят вариационный характер. Поэтому нет необходимости в нахождении оптимального плана распределения. Достаточно ограничиться опорным планом, который для рассматриваемого случая будет близок к оптимальному. Это объясняется тем, что, как будет показано далее, на каждой итерации последовательного распределения отыскивается наилучшее одношаговое продолжение.

Процедура получения решения с учетом описанных особенностей является, как и в [2], итерационной. В каждой итерации план распределения улучшается на единицу таким образом, чтобы увеличение ЦФ (1) ДМ(Х(к+1)) было максимальным (здесь (к+1) — номер выполняемой итерации). Величина приращения ЦФ (1) при увеличении, например, компонента i0j0 матрицы х(к+1) на единицу равна [2]

ДМ(и4) = с (K)Pi

;0j0

j0

;0j0 ,

(11)

( ) m x(K)

где j= cj0.n(1 -Pi0j0) j0 . (12)

u ;=1

(к)

Величина cj0 в ранее рассмотренном примере

имеет смысл обслуженной важности j0 -го объекта после к-й итерации.

Номер компонента (^ j), подлежащего улучшению на единицу в текущей (к+1)-й итерации, отыскивается в соответствии с ММЭ из условия

AmJ = nmax{AMi(K+1)} = max{c (K)P;,j }. (13)

Величина с(к)РА^ имеет смысл математического j0 ;0j0

ожидания приращения обслуженной важности j0 -го объекта при назначении ему в (к+ 1)-й итерации дополнительно одного средства ^ -го класса.

Методика нахождения опорного плана распределения, для рассмотренного примера, при ограничении величины обслуживаемой важности объектов с учетом (11)-(13) заключается в следующем.

1. На подготовительном этапе формируем исходные данные: P;j, c(0), a(0), kj , ; = 1,2,...,m , j = 1,2,..., n, где c(0), a(0) — первоначальное значение важности (“весов”) объектов и числа средств i-го класса соответственно; рассчитываем величину cnop.j (5), определяем исходное значение суммарного числа средств всех классов, подлежащих распределению А(0) = 2 а(0) .

;=1

2. Всем элементам матрицы X(0) присваиваем

нулевые значения (х(0) = 0 , ; = 1,2,...,m, j = 1,2,..., n).

Рассчитываем элементы матрицы приращений ЦФ

(1), если каждый из компонентов матрицы Х(0)

увеличить на единицу дм(1) = C(0)P;j.

;j j

3. Выполняем однотипные операции итераций, число которых не превышает А(0). Первоначально находим максимальный элемент матрицы дмЦ

(13), запоминаем координаты этого элемента j0)

и компонент x;0j0 матрицы Х(0) увеличиваем на единицу, а значения других компонентов остаются неизменными:

Дк+1) = ;j

хГ

х(к) + 1,

;0j0

если б Ф j0) V (j Ф j0), если а = j0) Л (j = j0).

4. Рассчитываем величину обслуженной важности

(к)

j0 -го объекта сj0 (12) после к-й итерации и обслуженной важности этого же объекта:

сОб ■ = с(0) - с(к).

°бс0() j0 j0

Заметим, что сjK, j = 1,2,...,n, j ф j0 остается без изменений, что упрощает процесс формирования матрицы приращений ЦФ (1).

РИ, 2004, № 3

65

5. Проверяем выполнение условия (6) для j0 -го объекта. Если оно выполняется, то объект исключаем из распределения. Все элементы jo -го столбца матрицы приращений ЦФ (1) приравниваем нулю.

Если условие (6) не выполняется, то формируем новое значение приращений ЦФ (1) для элементов

jo -го столбца (11).

Корректируем число нераспределенных средств i-го класса. Если все его средства распределены, то этот класс средств исключаем из распределения: элементы i-й строки матрицы приращений ЦФ (1) приравниваем нулю.

6. Если не все средства распределены и не для всех объектов выполнено условие (6), то для сформированной матрицы приращения эффективности ЦФ (1) выполняем операции итераций (пункты 3, 4, 5 методики).

7. Если условия (9) или (10) выполнены, то процесс прекращаем, формируем план распределения Ху ф 0,

i = 1,2,..., m, j = , и ряд признаков: “все объек-

ты обслужены”, “все средства распределены”, а также непустые множества нераспределенных классов средств и количество объектов, для которых не выполняется условие (6).

Выводы

Научная новизна состоит в том, что предлагаемая методика распределения разнотипных ресурсов расширяет область использования метода максимального элемента при неаддитивном показателе эффективности и связанных системах нелинейных и линейных ограничений на целочисленные параметры плана целераспределения.

Практическая значимость заключается в том, что предложенная методика позволяет найти близкий

к оптимальному опорный план распределения раз -ноэффективных ресурсов в целочисленных задачах нелинейного программирования. Методика отличается простотой используемых процедур.

Литература: 1. Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем. М.: Сов. радио, 1974. 304 с. 2. Раскин Л.Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления. М.: Сов. радио, 1976, 343 с. 3. Гомозов А.В., Михайлутин О.М., Пискунов С.Н., Цапков И. Ф. Об одном алгоритме нахождения оптимального плана распределения средств по целям // Збірка наукових праць “Авіаційно-космічна техніка і технологія.” Харків: НАУ “ХАІ”. 2002. Вип. 29. С. 194-198. 4. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. М.: Мир, 1979. 338 с.

Поступила в редколлегию 15.04.2004

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Казаков Е.Л.

Коваленко Андрей Иванович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, научный центр ВВС и ПВО. Научные интересы: оптимизация процессов управления. Хобби: экзотические животные. Адрес: Украина, 61036, Харьков, ул. Ахсарова, 13, кв. 266, тел.37-13-40.

Пискунов Станислав Николаевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, научный центр ВВС и ПВО. Научные интересы: оптимизация процессов управления. Хобби: растениеводство. Адрес: Украина, 61052, Харьков, ул. Котлова, 38, кв. 19 , тел. 712-23-74.

Решетник Виктор Михайлович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, научный центр ВВС и ПВО. Научные интересы: оптимизация процессов управления. Хобби: микроминиатюра. Адрес: Украина, 61036, Харьков, ул. 23 Августа, 4, кв. 31, тел. 36-11-69.

Цапков Иван Федорович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, научный центр ВВС и ПВО. Научные интересы: кибернетика. Хобби: растениеводство. Адрес: Украина, 61036, Харьков, ул. Танкопия, 10, кв. 128, тел. 97-99-34.

УДК 004.78

ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ХОЛОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

ШОСТАКИ.В, ТОПАЛА.С., УСТИНОВА А.Н.

Рассматриваются проблемы анализа и синтеза холо-нических систем управления сложными объектами на примере отечественных производственных предприятий. Приводятся фрагменты онтологий процессов управления предприятием и функционирования производственного участка как концептуальная составляющая холонической структуры.

1. Введение

Научно-технический прогресс привел к появлению большого числа сложных объектов управления (СОУ), таких как энергетические системы, транспортные сети, производственные объекты и т.п. В

66

процессе развития СОУ происходит непрерывное их усложнение, проявляющееся в опережающем росте сложности взаимосвязей между объектами по отношению к их числу, которое, в свою очередь, опережает рост числа объектов в составе комплекса [1].

Рассмотрим проблемы СОУ применительно к крупным производственно-техническим комплексам. Указанная выше тенденция в эволюции СОУ породила эволюционные изменения методов и принципов функционирования управляющих систем (УС) СОУ. Так, на определенном этапе эволюции СОУ эффективное управление ими стало невозможным без применения методов и средств искусственного интеллекта и инженерии знаний (в основном в форме открытых систем), поскольку сложность СОУ уже не допускала построения и реализации адекватных аналитических моделей функционирования объекта. Следующий этап развития УС СОУ ознаменовался появлением производственных систем распределенного интеллекта

РИ, 2004, № 3